PS Moduł 6: Różnice pomiędzy wersjami

← poprzednia edycja następna edycja →

WizualnieWikikod

Wersja z 14:54, 5 wrz 2006

W zastosowaniach teorii sygnałów często porównujemy analizowanego sygnału z innym sygnałem, w szczególności ¬z swoją własną przesuniętą w czasie kopią. Podobieństwo sygnałów można charakteryzować za pomocą funkcji korelacyjnych.
Przypomnijmy, że na podstawie iloczynu skalarnego możemy wyznaczyć zarówno odległość dwóch sygnałów, jak i kąt między nimi w danej przestrzeni Hilberta.
Jeśli $x (t) \in L^{2}$ , to także $x_{τ} (t) \in L^{2}$ .
Dla różnych wartości przesunięcia $τ$ całka definicyjna (6.1) przybiera różne wartości. W ten sposób otrzymujemy zależność funkcyjną od zmiennej $τ$ . Dla ustalonego $τ$ wartość funkcji autokorelacji jest polem pod wykresem iloczynu sygnału nieprzesuniętego i przesuniętego.
Definicja (6.1) została podana od razu dla sygnałów zespolonych. Przedrostek „auto” oznacza, że funkcja korelacyjna (6.1) opisuje korelację czasową między danym sygnałem a wersją przesuniętą tego samego sygnału. Podkreślamy to dodając do symbolu Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle "\varphi"\,} funkcji autokorelacji indeks sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle "x"\,} .

Parzystość funkcji autokorelacji w przypadku sygnałów rzeczywistych oznacza, że możemy ją wówczas wyznaczać jedynie dla dodatnich wartości zmiennej $τ$ (opóźnień sygnału).
Wzór (6.2) wynika z podstawienia $τ = 0$ we wzorze definiującym funkcję autokorelacji.
Funkcja autokorelacji przybiera maksymalną co do modułu wartość dla $τ = 0$ .
Brak korelacji czasowej sygnałów oznacza ich ortogonalność.
Funkcja autokorelacji sygnału $x (t) \in L^{2}$ jest $F$ - transformowalna w zwykłym sensie.
Funkcja autokorelacji jest niezmiennicza względem przesunięcia, tj. $φ_{x} (τ) = φ_{x_{t_{0}}} (τ)$ dla dowolnego $t_{0}$ , gdzie $x_{t_{0}} (t) = x (t - t_{0})$ .

Przedstawione na rysunku funkcje autokorelacji można wyznaczyć wprost z definicji. Wszystkie funkcje mają jedyne maksimum w punkcie $τ = 0$ .
Funkcja autokorelacji impulsu prostokątnego jest trójkątna. Sposób jej konstrukcji jest pokazany na rys. e.
Trójkątny kształt funkcji autokorelacji występuje również w przypadku ciągu impulsów prostokątnych i prostokątnego impulsu radiowego.

Słuszność pary transformat (6.3) można wykazać na podstawie twierdzenia Rayleigha dla klasy sygnałów $L^{2}$ i twierdzenia o przesunięciu. Ponieważ $F [x (t - τ)] = X (ω) e^{- j ω τ}$ , zatem:

$\int_{- \infty}^{\infty} x (t) x^{*} (t - τ) d τ = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} X (ω) X^{*} (ω) e^{j ω τ} d ω = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} | X (ω) |^{2} e^{j ω τ} d ω$

Energię sygnału można obliczyć:
- w dziedzinie czasu, jako całkę z kwadratu modułu sygnału,
- w dziedzinie korelacyjnej, jako $φ_{x} (0)$ ,
- w dziedzinie częstotliwości, jako całkę z widma energii podzieloną przez $2 π$ .

Widmo energii jest zawsze funkcją rzeczywistą parzystą i opisuje rozkład energii wzdłuż osi częstotliwości. Energię sygnału zawartą w przedziale pulsacji $[ω_{1}, o m e g a_{2}]$ można wyznaczyć, obliczając całkę

$E_{x} (ω_{1}, ω_{2}) = \frac{1}{π} \int_{ω_{1}}^{ω_{2}} Φ_{x} (ω) d ω$ (por. rys. a).

Funkcja autokorelacji idealnego sygnału dolnopasmowego $x (t) = X_{0} S a ω_{0} t$ ma również kształt funkcji $S a$ . Wynika to z faktu, że zarówno widmo amplitudowe tego sygnału, jak i jego widmo energii są prostokątne.

Związki między sygnałem i jego charakterystykami w dziedzinie częstotliwości i dziedzinie korelacyjnej ilustruje prosty diagram. Strzałki podwójne oznaczają na nim związki wzajemnie jednoznaczne, tj. jednoznaczne przejścia od jednej do drugiej wielkości , natomiast strzałki pojedyncze oznaczają przejście tylko w jedną stronę.
Funkcja autokorelacji sygnału stanowi jedynie częściowy opis sygnału. Znając te funkcję możemy odtworzyć widmo amplitudowe sygnału, tracimy jednak informację o widmie fazowym.
Podana definicja efektywnego czasu korelacji ma sens dla przypadku sygnałów, których funkcja autokorelacji maleje monotonicznie. Dla sygnałów o funkcji autokorelacji dążącej do zera oscylacyjnie można wprowadzić inne miary czasu korelacji.
Zasada nieoznaczoności pozostaje w mocy bez względu na sposób definiowania efektywnego czasu korelacji i efektywnej szerokości widma.

Funkcje korelacji wzajemnej są określone dla dwóch różnych sygnałów (np. dla sygnału na wejściu i na wyjściu pewnego układu). Tak jak w przypadku funkcji autokorelacji, funkcje korelacji wzajemnej można traktować jako miary wzajemnego położenia sygnałów w odpowiedniej przestrzeni Hilberta dla różnych wartości przesunięcia jednego sygnału względem drugiego.
Pojęcie energii wzajemnej ma interesującą interpretację fizyczną. Jeśli $x (t)$ i $y (t)$ są sygnałami napięcia i odpowiednio prądu na zaciskach dwójnika elektrycznego, to wielkość $φ_{x y} = E_{x y}$ jest energią pobraną przez ten dwójnik.
Dla ustalonego $τ$ wartość funkcji korelacji wzajemnej jest polem pod wykresem iloczynu sygnałów (por. rys. c i d).
W przeciwieństwie do funkcji autokorelacji, funkcje korelacji wzajemnej sygnałów rzeczywistych nie muszą być parzyste (por. rys. e).

Dla sygnałów rzeczywistych związek (6.4) przybiera postać $φ_{x y} (τ) = φ_{y x} (- τ)$ , co oznacza, że taką samą wartość iloczynu skalarnego otrzymujemy przy przesunięciu sygnału $y (t)$ w kierunku opóźnienia o czas $τ$ , co przy przesunięciu sygnału $x (t)$ o ten sam czas w kierunku przyspieszenia.
Funkcje korelacji wzajemnej sygnałów o ograniczonej energii są $F$ -transformowalne w zwykłym sensie.
Funkcje korelacji wzajemnej i widma energii wzajemnej tworzą pary transformat Fouriera.

Dla sygnałów o ograniczonej mocy funkcje korelacyjne definiujemy jako wielkości graniczne (dla odróżnienia oznaczamy je literą psi) .
Właściwości funkcji autokorelacji sygnałów o ograniczonej mocy są podobne jak w przypadku sygnałów o ograniczonej energii.
Wartość funkcji autokorelacji $ψ_{x} (τ)$ sygnału o ograniczonej mocy w punkcie $τ = 0$ jest rzeczywista i równa jego mocy.
Funkcja autokorelacji $ψ_{x} (τ)$ przybiera maksymalną co do modułu wartość dla $τ = 0$ .
Brak korelacji czasowej sygnałów oznacza ich ortogonalność.
Funkcja autokorelacji sygnału o ograniczonej mocy jest $F$ -transformowalna w sensie granicznym.
Funkcja autokorelacji $ψ_{x} (τ)$ jest niezmiennicza względem przesunięcia, tj. $ψ_{x} (τ) = ψ_{x_{t_{0}}} (τ)$ dla dowolnego $t_{0}$ .

@@ Linia 40: / Linia 40: @@
 |valign="top"|
 *Słuszność pary transformat (6.3)  można wykazać na podstawie  twierdzenia Rayleigha dla klasy sygnałów <math>L^2\,</math> i twierdzenia o przesunięciu. Ponieważ <math>F\, [x(t-\tau)]=X(\omega)e^{-j\omega \tau}</math> , zatem:
 <math>\int_{-\infty}^{\infty} x(t)x^{*}(t-\tau)\, d\tau=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(\omega)X^{*}(\omega)e^{j\omega \tau}\, d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} |X(\omega)|^2e^{j\omega \tau}\, d\omega</math>
 *Energię sygnału można obliczyć:
@@ Linia 57: / Linia 55: @@
 |valign="top"|
 *Widmo energii jest zawsze funkcją rzeczywistą parzystą i opisuje rozkład energii wzdłuż osi częstotliwości. Energię sygnału zawartą w przedziale pulsacji <math>[\omega_1, omega_2]\,</math> można wyznaczyć, obliczając całkę
 <math>E_x(\omega_1, \omega_2)=\frac{1}{\pi}\int_{\omega_1}^{\omega_2} \Phi_x(\omega)\, d\omega</math> (por. rys. a).
@@ Linia 81: / Linia 78: @@
 |width="500px" valign="top"|[[Grafika:PS_M6_Slajd7.png]]
 |valign="top"|
+*''Funkcje korelacji wzajemnej'' są określone dla dwóch różnych sygnałów (np. dla sygnału na wejściu i na wyjściu pewnego układu). Tak jak w przypadku funkcji autokorelacji, funkcje korelacji wzajemnej można traktować jako miary wzajemnego położenia  sygnałów w odpowiedniej przestrzeni Hilberta dla różnych wartości przesunięcia jednego sygnału względem drugiego.
+*Pojęcie energii wzajemnej ma interesującą interpretację fizyczną. Jeśli <math>x(t)\,</math> i <math>y(t)\,</math> są sygnałami napięcia i odpowiednio prądu na zaciskach dwójnika elektrycznego, to wielkość <math>\varphi_{xy}=E_{xy}</math> jest energią pobraną przez ten dwójnik.
+*Dla ustalonego <math>\tau\,</math> wartość funkcji korelacji wzajemnej jest polem pod wykresem iloczynu sygnałów (por. rys. c i d).
+*W przeciwieństwie do funkcji autokorelacji, funkcje korelacji wzajemnej sygnałów rzeczywistych nie muszą być parzyste (por. rys. e).
 |}
@@ Linia 88: / Linia 89: @@
 |width="500px" valign="top"|[[Grafika:PS_M6_Slajd8.png]]
 |valign="top"|
+*Dla sygnałów rzeczywistych związek (6.4) przybiera postać <math>\varphi_{xy}(\tau)=\varphi_{yx}(-\tau)</math> , co oznacza, że taką samą wartość iloczynu skalarnego otrzymujemy przy przesunięciu sygnału <math>y(t)\,</math> w kierunku opóźnienia o czas <math>\tau\,</math> , co przy  przesunięciu sygnału <math>x(t)\,</math> o ten sam czas w kierunku przyspieszenia.
+*Funkcje korelacji wzajemnej sygnałów o ograniczonej energii są <math>F\,</math> -transformowalne w zwykłym sensie.
+*Funkcje korelacji wzajemnej i widma energii wzajemnej tworzą pary transformat Fouriera.
 |}
@@ Linia 95: / Linia 99: @@
 |width="500px" valign="top"|[[Grafika:PS_M6_Slajd9.png]]
 |valign="top"|
+*Dla sygnałów o ograniczonej mocy funkcje korelacyjne definiujemy jako wielkości graniczne (dla odróżnienia oznaczamy je literą  ''psi'') .
+*Właściwości funkcji autokorelacji  sygnałów o ograniczonej mocy są podobne jak w przypadku sygnałów o ograniczonej energii.
+*Wartość funkcji autokorelacji <math>\psi_x(\tau)\,</math>  sygnału o ograniczonej mocy w punkcie <math>\tau=0</math> jest rzeczywista i równa jego mocy.
+*Funkcja autokorelacji <math>\psi_x(\tau)\,</math> przybiera maksymalną co do modułu wartość dla <math>\tau=0</math>.
+*Brak korelacji czasowej sygnałów oznacza ich ortogonalność.
+*Funkcja autokorelacji sygnału o ograniczonej mocy jest <math>F\,</math> -transformowalna w  sensie granicznym.
+*Funkcja autokorelacji <math>\psi_x(\tau)\,</math> jest niezmiennicza względem przesunięcia, tj. <math>\psi_x(\tau)=\psi_{x_{t_0}}(\tau)</math> dla dowolnego <math>t_0\,</math> .
 |}

PS Moduł 6: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 14:54, 5 wrz 2006

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia