PS Moduł 6: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 14:24, 5 wrz 2006

W zastosowaniach teorii sygnałów często porównujemy analizowanego sygnału z innym sygnałem, w szczególności ¬z swoją własną przesuniętą w czasie kopią. Podobieństwo sygnałów można charakteryzować za pomocą funkcji korelacyjnych.
Przypomnijmy, że na podstawie iloczynu skalarnego możemy wyznaczyć zarówno odległość dwóch sygnałów, jak i kąt między nimi w danej przestrzeni Hilberta.
Jeśli $x (t) \in L^{2}$ , to także $x_{τ} (t) \in L^{2}$ .
Dla różnych wartości przesunięcia $τ$ całka definicyjna (6.1) przybiera różne wartości. W ten sposób otrzymujemy zależność funkcyjną od zmiennej $τ$ . Dla ustalonego $τ$ wartość funkcji autokorelacji jest polem pod wykresem iloczynu sygnału nieprzesuniętego i przesuniętego.
Definicja (6.1) została podana od razu dla sygnałów zespolonych. Przedrostek „auto” oznacza, że funkcja korelacyjna (6.1) opisuje korelację czasową między danym sygnałem a wersją przesuniętą tego samego sygnału. Podkreślamy to dodając do symbolu Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle "\varphi"\,} funkcji autokorelacji indeks sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle "x"\,} .

Parzystość funkcji autokorelacji w przypadku sygnałów rzeczywistych oznacza, że możemy ją wówczas wyznaczać jedynie dla dodatnich wartości zmiennej $τ$ (opóźnień sygnału).
Wzór (6.2) wynika z podstawienia $τ = 0$ we wzorze definiującym funkcję autokorelacji.
Funkcja autokorelacji przybiera maksymalną co do modułu wartość dla $τ = 0$ .
Brak korelacji czasowej sygnałów oznacza ich ortogonalność.
Funkcja autokorelacji sygnału $x (t) \in L^{2}$ jest $F$ - transformowalna w zwykłym sensie.
Funkcja autokorelacji jest niezmiennicza względem przesunięcia, tj. $φ_{x} (τ) = φ_{x_{t_{0}}} (τ)$ dla dowolnego $t_{0}$ , gdzie $x_{t_{0}} (t) = x (t - t_{0})$ .

@@ Linia 14: / Linia 14: @@
 |width="500px" valign="top"|[[Grafika:PS_M6_Slajd2.png]]
 |valign="top"|
+*Parzystość funkcji autokorelacji w przypadku sygnałów rzeczywistych oznacza, że możemy ją wówczas wyznaczać jedynie dla dodatnich wartości zmiennej <math>\tau\,</math> (opóźnień sygnału).
+*Wzór (6.2) wynika z podstawienia <math>\tau=0</math> we wzorze definiującym funkcję autokorelacji.
+*Funkcja autokorelacji przybiera maksymalną co do modułu wartość dla <math>\tau=0</math> .
+*Brak korelacji czasowej sygnałów oznacza ich ortogonalność.
+*Funkcja autokorelacji sygnału <math>x(t)\in L^2\,</math> jest <math>F\,</math> - transformowalna w zwykłym sensie.
+*Funkcja autokorelacji jest niezmiennicza względem przesunięcia, tj. <math>\varphi_x(\tau)=\varphi_{x_{t_0}}(\tau)</math> dla dowolnego <math>t_0\,</math> , gdzie <math>x_{t_0}(t)=x(t-t_0)</math>.
 |}