PS Moduł 7

Metody cyfrowego przetwarzania sygnałów (CPS) coraz bardziej wypierają tradycyjne metody analogowe. Zamianę sygnału analogowego na sygnał binarny reprezentowany słowami binarnymi o ustalonej długości słowa dokonuje przetwornik analogowo-cyfrowy A/C. Sygnał cyfrowy z jego wyjścia jest następnie przetwarzany przez filtr cyfrowy, który przekształca go w inny sygnał cyfrowy o pożądanej postaci. Sygnał cyfrowy z wyjścia filtru cyfrowego jest z kolei przekształcany na sygnał analogowy przez przetwornik cyfrowo-analogowy C/A. Filtr cyfrowy może być realizowany sprzętowo lub programowo. W przetworniku A/C realizowane są trzy podstawowe operacje: próbkowanie sygnału analogowego (konwersja na sygnał dyskretny), kwantowanie sygnału spróbkowanego (konwersja sygnału dyskretnego na sygnał cyfrowy), kodowanie sygnału skwantowanego (konwersja na sygnał binarny).

---

W wyniku operacji próbkowania sygnał analogowy zostaje zamieniony na sygnał dyskretny w czasie. Operacja próbkowania stanowi „pomost” między dziedziną sygnałów analogowych a dziedziną sygnałów dyskretnych. Sygnał spróbkowany jest w ogólnym przypadku nadal ciągły w amplitudzie. Dyskretną strukturę sygnału w amplitudzie uzyskujemy po jego skwantowaniu. Operacja kwantowania jest operacją nieliniową. W jej wyniku zakres zmian sygnału $[-X_m,X_m]$ (zakładamy, że jest on symetryczny) jest dzielony na $M$ przedziałów kwantyzacji z reguły o jednakowej szerokości $q$, nazywanej kwantem lub krokiem kwantyzacji. Każda próbka $x(n{T}_s)$ jest przybliżana – według pewnej reguły $Q(\cdot )$ – jedną z $M$ skwantowanych wartości $\tilde{x}(n{T}_s)$ odpowiadających poszczególnym przedziałom kwantyzacji. Liczbę $M$ wybiera się z reguły równą potędze 2. Operacja kodowania przyporządkowuje skwantowanym próbkom $\tilde{x}(n{T}_s)$ binarne słowa kodowe, zwykle o stałej długości $b=lo{g}_{2}M$.

---

W ogólnym przypadku odpowiedź na postawione pytanie jest negatywna. W przypadku sygnałów o ograniczonym paśmie możliwe jest jednoznaczne odtworzenie sygnału na podstawie próbek, jeśli próbki te są pobierane dostatecznie często. Sygnałami o ograniczonym paśmie mogą być zarówno sygnały o ograniczonej energii, jak i o ograniczonej mocy. Twierdzenie o próbkowaniu nosi nazwę twierdzenia Kotielnikowa-Shannona. Biorąc pod uwagę, że $f_s=1/T_s$ oraz ${\omega }_m=2\pi f_m$ , warunek Nyquista można zapisać w najczęściej cytowanej postaci $f_s>2f_m$. Oznacza on, że aby możliwe było jednoznaczne odtworzenie sygnału na podstawie próbek, próbki te muszą być pobierane z częstotliwością co najmniej dwa razy większą od maksymalnej częstotliwości widma sygnału.

---

Stosując symbole specjalne, dowód twierdzenia o próbkowaniu można przeprowadzić w stosunkowo prosty sposób. Zauważmy, że jeśli widmo $X(\omega )$ sygnału $x(t)$ o paśmie ograniczonym pulsacją ${\omega }_m$ (rys. b) powielimy okresowo z okresem $2{\omega }_m$ (rys. f), a następnie powielone kopie odfiltrujemy za pomocą idealnego filtru dolnoprzepustowego o pulsacji granicznej ${\omega }_g={\omega }_m$ , to otrzymamy ponownie widmo pierwotne $X(\omega )$. Operacje powielenia okresowego widma i filtracji dolnoprzepustowej są zatem względem siebie odwrotne, co opisuje wzór (7.1). Obliczając teraz odwrotne transformaty Fouriera obu stron równości (7.1) i uwzględniając przy tym kolejno: twierdzenie o splocie w dziedzinie czasu, twierdzenie o splocie w dziedzinie częstotliwości oraz właściwości splotu dystrybucji Diraca, otrzymamy równość (7.2). Równość (7.2) jest szeregiem Kotielnikowa-Shannona, którego współczynnikami są próbki sygnału. Ich znajomość wystarcza zatem do obliczenia wartości sygnału $x(t)$ w dowolnej chwili $t$.

---

Twierdzenie o próbkowaniu pozostaje słuszne dla częstotliwości próbkowania $f_s\ge 2f_m$. Przypadek ten ilustruje rysunek. Zmniejszenie okresu ciągu próbkujących impulsów Diraca (rys. c) pociąga za sobą zwiększenie okresu odpowiadającego mu ciągu widmowych dystrybucji Diraca (rys. d). Oznacza to, że powielone okresowo kopie widma sygnału będą teraz od siebie odseparowane pewnymi pasmami pustymi (rys. f). Jak widać, stosując filtr dolnopasmowy (rys. h), można odzyskać niezniekształcone widmo $X(\omega )$ , a tym samym niezniekształcony sygnał $x(t)$. Wymagania na filtr dolnoprzepustowy są w tym przypadku tym łagodniejsze, im odstępy między powielonymi kopiami widma są większe.

---

W przypadku, $f_s<2f_m$ , tj. gdy częstotliwość próbkowania jest mniejsza od częstotliwości Nyquista, powielone okresowo widma nakładają się na siebie (rys. f) i nie jest możliwe odtworzenie niezniekształconego widma sygnału $x(t)$. Błąd aliasingu jest tym większy, im mniejsza jest częstotliwość próbkowania.

---

Jak wynika z szeregu Kotielnikowa-Shannona znajomość próbek sygnału wystarcza do odtworzenia dokładnych wartości sygnału $x(t)$ w chwilach między chwilami próbkowania. Wartości te można odtworzyć numerycznie posługując się tablicą funkcji $Sa$. Z uwagi na nieskończoną sumę szeregu Kotielnikowa-Shannona można je obliczyć jedynie z pewnym przybliżeniem. Najczęściej stosowaną w praktyce metodą odtworzenia sygnału z próbek (implementowaną w przetwornikach C/A) jest metoda schodkowa. Polega ona na utworzeniu odcinkami stałego sygnału analogowego $\tilde{x}(t)$ przybliżającego odtwarzany sygnał $x(t)$ . Aby przybliżenie to było dostatecznie dokładne, częstotliwość próbkowania powinna być dużo większa od częstotliwości Nyquista (powinien być stosowany tzw. oversampling).

---

Sygnał analogowy $\tilde{x}(t)$ tworzony w metodzie schodkowej jest sumą impulsów prostokątnych o czasie trwania równym okresowi próbkowania $T_s$ i amplitudach równych wartościom $x(n{T}_s)$ kolejnych próbek sygnału $x(t)$. Można pokazać, że widmo $\tilde{X}(\omega )$ tak utworzonego sygnału jest w porównaniu z widmem oryginalnym zniekształcone obwiednią typu $Sa$. Zniekształcenia widma mogą być korygowane przez zastosowanie filtru korekcyjnego o charakterystyce filtracji w paśmie sygnału $[-{\omega }_m,{\omega }_m]$ będącej odwrotnością funkcji $Sa$. W dziedzinie czasu filtr ten wygładza schodki sygnału $\tilde{x}(t)$ , dlatego nazywany jest filtrem wygładzającym.

---

---

---

---

---

---

---

---