Teoria informacji/TI Wykład 5

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Entropia warunkowa i informacja wzajemna

Definicja [Entropia zmiennej losowej]

Jeśli jest zmienną losową, określamy jej entropię jako


Innymi słowy, jest równe wartości oczekiwanej

zmiennej losowej określonej na S, zdefiniowanej przez .


Rzeczywiście,



Umowa notacyjna. Jeśli z kontekstu będzie wynikało, o jakich zmiennych losowych jest mowa, często będziemy pomijać nazwy zmiennych i odwoływać się wprost do ich wartości, pisząc zamiast po prostu a. Przykładowo będziemy pisać p(x|y) zamiast , zamiast itp.


Definicja [Entropia warunkowa]

Niech , będą dwiema zmiennymi losowymi. Dla określamy

i ogólnie

.
Powyższą wartość nazywamy entropią warunkową A od B


Zauważmy, że jeśli A i B są niezależne, to w powyższej formule , a więc . Z drugiej strony, . Ogólnie dla dowolnej funkcji mamy

Rzeczywiście, jeśli to , i w konsekwencji .


Entropia łączna. Będziemy również rozważać pary (A,B) jako jedną zmienną losową ,

Prawdopodobieństwo, że ta zmienna przyjmie wartość (a,b), wynosi , co zapisujemy w skrócie jako . To prawdopodobieństwo w ogólności jest inne niż . Jeśli dla dowolnych , mówimy że zmienne losowe A i B są niezależne.

Entropia wprost z definicji wynosi

Jeśli A i B są niezależne, to

Z liniowości wartości oczekiwanej dostajemy wtedy


W ogólnym przypadku możemy udowodnić:


Twierdzenie

Dla dowolnych A i B zachodzi
i równość zachodzi jedynie gdy A i B są niezależne.

Dowód

Rozpiszemy prawą stronę tak, żebyśmy mogli użyć Złotego Lematu. Użyjemy w tym celu oczywistych równości

i .

Ważne, że powyższe wyrażenie jest dobrze zdefiniowane, bo gdy lub , to również .

Oznaczmy chwilowo

Mamy wtedy

.

Używając Złotego Lematu dla , dla wszystkich otrzymujemy

Dodatkowo równość zachodzi wyłącznie wtedy, gdy dla wszystkich (czyli w ogóle dla wszystkich . Inaczej - wiemy już, że niezależność A i B implikuje tutaj równość. End of proof.gif


Definicja [Informacja]

Wartość
nazywamy informacją wzajemną zmiennych A i B.


Komentarz Powyższą definicję łatwo zrozumieć w odniesieniu do Gry w 20 pytań. Przypuścmy, że mamy zidentyfikować obiekt, który jest parą (a,b), gdzie a i b są wartościami zmiennych losowych A i B. Jeśli A i B są niezależne, najlepsze co możemy zrobić to zidentyfikować niezależnie a i b. Tym samym gramy w dwie niezależne gry „pytania o a” i „pytania o b” (co odpowiada równości ). Jeśli jednak A i B są zależne, możemy wykorzystać tę wzajemną informację do zmniejszenia liczby pytań.

Dla zwiększenia czytelności tekstu, od tej pory będziemy zwykle omijać dolny indeks r, pisząc H, I, itp. Wszędzie tam, gdzie nie napisano inaczej, wszystkie twierdzenia odnoszą się do przypadku dowolnego . Bez utraty ogólności czytelnik może założyć r=2.


Komentarz Przekształcając definicję informacji analogicznie jak w ostatnim dowodzie, otrzymujemy:

W takiej postaci widać, że informacja jest pewną miarą odległości pomiędzy faktycznym rozkładem zmiennej (A;B), a jej rozkładem gdyby A i B były niezależne.

Warto zauważyć, że powyższa suma jest nieujemna, choć niektóre składniki mogą być ujemne.


Istnieje odpowiednik równości , który stosuje się do zmiennych zależnych:


Fakt [Zasada łańcuchowa]

Dla dowolnych A i B zachodzi

Dowód

Obliczamy:
End of proof.gif


Używając zasady łańcuchowej, możemy wyliczać informację na różne sposoby:

Kolejną rzeczą, jaką możemy zauważyć, to że

Łatwo możemy też uogólnić zasadę łańcuchową na przypadek zmiennych

(przyjmujemy konwencję )


Bardziej wyrafinowane uogólnienie możemy uzyskać stosując entropię warunkową:


Fakt [Warunkowa zasada łańcuchowa]

Dla dowolnych A, B i C zachodzi

Dowód

Dla dowolnego rozwijamy

W powyższym wyliczeniu sumy po a i b obejmują te wartości, dla których odpowiednie prawdopodobieństwa zależne są zdefiniowane ( (nie jest określone jeśli ).

Używamy tu łatwego faktu, że jeśli , to

Uśredniając po dostajemy:

End of proof.gif


Definicja [Informacja warunkowa]

Definiujemy informację wzajemną A i B warunkowaną przez C jako

I wreszcie, informację wzajemną A, B i C definiujemy jako:

Łatwo sprawdzimy, że ta definicja jest rzeczywiście symetryczna, tzn. nie zależy od kolejności A, B i C:

Należy jednak pamiętać, że w przeciwieństwie do i , zdefiniowana powyżej może mieć ujemną wartość.


Zależności pomiędzy wartościami itd. można przedstawić w postaci diagramu:

Venn4.png