MN11LAB

Splajny

<<< Powrót do strony głównej przedmiotu Metody numeryczne

Oglądaj wskazówki i rozwiązania __SHOWALL__
Ukryj wskazówki i rozwiązania __HIDEALL__

Ćwiczenie

Niech $h>0$ i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\inR”): {\displaystyle \displaystyle c\inR} . Wyznacz współczynniki kubicznej funkcji sklejanej $s$ opartej na pięciu węzłach $-2h,-h,0,h,2h$ i spełniającej dodatkowo następujące warunki interpolacyjne:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle s(0)\,=\,c,\qquad\quad s^{(k)}(\pm 2h)\,=\,0,\qquad k=0,1,2, \\ }

Ćwiczenie

Porównaj ze sobą interpolację wielomianową i splajnową opartą na $N$ węzłach.

Rozpatrz funkcję $f(x)=\sin (x)$ i następujące przypadki:

• węzły równoodległe lub nie;
• odcinek krótki lub długi;
• węzłów mało lub dużo.

Rozwiązanie

Możesz korzystać z następującego szablonu w Octave:

a = 0; b = 10; # długość przedziału
N = 7; # liczba węzłów;

x = linspace(a,b,N); 	# węzły równoodległe
y = sin(x);		# wartości w węzłach

s = spline(x,y);
w = polyfit(x,y,N+1);

X = linspace(a,b,256); # punkty do wykresu
plot(X,[sin(X);ppval(s,X);polyval(w,X)]);

Polecam przeanalizowanie przypadku, gdy $N=30$.

Ćwiczenie

Zaimplementuj w C funkcje analogiczne do Octave'owskich spline i ppval. Pamiętaj, by skorzystać z efektywnego narzędzia do rozwiązywania układów równań!

Rozwiązanie

Macierz jest trójdiagonalna i diagonalnie dominująca, więc albo zaimplementujesz własną metodę przeganiania, albo skorzystasz z DGBSV z LAPACKa. Decyzję podejmij po przeprowadzeniu testów porównawczych czasów wykonania obu wariantów.

Ćwiczenie: Kubiczne splajny okresowe są dobrze określone

Pokaż jednoznaczność rozwiązania zadania interpolacyjnego w przypadku kubicznych okresowych funkcji sklejanych, tzn. takich, w których warunki interpolacji uzupełnione są warunkiem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned s'(x_0) &= s'(x_N)\\ s''(x_0) &= s''(x_N). \endaligned}

Wskazówka

Zastosuj technikę dowodową podobną do tej z przypadku naturalnych funkcji sklejanych.

Ćwiczenie

Sprawdź eksperymentalnie, jaka aproksymacja funkcji $f(x)=x\sin (\frac{1}{x})$ (pamiętaj, $f(0)=0$) jest "wizualnie" lepsza na odcinku $[0,5]$:

• wielomianem interpolacyjnym, opartym na $N$ węzłach równoodległych
• wielomianem interpolacyjnym, opartym na $N$ węzłach Czebyszewa
• splajnem interpolacyjnym stopnia 1, opartym na $N$ węzłach równoodległych
• naturalnym splajnem kubicznym interpolacyjnym, opartym na $N$ węzłach równoodległych

Eksperymentuj z różnymi wartościami $N$.

Wskazówka

Samo sprawdzenie najprościej wykonać w Octave; jeśli sumiennie rozwiązywałeś dotychczasowe zadania, powinieneś też dysponować zestawem funkcji generującym większość wymaganych w zadaniu interpolantów.