SW wykład 8 - Slajd3

<<powrót do strony wykładu

Częściowe porządki zupełne Przykłady Funkcje ciągłe Intuicje Intuicje, c.d. Przestrzeń funkcji częściowych Twierdzenie o punkcie stałym Techniki dowodowe Semantyka while

W dalszych rozważaniach ważną rolę będą odgrywały funkcje pomiędzy zbiorami łańcuchowo zupełnymi, które zachowują różne elementy struktury tych zbiorów.

Funkcja z jednego zbioru łańcuchowo zupełnego w drugi (niekoniecznie inny) jest rzetelna, gdy zachowuje najmniejszy element zbioru.

Funkcja z jednego zbioru łańcuchowo zupełnego w drugi (niekoniecznie inny) jest monotoniczna, gdy zachowuje relację porządku.

Funkcja z jednego zbioru łańcuchowo zupełnego w drugi (niekoniecznie inny) jest ciągła, gdy zachowuje kresy (niepustych) przeliczalnych łańcuchów. Zauważmy, że jest to równoważne wymaganiu zachowywania kresów (niepustych) przeliczalnych zbiorów skierowanych.

Łatwo zauważyć, że każda funkcja ciągła jest monotoniczna, ale na ogół nie każda funkcja monotoniczna jest ciągła. Funkcje ciągłe nie muszą być rzetelne.

Zauważmy, że jeśli funkcja jest monotoniczna, to obrazem każdego (przeliczalnego) łańcucha jest (przeliczalny) łańcuch. Przy tym, kres górny tego obrazu jest zawsze w relacji porządku z obrazem kresu łańcucha pierwszego. Na ogół nie muszą one jednak być równe: są równe jeśli dana funkcja jest ciągła.

Szczególną rolę dalej odgrywać będą funkcje ciągłe: dla nich sformułujemy twierdzenie o istnieniu najmniejszych punktów stałych, zapewniające możliwość budowania oczekiwanych rozwiązań równań stałopunktowych.