Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 8: Ekstrema funkcji wielu zmiennych: Różnice pomiędzy wersjami
Nie podano opisu zmian |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 499: | Linia 499: | ||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
pierwszego funkcji <math>\displaystyle f</math> zależy tylko od tej zmiennej, względem | a) Każda z pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego funkcji <math>\displaystyle f</math> zależy tylko od tej zmiennej, względem | ||
której jest liczona. Z warunku koniecznego istnienia ekstremum | której jest liczona. Z warunku koniecznego istnienia ekstremum otrzymujemy układ trzech niezależnych równań <math>\displaystyle 4x^3-4x=0</math>, <math>\displaystyle -3y^2+12y=0</math> i <math>\displaystyle 6z^2-6z=0</math>. Punkty krytyczne zatem to <math>\displaystyle (0,0,0),\displaystyle (0,0,1),\displaystyle (1,0,0),\displaystyle (1,0,1),\displaystyle (-1,0,0),\displaystyle (-1,0,1),\displaystyle (0, | ||
otrzymujemy układ trzech niezależnych równań <math>\displaystyle 4x^3-4x=0</math>, | |||
<math>\displaystyle -3y^2+12y=0</math> i <math>\displaystyle 6z^2-6z=0</math>. Punkty krytyczne zatem to <math>\displaystyle (0,0,0),\displaystyle (0,0,1),\displaystyle (1,0,0),\displaystyle (1,0,1),\displaystyle (-1,0,0),\displaystyle (-1,0,1),\displaystyle (0, | |||
4,0),\displaystyle (0,4,1),\displaystyle (1,4,0),\displaystyle (1,4,1)</math>, <math>\displaystyle (-1,4,1)</math>, <math>\displaystyle (-1,4,1)</math>. | 4,0),\displaystyle (0,4,1),\displaystyle (1,4,0),\displaystyle (1,4,1)</math>, <math>\displaystyle (-1,4,1)</math>, <math>\displaystyle (-1,4,1)</math>. | ||
Macierz drugiej różniczki <math>\displaystyle d_{(x,y,z)}^2f</math> ma postać | Macierz drugiej różniczki <math>\displaystyle d_{(x,y,z)}^2f</math> ma postać | ||
Linia 512: | Linia 510: | ||
Wobec tego w punkcie <math>\displaystyle (0,0,0)</math> macierzą tą jest <math>\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}-4&0&0\\0&12&0\\ | Wobec tego w punkcie <math>\displaystyle (0,0,0)</math> macierzą tą jest <math>\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}-4&0&0\\0&12&0\\ | ||
0&0&-6\end{array} \right]</math>, w <math>\displaystyle (0,0,1)</math> | 0&0&-6\end{array} \right]</math>, w <math>\displaystyle (0,0,1)</math> - <math>\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}-4&0&0\\0&12&0\\ | ||
0&0&6\end{array} \right]</math>, w <math>\displaystyle (\pm1,0,0)</math> | 0&0&6\end{array} \right]</math>, w <math>\displaystyle (\pm1,0,0)</math> - <math>\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}8&0&0\\0&12&0\\ | ||
0&0&-6\end{array} \right]</math>, w <math>\displaystyle (0,4,0)</math> | 0&0&-6\end{array} \right]</math>, w <math>\displaystyle (0,4,0)</math> - <math>\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}-4&0&0\\0&-12&0\\ | ||
0&0&-6\end{array} \right]</math>, w <math>\displaystyle (0,4,1)</math> | 0&0&-6\end{array} \right]</math>, w <math>\displaystyle (0,4,1)</math> - <math>\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}-4&0&0\\0&-12&0\\ | ||
0&0&6\end{array} \right]</math>, w <math>\displaystyle (\pm 1,4,0)</math> | 0&0&6\end{array} \right]</math>, w <math>\displaystyle (\pm 1,4,0)</math> - <math>\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}8&0&0\\0&-12&0\\ | ||
0&0&-6\end{array} \right]</math>, wreszcie w <math>\displaystyle (\pm 1,4,1)</math> | 0&0&-6\end{array} \right]</math>, wreszcie w <math>\displaystyle (\pm 1,4,1)</math> - <math>\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}8&0&0\\0&-12&0\\ | ||
0&0&6\end{array} \right]</math>. | 0&0&6\end{array} \right]</math>. | ||
Stąd widać na mocy kryterium Sylvestera, że funkcja <math>\displaystyle f</math> ma minima | Stąd widać na mocy kryterium Sylvestera, że funkcja <math>\displaystyle f</math> ma minima | ||
Linia 540: | Linia 538: | ||
-2&0&4\end{array} \right]. | -2&0&4\end{array} \right]. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Ponieważ | |||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
{\rm det}\left[\begin{array} {ccc}-3&1&-2\\1&2&0\\ | {\rm det}\left[\begin{array} {ccc}-3&1&-2\\1&2&0\\ |
Wersja z 14:37, 11 wrz 2006
Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Ćwiczenia
Ćwiczenie 8.1.
a) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji w punkcie .
b) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji w punkcie .
c) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji w punkcie .
d) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję w punkcie .
Ćwiczenie 8.2.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b)
c) .Ćwiczenie 8.3.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b) ,
c) ,
d) .
Ćwiczenie 8.4.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b)
w zbiorze .
Ćwiczenie 8.5.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b) ,
c) .
Czy otrzymane ekstrema są też globalne?
Ćwiczenie 8.6.
a) Pokazać, że funkcja ma nieskończenie wiele minimów, natomiast nie ma żadnego maksimum.
b) Pokazać, że funkcja nie ma minimum w punkcie , ale jej zacieśnienie do dowolnej prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych ma silne minimum w tym punkcie.
Ćwiczenie 8.7.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b) ,
c) .
Ćwiczenie 8.8.
a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
b) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
w zbiorze
.Ćwiczenie 8.9.
(Zadanie Huygensa) Pomiędzy liczby dodatnie i () wstawić liczby dodatnie tak, aby ułamek
miał największą wartość.