Test GR3

--- przykładowo jak zrobić pierwsze pytanie z pierwszego modułu ---

Dowolna kategoria składa się ze zbioru obiektów i zbioru morfizmów, które spełniają odpowiednie aksjomaty dotyczące złożenia, identyczności, dziedzin i kodziedzin morfizmów.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Poniższe zdania twierdzące mogą być albo prawdziwe (oznaczone jako "+"), albo fałszywe (oznaczane "-"). Zbiór wszystkich pytań podzielono na 15 części, odpowiadających kolejnym modułom.

Pyt.1

-

Dowolna kategoria składa się ze zbioru obiektów i zbioru morfizmów, które

spełniają odpowiednie aksjomaty dotyczące złożenia, identyczności, dziedzin i kodziedzin morfizmów.

+

Dowolna kategoria może być interpretowana jako pewnien specjalny graf

skierowany.

+

Dowolna kategoria może być interpretowana jako pewna

algebra.

+

Kategoria może być jednocześnie mała i lokalnie mała.

-

Kategoria może być jednocześnie mała i duża.

+

Kategoria może być jednocześnie lokalnie mała i duża.

-

Kategoria $\mathbf{𝐂}$, w której dla każdego obiektu $A\in {\mathbf{𝐂}}_0$ istnieje dokładnie jeden morfizm typu $A\to A$

nazywamy konkretną.

+

Kategoria $\mathbf{𝐂}$, w której dla każdego obiektu $A\in {\mathbf{𝐂}}_0$ istnieje dokładnie jeden morfizm typu $A\to A$

nazywamy dyskretną.

-

Kategoria $\mathbf{𝐂}$, w której dla każdego obiektu $A\in {\mathbf{𝐂}}_0$ istnieje dokładnie jeden morfizm typu $A\to A$

nazywamy monoidem.

-

Kategoria $\mathbf{𝐂}$, w której dla każdego obiektu $A\in {\mathbf{𝐂}}_0$ istnieje dokładnie jeden morfizm typu $A\to A$

nazywamy posetem.

-

Nie istnieje kategoria, w której jest $5$ obiektów i $6$

morfizmów.

+

Nie istnieje kategoria, w której jest $6$ obiektów i $5$

morfizmów.

-

Nie istnieje kategoria, w której wszystkie obiekty są

izomorficzne.

-

Nie istnieje kategoria, w której wszystkie morfizmy mają tę samą kodziedzinę.

+

Kategoria $\mathbf{𝐑}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐥}$ jest lokalnie mała i duża.

-

Liczby naturalne $(\mathbb{\mathbb{N}},\le )$ są kategorią

dyskretną.

-

Kategoria $\mathbf{𝐂}\mathbf{𝐚}\mathbf{𝐭}$ jest lokalnie mała.

+

Kategorie dyskretne są lokalnie małe.

+

Kategorie konkretne są lokalnie małe.

+

Grupa $(G,\circ ,e)$ to kategoria z jednym obiektem.

-

$\mathbf{𝐆}\mathbf{𝐫}\mathbf{𝐩}$ to kategoria, w której wszystkie obiekty

są izomorficzne.

+

Dowolne dwa izomorficzne obiekty w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ są równoliczne.

+

Preporządek jest z definicji taką kategorią, w której między

dowolnymi dwoma obiektami istnieje co najwyżej jeden morfizm.

+

Preporządek jest kategorią lokalnie małą.

-

Preporządek to taka kategoria, w której nie istnieją dwa różne

obiekty izomorficzne.

+

Preporządek jest częściowym porządkiem wtedy i tylko wtedy, gdy każde

dwa obiekty izomorficzne są sobie równe.

+

Rachunek lambda jako kategoria jest lokalnie mała.

-

$\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ jest obiektem $\mathbf{𝐂}\mathbf{𝐚}\mathbf{𝐭}$.

+

W każdej kategorii niepustej istnieją izomorfizmy.

Pyt.2

+

Monomorfizmem w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ jest każda funkcja injektywna.

-

Monomorfizmem w $\mathbf{𝐌}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐧}$ jest każda funkcja injektywna.

+

Monomorfizmem w posecie $(P,\le )$ jest każda ze strzałek.

+

Monomorfizmem w dowolnej kategorii $\mathbf{𝐂}$ jest każdy epimorfizm w

${\mathbf{𝐂}}^{op}$.

+

W kategoriach dyskretnych monomorfizmy są izomorfizmami.

+

W kategoriach dyskretnych monomorfizmy są epimorfizmami.

+

Istnieją kategrie konkretne, w których każdy epimorfizm

jest surjekcją.

-

Istnieją kategrie konkretne, w których żaden epimorfizm

nie jest surjekcją.

+

Istnieją kategorie konkretne, w których pewne epimorfizmy

nie są surjekcjami.

+

Epimorfizm to pojęcie dualne do monomorfizmu.

+

Izomorfizm to pojęcie samodualne (tj. dualne do samego

siebie).

-

Monomorfizm to pojęcie samodualne.

+

W $\mathbf{𝐓}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐩}$ epimorfizmami są ciągłe surjekcje.

-

W kategorii przestrzeni topologicznych Hausdorffa i

funkcji ciągłych epimorfizmy to dokładnie ciągłe surjekcje.

+

W preporządku sekcje są izomorfizmami.

+

W preporządku pojęcia: sekcji, izomorfizmu, retrakcji,

monomorfizmu, epimorfizmu pokrywają się.

+

Funktory wierne zachowują sekcje.

+

Retrakcje w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ to dokładnie epimorfizmy.

-

Jeśli funktor nie jest wierny, to nie musi zachowywać

retrakcji.

-

Każda sekcja jest monomorfizmem i epimorfizmem.

+

Każda sekcja jest monomorfizmem.

+

W kategorii dyskretnej każda sekcja jest epimorfizmem.

-

Każdy wierny funktor odzwierciedla sekcje i retrakcje.

+

W $\mathbf{𝐂}\mathbf{𝐚}\mathbf{𝐭}$ istnieją epimorfizmy, które nie są

surjekcjami.

+

W $\mathbf{𝐂}\mathbf{𝐚}\mathbf{𝐭}$ istnieją epimorfizmy, które nie są

retrakcjami.

-

Każdy funktor zachowuje monomorfizmy.

-

Każdy funktor pełny zachowuje izomorfizmy.

+

Homfunktory kowariantne zachowują i odzwierciedlają monomorfizmy.

-

Mono retrakcja jest identycznością.

+

Mono retrakcja jest izomorfizmem.

-

Retrakt dziedziny ciągłej jest algebraiczny.

+

Retrakt dziedziny algebraicznej jest algebraiczny.

+

W parze e-p zanurzenie $e$ jest injekcją.

-

W parze e-p projekcja jest injekcją.

+

W $\mathbf{𝐑}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐥}$ obiektem początkowym jest relacja

pusta.

+

W $\mathbf{𝐆}\mathbf{𝐫}\mathbf{𝐩}$ obiektem początkowym jest każdy obiekt

końcowy

+

W $\mathbf{𝐏}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐬}$ nie istnieje obiekt, który jest

jednocześnie początkowy i końcowy.

+

Każde dwa obiekty początkowe w dowolnej kategorii są

izomorficzne.

-

$\mathbf{𝐂}\mathbf{𝐚}\mathbf{𝐭}$ nie ma obiektu początkowego.

-

Każda kategoria dyskretna jest obiektem końcowym w

$\mathbf{𝐂}\mathbf{𝐚}\mathbf{𝐭}$.

+

Istnieją małe kategorie, w których nie ma obiektów

początkowych, ani końcowych.

+

Jeśli w danej kategorii pewien obiekt początkowy i pewien obiekt końcowy

są izomorficzne, to kategoria ta posiada tylko jeden morfizm.

+

Funkcja następnik $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{c}:\mathbb{\mathbb{N}}\to \mathbb{\mathbb{N}}$ jest uogólnionym elementem $\mathbb{\mathbb{N}}$.

+

Każdy element jest uogólnonym elementem, ale nie

odwrotnie.

+

W odcinku $((0,1),\le )$ (jako kategorii) istnieje kontinuum elementów.

+

W odcinku $([0,1],\le )$ istnieje kontinuum elementów.

-

W odcinku $((0,1),\le )$ istnieje kontinuum elementów

uogólnionych.

+

Każdy element, którego kodziedziną jest obiekt końcowy

jest identycznością.

+

Każdy element, którego kodziedziną jest obiekt początkowy

jest identycznością obiektu początkowego.

+

Każdy element jest monomorfizmem.

+

Każdy element jest sekcją.

-

Każdy element jest retrakcją.

-

Każdy element jest izomorfizmem.

-

Złożenie elementów jest elementem.

Pyt.3

+

Aksjomaty kategorii są samodualne.

-

Pojęcie retrakcji jest samodualne.

-

Pojęcie obiektu końcowego jest samodualne.

+

Pojęcie izomorfizmu jest samodualne.

-

Niech $\mathbf{𝐂}$ będzie kategorią z produktami. Niech

$A,B,C,D\in {\mathbf{𝐂}}_0$ i $f,g\in {\mathbf{𝐂}}_1$. Jeśli $A\times B\cong C\times D$, to $A\cong C$ i $B\cong D$.

-

Niech $\mathbf{𝐂}$ będzie kategorią z produktami. Niech

$A,B,C,D\in {\mathbf{𝐂}}_0$ i $f,g\in {\mathbf{𝐂}}_1$. Jeśli $A\times B\cong B\times A$, to $A\cong B$.

+

Niech $\mathbf{𝐂}$ będzie kategorią z produktami. Niech

$A,B,C,D\in {\mathbf{𝐂}}_0$ i $f,g\in {\mathbf{𝐂}}_1$. Jeśli $A\times \mathbf{𝟏}\cong \mathbf{𝟏}$, to $A\cong \mathbf{𝟏}$.

+

Jeśli $f,g$ są sekcjami, to $f\times g$ też.

+

Jeśli $f,g$ są retrakcjami, to $f\times g$ też.

+

Jeśli $f,g$ są izomorfizmami, to $f\times g$ też.

-

Jeśli $f,g$ są monomorfizmami, to $f\times g$ też.

+

Lambda rachunek jest kategorią z produktami.

+

Każdy zbiór jest koproduktem pewnych dwóch innych zbiorów

w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$.

+

W posecie $(P,\le )$ każdy produkt $a\times b$ dla $a,b\in P$

(o ile istnieje) jest ekwalizatorem wtedy i tylko wtedy, gdy $a=b$.

-

Każdy ekwalizator jest epimorfizmem.

-

W kategorii z pulbakami zawsze istnieją obiekty początkowe.

+

W kategorii z pulbakami i obiektem końcowym zawsze istnieją ekwalizatory.

-

Każda sekcja jest ekwalizatorem.

+

Pulbak epimorfizmu jest epimorfizmem.

+

Pulbak izomorfizmu jest izomorfizmem.

+

Każda kategoria z koproduktami i koekwalizatorami posiada

pushouty.

-

Każda kategoria z obiektem początkowym i koekwalizatorami

posiada obiekt końcowy.

Pyt.4

+

Zbiory skończone i funkcje tworzą kategorię kartezjańsko

zamkniętą.

-

Przestrzenie topologiczne i funkcje ciągłe tworzą

kategorię kartezjańsko zamkniętą.

+

Lambda rachunek (z dodanym elementem końcowym) jest kategorią kartezjańsko zamkniętą.

-

Algebry Boole'a jako kategorie są kozupełne.

+

Algebry Boole'a są dystrybutywne.

+

Algebry Heytinga jako kategorie są kartezjańsko zamknięte.

-

Grupy abelowe i homomorfizmy grup są kartezjańsko

zamknięte.

-

Kategorie dyskretne są kartezjańsko zamknięte.

+

Algebra Heytinga jest algebrą Boole'a wtedy i tylko

wtedy, gdy każdy element posiada element przeciwny.

-

Kategoria dziedzin ciągłych i funkcji ciągłych w sensie

Scotta jest kartezjańsko zamknięta.

+

Dla dowolnej topologii krata zbiorów otwartych jest

algebrą Heytinga.

-

Dla dowolnej topologii krata zbiorów otwartych jest

algebrą Boole'a.

+

Zbiory otwarte, regularne w dowolnej topologii tworzą

algebrę Boole'a.

-

Każda algebra Boole'a jest izomorficzna ze zbiorem

podzbiorów pewnego zbioru.

+

Monomorfizmy o wspólnej kodziedzinie uporządkujmy

relacją "faktoryzacji", tj. $f\le g$ wtw, gdy istnieje $h$ tak, że $g\circ h=f$. Zdefiniujmy relację równoważności $R$ między monomorfizmami o wspólnej kodziedzinie jako: $f\equiv g$ wtw, gdy $f\le g$ i $g\le f$. Uporządkujmy zbiór klas abstrakcji tej relacji jako: $[f]⊑[g]$ wtw, gdy $f\le g$. Czy ten częściowy porządek jest algebrą Heytinga?

+

Kategoria funkcji między zbiorami ${\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}}^{\to }$ jest kartezjańsko zamknięta.

-

Kategoria porządków liniowych i funkcji monotonicznych

jest kartezjańsko zamknięta.

-

W kategorii kartezjańsko zamkniętej $\mathbf{𝐂}$ funktor podnoszenia do potęgi $[A,-]$ zachowuje

koprodukty (tutaj $A\in {\mathbf{𝐂}}_0$).

+

W kategorii kartezjańsko zamkniętej $\mathbf{𝐂}$ funktor podnoszenia do potęgi $[A,-]$ zachowuje

obiekt końcowy (tutaj $A\in {\mathbf{𝐂}}_0$).

Pyt.5

+

Funktory tego samego typu wraz z ich transformacjami

naturalnymi tworzą kategorię.

+

$\mathbf{𝐓}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐩}$ jest konkretna.

+

$\mathbf{𝐑}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐥}$ jest konkretna.

+

Funktor $\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}:\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}\to \mathbf{𝐌}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐧}$

zachowuje koprodukty.

-

Funktor $\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}:\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}\to \mathbf{𝐌}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐧}$

zachowuje obiekt końcowy.

+

Funktor $\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}:\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}\to \mathbf{𝐌}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐧}$ zachowuje obiekt początkowy.

-

Funktor zapominania $\mathbf{𝐓}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐩}\to \mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ jest

pełny.

-

Kontrawariantny funktor potęgowy jest pełny.

+

Każda rama jest algebrą Heytinga.

+

Operacja przypisująca danej przestrzeni topologicznej jej

zbiory otwarte może być rozszerzona do funktora kontrawariantnego.

-

Kontrawariantny funktor potęgowy jest zawsze wierny.

+

Transformacja naturalna dwóch funktorów, której komponentami są

izomorfizmy jest izomorfizmem w pewnej kategorii funktorów.

+

Istnieją dwa funktory, których złożenie jest

transformacją identycznościową w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$, ale które nie są izomorficzne.

-

Operacja, która przestrzeni wektorowej $V$ przypisuje

jej przestrzeń podwójnie dualną $V^{**}$ jest naturalnym izomorfizmem.

+

Operacja, która przestrzeni wektorowej $V$ przypisuje

jej przestrzeń podwójnie dualną $V^{**}$ jest naturalnym izomorfizmem, o ile $V$ jest skończenie wymiarowa.

+

Kowariantny homfunktor zachowuje produkty dowolnej mocy.

-

Dla dowolonych zbiorów $X,Y$ istnieje następująca

bijekcja:
${𝒫}(X\times Y)\cong {𝒫}(X)\times {𝒫}(Y)$.

-

Operacja $F:\mathbf{𝐂}\times \mathbf{𝐃}\to \mathbf{𝐄}$ jest bifunktorem wtedy i tylko wtedy, gdy dla

dowolnych obiektów $C\in {\mathbf{𝐂}}_0$, $D\in {\mathbf{𝐃}}_0$ operacje $F(C,-):\mathbf{𝐃}\to \mathbf{𝐄}$ oraz $F(-,D):\mathbf{𝐂}\to \mathbf{𝐄}$ są funktorami.

-

Inkluzja $\mathbf{𝐆}\mathbf{𝐫}\mathbf{𝐩}\to \mathbf{𝐂}\mathbf{𝐚}\mathbf{𝐭}$ zachowuje

eksponenty.

Pyt.6

-

Każde dwie równoważne kategorie są izomorficzne.

+

Każde dwie izomorficzne kategorie są równoważne.

-

Każde dwie dualne kategorie są izomorficzne.

-

Funktor jest równoważnością wtedy i tylko wtedy, gdy jest

pełny i wierny.

+

Jeśli preporządek jest równoważny porządkowi, to jest

porządkiem.

+

Istnieją dwa preporządki równoważne, które nie są

izomorficzne.

+

Kategoria zbiorów i funkcji jest dualna do kategorii

zupełnych algebr Boole'a i homomorfizmów.

-

Kategoria zbiorów skończonych i funkcji jest dualna do kategorii

algebr Boole'a.

-

Każda atomowa algebra Boole'a jest izomorficzna ze zbiorem

podzbiorów pewnego zbioru.

-

Każda zupełna algebra Boole'a jest izomorficzna ze

zbiorem podzbiorów pewnego zbioru.

+

Jeśli algebra Boole'a jest izomorficzna ze zbiorem

podzbiorów pewnego zbioru, to jest zupełna.

-

Każda zupełna algebra Boole'a jest atomowa.

+

Każda skończona algebra Boole'a jest zupełna.

-

Każda atomowa algebra Boole'a jest skończona.

+

Każda skończona algebra Boole'a jest atomowa.

+

Każda rama jest kratą dystrybutywną.

+

Jeśli $L$ jest kratą dystrybutywną, to $L^{op}$ też.

+

W dowolnej kracie $L$ dopełnienie filtra pierwszego jest

ideałem.

+

Każdy ultrafiltr w algebrze Boole'a jest pierwszy.

-

Każdy filtr pierwszy w kracie dystrybutywnej jest

ultrafiltrem.

+

Filtr otoczeń otwartych dowolnego punktu w przestrzeni

topologicznej jest filtrem właściwym.

+

Filtr otoczeń otwartych dowolnego punktu w przestrzeni

topologicznej jest filtrem zupełnie pierwszym.

+

Filtr otoczeń otwartych dowolnego punktu w przestrzeni

topologicznej jest filtrem pierwszym.

-

W dowolnej kracie $L$, jeśli $F$ jest filtrem, zaś $I$

ideałem, oraz $F\cap I=\mathrm{\varnothing }$, wtedy istnieje filtr pierwszy $F^{\prime }$ taki, że $F^{\prime }\supseteq F$ i $F^{\prime }\cap I=\mathrm{\varnothing }$.

+

W kratach dystrybutywnych ultrafiltry są pierwsze.

-

W kratach dystrybutywnych filtry pierwsze są maksymalne.

+

Każda przestrzeń realna jest $T_0$.

-

Każda przestrzeń $T_0$ jest realna.

-

Każda przestrzeń $T_1$ jest realna.

-

Przestrzenie realne są przestrzeniami Hausdorffa.

+

Dziedziny ciągłe w topologii Scotta są realne.

+

W porządku specjalizacji przestrzeni realnej istnieją

suprema wszystkich zbiorów skierowanych.

-

Funktor $\mathrm{\Omega }:\mathbf{𝐓}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐩}\to {\mathbf{𝐅}\mathbf{𝐫}\mathbf{𝐦}}^{op}$

jest prawym sprzężeniem do funktora $\mathrm{p}\mathrm{t}:{\mathbf{𝐅}\mathbf{𝐫}\mathbf{𝐦}}^{op}\to \mathbf{𝐓}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐩}$.

+

Dla dowolnej topologii $X$ przestrzeń

$\mathrm{p}\mathrm{t}(\mathrm{\Omega }(X))$ jest przestrzenią $T_0$.

+

Dla dowolnej topologii realnej $X$ przestrzeń

$\mathrm{p}\mathrm{t}(\mathrm{\Omega }(X))$ jest homeomorficzna z $X$.

-

Dla dowolnej topologii $X$ przestrzeń

$\mathrm{p}\mathrm{t}(\mathrm{\Omega }(X))$ jest przestrzenią Hausdorffa.

+

Jeśli krata $L$ jest przestrzenną ramą, to topologia

$\mathrm{p}\mathrm{t}(L)$ jest realna.

Pyt.7

+

Dla dowolnej kategorii $\mathbf{𝐂}$ kategoria

$[{\mathbf{𝐂}}^{op},\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}]$ jest kartezjańsko zamknięta, zupełna i kozupełna.

+

Funktor Yonedy zachowuje izomorfizmy.

+

Funktor Yonedy odzwierciedla retrakcje.

+

Funktor Yonedy jest reprezentowalny.

-

Każde dwa funktory reprezentowalne są izomorficzne.

+

Kontrawariantny funktor potęgowy jest reprezentowalny.

-

Para $(\mathbb{\mathbb{N}},+),0)$ jest reprezentacją funktora

zapominania $U:\mathbf{𝐌}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐧}\to \mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$.

+

Każde dwie reprezentacje funktora $F:{\mathbf{𝐂}}^{op}$ (gdzie $\mathbf{𝐂}$ jest dowolną lokalnie małą

kategorią) są izomorficzne.

-

Każdy funktor typu ${\mathbf{𝐂}}^{op}\to \mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ dla

lokalnie małej kategorii $\mathbf{𝐂}$ jest reprezentowalny.

+

Jeśli ${𝒴}(A)(X)\cong {𝒴}(A)(Y)$, to

$X\cong Y$ dla dowolnych obiektów $X,Y$ lokalnie małej kategorii $\mathbf{𝐂}$.

+

Jeśli ${𝒴}(X)(A)\cong {𝒴}(Y)(A)$, to

$X\cong Y$ dla dowolnych obiektów $X,Y$ lokalnie małej kategorii $\mathbf{𝐂}$.

Pyt.8

+

Obiekt końcowy jest stożkiem nad pustym diagramem.

+

Obiekt końcowy jest granicą pustego diagramu.

-

Obiekt początkowy jest granicą pustego diagramu.

+

Dowolny diagram w kategorii zupełniej $\mathbf{𝐂}$

posiada granicę.

+

Istnieje kategoria kozupełna $\mathbf{𝐂}$, w której nie ma

obiektu końcowego.

+

Produkt jest granicą diagramu nad kategorią dyskretną

(tzn. produkt w $\mathbf{𝐂}$ jest granicą funktora $\mathbf{𝐉}\to \mathbf{𝐂}$, gdzie $\mathbf{𝐉}$ jest kategorią dyskretną.

+

Istnieje kategoria, w której koprodukt w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ jest

produktem.

-

Ekwalizator jest granicą diagramu, którego dziedziną jest

kategoria, w której są dokładnie $2$ strzałki.

+

Ekwalizator jest granicą diagramu, którego dziedziną jest

kategoria, w której są dokładnie $4$ strzałki.

+

Ekwalizator jest granicą diagramu, którego dziedziną jest

kategoria, w której są dokładnie $2$ strzałki równoległe.

-

Jeśli w danej kategorii istnieją wszystkie pulbaki i co

najmniej jeden obiekt końcowy, to w tej kategorii istnieją wszystkie granice.

+

Jeśli w danej kategorii istnieją wszystkie pulbaki i co

najmniej jeden obiekt końcowy, to w tej kategorii istnieją wszystkie granice skończone.

+

Jeśli w posecie $(P,\le )$ istnieją wszystkie granice, to

poset dualny $(P,\ge )$ jest kratą zupełną.

-

Jeśli w posecie $(P,\le )$ istnieją wszystkie granice, to

poset dualny $(P,\ge )$ jest algebrą Heytinga.

+

Każda mała kozupełna kategoria jest preporządkiem.

+

Każda mała zupełna kategoria jest preporządkiem.

-

Każda lokalnie mała kozupełna kategoria jest preporządkiem.

-

Każda lokalnie mała zupełna kategoria jest preporządkiem.

-

Kategoria zbiorów skończonych i funkcji jest zupełna.

+

Kategoria $\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$ jest zupełna.

+

Jeśli kategoria $\mathbf{𝐂}$ posiada pulbaki i obiekt

końcowy, to posiada też produkty.

-

Jeśli kategoria $\mathbf{𝐂}$ posiada pulbaki i obiekt

końcowy, to posiada też koprodukty.

+

Funktor Yonedy jest ciągły.

-

Funktor Yonedy zachowuje dowolne kogranice.

Pyt.9

+

Funktor podnoszenia do potęgi $[X,-]:\mathbf{𝐂}\to \mathbf{𝐂}$, $X\in {\mathbf{𝐂}}_0$ w kartezjańsko

zamkniętej kategorii $\mathbf{𝐂}$ jest prawym sprzężeniem.

+

Istnieją funktory posiadające zarówno lewe, jak i prawe

sprzężenia.

-

Funktor, który posiada lewe sprzężenie nie może posiadać

prawego sprzężenia.

-

Funktory zapominania zawsze posiadają lewe sprzężenie.

-

Funktory wolne są prawym sprzężeniem do funktorów

zapominania.

+

Funktor $\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}:\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}\to \mathbf{𝐌}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐧}$

jest funktorem wolnym.

-

Nie istnieje lewe sprzężenie funktora zapominania

$\mathbf{𝐓}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐩}\to \mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$.

-

Operacja przeciwobrazu funkcji jest lewym sprzężeniem operacji

obrazu funkcji.

+

Koprodukt jest lewym sprzężeniem lewego sprzężenia

produktu.

-

Każdy funktor będący lewym sprzężeniem jest wierny.

-

Operacja brania wnętrza zbioru w przestrzeni

topologicznej $X$ jest lewym sprzężeniem inkluzji zbiorów otwartych w podzbiory $X$.

Pyt.10

+

Jeśli funktor jest równoważnością kategorii, to posiada

lewe i prawe sprzężenie.

+

Jeśli każdy komponent kojedności sprzężenia jest

retrakcją, to prawe sprzężenie jest funktorem wiernym.

-

Jeśli każdy komponent kojedności sprzężenia jest

epimorfizmem, to prawe sprzężenie jest funktorem pełnym.

+

Jeśli prawe sprzężenie jest funktorem pełnym i wiernym, to

kojedność sprzężenia jest izomorfizmem.

-

Jeśli prawe sprzężenie jest funktorem pełnym i wiernym, to

jedność sprzężenia jest izomorfizmem.

+

Prawe sprzężenia zachowują granice, zaś lewe - kogranice.

-

Lewe sprzężenia zachowują granice, zaś prawe - kogranice.

+

Istnieją prawe sprzężenia, które zachowują kogranice oraz

lewe sprzężenia, które zachowują granice.

-

Jeśli funktor zachowuje granice, to ma lewe sprzężenie.

+

Jeśli funktor między posetami zachowuje granice, to ma

lewe sprzężenie.

+

Każda funkcja monotoniczna między kratami zupełnymi, posiadająca lewe

sprzężenie, zachowuje dowolne infima.

+

Prawe sprzężenie między posetami jest surjekcją wtedy i

tylko wtedy, gdy jego lewe sprzężenie jest injekcją.

-

Prawe sprzężenie między posetami jest injekcją wtedy i

tylko wtedy, gdy jego lewe sprzężenie jest surjekcją.

+

Każde dwa prawe sprzężenia danego funktora są

izomorficzne.

+

Każdy homomorfizm krat zupełnych posiada lewe i prawe

sprzężenie.

-

Każdy homomorfizm ram posiada lewe i prawe sprzężenie.

-

Każdy homomorfizm algebr Boole'a posiada lewe i prawe

sprzężenie.

+

Każdy homomorfizm zupełnych algebr Boole'a posiada prawe

i lewe sprzężenie.

-

W parze e-p między posetami, projekcja jest lewym

sprzężeniem zanurzenia.

+

W parze e-p między posetami, zanurzenie zachowuje dowolne

suprema.

+

W parze e-p między posetami, zanurzenie i projekcja

wzajemnie się wyznaczają.

Pyt.11

+

Każde sprzężenie $F⊣G$ indukuje monadę

$(GF,\eta ,G{\eta }_F)$.

+

Każde sprzężenie $F⊣G$ indukuje komonadę

$(FG,\epsilon ,F{\eta }_G)$.

-

Dowolna monada jest monadą indukowaną przez dokładnie

jedno sprzężenie.

+

Dowolna monada jest monadą indukowaną przez sprzężenie.

+

Każda monada na preporządku jest operacją idempotentną.

-

Funktor zapominania $\mathbf{𝐌}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐧}\to \mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ jest

częścią sprzężenia, którego algebry monady indukowanej tworzą kategorię równoważną z $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$.

+

Funktor zapominania $\mathbf{𝐌}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐧}\to \mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ jest

częścią sprzężenia, którego algebry monady indukowanej tworzą kategorię równoważną z $\mathbf{𝐌}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐧}$.

+

Zwarte przestrzenie Hausdorffa i funkcje ciągłę tworzą kategorię algebraiczną.

-

Zupełne algebry Boole'a i homomorfizmy tych algebr tworzą

kategorię algebraiczną.

+

Kategoria grup jest równoważna kategorii algebr dla

pewnej monady.

+

Suma mnogościowa $\bigcup$ jest mnożeniem pewnej monady.

+

Operacja dodawania nowego elementu najmniejszego do

częściowego porządku indukuje monadę nad $\mathbf{𝐏}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐬}$.

Pyt.12

-

Każda dziedzina ciągła posiada bazę przeliczalną.

-

Każdy element bazy dziedziny ciągłej jest zwarty.

+

Każda baza posetu algebraicznego zawiera wszystkie

elementy zwarte.

+

Każdy poset skończony jest algebraiczny.

+

Każdy poset skończony jest dcpo.

+

Każda krata skończona jest dcpo.

-

Relacja aproksymacji na dowolnym posecie jest

interpolatywna.

+

Relacja aproksymacji na dowolnej dziedzinie Scotta jest

interpolatywna.

-

Liczby naturalne są dcpo.

+

Liczby naturalne są posetem algebraicznym i bc-zupełnym.

+

Każda rama jest dcpo.

-

Każda krata dystrybutywna jest dcpo.

+

Istnieje poset nieskończony, którego każdy element, który

nie jest maksymalny, jest zwarty.

-

Zbiory domknięte w sensie Scotta na dowolnym posecie są domknięte ze względu

na dowolne suprema.

+

Zbiory domknięte w sensie Scotta na dowolnym posecie skończonym są domknięte ze względu

na dowolne suprema.

+

Stożki górne w posecie $P$ (tj. zbiory typu $\uparrow x$ dla $x\in P$) są zwarte w topologii Scotta.

+

Każdy stożek dolny $\downarrow x$ w dziedzinie ciągłej $P$ wraz z

porządkiem z $P$ obciętym do $\downarrow x$ jest dziedziną ciągłą.

+

Topologia Scotta na dowolnym porządku jest $T_0$.

+

Istnieją częściowe porządki dowolnej mocy, dla których

topologia Scotta jest $T_1$.

+

Topologia Scotta na porządku jest $T_1$ wtedy i tylko

wtedy, gdy częściowy porządek redukuje się do równości.

+

Topologia Scotta na posecie posiadającym element

najmniejszy jest zwarta.

+

Topologia Scotta na dowolnej dziedzinie ciągłej jest

realna.

-

Topologia Scotta na dowolnym dcpo jest realna.

+

Funkcja ciągła w sensie Scotta jest monotoniczna.

-

Każda funkcja ciągła w sensie Scotta na dowolnym posecie posiada punkt stały.

-

Każda funkcja ciągła w sensie Scotta na posecie

posiadającym element najmniejszy posiada punkt stały.

+

Każda funkcja ciągła w sensie Scotta na dcpo

posiadającym element najmniejszy posiada najmniejszy punkt stały.

+

Każda funkcja monotoniczna na dcpo

posiadającym element najmniejszy posiada punkt stały.

+

Porządek specjalizacji topologii Scotta na dziedzinie

ciągłej pokrywa się z porządkiem tejże dziedziny.

+

Funkcje ciągłe w sensie Scotta zachowują suprema zbiorów

skierowanych.

Pyt.13

-

LISP jest językiem imperatywnym.

+

FORTRAN jest językiem imperatywnym.

+

$\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$ jest kategorią zupełną i kartezjańsko

zamkniętą.

-

Kategoria dziedzin ciągłych i funkcji ciągłych w sensie

Scotta jest zupełna.

-

Kategoria dziedzin ciągłych i funkcji ciągłych w sensie

Scotta jest kartezjańsko zamknięta.

-

Kategoria dziedzin algebraicznych i funkcji ciągłych w sensie

Scotta jest kartezjańsko zamknięta.

-

Jeśli $D$ jest dziedziną ciągłą i $E$ jest dziedziną

bc-zupełną, to $[D,E]$ jest dziedziną bc-zupełną.

+

Jeśli $D$ jest dziedziną ciągłą i $E$ jest dziedziną

bc-zupełną, to $[D,E]$ jest dcpo.

+

Operator $\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{x}:[P,P]\to P$ przypisujący

funkcji ciągłej w sensie Scotta na dcpo posiadającym element najmniejszy jej punkt stały jest ciągły w sensie Scotta.

+

Operator $\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{x}:[P,P]\to P$ przypisujący

funkcji ciągłej w sensie Scotta na dowolnej kracie zupełnej jej punkt stały jest ciągły w sensie Scotta.

+

Pętle $\mathtt{w}\mathtt{h}\mathtt{i}\mathtt{l}\mathtt{e}$ w semantyce denotacyjnej

modelujemy używając operatora punktu stałego.

Pyt.14

+

${\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}}_{\mathrm{\perp }}^{EP}$ jest $\omega$-kategorią.

+

$\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$ jest $\omega$-kategorią.

+

$\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ jest $\omega$-kategorią.

-

Funktor między kategoriami dziedzin jest ciągły, jeśli

jest funkcją ciągłą w sensie Scotta.

-

W $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ równanie $D\cong [D,D]$ dla $D\in {\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}}_0$ nie ma żadnego

rozwiązania.

+

W $\mathrm{D}\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{o}$ istnieje nieskończenie wiele rozwiązań

równania $D\cong [D,D]$.

-

Istnienie kategorii, w której rekursywne równania typu $D\cong [D,D]$

mają rozwiązania, jest wykorzystywane w semantyce operacyjnej nietypowanego rachunku lambda.

+

Istnienie kategorii, w której rekursywne równania typu $D\cong [D,D]$

mają rozwiązania, jest wykorzystywane w semantyce denotacyjnej nietypowanego rachunku lambda.

+

Przekątna $\mathrm{\Delta }:\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}\to \mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}\times \mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$ jest funktorem

ciągłym i lokalnie ciągłym.

+

$\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$ jest kategorią zupełną i kozupełną.

-

Każdy endomorfizm w $\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$ posiada najmniejszy

punkt stały.

-

Dowolny endofunktor na $\omega$-kategorii posiada punkt

stały.

+

Każdy ciągłe endofunktor na $\omega$-kategorii posiada

punkt stały.

-

W $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ istnieją nietrywialne rozwiązania

rówania $X\cong X+X$.

-

Liczby naturalne $\omega$ są rozwiązaniem równania

$X\cong \mathbf{𝟏}\oplus X$ w kategorii $\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$.

-

Liczby naturalne $\omega$ są rozwiązaniem równania

$X\cong X_{\mathrm{\perp }}$ w katetgorii $\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$.

-

Leniwe liczby naturalne są rozwiązaniem równania $X\cong X\oplus X$ w kategorii $\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$.

+

Podzbiory liczb naturanych ${𝒫}\omega$

uporządkowane względem inkluzji spełniają rówanie ${𝒫}\omega \cong [{𝒫}\omega ,{𝒫}\omega ]$ w kategorii $\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$.

+

Model zbioru Cantora ${\mathrm{\Sigma }}^{\mathrm{\infty }}$ jest rozwiązaniem

pewnego rekursywnego równania w kategorii $\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$.

Pyt.15

-

Koalgebrą funktora $T:\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}\to \mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$

jest każda para $(X,a:TX\to X)$.

+

Algebry początkowe endofunktorów w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ są

jedyne z dokładnością do izomrfizmu.

+

Istnieje kategoria, w której para

$(\mathbb{\mathbb{N}},[0,s]:\mathbf{𝟏}+\mathbb{\mathbb{N}}\to \mathbb{\mathbb{N}})$ jest obiektem końcowym.

+

Nieskończone listy nad alfabetem $A$ są koalgebrą końcową

pewnego endofunktora na $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$.

-

Nieskończone listy nad alfabetem $A$ są koalgebrą

początkową pewnego endofunktora na $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$.

-

Każda bisymulacja jest bipodobieństwem, ale nie

odwrotnie.

-

Dwie nieskończone listy będące w relacji bisymulacji

muszą być sobie równe.

+

Dwie bipodobne nieskończone listy są sobie równe.

-

Istnieje bipodobieństwo, które nie jest bisymulacją.

+

Koindukcja jest metodą dowodzenia własności list

nieskończonych.

-

Metoda dowodzenia przez koindukcję opiera się na

własności uniwersalnej algebr początkowych endofunktorów w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$.

-

Relacja odwrotna do bisymulacji jest bipodobieństwem.

-

$T$-koalgebry dla ustalonego funktora $T:\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}\to \mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ wraz z homomorfizmami

tworzą kategorię małą.

-

Graf homomorfizmu dwóch dowolnych koalgebr jest

bipodobieństwem.

+

Graf homomorfizmu dwóch dowolnych koalgebr jest

bisymulacją.

+

Istnieją endofunktory w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$, dla których

kategoria algebr nie posiada obiektu początkowego.

-

Dla każdego endofunktora $T$ w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ kategoria

$T$-koalgebr posiada obiekt końcowy.

+

Zasada indukcji matematycznej na liczabch naturalnych

jest równoważna faktowi, że liczby naturalne wraz z elementem zero i funkcją następnika tworzą algebrę początkową endofunktora $\mathbf{𝟏}+(-)$ w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$.

+

Każda $T$-algebra początkowa jest izomorfizmem.

+

Każda $T$-koalgebra końcowa jest izomorfizmem.