Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 11: Formy kwadratowe: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
następna edycja →
WizualnieWikikod
Rogoda (dyskusja | edycje)
1875 edycji
Nie podano opisu zmian
 
Rogoda (dyskusja | edycje)
1875 edycji
Nie podano opisu zmian
Linia 1: Linia 1:
 
<quiz>Niech <math>\displaystyle f \colon \mathbb{R}^3 \to  \mathbb{R} </math> będzie dana wzorem
{article}
\input{plzn.tex}
 
\setlength{\topmargin}{-30mm}
\setlength{\textheight}{280mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-10mm}
\setlength{\textwidth}{170mm}
\setlength{\parindent}{0mm}
 
\newcounter{zestaw}
 
\setcounter{zestaw}{124}
 
TESTY 11
 
Test sprawdzający. Test z pytaniami rozstrzygnięcia typu
TAK/NIE.
 
Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z których każda może
być prawdziwa lub fałszywa. Za każde zadanie można uzyskać <math>\displaystyle 0,5</math>
punktu (jeśli poprawnie zostaną wskazane trzy odpowiedzi), 1 punkt
(jeśli poprawnie zostaną wskazane cztery odpowiedzi) lub <math>\displaystyle 0</math> punktów
(w&nbsp;pozostałych przypadkach).
 
Oceny: 3p. - dst, 3,5p.- plus dst, 4p. - db, 4,5 p - plus db, co najmniej 5p. - bdb.
 
T11.1. Niech <math>\displaystyle f \colon \mathbb{R}^3 \to  \mathbb{R} </math> będzie dana wzorem


<center><math>\displaystyle f(x_1,x_2,x_3) = 5x_1x_2 +3x_2x_3 +x_1x_3.</math></center>
<center><math>\displaystyle f(x_1,x_2,x_3) = 5x_1x_2 +3x_2x_3 +x_1x_3.</math></center>
Linia 40: Linia 13:
                     \frac {1}{2} & \frac {3}{2} & 0\end{array}  \right ]. </math></center>
                     \frac {1}{2} & \frac {3}{2} & 0\end{array}  \right ]. </math></center>


<math>\displaystyle \Phi</math> indukuje <math>\displaystyle f</math>. {T}
<rightoption><math>\displaystyle \Phi</math> indukuje <math>\displaystyle f</math>.</rightoption>
 
<wrongoption><math>\displaystyle \Phi</math> jest skojarzone z <math>\displaystyle f</math>.</wrongoption>


<math>\displaystyle \Phi</math> jest skojarzone z <math>\displaystyle f</math>. {F}
<rightoption> rk <math>\displaystyle   f =3</math>.</rightoption>


rk\, <math>\displaystyle   f =3</math>. {T}
<rightoption><math>\displaystyle A</math> jest macierzą <math>\displaystyle f</math> przy bazie kanonicznej.</rightoption>
</quiz>


<math>\displaystyle A</math> jest macierzą <math>\displaystyle f</math> przy bazie kanonicznej. {T}


T11.2. Niech <math>\displaystyle V</math> będzie przestrzenią wektorową nad ciałem <math>\displaystyle \mathbb{R}</math>, niech
<quiz>Niech <math>\displaystyle V</math> będzie przestrzenią wektorową nad ciałem <math>\displaystyle \mathbb{R}</math>, niech
<math>\displaystyle  \Phi, \Psi \colon V \times V \to \mathbb{R}</math> będą odwzorowaniami dwuliniowymi i niech <math>\displaystyle  f: V \ni v \to \Phi (v,v) \in \mathbb{R} </math>.
<math>\displaystyle  \Phi, \Psi \colon V \times V \to \mathbb{R}</math> będą odwzorowaniami dwuliniowymi i niech <math>\displaystyle  f: V \ni v \to \Phi (v,v) \in \mathbb{R} </math>.


Jeśli dla każdego <math>\displaystyle v \in V\displaystyle \Phi (v,v) = \Psi (v,v) </math>, to <math>\displaystyle \Phi = \Psi</math>. {F}
<wrongoption>Jeśli dla każdego <math>\displaystyle v \in V\displaystyle \Phi (v,v) = \Psi (v,v) </math>, to <math>\displaystyle \Phi = \Psi</math>.</wrongoption>


Jeśli <math>\displaystyle \Phi</math> i <math>\displaystyle \Psi</math> są symetryczne oraz dla każdego <math>\displaystyle v \in V \Phi (v,v) = \Psi (v,v) </math>, to <math>\displaystyle \Phi = \Psi</math>. {T}
<rightoption>Jeśli <math>\displaystyle \Phi</math> i <math>\displaystyle \Psi</math> są symetryczne oraz dla każdego <math>\displaystyle v \in V \Phi (v,v) = \Psi (v,v) </math>, to <math>\displaystyle \Phi = \Psi</math>.</rightoption>


Odwzorowanie <math>\displaystyle  f </math> jest formą kwadratową. {T}
<rightoption>Odwzorowanie <math>\displaystyle  f </math> jest formą kwadratową.</rightoption>


Macierz <math>\displaystyle f</math> w dowolnej bazie jest symetryczna. {T}
<rightoption>Macierz <math>\displaystyle f</math> w dowolnej bazie jest symetryczna.</rightoption>
</quiz>


T11.3. Niech <math>\displaystyle f\colon \mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to x_1^2 - x_2^2 -x_3^2 \in \mathbb{R}</math>.


rk\, <math>\displaystyle   f = 3</math>. {T}
<quiz>Niech <math>\displaystyle f\colon \mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to x_1^2 - x_2^2 -x_3^2 \in \mathbb{R}</math>.


Para (2,1) jest sygnaturą <math>\displaystyle f</math>. {F}
<rightoption> rk <math>\displaystyle   f = 3</math>.</rightoption>


<math>\displaystyle f</math> jest określona ujemnie. {F}
<wrongoption>Para (2,1) jest sygnaturą <math>\displaystyle f</math>.</wrongoption>


<math>\displaystyle f</math> jest półokreślona dodatnio. {F}
<wrongoption><math>\displaystyle f</math> jest określona ujemnie.</wrongoption>


T11.4. Dana jest forma kwadratowa <math>\displaystyle f\colon \mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to x_1^2 + 2x_2^2 +4x_3^2
<wrongoption><math>\displaystyle f</math> jest półokreślona dodatnio.</wrongoption>
</quiz>
 
 
<quiz>Dana jest forma kwadratowa <math>\displaystyle f\colon \mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to x_1^2 + 2x_2^2 +4x_3^2
+2x_1x_2 -2x_2x_3 \in \mathbb{R}</math>.
+2x_1x_2 -2x_2x_3 \in \mathbb{R}</math>.


<math>\displaystyle f</math> jest zapisana w postaci kanonicznej. {F}
<wrongoption><math>\displaystyle f</math> jest zapisana w postaci kanonicznej.</wrongoption>


<math>\displaystyle f</math> jest określona dodatnio. {T}
<rightoption><math>\displaystyle f</math> jest określona dodatnio.</rightoption>


Para (3,0) jest sygnaturą <math>\displaystyle f</math>. {T}
<rightoption>Para (3,0) jest sygnaturą <math>\displaystyle f</math>.</rightoption>


Istnieje wektor <math>\displaystyle x \in \mathbb{R}^3 \setminus \{0\}</math> taki, że <math>\displaystyle f(x) =0</math>. {F}
<wrongoption>Istnieje wektor <math>\displaystyle x \in \mathbb{R}^3 \setminus \{0\}</math> taki, że <math>\displaystyle f(x) =0</math>.</wrongoption>
</quiz>


T11.5. Niech <math>\displaystyle f\colon \mathbb{R}^2 \ni (x_1,x_2) \to x_1^2 - x_1x_2 \in \mathbb{R}</math>, <math>\displaystyle \Phi \colon \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \ni
 
<quiz>Niech <math>\displaystyle f\colon \mathbb{R}^2 \ni (x_1,x_2) \to x_1^2 - x_1x_2 \in \mathbb{R}</math>, <math>\displaystyle \Phi \colon \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \ni
((x_1,x_2),(y_1,y_2)) \to x_1y_1 - \frac {1}{2}(x_1y_2 + x_2y_1) \in \mathbb{R}</math>. Niech ponadto
((x_1,x_2),(y_1,y_2)) \to x_1y_1 - \frac {1}{2}(x_1y_2 + x_2y_1) \in \mathbb{R}</math>. Niech ponadto


Linia 87: Linia 68:
</math></center>
</math></center>


<math>\displaystyle \Phi</math> jest odwzorowaniem dwuliniowym symetrycznym skojarzonym z <math>\displaystyle f</math>. {T}
<rightoption><math>\displaystyle \Phi</math> jest odwzorowaniem dwuliniowym symetrycznym skojarzonym z <math>\displaystyle f</math>.</rightoption>
 
<rightoption><math>\displaystyle A</math> jest macierzą <math>\displaystyle f</math> przy bazie kanonicznej.</rightoption>


<math>\displaystyle A</math> jest macierzą <math>\displaystyle f</math> przy bazie kanonicznej. {T}
<rightoption><math>\displaystyle B</math> jest macierzą <math>\displaystyle f</math> przy bazie <math>\displaystyle  (1,0), (1,2) </math>.</rightoption>


<math>\displaystyle B</math> jest macierzą <math>\displaystyle f</math> przy bazie <math>\displaystyle  (1,0), (1,2) </math>. {T}
<rightoption>Para (1,1) jest sygnaturą <math>\displaystyle f</math>.</rightoption>
</quiz>


Para (1,1) jest sygnaturą <math>\displaystyle f</math>. {T}


T11.6. Niech <math>\displaystyle f\colon \mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to (3x_1 - x_3,2x_2 +x_3, -x_1 +x_2 +5x_3) \in \mathbb{R}^3</math> i niech
<quiz>Niech <math>\displaystyle f\colon \mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to (3x_1 - x_3,2x_2 +x_3, -x_1 +x_2 +5x_3) \in \mathbb{R}^3</math> i niech
<math>\displaystyle \cdot</math> oznacza standardowy iloczyn skalarny w <math>\displaystyle \mathbb{R}^3</math>.
<math>\displaystyle \cdot</math> oznacza standardowy iloczyn skalarny w <math>\displaystyle \mathbb{R}^3</math>.


<math>\displaystyle f</math> jest symetryczne. {T}
<rightoption><math>\displaystyle f</math> jest symetryczne.</rightoption>


Macierz <math>\displaystyle f</math> w bazie kanonicznej jest diagonalna. {F}
<wrongoption>Macierz <math>\displaystyle f</math> w bazie kanonicznej jest diagonalna.</wrongoption>


Odzorowanie <math>\displaystyle  \mathbb{R}^3 \ni x \to f(x) \cdot x \in \mathbb{R} </math> jest formą kwadratową. {T}
<rightoption>Odzorowanie <math>\displaystyle  \mathbb{R}^3 \ni x \to f(x) \cdot x \in \mathbb{R} </math> jest formą kwadratową.</rightoption>


Odzorowanie <math>\displaystyle  \mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3  \ni (x,y) \to f(x) \cdot y \in \mathbb{R} </math> jest dwuliniowe symetryczne. {T}
<rightoption>Odzorowanie <math>\displaystyle  \mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3  \ni (x,y) \to f(x) \cdot y \in \mathbb{R} </math> jest dwuliniowe symetryczne.</rightoption>
</quiz>

Wersja z 13:39, 28 wrz 2006

Niech f:ℝ3→ℝ będzie dana wzorem

f(x1,x2,x3)=5x1x2+3x2x3+x1x3.

Niech ponadto

Φ((x1,x2,x3),(y1,y2,y3))=3x1y2+2x2y1+3x2y3+y1x3

i niech

A=[052125203212320].

Φ indukuje f.

Φ jest skojarzone z f.

rk f=3.

A jest macierzą f przy bazie kanonicznej.


Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem ℝ, niech Φ,Ψ:V×V→ℝ będą odwzorowaniami dwuliniowymi i niech f:V∋v→Φ(v,v)∈ℝ.

Jeśli dla każdego v∈VΦ(v,v)=Ψ(v,v), to Φ=Ψ.

Jeśli Φ i Ψ są symetryczne oraz dla każdego v∈VΦ(v,v)=Ψ(v,v), to Φ=Ψ.

Odwzorowanie f jest formą kwadratową.

Macierz f w dowolnej bazie jest symetryczna.


Niech f:ℝ3∋(x1,x2,x3)→x12−x22−x32∈ℝ.

rk f=3.

Para (2,1) jest sygnaturą f.

f jest określona ujemnie.

f jest półokreślona dodatnio.


Dana jest forma kwadratowa f:ℝ3∋(x1,x2,x3)→x12+2x22+4x32+2x1x2−2x2x3∈ℝ.

f jest zapisana w postaci kanonicznej.

f jest określona dodatnio.

Para (3,0) jest sygnaturą f.

Istnieje wektor x∈ℝ3∖{0} taki, że f(x)=0.


Niech f:ℝ2∋(x1,x2)→x12−x1x2∈ℝ, Φ:ℝ2×ℝ2∋((x1,x2),(y1,y2))→x1y1−12(x1y2+x2y1)∈ℝ. Niech ponadto

A=[1−12−120],B=[100−1].

Φ jest odwzorowaniem dwuliniowym symetrycznym skojarzonym z f.

A jest macierzą f przy bazie kanonicznej.

B jest macierzą f przy bazie (1,0),(1,2).

Para (1,1) jest sygnaturą f.


Niech f:ℝ3∋(x1,x2,x3)→(3x1−x3,2x2+x3,−x1+x2+5x3)∈ℝ3 i niech ⋅ oznacza standardowy iloczyn skalarny w ℝ3.

f jest symetryczne.

Macierz f w bazie kanonicznej jest diagonalna.

Odzorowanie ℝ3∋x→f(x)⋅x∈ℝ jest formą kwadratową.

Odzorowanie ℝ3×ℝ3∋(x,y)→f(x)⋅y∈ℝ jest dwuliniowe symetryczne.

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Algebra_liniowa_z_geometrią_analityczną/Test_11:_Formy_kwadratowe&oldid=58151”