SW wykład 8 - Slajd5

<<powrót do strony wykładu

Częściowe porządki zupełne Przykłady Funkcje ciągłe Intuicje Intuicje, c.d. Przestrzeń funkcji częściowych Twierdzenie o punkcie stałym Techniki dowodowe Semantyka while

Inny punkt widzenia zbiorów łańcuchowo zupełnych można związać z "teorią informacji".

Rozważmy przez chwile zupełnie dowolny zbiór elementów. Własności elementów tego zbioru można utożsamiać z jego podzbiorami: każdy podzbiór reprezentuje każdą z takich własności, które są spełnione przez te i tylko te elementy, które są w tym podzbiorze. Wówczas, im mocniejsza własność, tym mniejszy zbiór elementów ją reprezentuje. A trywialną, najsłabszą własność, spełnioną przez wszystkie elementy tego zbioru, reprezentuje cały nasz zbiór. W ten sposób kratę (zbiór łańcuchowo zupełny) wszystkich podzbiorów danego zbioru, uporządkowanych przez relację "nadzbioru", z całym tym zbiorem jako elementem najmniejszym, można traktować jako dziedzinę "własności" elementów tego zbioru, czy "informacji" o tych elementach. Zauważmy, że jeśli zapomnimy o zbiorze pustym (reprezentującym własność sprzeczną, której nie spełnia żaden element) to elementami maksymalnymi w tym zbiorze łańcuchowo zupełnym są zbiory jednoelementowe, reprezentujące "pełną informację" o swoich jedynych elementach --- własności, które każdy z tych elementów pozwalają jednoznacznie zidentyfikować.

Nieco tylko uogólniając, każdy zbiór łańcuchowo zupełny możemy odczytywać jako "system informacyjny": każdy element tego zbioru odpowiada pewnej własności, czy zasobowi informacji. Dwa elementy są w relacji porządku, jeśli pierwszy reprezentuje podzbiór informacji reprezentowanych przez ten drugi; albo inaczej, jeśli własności reprezentowane przez ten drugi pociągają za sobą własności reprezentowane przez ten pierwszy. Element najmniejszy w zbiorze reprezentuje brak informacji ("nieokreśloność"), albo, co na to samo wychodzi, informację całkowicie trywialną. Zbiory skierowane reprezentują wówczas zbiory własności, które nie są ze sobą wzajemnie sprzeczne, a ich kresy reprezentują zasoby informacji, które można wywnioskować z informacji w tym zbiorze. Funkcja pomiędzy dwoma zbiorami łańcuchowo zupełnymi jest monotoniczna, gdy większe zasoby informacji odwzorowuje na niemniejsze zasoby informacji: więcej danych nie może powodować straty informacji. I w końcu, bardzo nieformalnie, funkcja taka jest ciągła, jeśli przetwarza informacje "fragment po fragmencie", bez wprowadzania "wszechogarniających cudów": wynik funkcji dla zbioru informacji, który można otrzymać przez aproksymację pewnymi podzbiorami, jest w pełni wyznaczony przez informacje uzyskane jako wyniki funkcji dla tych podzbiorów.