Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 3: Norma. Iloczyn skalarny

Norma. Iloczyn skalarny

Ćwiczenie 3.1.

W przestrzeni wektorowej ${\mathbb{ℝ}}^N$ definiujemy:

$\Vert x{\Vert }_2\stackrel{df}{=}\sqrt{\sum _{i=1}^N{x}_i^2},\Vert x{\Vert }_1\stackrel{df}{=}\sum _{i=1}^N|x_i|,\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\stackrel{df}{=}\underset{1\le i\le N}{\max }|x_i|$ dla $x\in {\mathbb{ℝ}}^N.$

Pokazać, że $\Vert \cdot {\Vert }_2,\Vert \cdot {\Vert }_1$ oraz $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ są normami (nazywamy je odpowiednio normą euklidesową, normą taksówkową oraz normą maksimową).

Wskazówka

(1) Pokazać, że $\Vert \cdot {\Vert }_2$ jest normą wprost z definicji normy. Przy dowodzie subaddytywności wykorzystać nierówność Cauchy'ego (patrz Lemat AM1.Uzupelnic l.new.am1.w.03.080|.
(2)-(3) Pokazać, że $\Vert \cdot {\Vert }_1$ i $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ są normami, korzystając z definicji normy.

Rozwiązanie

(1) Pokażemy, że $\Vert \cdot {\Vert }_2$ jest normą.
Dla $x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_2=0 \ \Longleftrightarrow\ \sqrt{\sum_{i=1}^N x_i^2}=0 \ \Longleftrightarrow\ \sum_{i=1}^N x_i^2=0 \ \Longleftrightarrow\ x_1=\ldots=x_N=0 \ \Longleftrightarrow\ x=\Theta. }

Dla $x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ oraz $\lambda \in \mathbb{ℝ},$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|\lambda x\|_2 \ =\ \sqrt{\sum_{i=1}^N (\lambda x_i)^2} \ =\ \sqrt{\lambda^2\sum_{i=1}^N x_i^2} \ =\ |\lambda|\sqrt{\sum_{i=1}^N x_i^2} \ =\ |\lambda|\|x\|_2 }

zatem pokazaliśmy warunek jednorodności.

W końcu dla dowolnych $x,y\in {\mathbb{ℝ}}^N,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x+y\|_2 \ =\ \sum_{i=1}^N(x_i+y_i)^2 \ =\ \sum_{i=1}^N (x_i^2+2x_iy_i+y_i^2) \ =\ \sum_{i=1}^Nx_i^2+ 2\sum_{i=1}^Nx_iy_i +\sum_{i=1}^Ny_i^2. }

Korzystając z nierówności Cauchy'ego (która była udowodniona na Analizie Matematycznej 1; patrz Lemat AM1.Uzupelnic l.new.am1.w.03.080|)

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x,y\in\mathbb{R}^N:\ \bigg(\displaystyle \sum_{i=1}^N x_iy_i\bigg)^2 \ \le\ \bigg(\displaystyle \sum_{i=1}^N x_i^2\bigg) \bigg(\displaystyle \sum_{i=1}^N y_i^2\bigg) }

mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle \|x+y\|_2^2\ &\le& \sum_{i=1}^Nx_i^2+ 2\bigg(\displaystyle \sum_{i=1}^N x_i^2\bigg) \bigg(\displaystyle \sum_{i=1}^N y_i^2\bigg) +\sum_{i=1}^Ny_i^2\\ &=& \displaystyle \bigg(\sum_{i=1}^Nx_i^2+\sum_{i=1}^Ny_i^2\bigg) \ =\ \big(\|x\|_2+\|y\|_2\big)^2, \end{array}}

zatem pokazaliśmy warunek subaddytywności:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x,y\in\mathbb{R}^N:\ \|x+y\|_2 \ \le\ \|x\|_2+\|y\|_2. }

co kończy dowód.

(2) Pokażemy, że $\Vert \cdot {\Vert }_1$ jest normą.
Dla $x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_1=0 \ \Longleftrightarrow\ \sum_{i=1}^N |x_i|=0 \ \Longleftrightarrow\ x_1=\ldots=x_N=0 \ \Longleftrightarrow\ x=\Theta. }

Dla $x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ oraz $\lambda \in \mathbb{ℝ},$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|\lambda x\|_1 \ =\ \sum_{i=1}^N |\lambda x_i| \ =\ |\lambda|\sum_{i=1}^N |x_i| \ =\ |\lambda|\|x\|_1 }

zatem pokazaliśmy warunek jednorodności.

W końcu dla dowolnych $x,y\in {\mathbb{ℝ}}^N,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle \|x+y\|_1 &=&\displaystyle \sum_{i=1}^N|x_i+y_i| \ \le\ \sum_{i=1}^N\big(|x_i|+|y_i|\big)\\ &=&\displaystyle \sum_{i=1}^N|x_i| +\sum_{i=1}^N|y_i| \ =\ \|x\|_1+\|y\|_1. \end{array}}

zatem pokazaliśmy warunek subaddytywności, co kończy dowód.

(3) Pokażemy, że $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ jest normą.
Dla $x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_{\infty}=0 \ \Longleftrightarrow\ \max_{i=1,\ldots,N} |x_i|=0 \ \Longleftrightarrow\ x_1=\ldots=x_N=0 \ \Longleftrightarrow\ x=\Theta. }

Dla $x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ oraz $\lambda \in \mathbb{ℝ},$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|\lambda x\|_{\infty} \ =\ \max_{i=1,\ldots,N} |\lambda x_i| \ =\ |\lambda|\max_{i=1,\ldots,N} |x_i| \ =\ |\lambda|\|x\|_{\infty} }

zatem pokazaliśmy warunek jednorodności.

W końcu dla dowolnych $x,y\in {\mathbb{ℝ}}^N,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle \|x+y\|_{\infty}& =& \max_{i=1,\ldots,N} |x_i+y_i| \ \le\ \max_{i=1,\ldots,N}\big(|x_i|+|y_i|\big)\\\\ &\le & \displaystyle \max_{i=1,\ldots,N}|x_i| +\max_{i=1,\ldots,N}|y_i| \ =\ \|x\|_{\infty}+\|y\|_{\infty}. \end{array} }

zatem pokazaliśmy warunek subaddytywności, co kończy dowód.

Ćwiczenie 3.2.

Pokazać, że norma euklidesowa zadaje metrykę euklidesową, norma taksówkowa zadaje metrykę taksówkową, a norma maksimowa zadaje metrykę maksimową.

Wskazówka

Wykorzystać jedynie definicje potrzebnych norm i metryk.

Rozwiązanie

Dla dowolnych $x,y\in \mathbb{ℝ}$ zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x-y\|_2 \ =\ \sqrt{\sum_{i=1}^N(x_i-y_i)^2} \ =\ d_2(x,y) }

więc norma euklidesowa $\Vert \cdot {\Vert }_2$ zadaje metrykę euklidesową $d_2.$

Dla dowolnych $x,y\in \mathbb{ℝ}$ zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x-y\|_1 \ =\ \sum_{i=1}^N|x_i-y_i| \ =\ d_1(x,y) }

więc norma taksówkowa $\Vert \cdot {\Vert }_1$ zadaje metrykę taksówkową $d_2.$ Dla dowolnych $x,y\in \mathbb{ℝ}$ zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x-y\|_{\infty} \ =\ \max_{i=1,\ldots,N}|x_i-y_i| \ =\ d_{\infty}(x,y) }

więc norma maksimowa $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ zadaje metrykę maksimową $d_{\mathrm{\infty }}.$

Ćwiczenie 3.3.

Wykazać bezpośrednio równoważność norm $\Vert \cdot {\Vert }_1$ (taksówkowej), $\Vert \cdot {\Vert }_2$ (euklidesowej) i $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ (maksimowej) w ${\mathbb{ℝ}}^N,$ znajdując optymalne stałe $m_i,M_i>0$ ($i=1,2,3$) w następujących nierównościach:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \textbf{(1)} && \forall x\in \mathbb{R}^N:\ m_1\|x\|_{2} \ \le\ \|x\|_{\infty} \ \le\ M_1\|x\|_{2},\\ \textbf{(2)} && \forall x\in \mathbb{R}^N:\ m_2\|x\|_1 \ \le\ \|x\|_{\infty} \ \le\ M_2\|x\|_{1},\\ \textbf{(3)} && \forall x\in \mathbb{R}^N:\ m_3\|x\|_1 \ \le\ \|x\|_2 \ \le\ M_3\|x\|_1. \endaligned}

Wskazówka

(1) Skorzystać jedynie z definicji norm $\Vert \cdot {\Vert }_2$ i $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }},$ dla pokazania nierówności i wyznaczenia stałych. Aby pokazać "optymalność" stałych, wskazać wektor $x_0\in {\mathbb{ℝ}}^N,$ dla którego zachodzą równości.

(2)-(3) Podobnie jak (1).

Rozwiązanie

(1) Dla dowolnego wektora $x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_2^2 \ =\ \sum_{i=1}^N |x_i|^2 \ \le\ \sum_{i=1}^N \max_{k=1,\ldots, N}|x_k|^2 \ =\ N \max_{k=1,\ldots, N}|x_k|^2 \ =\ N\|x\|_{\infty}^2 }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in \mathbb{R}^N:\ \frac{1}{\sqrt{N}}\|x\|_2 \ \le\ \|x\|_{\infty} }

czyli $m_1=\frac{1}{\sqrt{N}}.$ Aby pokazać, że stała $m_1$ jest "optymalna" (to znaczy największa z możliwych) zauważmy, że dla wektora $x_0=(1,1,\dots ,1)$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{1}{\sqrt{N}}\|x_0\|_2 \ =\ \frac{1}{\sqrt{N}}\sqrt{N} \ =\ 1 \ =\ \|x_0\|_{\infty}. }

Z kolei dla dowolnego wektora $x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_{\infty}^2 \ =\ \bigg(\max_{i=1,\ldots, N}|x_i|\bigg)^2 \ =\ \max_{i=1,\ldots, N}|x_i|^2 \ \le\ \sum_{i=1}^N |x_i|^2 \ =\ \|x\|_2^2 }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in \mathbb{R}^N:\ \|x\|_{\infty} \ \le\ \|x\|_2 }

czyli $M_1=1.$ Aby pokazać, że stała $M_1$ jest "optymalna" (to znaczy najmniejsza z możliwych), zauważmy, że dla wektora $x_0=(1,0,\dots ,0)$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x_0\|_{\infty} \ =\ 1 \ =\ \|x_0\|_2. }

(2) Dla dowolnego wektora $x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_1 \ =\ \sum_{i=1}^N |x_i| \ \le\ \sum_{i=1}^N \max_{k=1,\ldots, N}|x_k| \ =\ N \max_{k=1,\ldots, N}|x_k| \ =\ N\|x\|_{\infty} }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in \mathbb{R}^N:\ \frac{1}{N}\|x\|_1 \ \le\ \|x\|_{\infty} }

czyli $m_2=\frac{1}{N}.$ Aby pokazać, że stała $m_2$ jest "optymalna" (to znaczy największa z możliwych) zauważmy, że dla wektora $x_0=(1,1,\dots ,1)$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{1}{N}\|x_0\|_1 \ =\ \frac{1}{N}\cdot N \ =\ 1 \ =\ \|x_0\|_{\infty}. }

Z kolei dla dowolnego wektora $x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_{\infty} \ =\ \max_{i=1,\ldots, N}|x_i| \ \le\ \sum_{i=1}^N |x_i| \ =\ \|x\|_1 }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in \mathbb{R}^N:\ \|x\|_{\infty} \ \le\ \|x\|_1 }

czyli $M_1=1.$ Aby pokazać, że stała $M_1$ jest "optymalna" (to znaczy najmniejsza z możliwych), zauważmy, że dla wektora $x_0=(1,0,\dots ,0)$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x_0\|_{\infty} \ =\ 1 \ =\ \|x_0\|_1. }

(3) Dla dowolnego wektora $x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_1^2 \ =\ \bigg(\sum_{i=1}^N |x_i|\bigg)^2 \ =\ \sum_{i,j=1}^N|x_i||x_j| \ =\ \sum_{i=1}^N|x_i|^2 +2\sum_{i<j}|x_i||x_j|. }

Korzystając teraz z oczywistej nierówności liczbowej

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall a,b\in\mathbb{R}:\ 2ab \ \le\ a^2+b^2, }

mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_1^2 \ \le\ \sum_{i}^N|x_i|^2 +\sum_{i<j}\big(|x_i|^2+|x_j|^2\big). }

Zauważmy, że po prawej stronie powyższej nierówności każdy składnik postaci $|x_i{|}^2$ występuje dokładnie $N$ razy (raz w pierwszej sumie i $N-1$ razy w drugiej sumie). Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_1^2 \ \le\ N \sum_{i=1}^N|x_i|^2 \ =\ N\|x\|_2^2 }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in \mathbb{R}^N:\ \frac{1}{\sqrt{N}}\|x\|_1 \ \le\ \|x\|_2 }

czyli $m_3=\frac{1}{\sqrt{N}}.$ Aby pokazać, że stała $m_3$ jest "optymalna" (to znaczy największa z możliwych) zauważmy, że dla wektora $x_0=(1,1,\dots ,1)$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{1}{\sqrt{N}}\|x_0\|_1 \ =\ \frac{1}{\sqrt{N}}\cdot N \ =\ \sqrt{N} \ =\ \|x_0\|_2. }

Z kolei dla dowolnego wektora $x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_2 \ =\ \sum_{i=1}^N |x_i|^2 \ \le\ \bigg(\sum_{i=1}^N |x_i|\bigg)^2 \ =\ \|x\|_1^2 }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in \mathbb{R}^N:\ \|x\|_2 \ \le\ \|x\|_1 }

czyli $M_3=1.$ Aby pokazać, że stała $M_3$ jest "optymalna" (to znaczy najmniejsza z możliwych), zauważmy, że dla wektora $x_0=(1,0,\dots ,0)$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x_0\|_2 \ =\ 1 \ =\ \|x_0\|_1. }

Ćwiczenie 3.4.

Niech $X$ i $Y$ będą dwiema przestrzeniami wektorowymi. Które z poniższych stwierdzeń są prawdziwe? (Dla każdego podać dowód lub kontrprzykład).
(1) Jeśli zbiory $A,B\subseteq X$ są wypukłe, to zbiór $A\cap B$ jest wypukły.
(2) Jeśli zbiory $A,B\subseteq X$ są wypukłe, to zbiór $A\cup B$ jest wypukły.
(3) Jeśli zbiory $A,B\subseteq X$ są wypukłe, to zbiór $A\setminus B$ jest wypukły.
(4) Jeśli zbiory $A\subseteq X$ i $B\subseteq Y$ są wypukłe, to zbiór $A\times B$ jest wypukły w $X\times Y.$

Wskazówka

(1) Wykorzystać jedynie definicję wypukłości.
(2) Kontrprzykład łatwy do znalezienia.
(3) Kontrprzykład łatwy do znalezienia.
(4) Wykorzystać jedynie definicję wypukłości i iloczynu kartezjańskiego.

Rozwiązanie

(1) Stwierdzenie to jest prawdziwe. Niech $A,B\subseteq X$ będą dowolnymi zbiorami wypukłymi. Aby pokazać, że zbiór $A\cap B$ jest wypukły, wybierzmy dwa dowolne punkty $x,y\in A\cap B$ oraz $\lambda \in (0,1).$ Ponieważ $x,y\in A$ i zbiór $A$ jest wypukły, więc także $\lambda x+(1-\lambda )y\in A.$ Analogicznie, ponieważ $x,y\in B$ i zbiór $B$ jest wypukły, więc także $\lambda x+(1-\lambda )y\in B.$ Zatem $\lambda x+(1-\lambda )y\in A\cap B.$ Dowodzi to wypukłości zbioru $A\cap B.$

(2) Stwierdzenie to nie jest prawdziwe. Dla przykładu niech $X=\mathbb{ℝ},A=[0,2]$ oraz $B=[4,6].$ Zbiory $A$ i $B$ są wypukłe, ale zbiór $A\cup B=[0,2]\cup [4,6]$ nie jest wypukły, gdyż na przykład dla $x=1,y=5$ i $\lambda =\frac{1}{2},$ mamy $x,y\in A\cup B,\lambda \in (0,1),$ ale $\lambda x+(1-\lambda )y=3\in ̸A\cup B.$
{ Rysunek AM2.M03.C.R01 (stary numer AM2.4.9)}

(3) Stwierdzenie to nie jest prawdziwe. Dla przykładu niech $X=\mathbb{ℝ},A=[0,6]$ oraz $B=(2,4).$ Zbiory $A$ i $B$ są wypukłe, ale zbiór $A\cup B=[0,2]\cup [4,6]$ nie jest wypukły (patrz (2)).
{ Rysunek AM2.M03.C.R02 (nowy)}

(4) Stwierdzenie to jest prawdziwe. Niech $A\subseteq X$ i $B\subseteq Y$ będą dowolnymi zbiorami wypukłymi. Aby pokazać, że zbiór $A\times B$ jest wypukły, wybierzmy dwa dowolne punkty $(a_1,b_1),(a_2,b_2)\in A\times B$ oraz $\lambda \in (0,1).$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lambda(a_1,b_1)+(1-\lambda)(a_2,b_2) \ =\ \big(\lambda a_1+(1-\lambda)a_2,\lambda b_1+(1-\lambda)b_2\big). }

Ponieważ zbiory $A$ i $B$ są wypukłe odpowiednio w przestrzeniach $X$ i $Y,$ zatem mamy

$\lambda a_1+(1-\lambda )a_2\in A,\lambda b_1+(1-\lambda )b_2\in B.$

Z definicji iloczynu kartezjańskiego wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big(\lambda a_1+(1-\lambda)a_2,\lambda b_1+(1-\lambda)b_2\big) \ \in\ A\times B. }

Zatem pokazaliśmy, że zbiór $A\times B$ jest wypukły.

Ćwiczenie 3.5.

W przestrzeni wektorowej $C([0,1];\mathbb{ℝ}),$ funkcji ciągłych na przedziale $[0,1]$ definiujemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|f\|_{\infty} \ =\ \sup_{x\in[0,1]}|f(x)| \quad\forall f\in C\big([0,1];\mathbb{R}\big) }

(1) Pokazać, że $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ jest normą w $C([0,1];\mathbb{ℝ}).$ Nazywamy ją normą supremową.
(2) Obliczyć normę supremową dla funkcji: $f_1(x)=\sin (2\pi x)$ oraz $f_2(x)=6x^2-5x+1.$
(3) Udowodnić, że zbieżność w normie supremowej pokrywa się ze zbieżności jednostajną dla funkcji ciągłych na przedziale $[0,1].$

(4) Pokazać, że $C([0,1];\mathbb{ℝ})$ z normą supremową jest przestrzenią Banacha. (Punkt (4) jest nadobowiązkowy. Potrzebne są tu pewne pojęcia z następnego wykładu. Do zadania można wrócić po następnym wykładzie).

Wskazówka

(1) Udowodnić kolejno trzy warunki występujące w definicji normy.
(2) Wyznaczyć największą wartość funkcji $|f_1|$ i $|f_2|$ na przedziale $[0,1].$
(3) Wynika wprost z obu rozważanych definicji.
(4) Wykorzystać punkt (3) i twierdzenie o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.04.060|).

Rozwiązanie

(1) Pokażemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|f\|_{\infty}=0 \ \Longleftrightarrow\ f\equiv 0 }

Implikacja "$⟹$" jest oczywista. W celu udowodnienia implikacji "$⟸$" załóżmy, że $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=0.$ Wówczas $\underset{x\in [0,1]}{\sup }|f(x)|=0.$ To oznacza, że $|f(x)|=0$ dla każdego $x\in [0,1],$ czyli $f(x)=0$ dla każdego $x\in [0,1],$ zatem $f\equiv 0,$ co należało pokazać.

W celu pokazania jednorodności, niech $f\in C([0,1];\mathbb{ℝ})$ oraz $\lambda \in \mathbb{ℝ}.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle \|f\lambda f\|_{\infty} &=& \displaystyle \sup_{x\in [0,1]}|\lambda f(x)| \ =\ \sup_{x\in [0,1]}|\lambda| |f(x)|\\ &=& \displaystyle |\lambda|\sup_{x\in [0,1]}|f(x)| \ =\ |\lambda|\|f\|_{\infty}, \end{array} }

co należało pokazać.

Aby pokazać subaddytywność, niech $f,g\in C([0,1];\mathbb{ℝ}).$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll}\displaystyle \|f+g\|_{\infty} &=& \displaystyle \sup_{x\in [0,1]}\big|(f+g)(x)\big| \ =\ \sup_{x\in [0,1]}\big|f(x)+g(x)\big| \ \le\ \sup_{x\in [0,1]}\big[\big|f(x)\big|+\big|g(x)\big|\big]\\ & \stackrel{\star}{\le} &\displaystyle \sup_{x\in [0,1]}\big|f(x)\big| +\sup_{x\in [0,1]}\big|g(x)\big| \ =\ \|f\|_{\infty}+\|g\|_{\infty}. \end{array}}

Aby uzasadnić powyższą nierówność $\star ,$ zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in [0,1]:\ \big|f(x)\big|+\big|g(x)\big| \ \le\ \sup_{x\in [0,1]}\big|f(x)\big| + \sup_{x\in [0,1]}\big|g(x)\big|, }

zatem biorąc supremum po lewej stronie nierówność nadal jest zachowana i dostajemy $\star .$

(2) Ponieważ $f_1\left(\frac{1}{4}\right)=\sin \frac{\pi }{2}=1$ oraz $|f_1(x)|=|\sin (2\pi x)|\le 1$ dla dowolnego $x\in [0,1],$ zatem $\Vert f_1{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=1.$
{ Rysunek AM2.M03.C.R03 (stary numer AM2.4.10.a)}

Funkcja kwadratowa na odcinku domkniętym może przyjmować wartość największą i najmniejszą jedynie w wierzchołku lub na końcu przedziału. Należy zatem zbadać te trzy punkty.
Wierzchołek paraboli ma współrzędne $(p,q)=(\frac{-b}{2a},\frac{-\mathrm{\Delta }}{4a})=(\frac{5}{12},-\frac{1}{24}).$ Na końcach przedziału mamy wartości $f_2(0)=1,f_2(1)=2,$ zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|f_2\|_{\infty} \ =\ \max\bigg\{\bigg|-\frac{1}{24}\bigg|,|1|,|2|\bigg\} \ =\ 2. }

{ Rysunek AM2.M03.C.R04 (stary numer AM2.4.10.b)}

(3) Zbieżność $f_n\stackrel{\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}}{\to }f$ oznacza z definicji:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ \|f_n-f\|_{\infty}<\varepsilon. }

Rozpisując normę supremową otrzymujemy równoważne sformułowanie:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ \sup_{x\in [0,1]}\big|f_n(x)-f(x)\big|<\varepsilon. }

Z kolei korzystając z definicji supremum, mamy równoważną postać

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N\ \forall x\in X \big|f_n(x)-f(x)\big|<\varepsilon, }

a to oznacza, że $f_n\rightrightarrows f$ w $[0,1]$ (patrz Definicja Uzupelnic d.new.am2.w.04.010|(2)), co należało dowieść.

(4) Należy wykazać, że przestrzeń $C([0,1];\mathbb{ℝ})$ jest zupełna. W tym celu weźmy dowolny ciąg Cauchy'ego $\{f_n\}\subseteq C([0,1];\mathbb{ℝ}).$ Należy pokazać, że ma on granicę w normie supremowej (a zatem z punktu (3), że jest jednostajnie zbieżny). Zauważmy, że dla dowolnego $x\in [0,1],$ ciąg liczbowy $\{f_n(x)\}$ jest ciągiem Cauchy'ego (w $\mathbb{ℝ}$), a zatem jest zbieżny, powiedzmy do $f(x)$ (korzystamy z zupełności $\mathbb{ℝ}$). Zatem $f$ jest granicą punktową ciągu funkcyjnego $\{f_n\}.$

Ustalmy $\epsilon >0.$ Z warunku Cauchy'ego wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall m>n>N:\ \sup_{x\in[0,1]}\big|f_n(x)-f_m(x)\big| \ <\ \varepsilon, }

zatem dla $m>n>N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in[0,1]:\ \big|f_n(x)-f_m(x)\big| \ <\ \varepsilon. }

Dla ustalonego $x\in [0,1]$ i ustalonego $n>N,$ możemy przejść do granicy z $m\to +\mathrm{\infty }$ otrzymując

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big| f_n(x)-f(x)\big| \ \le\ \varepsilon. }

Zatem pokazaliśmy, że $f\rightrightarrows f,$ czyli ciąg $\{f_n\}$ jest zbieżny w normie supremowej. W końcu korzystając z twierdzenia o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.04.060|) mamy, że $f\in C([0,1];\mathbb{ℝ}).$

Ćwiczenie 3.6.

Niech $\Vert \cdot {\Vert }_1$ i $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ oznaczają odpowiednio normę taksówkową i maksimową w ${\mathbb{ℝ}}^N.$ Pokazać, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|\cdot\|_{\square} \ =\ 2\|\cdot\|_1+\|\cdot\|_{\infty} }

jest normą w ${\mathbb{ℝ}}^N.$ Dla $N=2$ narysować kulę $K((0,0),1)\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2$ w tej normie.

Wskazówka

Korzystając z definicji norm $\Vert \cdot {\Vert }_1$ i $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ pokazać, że $\Vert \cdot {\Vert }_{◻}$ jest normą.

Rozwiązanie

Niech $x\in {\mathbb{ℝ}}^N.$ Pokażemy, że $\Vert x{\Vert }_{◻}=0⟺x=\mathrm{\Theta }.$

Implikacja "$⟸$" jest oczywista. W celu udowodnienia implikacji "$⟹$" załóżmy, że $\Vert x{\Vert }_{◻}=0.$ Wówczas $2\Vert x{\Vert }_1+\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=0,$ czyli $\Vert x{\Vert }_1=0$ i $\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=0.$ Ponieważ $\Vert \cdot {\Vert }_1$ i $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ są normami więc $x=\mathrm{\Theta }.$

W celu pokazania jednorodności niech $x\in {\mathbb{ℝ}}^N$ oraz $\lambda \in \mathbb{ℝ}.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle \|\lambda x\|_{\square} & =&\displaystyle 2\|\lambda x\|_1 +\|\lambda x\|_{\infty} \ =\ 2|\lambda| \|x\|_1 +|\lambda| \|x\|_{\infty}\\ & =&\displaystyle |\lambda|\big(2\|x\|_1+\|x\|_{\infty}\big) \ =\ |\lambda| \|x\|_{\square}, \end{array} }

co należało pokazać.

W celu pokazania subaddytywności, niech $x,y\in {\mathbb{ℝ}}^N.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle \|x+y\|_{\square} &=&\displaystyle 2\|x+y\|_1 +\|x+y\|_{\infty} \ \le\ 2\big(\|x\|_1+\|y\|_1\big) +\big(\|x\|_{\infty}+\|y\|_{\infty}\big)\\ &=&\displaystyle \big(2\|x\|_1+\|x\|_{\infty}\big) \big(2\|y\|_1+\|y\|_{\infty}\big) \ =\ \|x\|_{\square}+\|y\|_{\square}. \end{array}}

Co kończy dowód, że $\Vert \cdot {\Vert }_{◻}$ jest norma w ${\mathbb{ℝ}}^N.$

Aby narysować kulę $K((0,0),1)\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2$ w tej normie rozpiszmy wzór na tę normę:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|(x_1,x_2)\|_{\square} \ =\ 2|x_1|+2|x_2|+\max\big\{|x_1|+|x_2|\big\} \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} 3|x_1|+2|x_2| & \textrm{jeśli} \displaystyle & |x_1|\ge |x_2|,\\ 2|x_2|+3|x_2| & \textrm{jeśli} \displaystyle & |x_1|<|x_2|. \end{array} \right. }

Zbiór punktów $(x_1,x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2$ spełniających nierówność $\Vert (x_1,x_2){\Vert }_{◻}<1$ dostajemy rozpisując nierówności w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych, dostajemy ośmiokąt, jak na rysunku:
{ Rysunek AM2.M03.C.R05 (stary numer AM2.4.11)}

Ćwiczenie 3.7.

Niech $\Vert \cdot {\Vert }_1$ i $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ oznaczają odpowiednio normę taksówkową i maksimową w ${\mathbb{ℝ}}^N.$ Sprawdzić, czy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|\cdot\|_{\circ} \ =\ 2\|\cdot\|_1-\|\cdot\|_{\infty} }

jest normą w ${\mathbb{ℝ}}^2.$

Wskazówka

Pokazać brak subaddytywności dla $\Vert \cdot {\Vert }_{\circ }.$

Rozwiązanie

Pokażemy, że $\Vert \cdot {\Vert }_{\circ }$ nie spełnia warunku subaddytywności. Dla wektorów $x=(1,0)$ i $y(0,1)$ w ${\mathbb{ℝ}}^2,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x+y\|_{\circ} \ =\ 2\|(1,1)\|_1-\|(1,1)\|_{\infty} \ =\ 2\cdot 2-1 \ =\ 3 }

oraz

$\begin{array}{lll}\Vert x{\Vert }_{\circ }+\Vert y{\Vert }_{\circ }& =& 2\Vert (1,0){\Vert }_1-\Vert (1,0){\Vert }_{\mathrm{\infty }}\\ & +& 2\Vert (0,1){\Vert }_1-\Vert (0,1){\Vert }_{\mathrm{\infty }}=2-1+2-1=2.\end{array}$

Zatem $\Vert x+y{\Vert }_{\circ }\le ̸\Vert x{\Vert }_{\circ }+\Vert y{\Vert }_{\circ }.$

Jako ciekawostkę proponujemy sprawdzenie, że dwa pierwsze warunki w definicji normy zachodzą dla $\Vert \cdot {\Vert }_{\circ }.$

Ćwiczenie 3.8.

W ${\mathbb{ℝ}}^2$ wprowadzamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big((x_1,x_2)|(y_1,y_2)\big)_{\triangle} \ =\ 3x_1y_1+5x_2y_2 \quad } dla $(x_1,x_2),(y_1,y_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2.$

(1) Pokazać, że $(\cdot |\cdot {)}_{\mathrm{△}}$ jest iloczynem skalarnym w ${\mathbb{ℝ}}^2.$
(2) Jak wygląda $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{△}},$ norma zadana przez ten iloczyn skalarny? Obliczyć $\Vert (4,5){\Vert }_{\mathrm{△}}.$
(3) Dane są dwa wektory $x=(1,7)$ i $y=(3,a).$ Dobrać parametr $a\in \mathbb{ℝ}$ tak, aby $x\perp y$ (oczywiście w rozważanym iloczynie skalarnym).
(4) Narysuj kulę $K_{\mathrm{△}}((0,0),1)$ w metryce zadanej przez ten iloczyn skalarny.

Wskazówka

(1) Sprawdzić zachodzenie wszystkich czterech warunków w definicji iloczynu skalarnego (patrz Definicja Uzupelnic d.new.am2.w.03.160|).
(2) Skorzystać ze wzoru na normę zadaną przez iloczyn skalarny (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.03.180|).
(3) Co to znaczy, że wektory są ortogonalne? (patrz Definicja Uzupelnic d.new.am2.w.03.240|).
(4) Kule w przestrzeni unormowanej są to kule w przestrzeni metrycznej zadanej przez normę.

Rozwiązanie

(1) Dla dowolnego $x=(x_1,x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big((x_1,x_2)|(x_1,x_2)\big)_{\triangle} \ =\ 3x_1^2+5x_2^2, }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big((x_1,x_2)|(x_1,x_2)\big)_{\triangle} \ \ge\ 0 }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big((x_1,x_2)|(x_1,x_2)\big)_{\triangle}=0 \ \Longleftrightarrow\ (x_1,x_2)=\Theta, }

pokazaliśmy więc punkt (1) definicji iloczynu skalarnego.

Niech $x=(x_1,x_2),y=(y_1,y_2)\in X$ oraz $\lambda \in \mathbb{ℝ}.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle \big(\lambda(x_1,x_2)|(y_1,y_2)\big)_{\triangle} &=& \displaystyle \big((\lambda x_1,\lambda x_2)|(y_1,y_2)\big)_{\triangle} \ =\ 3\lambda x_1y_1+5\lambda x_2y_2\\ &=& \displaystyle \lambda\big(3x_1y_1+5x_2y_2\big) \ =\ \lambda\big((x_1,x_2)|(y_1,y_2)\big)_{\triangle}, \end{array} }

pokazaliśmy więc punkt (2) definicji iloczynu skalarnego.

Niech teraz $x=(x_1,x_2),y=(y_1,y_2),z=(z_1,z_2)\in X.$ Wówczas

$\begin{array}{lll}((x_1,x_2)+(y_1,y_2)|(z_1,z_2){)}_{\mathrm{△}}& =& ((x_1+y_1,x_2+y_2)|(z_1,z_2){)}_{\mathrm{△}}\\ & =& 3(x_1+y_1)z_1+5(x_2+y_2)z_2\\ & =& 3x_1{z}_1+3y_1{z}_1+5x_2{z}_2+5y_2{z}_2\\ & =& (3x_1{z}_1+5x_2{z}_2)+(3y_1{z}_1+5y_2{z}_2)\\ & =& ((x_1,x_2)|(z_1,z_2){)}_{\mathrm{△}}((y_1,y_2)|(z_1,z_2){)}_{\mathrm{△}},\end{array}$

pokazaliśmy więc punkt (3) definicji iloczynu skalarnego.

W końcu niech $x=(x_1,x_2),y=(y_1,y_2)\in X.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big((x_1,x_2)|(y_1,y_2)\big)_{\triangle} \ =\ 3x_1y_1+5y_1y_2 \ =\ 3y_1x_1+5y_2x_2 \ =\ \big((y_1,y_2)|(x_1,x_2)\big)_{\triangle} }

pokazaliśmy więc symetrię. Kończy to dowód faktu, że $(\cdot |\cdot {)}_{\mathrm{△}}$ jest iloczynem skalarnym w ${\mathbb{ℝ}}^2.$

(2) Ponieważ $(\cdot |\cdot {)}_{\mathrm{△}},$ więc norma $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{△}}$ zadana przez ten iloczyn skalarny dla dowolnego $x=(x_1,x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2,$ wynosi:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|(x_1,x_2)\|_{\triangle} \ =\ \sqrt{\big((x_1,x_2)|(x_1,x_2)\big)_{\triangle}} \ =\ \sqrt{3x_1^2+5x_2^2}. }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|(4,5)\|_{\triangle} \ =\ \sqrt{3\cdot 4^2+5\cdot 5^2} \ =\ \sqrt{173}. }

(3) Wektory $x$ i $y$ są ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy $(x|y{)}_{\mathrm{△}}=0.$ Zatem musimy rozwiązać równanie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big((1,7)|(3,a)\big)_{\triangle} \ =\ 0, }

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 3\cdot 1\cdot 3+5\cdot 7\cdot a \ =\ 0, }

skąd $a=-\frac{9}{35}.$

(4) Kulą jest następujący zbiór:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned K_{\triangle}\big((0,0),1\big) &= \big\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:\ \|(x_1,x_2)\|_{\triangle}<1\big\}\\ &= \big\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:\ \sqrt{3x_1^2+5x_2^2}<1\big\}\\ &= \big\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:\ 3x_1^2+5x_2^2<1\big\}. \endaligned}

przypomnijmy, że zbiór punktów $(x_1,x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2$ spełniających równanie $\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{x_2^2}{b^2}=1$ jest elipsą o półosiach wielkich $a$ i $b.$ Zatem w naszym przypadku, zbiór punktów $(x_1,x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2$ spełniających nierówność $\frac{x_1^2}{\frac{1}{3}}+\frac{x_2^2}{\frac{1}{5}}<1$ jest wnętrzem elipsy o półosiach wielkich $\frac{1}{\sqrt{3}}$ oraz $\frac{1}{\sqrt{5}}.$
{ Rysunek AM2.M03.C.R06 (stary numer AM2.4.12)}

Ćwiczenie 3.9.

(Zadanie nadobowiązkowe.)
Niech $X,Y$ będą dwiema przestrzeniami unormowanymi oraz $f:X⟶Y$ odwzorowaniem liniowym. Udowodnić, że następujące warunki są równoważne:
(i) $f$ jest ciągła;
(ii) $\mathrm{\exists }{x}_0\in X$: $f$ jest ciągła w $x_0$;
(iii) $f$ jest ciągła w $\mathrm{\Theta }\in X$ ($\mathrm{\Theta }$ oznacza wektor zerowy przestrzeni wektorowej $X$);
(iv) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\exists M\ge 0\ \ \forall x\in X:\ \ \|x\|_X\le 1\ \Longrightarrow\ \big\|f(x)\big\|_Y\le M} (to znaczy odwzorowanie $f$ jest ograniczone na domkniętej kuli o promieniu $1$);
(v) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\exists c\ge 0\ \ \forall x\in X:\ \ \big\|f(x)\big\|_Y\le c\|x\|_X} (warunek ten nazywa się ograniczonością dla odwzorowania liniowego);
(vi) $f$ jest jednostajnie ciągła.

Wskazówka

Udowodnić kolejno implikacje $(i)⟹(ii)⟹(iii)⟹(iv)⟹(v)⟹(vi)⟹(i).$

Rozwiązanie

"$(i)⟹(ii)$"
Implikacja jest oczywista (z ciągłości funkcji wynika jej ciągłość w każdym punkcie).

"$(ii)⟹(iii)$"
Załóżmy, że funkcja $f:X⟶Y$ jest ciągła w pewnym punkcie $x_0\in X.$ Pokażemy, że jest ciągła w $\mathrm{\Theta }\in X.$

Ustalmy dowolne $\epsilon >0.$ Z definicji Cauchy'ego ciągłości funkcji w punkcie wiemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists \delta>0:\ \bigg[\|x-x_0\|_X\le\delta \ \Longrightarrow\ \|f(x)-f(x_0)\|_Y\le\varepsilon\bigg]. }

Dla dowolnego $z\in X$ takiego, że $\Vert z{\Vert }_X\le \delta$ niech $x=z+x_0.$ Wówczas $\Vert x-x_0{\Vert }_X=\Vert z{\Vert }_X\le \delta ,$ a zatem korzystając z powyższej implikacji dostajemy, że $\Vert f(z){\Vert }_Y=\Vert f(x-x_0){\Vert }_Y=\Vert f(x)-f(x_0){\Vert }_Y\le \epsilon .$ Zatem pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0:\ \bigg[\|z\|_X\le\delta \ \Longrightarrow\ \|f(z)\|_Y\le\varepsilon\bigg], }

a to oznacza ciągłość funkcji $f$ w punkcie $\mathrm{\Theta }.$

"$(iii)⟹(iv)$"
Załóżmy, że funkcja $f:X⟶Y$ jest ciągła w punkcie $\mathrm{\Theta }.$ Ustalmy $\epsilon =1.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists \delta>0:\ \bigg[\|z\|_X\le\delta \ \Longrightarrow\ \|f(z)\|_Y\le 1\bigg]. }

Niech $M:=\frac{1}{\delta }.$ Wówczas dla $x\in X\setminus \{\mathrm{\Theta }\}$ takich, że $\Vert x{\Vert }_X\le 1,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|f(x)\|_Y \ =\ \bigg\|f\bigg(\frac{\delta x}{\delta}\bigg)\bigg\|_Y \ =\ \frac{1}{\delta}\|f(\delta x)\|_Y. }

Korzystając z faktów, że $\Vert x{\Vert }_X\le 1$ oraz $\Vert \delta x{\Vert }_X=\delta \Vert x{\Vert }_X\le \delta$ i z powyższej implikacji dostajemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|f(x)\|_Y \ \le\ \frac{1}{\delta} \ =\ M. }

Oczywiści dla $x=\mathrm{\Theta }$ implikacja także zachodzi. Zatem pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in X:\ \bigg[ \|x\|_X\le 1 \ \Longrightarrow\ \big\|f(x)\big\|_Y\le M\bigg] }

co należało dowieść.

"$(iv)⟹(v)$"
Zakładamy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists M>0\ \forall x\in X:\ \bigg[ \|x\|_X\le 1 \ \Longrightarrow\ \big\|f(x)\big\|_Y\le M\bigg]. }

Niech $c:=M.$ Wówczas dla dowolnego $x\in X\setminus \{\mathrm{\Theta }\},$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big\|f(x)\big\|_X \ =\ \bigg\|f\bigg(\|x\|_X\frac{x}{\|x\|_X}\bigg)\bigg\|_X \ =\ \|x\|_X\bigg\|f\bigg(\frac{x}{\|x\|_X}\bigg)\bigg\|_X. }

Ponieważ $\Vert \frac{x}{\Vert x{\Vert }_X}{\Vert }_X=1,$ więc możemy skorzystać z założenia, otrzymując

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big\|f(x)\big\|_X \ =\ \|x\|_X\bigg\|f\bigg(\frac{x}{\|x\|_X}\bigg)\bigg\|_X \ \le\ \|x\|_X\cdot M \ =\ c\|x\|_X. }

Oczywiście dla $x=\mathrm{\Theta }$ implikacja także jest prawdziwa. Zatem pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists c\ge 0\ \ \forall x\in X:\ \ \big\|f(x)\big\|_Y\le c\|x\|_X, }

co należało dowieść.

"$(v)⟹(vi)$"
Zakładamy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists c\ge 0\ \ \forall x\in X:\ \ \big\|f(x)\big\|_Y\le c\|x\|_X. }

W celu pokazania jednostajnej ciągłości funkcji $f,$ ustalmy dowolne $\epsilon >0.$ Niech $\delta :=\frac{\epsilon }{c}.$ Wówczas dla dowolnych $x,z\in X$ takich, że $\Vert x-z{\Vert }_X\le \delta ,$ korzystając z założenia, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big\|f(x)-(z)\big\|_Y \ =\ \big\|f(x-z)\big\|_Y \ \le\ c\|x-z\|_X \ \le\ c\delta \ =\ \varepsilon. }

Zatem pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\ \forall x,z\in X:\ \bigg[ \|x-z\|_X\le \delta \ \Longrightarrow\ \big\|f(x)-f(z)\big\|_Y\le\varepsilon \bigg], }

co oznacza jednostajną ciągłość funkcji $f.$

"$(vi)⟹(i)$"
Implikacja ta jest oczywista, gdyż jednostajna ciągłość zawsze implikuje ciągłość (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.02.370|)