Test GR

---

1111111111111111111111111111111111111111111

1111111111111111111111111111111111111111111

 Mamy następujące przestrzenie metryczne:
 $({\mathbb{ℝ}}^2,d_2),({\mathbb{ℝ}}^2,d_{\mathrm{\infty }}),({\mathbb{ℝ}}^2,d_1),({\mathbb{ℝ}}^2,d_d),({\mathbb{ℝ}}^2,d_r),$
 gdzie
 $d_d$ oznacza metrykę dyskretną, a $d_r$ metrykę "rzeka" z prostą
 $l$ będącą osią $Ox.$ W ${\mathbb{ℝ}}^2$ dane są dwa punkty: $A=(-1,2)$ i
 $B=(1,3).$ Wtedy:
 (a) $d_2(A,B{)}^2=d_r(A,B)d_d(A,B)-d_{\mathrm{\infty }}(A,B)$
 (b) $d_d(A,B)+d_{\mathrm{\infty }}(A,B)=d_1(A,B)$
 (c) $d_2(A,B{)}^2+d_{\mathrm{\infty }}(A,B{)}^2=d_1(A,B{)}^2$

 tak, tak, tak

 Dla zbioru
 $A:=\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots \}\cup \{0\}$
 w przestrzeni metrycznej $({\mathbb{ℝ}}^2,d_2)$ zachodzi 
 (a) $A=\bar{A}$
 (b) $\partial A=\{0\}$
 (c) $A$ jest zwarty

 tak, nie, tak

 Zbiory $B$ i $C$ w przestrzeni metrycznej $({\mathbb{ℝ}}^2,d_2)$ dane są
 jako
 $B:=\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2:y\le x^{\frac{2}{3}}\}$
 (gdzie za dziedzinę funkcji
 $f(x)=x^{\frac{2}{3}}$ przyjmujemy całe $\mathbb{ℝ}$). Zbiór
 $C:=\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2:y\ge x^2\}.$ Wtedy $B\cap C$ jest 
 (a) zbiorem otwartym
 (b) zbiorem spójnym
 (c) zbiorem nieograniczonym

 nie, tak, nie

 Jeśli $d$ jest funkcją określoną na
 ${\mathbb{ℝ}}^2\times {\mathbb{ℝ}}^2$ jako

$d((x_1,x_2),(y_1,y_2))=(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2$

 to
 (a) $d$ przyjmuje wartości nieujemne
 (b) $d$ jest funkcją symetryczną
 (c) $d$ jest metryką

 tak, tak, nie

 Przedział $[0,1]$ z
 metryką dyskretną
 (a) jest zwarty
 (b) jest spójny
 (c) zawiera się w kuli o środku
   $x_0=\frac{1}{2}$
   i promieniu
   $r=\frac{3}{4}$

 nie, nie, nie

 Określamy metrykę na $\mathbb{ℝ}$
 wzorem $d(x,y):=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}{d}_2(x,y).$
 Niech $A:=[0,+\mathrm{\infty }).$ W tej
 przestrzeni metrycznej średnica zbioru $A$ jest równa
 (a) $\pi$
 (b) $\frac{\pi }{2}$
 (c) $\mathrm{\infty }$

 nie, tak, nie

 Niech $A_n$ będzie
 podzbiorem przestrzeni metrycznej $(\mathbb{ℝ},d_2),A_n:=\{\frac{1}{k},k>n\}.$ Niech $B_n:=\overline{A_n}.$ Wtedy
 $\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_n$ jest równe
 (a) $\mathrm{\varnothing }$
 (b) $\{0\}$
 (c) $\{\frac{1}{n}{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$

 nie, tak, nie

 W przestrzeni metrycznej $({\mathbb{ℝ}}^2,d_2)$
 dane są dwa zbiory
 $A=\{(x,y):y=\frac{1}{x}\},B=\{(x,y):x=y\}.$
 Wówczas zbiór
 $A\cup B$
 (a) jest zwarty
 (b) jest spójny
 (c) ma niepuste wnętrze.

 nie, tak, nie

 W $({\mathbb{ℝ}}^2,d_2)$ dany jest zbiór
 $A=K((0,0),4)\setminus K((0,0),2).$
 Brzegiem zbioru $A$ jest
 (a) $\{(x,y)\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2:x^2+y^2=2\}$
 (b) $\{(x,y)\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2:x^2+y^2=4\}$
 (c) $\{(x,y)\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2:x^2+y^2=2$ lub $x^2+y^2=4\}$

 nie, nie, tak

22222222222222222222222222222222222222222

Ciągi w przestrzeniach metrycznych. Test

 Ciąg w przestrzeni
 metrycznej dyskretnej jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy
 (a) jest stały
 (b) jest od pewnego miejsca stały
 (c) zawsze

 nie, nie, tak

 Ciąg $\{\frac{1}{n}{\}}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$
 w przestrzeni metrycznej $(\mathbb{ℝ}\setminus \{0\},d_2)$ jest
 ciągiem
 (a) zbieżnym w tej przestrzeni
 (b) spełniającym warunek Cauchy'ego w tej przestrzeni
 (c) ograniczonym w tej przestrzeni

 nie, tak, tak

 W ${\mathbb{ℝ}}^2$ z metryką kolejową o węźle $O=(0,0)$
 dany jest ciąg $x_n=(-\frac{1}{n},-1)$ dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}.$
 Odległość między kolejnymi wyrazami tego ciągu
 $d(x_n,x_{n+1})$
 (a) maleje do zera, gdy $n\to +\mathrm{\infty }$
 (b) jest zawsze w przedziale $[1,2]$
 (c) jest zawsze w przedziale $[2,4]$

 nie, nie, tak

 Punktami stałymi odwzorowania
 $f:\mathbb{ℝ}⟶\mathbb{ℝ},f(x)=x^2+x-1$ są
 (a) $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ i $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
 
 (b) $-1$ i $1$
 
 (c) odwzorowanie nie ma punktów stałych

 nie, tak, nie

 Obrazem odcinka $[0,1]$ przez funkcję
 $\frac{1}{x-2}$ jest
 (a) $[\frac{1}{2},1]$
 
 (b) $[-1,-\frac{1}{2}]$
 
 (c) $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2}]$

 nie, tak, nie

 W $\mathbb{ℝ}$ z metryką dyskretną rozważamy zbiór
 $A=\{5,25\}.$ Zbiór $A$
 (a) jest spójny
 (b) jest zwarty
 (c) zawiera się w pewnej kuli o promieniu $2$

 nie, tak, tak

 Niech $A$ będzie kulą w ${\mathbb{ℝ}}^2$ z metryką $d_1$
 o środku $(0,0)$ i promieniu $1.$
 Promień największej kuli w ${\mathbb{ℝ}}^2$ z metryką $d_2$
 o środku $(0,0)$ zawartej w kuli $A$ wynosi
 (a) $1$
 (b) $\sqrt{2}$
 (c) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

 nie, nie, tak

 W przestrzeni metrycznej dyskretnej dany jest zbiór
 ciągowo zwarty $A.$ Wówczas zbiór $A$ jest
 (a) zwarty
 (b) skończony
 (c) ograniczony

 tak, tak, tak

 W przestrzeni metrycznej $(\mathbb{ℝ},d_2)$
 dany jest zbiór
 $A=\{-1\}\cup [2,3].$ Wówczas
 (a) $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}A=(2,3)$
 (b) $\partial A=\{2,3\}$
 (c) $\partial (\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}A)=\{2,3\}$

 tak, nie, tak

3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

Norma. Iloczyn skalarny. Test

 $\Vert x{\Vert }_1=17$ dla
 (1)
   $x=(-4,5,-8)$
 (2)
   $x=(-1,1,17)$
 (3)
   $x=(-4,0,1)$

tak, nie, nie

 W ${\mathbb{ℝ}}^2$
 ze standardowym iloczynem skalarnym
 wektory
 $x=(3,5)$ i $y=(-1,a)$ są prostopadłe dla
 (1)
   $a=-\frac{3}{5}$
   
 (2)
   $a=\frac{3}{5}$
   
 (3)
   $a=\frac{5}{3}$

 nie, tak, nie

 W ${\mathbb{ℝ}}^3$
 ze standardowym iloczynem skalarnym
 wektory
 $x=(-1,2,3)$ i $y=(1,a,b)$ są prostopadłe dla
 (1)
   $a=2,b=-1$
 (2)
   $a=5,b=-3$
 (3)
   $a=-1,b=1$

 tak, tak, tak

 W ${\mathbb{ℝ}}^2$ definiujemy
 $((x_1,x_2)|(y_1,y_2))=a{x}_1{y}_1+x_2{y}_2.$
 Jest to iloczyn skalarny dla
 (1)
   $a=0$
 (2)
   $a=5$
 (3)
   $a=-5$

 nie, tak, nie

 W przestrzeni euklidesowej ${\mathbb{ℝ}}^2$
 odległość wektorów
 $x=(-1,2)$ i $y=(3,1)$ wynosi
 (1)
   $\sqrt{17}$
 (2)
   $\sqrt{5}+\sqrt{10}$
 (3)
   $\sqrt{15}$

 tak, nie, nie

 W przestrzeni unitarnej $X$ dane są dwa wektory $x$ i $y.$
 Jeśli $x\perp y,$ to
 (1)
   $\Vert x-y\Vert =\Vert x{\Vert }^2-\Vert y{\Vert }^2$
 (2)
   $\Vert x-y{\Vert }^3=\Vert x+y{\Vert }^3$
 (3)
   $\Vert x-y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2$

 nie, tak, tak

 Jeśli $\{x_n\}$ i $\{y_n\}$
 są dwoma ciągami zbieżnymi w przestrzeni unitarnej
 $(X,(\cdot |\cdot )),$
 to
 (1)
   Ciągi
   $\{\Vert x_n\Vert \}$ i $\{\Vert y_n\Vert \}$ są zbieżne w $\mathbb{ℝ}.$
 (2)
   Ciąg
   $\{(x_n|y_n)\}$ jest zbieżny w $\mathbb{ℝ}$
 (3)
   Ciąg
   $\{\Vert x_n-y_n\Vert \}$ jest zbieżny w $\mathbb{ℝ}$

 tak, tak, tak

 W przestrzeni unormowanej $(X,\Vert \cdot \Vert )$ prawdziwe są
 nierówności
 (1)
   $\Vert x-y\Vert \ge \Vert x\Vert -\Vert y\Vert$
 (2)
   $\Vert x-y\Vert \ge \Vert y\Vert -\Vert x\Vert$
 (3)
   $\Vert x-y\Vert \ge -\Vert x\Vert -\Vert y\Vert$

 tak, tak, tak

 Dla funkcji
 $f:[0,1]⟶\mathbb{ℝ}$ danej wzorem
 $f(x)=\sqrt{\pi }(x^2-x)$ norma supremowa
 $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ wynosi
 (1)
   $\sqrt{\pi }$
 (2)
   $\frac{1}{4}\sqrt{\pi }$
 (3)
   $-\frac{1}{4}\sqrt{\pi }$

 nie, tak, nie

444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444

Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora. Test

 Dany jest ciąg funkcyjny
 $\{f_n\},$ gdzie
 $f_n(x)=\{\begin{array}{lll}1& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}& x\in [n,n+1]\\ 0& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}& x\in \mathbb{ℝ}\setminus [n,n+1]\end{array}$
 dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}.$
 Ciąg ten jest
 (a) zbieżny punktowo do $f(x)\equiv 0$
 (b) zbieżny jednostajnie do  $f(x)\equiv 0$
 (c) zbieżny punktowo do funkcji
 $f(x)=\{\begin{array}{lll}1& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}& x\ge 1\\ 0& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}& x<0\end{array}$

 tak, nie, nie

 Dany jest ciąg funkcyjny $\{f_n\},$ gdzie

$f_n(x)=\{\begin{array}{lll}\frac{1-n^{-x}}{1+n^{-x}}& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}& x>0\\ \\ \frac{2-n^x}{2+n^x}& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}& x<0\\ \\ 0& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}& x=0\\ \end{array}$ dla $n=1,2,\dots$

 Ten ciąg funkcyjny jest
 (a) zbieżny jednostajnie
 (b) zbieżny punktowo ale nie jednostajnie
 (c) rozbieżny

 nie, tak, nie

 Dany jest ciąg funkcyjny
 $f_n(x)=\sqrt[n]{x}$ dla $x\ge 0.$ Ten ciąg
 (a) jest zbieżny punktowo i jego granica jest ciągła
 (b) jest zbieżny jednostajnie i jego granica jest ciągła
 (c) jest zbieżny punktowo i jego granica nie jest ciągła

 nie, nie, tak

 Dany jest szereg
 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin nx}{2^n(x^2+1)},x\in \mathbb{ℝ}.$ Ten szereg
 jest
 (a) zbieżny jednostajnie do funkcji $f(x)\equiv 0.$
 (b) zbieżny jednostajnie do funkcji $f$ takiej, że $0<f(x)<3$
 (c) zbieżny jednostajnie do funkcji $f(x)=\frac{1}{2(x^2+1)}$

 nie, tak, nie

 Funkcja
 $f(x):=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sqrt[n]{x}}{n(n+1)(x^2+1)}.$
 Granica $\underset{x\to 3}{\lim }f(x)$ wynosi
 (a) $\frac{1}{10}$
 (b) $\sqrt{3}$
 (c) $0$

 tak, nie, nie

 Szereg
 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(x^4+4)}$ jest
 (a) zbieżny punktowo
 (b) zbieżny jednostajnie 
 (c) rozbieżny

 nie, nie, tak

 Czwarty z kolei wyraz
 rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji $f(x)=\cos 2x$ to
 (a) $-\frac{2^6}{6!}$
 
 (b) $\frac{2^6}{6!}{x}^6$
 
 (c) $\frac{-4}{45}{x}^6$

 nie, nie, tak

 Szósty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Taylora
 funkcji $f(x)=\frac{1}{2+x}$
 o środku w $x_0=0$ wynosi
 (a) $\frac{-1}{64}{x}^6$
 
 (b) $\frac{-1}{64}{x}^5$
 
 (c) $\frac{1}{2}{x}^6$

 nie, tak, nie

 Sumujemy cztery kolejne
 wyrazy rozwinięcia w szereg Taylora funkcji $\sqrt{x}$
 ośrodku w $x_0=1.$
 Współczynnik przy $x$ wynosi
 (a) $\frac{15}{16}$
 
 (b) $\frac{5}{16}$
 
 (c) $\frac{1}{16}$

 tak, nie, nie

5555555555555555555555555555555555555555555555555555

Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera. Test

 Promień zbieżności szeregu
 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n^2+(-1{)}^{n+1}}(x-2{)}^n$
 wynosi
 (a) 2
 (b) -1
 (c) 1

 nie, nie, tak

 Przedział zbieżności szeregu potęgowego
 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{3+\cos n}{n^3}(x+1{)}^n$
 jest równy
 (a) $[-1,1]$
 (b) $[-2,0]$
 (c) $(-2,0)$ 

 nie, tak, nie

 Szereg $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{x}^n$ ma
 promień zbieżności $R.$ Szereg
 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(n^2+3n+2)c_{n+2}{x}^n$
 ma promień zbieżności
 (a) $R+2$
 (b) $R^2$
 (c) $R$

 nie, nie, tak

 Promień zbieżności szeregu potęgowego
 $\sum _{n=01}^{\mathrm{\infty }}{n}^n{x}^n$ jest równy
 (a) $\mathrm{\infty }$
 (b) $0$
 (c) $n$

 nie, tak,  nie

 Funkcja $f$ jest dana jako suma szeregu
 $f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(x-2{)}^n.$
 Wówczas:
 (a) $f$ jest określona i ciągła na przedziale $[2,3)$
 (b) $f$ jest określona i ciągła na przedziale $[2,3]$
 (c) $f$ jest określona i ciągła na przedziale $(2,3)$

 tak, nie, tak

 Dana jest funkcja $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ},f(x)=x^2-1+x-1.$
 (a) $x^2-1+x-1$ jest rozwinięciem $f$ w szereg Taylora o środku w $x_0=1$
 (b) $x^2+x-1$ jest rozwinięciem $f+1$ w szereg Taylora o środku w $x_0=0$
 (c) $x^2-1+x-1$ jest rozwinięciem $f$ w szereg Taylora o środku w $x_0=-1$

 nie, tak, nie

 Szereg Fouriera funkcji $f(x)=\sin x\cos x$
 na przedziale $[-\pi ,\pi ]$ to
 (a) $\sin x\cos x$ 
 (b) $\frac{1}{2}\sin 2x$
 (c) $\sin x+\cos x$

 nie, tak, nie

 Na przedziale $[-\pi ,\pi ]$ dana jest
 funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} 0 & \textrm{dla} & x=-\pi \\ x^3 & \textrm{dla} & x\in (-\pi, \pi)\\ 0 & \textrm{dla} & x=\pi \end{array} \right. }

 Jej szereg Fouriera jest do niej zbieżny
 (a) na całym przedziale $[-\pi ,\pi ]$
 (b) tylko na przedziale $(-\pi ,\pi )$
 (c) tylko na przedziale $[-\pi ,\pi )$

 tak, nie, nie

 Szereg Fouriera funkcji $x^2+\cos x$ to
 (a) $\frac{{\pi }^2}{3}-3\cos x+4\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m\frac{\cos mx}{m^2}$
 (b) $\frac{{\pi }^2}{3}+\cos x+4\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m\frac{\cos mx}{m^2}$
 (c) $\frac{{\pi }^2}{3}+\cos x+4\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\cos (m\pi )\frac{\cos mx}{m^2}$

 tak, tak, tak

101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010

Wielowymiarowa całka Riemanna. Test

 Całka
 $\underset{K}{\iiint }dxdydz,$
 gdzie $K=[-1,1]\times [-2,3]\times [-2,0]$ wynosi:
 (a) $0$
 (b) $-20$
 (c) $20$

 nie, nie, tak

 Na zbiorze $D=[0,1]\times [0,3]$ dana jest
 funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x,y) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} 1 & \textrm{dla} & (x,y)\in [0,1]\times[0,1]\\ 0 & \textrm{dla} & (x,y)\in [0,1]\times(1,2)\\ -1 & \textrm{dla} & (x,y)\in [0,1]\times[2,3]\\ \end{array} \right. }

 Całka $\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy,$ 
 (a) jest równa $0$
 (b) jest równa $1$
 (c) nie istnieje, bo funkcja nie jest ciągła.

 tak, nie, nie

 W ${\mathbb{ℝ}}^2$ dany jest odcinek $[a,b]\times \{c\}=:T$ oraz funkcja
 $f:T\to \mathbb{ℝ}$ dana wzorem $f(x,y)=x^2+y^2.$
 Wtedy całka $\underset{T}{\iint }f(x,y)dxdy$ jest równa
 (a) $b^2-a^2$
 (b) $c^2$
 (c) $0$

 nie, nie, tak

 Odcinek ma
 miarę zero w
 (a) $\mathbb{ℝ}$
 (b) ${\mathbb{ℝ}}^2$
 (c) ${\mathbb{ℝ}}^3$

 nie, tak, tak

 Na zbiorze $D=[-1,1]\times [0,2]$
 funkcja $f:D\to \mathbb{ℝ}$ dana jest wzorem
 $f(x,y)=\sqrt{1-x^2}.$
 Całka $\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy$
 jest równa
 (a) $4$
 (b) $2\pi$
 (c) $\pi$

 nie, nie, tak

 $P$ jest punktem w ${\mathbb{ℝ}}^3$ o
 współrzędnych $(3,-4,4).$
 Całka
 $\underset{P}{\iiint }(x^2+y^2+z^2)dxdydz$
 wynosi
 (a) $9$
 (b) $0$
 (c) $41$

 nie, tak, nie

 $D$ jest kołem w ${\mathbb{ℝ}}^2$ o promieniu $1$ o środku w $(0,0).$
 Całka
 $\underset{D}{\iint }\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy$ jest równa
 (a) $\frac{2}{3}\pi$
 
 (b) $\frac{4}{3}\pi$
 
 (c) $\frac{2}{3}{\pi }^2$

 tak, nie, nie

 Brzegiem kwadratu $D=[0,1]\times [0,1]$ w ${\mathbb{ℝ}}^2$ jest
 (a) zbiór punktów $\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$
 (b) zbiór odcinków $\{\{0\}\times [0,1],\{1\}\times [0,1],[0,1]\times \{0\},[0,1]\times \{1\}\}$
 (c) zbiór pusty

 nie, tak, nie

 Brzegiem okręgu $\{(x,y):x^2+y^2=1\}$ w ${\mathbb{ℝ}}^2$ jest
 (a) zbiór pusty
 (b) ten okrąg
 (c) punkt $(0,-1)$

 nie, tak, nie

1111111111111111111111111111111111111111111111111111

Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych. Test

 W całce
 $\underset{0}{\overset{2}{\int }}dx\underset{0}{\overset{\sqrt{x^2-2x}}{\int }}f(x,y)dydx$
 całkujemy po zbiorze danym we współrzędnych biegunowych jako
 (a) $\alpha \in [0,\frac{\pi }{2}],0\le r\le \cos \alpha$
 
 (b) $\alpha \in [0,\frac{\pi }{2}],0\le r\le 2\cos \alpha$
 
 (c) $\alpha \in [0,\pi ],0\le r\le 2\sin \alpha$

 nie, tak, nie

 Całka
 $\underset{0}{\overset{1}{\int }}dy\underset{0}{\overset{\sqrt{1-y^2}}{\int }}dx\underset{0}{\overset{xy}{\int }}f(x,y,z)dz$
 jest równa całce
 (a) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}dx\underset{0}{\overset{\sqrt{1-x^2}}{\int }}dy\underset{xy}{\overset{0}{\int }}(-f(x,y,z))dz$
 
 (b)  $\underset{1}{\overset{0}{\int }}dx\underset{\sqrt{1-x^2}}{\overset{0}{\int }}dy\underset{0}{\overset{xy}{\int }}f(x,y,z)dz$
 
 (c) $\underset{1}{\overset{0}{\int }}dy\underset{\sqrt{1-y^2}}{\overset{0}{\int }}dx\underset{xy}{\overset{0}{\int }}(-f(x,y,z))dz$

 tak, tak, tak

 Całka $\underset{K}{\iint }2dxdy,$ gdzie
 $K=\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2:x^2+y^2\le 4\}$ wynosi
 (a) $8\pi$
 (b)  $4\pi$
 (c) $16\pi$

 tak, nie, nie

Całka $\underset{D}{\iint }(x^2+y^2)dxdy,$ gdzie
 $D=\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2:x^2+y^2\le 4\}$ wynosi
 (a) $\frac{3}{4}\pi$
 
 (b) $8\pi$
 
 (c) $\frac{4}{3}\pi$

 nie, tak, nie

 Całka $\underset{W}{\iint }dxdydz,$ gdzie
 $W=\{(x,y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^3:z^2+y^2\le 4,0\le x\le H\}$
 (gdzie $H$
 jest dane i większe od zera) jest równa
 (a) $4\pi H^2$
 (b)  $\pi H^2$
 (c) $2\pi H^2$

 tak, nie, nie

 We współrzędnych biegunowych zbiór
 $D\subset {\mathbb{ℝ}}^2$ jest zadany jako

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \bigg\{(r,\alpha):\ 2<r\leq 4, \ \alpha\in\bigg[\frac{\pi}{4}, \frac{3}{4}\pi\bigg]\bigg\}. }

 We współrzędnych
 kartezjańskich zbiór $D$ można zapisać jako
 (a) $\{(x,y):\sqrt{2}<\sqrt{x^2+y^2}\le 2,|x|\le y\}$
 (b) $\{(x,y):\sqrt{2}<\sqrt{x^2+y^2}\le 2,|y|\le x\}$
 (c) $\{(x,y):2<x^2+y^2\le 4,|x|\le y\}$

 tak, nie, tak

 Całka po kuli o promieniu $R$ z funkcji
 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ jest równa
 (a) $\frac{4}{3}\pi R^4$
 (b) $\frac{4}{5}\pi R^5$
 (c) $\frac{2}{5}\pi R^5$

 nie, tak, nie

 Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle K=\underbrace{[-1,1]\times\ldots\times [-1,1]}_{ \displaystyle n}
 razy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle  },}

 to całka Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\idotsint”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\idotsint\limits_Kdx_1\ldots dx_n}
 wynosi
 (a) $1$
 (b)  $n$
 (c) $2^n$

 nie, nie, tak

 Powierzchnia $D$ ograniczona jest
 prostymi $y=0,y=\sqrt{3}x,y=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}.$ Na $D$
 określona jest gęstość $\rho (x,y)\equiv 1.$ Środek ciężkości powierzchni $D$
 leży w punkcie:
 (a)  $(1,\frac{2\sqrt{3}}{3})$
 (b)  $(1,\frac{\sqrt{3}}{3})$
 (c)  $(1,\frac{\sqrt{3}}{2})$

 nie, tak, nie

1212121212121212121212121212121212121212121212121212121212

Całki krzywoliniowe. Twierdzenie Greena. Test

 Krzywa zadana przez parametryzację
 $\gamma (t)=(t^3,t^3),t\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ jest
 (a) łukiem gładkim
 (b)  krzywą zwyczajną
 (c)  krzywą mającą punkty podwójne

 nie, tak, nie

 Krzywa zadana przez parametryzację
 $x={\sin }^{3}t,y={\cos }^{3}t,t\in [0,\pi ]$ jest
 (a) krzywą regularną
 (b) krzywą zamkniętą
 (c) krzywą zwyczajną

 tak, nie, tak

 Mamy trzy parametryzacje odcinka w
 ${\mathbb{ℝ}}^2$ łączącego punkt $(-1,-1)$ z punktem $(0,0)$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \gamma_I(t)=(t,t),\ t\in[-1,0]\ \ \gamma_{II}(t)=(-t,-t),\ t\in[0,1]\ \ \gamma_{III}(t)=(-1-t,-1-t),\ t\in[-1,0]. }

 (a) Parametryzacje ${\gamma }_I$ i ${\gamma }_{II}$ zadają przeciwne orientacje
 (b) Parametryzacje ${\gamma }_{III}$ i ${\gamma }_{II}$ zadają tę samą orientację
 (c) Parametryzacje ${\gamma }_{III}$ i ${\gamma }_I$ zadają tę samą
              orientację

 tak, tak, nie

 Pole wektorowe na ${\mathbb{ℝ}}^2$ dane jako $F(x,y)=(x^2+ay,y^2+x)$
 jest polem potencjalnym dla 
 (a) $a=-1$ 
 (b) $a=1$ 
 (c) $a=0$

 nie, tak, nie

 Całka $\underset{K}{\int }xdx+ydy$ po odcinku
 $[0,1]\times \{0\}$ w ${\mathbb{ℝ}}^2$ jest równa
 (a) $\frac{1}{2}$
 (b) $0$
 (c) $1$

 tak, nie, nie

 Całka $\underset{K}{\int }xdx-ydy$ po brzegu
 trójkąta o wierzchołkach
 $(0,0),(1,0),(0,1)$  jest równa
 (a) $\frac{1}{2}$
 (b) $0$
 (c) $1$

 nie, tak, nie

 Całka
 $\underset{K}{\int }(-y{\cos }^{2}x)dx+(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin 2x)dy$
 po brzegu koła jednostkowego
 o środku w $(0,0)$ wynosi
 (a) $0$
 (b) $\pi$
 (c) $2\pi$

 nie, tak, nie

 Całka $\underset{K}{\int }{y}^{2}dx+2xydy$ po krzywej
 zadanej przez parametryzację $\gamma (t)=(t,t^2),t\in [0,1]$
 jest
 (a) równa zero
 (b) równa $\underset{0}{\overset{1}{\int }}3s^{2}ds$
 (c) równa $\underset{0}{\overset{1}{\int }}5s^{4}ds$

 nie, tak, tak

 Zbiór Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\    2<x^2+y^2<4\}}
 
 (a) jest spójny
 (b) jest jednospójny
 (c) jest ograniczony

 tak, nie, tak

1414141414141414141414141414141414141414141414141414

Równania różniczkowe zwyczajne -- przegląd metod rozwiązywania. Test

 Równanie
 $\dot{x}-\sqrt{x}t=0$ jest równaniem
 (a) o zmiennych rozdzielonych
 (b) Bernoullego
 (c) liniowym

 tak, tak, nie

 Równanie $(\dot{x}{)}^2+x=t$
 jest równaniem różniczkowym
 (a) rzędu pierwszego
 (b) rzędu drugiego
 (c) liniowym niejednorodnym

 tak, nie, nie

 Funkcja $x(t)=\cos t$
 jest rozwiązaniem równania różniczkowego
 (a) $\ddot{x}+x=0$
 (b) $\dot{x}+x=\sqrt{2}\sin (\frac{\pi }{4}-t)$
 (c) $(\dot{x}{)}^2+x^2=1$

 tak, tak, tak

 Zadanie 4. Równanie charakterystyczne
 dla równania $x^{(4)}+2x=-t$
 (a) ma pierwiastek podwójny równy $-1$
 (b) ma cztery pierwiastki zespolone o częściach rzeczywistych równych $0$
 (c) ma cztery pierwiastki zespolone o niezerowych częściach
 rzeczywistych

 nie, nie, tak

 Rozwiązaniem ogólnym
 równania $\dot{x}-x=\cos t$
 (a) jest $x(t)=C{e}^{-t}-\cos t,$ gdzie $C$ jest stałą dowolną
 (b) jest $x(t)=C{e}^t,$ gdzie $C$ jest stałą dowolną
 (c) jest $x(t)=C{e}^t-0.5\cos t,$ gdzie $C$ jest stałą

dowolną

 nie, nie, nie

 Rozwiązaniem równania
 $\sqrt{1-t^2}\dot{x}+\sqrt{1+x^2}=0$
 jest funkcja $x(t)$ zadana
 równaniem
 (a) $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}x-\arcsin t=0$
 (b) $\ln |x+\sqrt{1+x^2}|=\arcsin t$
 (c) $\ln |x+\sqrt{1+x^2}|=\ln \left|\frac{1+t}{1-t}\right|$

 tak, tak, nie

 Dane jest równanie
 różniczkowe $x^{(n)}+a_1{x}^{(n-1)}+\dots +a_{n-1}x=t^4$ mające $n$
 różnych pierwiastków równania charakterystycznego. Rozwiązania
 szczególnego (metodą przewidywań)
 szukamy w postaci
 (a) $x(t)=a_1{t}^4+a_2{t}^3+a_3{t}^2+a_{4}t+a_5$
 (b) $x(t)=e^t(a_1{t}^4+a_2{t}^3+a_3{t}^2+a_{4}t+a_5)$
 (c) $x(t)=a_1{t}^5+a_2{t}^4+a_3{t}^3+a_4{t}^2+a_{5}t$

 nie, nie, tak

W rozwiązaniu ogólnym równania $\dot{x}-x=0$
bierzemy stałą $C$ tak, by rozwiązanie równania przechodziło
przez punkt $(\ln 2,1).$ Ta stała jest równa

(a) $-2$

 (b) $2$
 (c) $\frac{1}{2}$

nie tak nie

 Weźmy rozwiązanie ogólne równania
 $\ddot{x}+x=1$ ze stałymi dowolnymi $C_1$ i $C_2.$
 Jeśli to rozwiązanie oraz jego pochodna przechodzą
 przez punkt $(\frac{\pi }{2},\pi ),$ to stałe
 $C_1$ i $C_2$ należą do zbioru
 (a) $\{\pi ,1\}$
 (b) $\{-\pi ,\pi -1\}$
 (c) $\{1-\pi ,\frac{\pi }{2}\}$

nie tak nie