MN14LAB

Ćwiczenia: kwadratury

Ćwiczenie: Kwadratura prostokątów kontra kwadratura trapezów

Pokazać, że jeśli $f\in C^{(2)}([a,b])$ to dla kwadratury prostokątów $Q_0(f)=f((a+b)/2)(b-a)/2$ mamy

$S(f)-Q_0(f)=\frac{(b-a{)}^3}{24}{f}^{(2)}({\xi }_0),$

(${\xi }_0\in [a,b]$), a w konsekwencji dla funkcji, których druga pochodna jest ograniczona przez stałą $M$, (klasę wszystkich takich funkcji oznaczamy przez $F_M^1([a,b])$) zachodzi

$\underset{f\in F_M^1([a,b])}{\max }|S(f)-Q_0(f)|=\frac{M(b-a{)}^3}{24}.$

Porównaj ten wynik z wynikiem dla kwadratury trapezów.

Rozwiązanie

Wzór najprościej dowieść, korzystając z rozwinięcia Taylora wokół środka odcinka.

Błąd w klasie $F_M^1([a,b])$ jest dla kwadratury prostokątów dwa razy mniejszy niż dla kwadratury trapezów.

Ćwiczenie

Rozpatrzmy kwadratury interpolacyjne oparte na dwóch węzłach $x_0,x_1\in [a,b]$. Pokazać, że wśród tych kwadratur najmniejszy błąd w klasie $F_M^1([a,b])$ jest osiągany przez kwadraturę

$Q^I(f)=\frac{b-a}{2}\left(f\right(\frac{3a+b}{4})+f(\frac{a+3b}{4}\left)\right),$

a jej błąd

$\underset{f\in F_M^1([a,b])}{\sup }|S(f)-Q^I(f)|=\frac{M(b-a{)}^3}{32}.$

Ćwiczenie

Pokazać, że drugą kolumnę tabeli kwadratur Romberga tworzą złożone kwadratury parabol, tzn.

${\overline{P}}_k(f)=\frac{4{\overline{T}}_{2k}(f)-{\overline{T}}_k(f)}{3}.$

Ćwiczenie

Opracować ekonomiczny program obliczający wartość ${\overline{T}}_1^s(f)$ kwadratury Romberga.

Wskazówka

Tego typu tabelki już liczyliśmy, przy okazji algorytmu różnic dzielonych.