PS Moduł 12

• Stosowane obecnie cyfrowe systemy modulacji sygnałów mogą być wąskopasmowe, szerokopasmowe lub ultraszerokopasmowe. W przypadku omawianych modulacji cyfrowych wąskopasmowy charakter transmitowanych sygnałów wynika z samej istoty zastosowanego sposobu modulacji. • W cyfrowych systemach modulacji informacja o sygnale jest zakodowana w sekwencji znaków binarnych „1” i „0” lub w sekwencji grup tych znaków (słów binarnych) o zadanej długości. • Informacja ta jest kodowane w zmianach amplitudy, fazy lub częstotliwości harmonicznej fali nośnej. W bardziej złożonych systemach modulacji cyfrowych uzmienniane mogą być jednocześnie dwa parametry fali nośnej.

---

valign="top"

• Przyporządkowanie symbolom $m_i$ wektorów liczbowych $y_i$ odpowiada odwzorowaniu tych symboli w pewne punkty -wymiarowej przestrzeni wektorowej. Odwzorowaniem tego typu posługujemy się w geometrycznych metodach reprezentacji sygnałów. • Postać impulsu $y_i(t)$ odpowiadającego symbolowi $m$ transmitowanemu w aktualnym przedziale symbolowym zależy od zastosowanego rodzaju modulacji cyfrowej.

---

• Kanał, w którym na transmitowany sygnał oddziałuje addytywnie gaussowski szum biały nazywamy kanałem AWGN (ang. Additive White Gaussian Noise). Poziom (moc) szumu może nawet znacznie przewyższać poziom (moc) sygnału użytecznego. • Odbiornik sygnałów transmitowanych w systemach modulacji cyfrowej stanowi w istocie rzeczy detektor sygnałów $y_i(t)$ faktycznie transmitowanych w kolejnych przedziałach symbolowych, a tym samym detektor odpowiadających im symboli $m_i$ W kategoriach teorii optymalnego podejmowania decyzji oznacza to, że w każdym przedziale symbolowym musi być wyznaczona optymalna estymata $\hat{m}$ transmitowanego symbolu .

---

• W systemach PSK i FSK amplituda transmitowanych sygnałów jest jednakowa w każdym przedziale symbolowym, a zatem ich moc jest stała i są one mniej narażone na zniekształcenia nieliniowe w odbiorniku. Z tego względu systemy te są częściej stosowane w praktyce, niż system ASK. • Istnieje wiele różnych wariantów systemów ASK, PSK i FSK. Omawiać będziemy tylko ich wersje podstawowe. • W systemach QAM amplituda i faza poszczególnych impulsów harmonicznych mogą przybierać skokowo klika różnych wartości. Np. w standardzie modulacji QAM stosowanym w transmisji modemowej amplituda może przybrać 4, a faza 8 różnych wartości

---

• W przypadku skończonej N-elementowej bazy każdy sygnał $y_i(t)$ można przedstawić jako kombinację liniową, o współczynnikach $y_i{}_j,i=1,...,M,j=1,...,N$ sygnałów bazowych ${\varpi }_1(t),...,{\varpi }_N(t)$ (wzór 12.1). Wektor $y_i=[y_i{}_1,...,y_i{}_N{]}^T$ tych współczynników stanowi reprezentację sygnału $y_i(t)$ w przestrzeni sygnałów rozpiętej na bazie ${\varpi }_1(t),...,{\varpi }_N(t)$ . • Przestrzeń P jest podprzestrzenią przestrzeni $l^2(0,T)$, a więc iloczyny skalarne we wzorach (12.2) i (12.3) są określone tak jak w przestrzeni $l^2(0,T)$, .

---

• Przypomnijmy, że w przypadku 4-wartościowej modulacji fazy QPSK baza jest dwuelementowa. Konstelację sygnałów QPSK można zatem przedstawić na płaszczyźnie. Tworzą ją cztery punkty przedstawione na rysunku.

---

• Odwzorowanie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rigtarrow”): {\displaystyle P\rigtarrow\Box^N} zachowuje normę, tzn. normy w przestrzeniach P i ${◻}^N$ są sobie równe. Oznacza to, że przestrzenie te są izometryczne. Ponadto odwzorowanie to zachowuje iloczyn skalarny. Wynika stąd, że analizę sygnałów w przestrzeni można przenieść do przestrzeni ${◻}^N$. • Wektor $x=[x_1,...,x_N{]}^T$ stanowi zatem reprezentację sygnału $x(t)$ zarówno w przestrzeni P , jak i w przestrzeni${◻}^N$ . • Konsekwencją izometryczności przestrzeni P i ${◻}^N$ jest równość miar odległości w obu przestrzeniach. Tak więc, za miarę odległości między sygnałami $x(t)$ i $y(t)$ w przestrzeni P można przyjąć zwykłą miarę euklidesowską odległości między odpowiadającymi im wektorami w przestrzeni ${◻}^N$ . Jest to bardzo ważna właściwość z punktu widzenia opracowania odpowiedniej metody detekcji sygnałów w odbiorniku.

---

• Sygnałowi odebranemu $v(t)=y_i(t)+w(t)$ odpowiada wektor $v=y_i+w$ . Ponieważ szum $w(t)$ jest losowy, zatem długość i kierunek wektora są też losowe. Przyjmiemy upraszczające założenie, że w przedziale T szum $w(t)\in P$ . Przy tym założeniu także sygnał odebrany $v(t)\in P$ . • Przy tych założeniach reguła decyzyjna polega na detekcji wektora $y_i$ , którego odległość $p(v,y_i)$ jest najmniejsza. Reguła ta dzieli przestrzeń sygnałów na obszary decyzyjne, których interpretacja dla przypadku M=2 i N=2 jest przedstawiona na rysunku. • Zakładamy, że oba transmitowane sygnały $y_1(t)$ i $y_2(t)$ mają te same amplitudy, a więc odpowiadające im wektory $y_1$ i $y_2$ mają jednakowe długości. Przestrzeń (w omawianym przykładzie płaszczyzna) sygnałów jest dzielona na dwa obszary $Z_1$ i $Z_2$ prostą decyzyjną, która w tym przypadku jest przekątną kąta między wektorami $y_1$ i $y_2$ . Jeśli punkt v odpowiadający odebranemu zakłóconemu sygnałowi należy do obszaru $Z_1$ (leży po prawej stronie przekątnej) podejmujemy decyzję, że nadany był sygnał . W przeciwnym przypadku podejmujemy decyzję, że nadany został sygnał $y_2(t)$ . Odbiornik powinien być oczywiście wyposażony w odpowiedni układ decyzyjny rozstrzygający, do którego z obszarów $Z_1$ czy $Z_2$ należy punkt v .

---

• W modulacjach binarnych przedział symbolowy T jest równy przedziałowi bitowemu $T_b$ (czasowi transmisji jednego bitu). Zakłada się, że przedział ten obejmuje całkowitą liczbę okresów fali nośnej, tj. $T_b=k/F$ , gdzie k jest dużą liczbą całkowitą. • W zapisie sygnałów zmodulowanych cyfrowo wygodnie jest posługiwać się energią impulsu $E_b$, a nie jego amplitudą. Energia $E_b$ jest związana z amplitudą $Y_0$ i czasem $T_b$ transmisji impulsu zależnością $E_b=Y_0{T}_b/2$ . • Oba impulsy $y_1(t)$ i $y_2(t)$ transmitowane w systemie 2PSK są odcinkami fali harmonicznej o przeciwnych fazach. Informacja binarna jest zatem zakodowana w fazie. Faza zerowa odpowiada znakowi binarnemu „1”, a faza $180_o$– znakowi binarnemu „0”.

---

• Ponieważ baza przestrzeń sygnałów 2PSK jest jednoelementowa, przestrzeń ta jest linią prostą. Oba sygnały odpowiadają punktom tej prostej o współrzędnych $y_{11}T$ i . • W przypadku przestrzeni sygnałów 2PSK prostą decyzyjną jest prosta prostopadła do prostej przestrzeni przechodząca przez punkt zerowy. Dzieli ona tę prostą na dwa obszary i , w tym przypadku półproste: oraz . • Jeśli punkt , odpowiadający odebranemu sygnałowi w przestrzeni 2PSK, leży po prawej stronie prostej decyzyjnej , tzn. jeśli jego współrzędna należy do półprostej , w odbiorniku zostaje podjęta decyzja, że przesłany został sygnał (znak binarny ”1”). W przeciwnym przypadku zostaje podjęta decyzja o nadaniu sygnału (znaku binarnego „0”).

---

---

---

---

---

---

---