Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 11: Formy kwadratowe

Zadanie 11.1

Niech $U,V,W$ będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem $\mathbb{𝕂}$ i niech

$\mathrm{\Phi }:U\times V\to W$

będzie odwzorowaniem dwuliniowym. Niech

$F:U\ni u\to f_u\in {ℒ}(V,W),$

gdzie $f_u(v):=\mathrm{\Phi }(u,v)$. Wykazać, że $F$ jest odwzorowaniem liniowym.

Wskazówka

Trzeba skorzystać z definicji odwzorowania liniowego.

Rozwiązanie

Ustalmy dowolne wektory $u_1$, $u_2$ należące do przestrzeni wektorowej $U$ oraz dowolne skalary ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$ z ciała $\mathbb{𝕂}$. Mamy wykazać, że

$F({\alpha }_1{u}_1+{\alpha }_2{u}_2)={\alpha }_{1}F(u_1)+{\alpha }_{2}F(u_2),$

co oznacza, że mamy sprawdzić, czy odwzorowania

$f_{{\alpha }_1{u}_1+{\alpha }_2{u}_2}\text{i}{\alpha }_1{f}_{u_1}+{\alpha }_2{f}_{u_2}$

są równe. W tym celu wybierzmy dowolny wektor $v\in V$ i policzmy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f_{\alpha_1u_1+\alpha_2u_2}(v)&=\Phi({\alpha_1u_1+\alpha_2u_2},v)\\ &=\alpha_1\Phi(u_1,v)+\alpha_2\Phi(u_2,v)\\ &=\alpha_1f_{u_1}(v)+\alpha_2f_{u_2}(v). \endaligned}

Oznacza to, że zachodzi wymagana równość odwzorowań

$f_{{\alpha }_1{u}_1+{\alpha }_2{u}_2}={\alpha }_1{f}_{u_1}+{\alpha }_2{f}_{u_2}$

i dowód liniowości odwzorowania $F$ jest zakończony.

Zadanie 11.2

Niech $V$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{ℝ}$ i niech $f:V\to \mathbb{ℝ}$ będzie formą kwadratową. Definiujemy

$\phi :V\times V\ni (v,w)\to \frac{1}{4}(f(v+w)-f(v-w))\in \mathbb{ℝ}.$

Wykazać, że $\phi$ jest formą dwuliniową symetryczną, skojarzoną z $f$.

Wskazówka

Trzeba wziąć dowolne dwuliniowe odwzorowanie $\mathrm{\Phi }$ indukujące $f$ i skorzystać z tego, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f(v+w) &= \Phi (v+w,v+w)& i&& f(v-w) &= \Phi (v-w,v-w).\qedhere \endaligned}

Rozwiązanie

Niech $\mathrm{\Phi }:V\times V\to V$ będzie odwzorowaniem dwuliniowym indukującym formę $f$. Oznacza to, że dla dowolnego wektora $u\in V$ zachodzi

$f(u)=\mathrm{\Phi }(u,u),$

w szczególności dla dowolnych wektorów $v,w\in V$ mamy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f(v+w) &= \Phi (v+w,v+w),&f(v-w) &= \Phi (v-w,v-w). \endaligned}

co oznacza, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \varphi(v,w)&=\frac {1}{4}(f(v+w) - f(v-w) )\\ &=\frac {1}{4}(\Phi(v+w,v+w)- \Phi (v-w,v-w))\\ &=\frac {1}{4}(\Phi(v,v+w)+\Phi(w,v+w)- \Phi(v,v-w)+\Phi(w,v-w))\\ &=\frac {1}{4}(\Phi(v,v)+\Phi(v,w)+\Phi(w,v)+\Phi(w,w)+\\ &-\Phi(v,v)+\Phi(v,w)+\Phi(w,v)-\Phi(w,w))\\ &=\frac{1}{4}(2\Phi(v,w)+2\Phi(w,v))\\ &=\frac{1}{2}(\Phi(v,w)+\Phi(w,v))\\ &=\frac{1}{2}(\Phi(w,v)+\Phi(v,w))\\ &=\varphi(w,v). \endaligned}

Wynika stąd, że $\phi$ jako kombinacja liniowa odwzorowań dwuliniowych jest odwzorowaniem dwuliniowym, a ponadto $\phi$ jest odwzorowaniem symetrycznym, co było do okazania.

Zadanie 11.3

Dana jest forma kwadratowa

$f:{\mathbb{ℝ}}^2\ni (x_1,x_2)\to x_1^2+3x_2^2-2x_1{x}_2\in \mathbb{ℝ}.$

Znaleźć odwzorowanie dwuliniowe symetryczne skojarzone z $f$.

Wskazówka

Można skorzystać ze wzoru podanego w zadaniu 11.2.

Rozwiązanie

Z zadania 11.2 wynika, że odwzorowanie dwuliniowe symetryczne $\phi :{\mathbb{ℝ}}^2\times {\mathbb{ℝ}}^2\to \mathbb{ℝ}$ skojarzone z $f$ jest dane wzorem

$\phi (v,w)=\frac{1}{4}(f(v+w)-f(v-w)),u,v\in {\mathbb{ℝ}}^2.$

Podstawiając $v=(x_1,x_2)$ oraz $w=(y_1,y_2)$ otrzymujemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f(v+w)&=(x_1+y_1)^2 + 3(x_2+y_2)^2 -2(x_1+y_1)(x_2+y_2)\\ &=x_1^2+2x_1y_1+y_1^2+\\ &+3x_2^2+6x_2y_2+3y_2^2+\\ &-2x_1x_2-2x_1y_2-2y_1x_2-2y_1y_2\\ f(v-w)&=(x_1-y_1)^2 + 3(x_2-y_2)^2 -2(x_1-y_1)(x_2-y_2)\\ &=x_1^2-2x_1y_1+y_1^2+\\ &+3x_2^2-6x_2y_2+3y_2^2+\\ &-2x_1x_2+2x_1y_2+2y_1x_2-2y_1y_2. \endaligned}

Odejmując od siebie powyższe równości stronami otrzymujemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f(v+w)-f(v-w)&= 4x_1y_1+12x_2y_2-4x_1y_2-4y_1x_2, \endaligned}

co na mocy zadania 11.2 oznacza, że odwzorowanie dwuliniowe symetryczne $\phi :{\mathbb{ℝ}}^2\times {\mathbb{ℝ}}^2\to \mathbb{ℝ}$ skojarzone z $f$ jest dane wzorem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\qedhere”): {\displaystyle \displaystyle \varphi ((x_1,x_2),(y_1,y_2)) =x_1y_1+3x_2y_2-x_1y_2-y_1x_2. \qedhere }

Zadanie 11.4

Dana jest forma kwadratowa

$f:{\mathbb{ℝ}}^3\ni (x_1,x_2,x_3)\to 2x_1^2-x_2{x}_3+3x_3^2\in \mathbb{ℝ}.$

Wyznaczyć macierz $f$ w bazie kanonicznej oraz rząd $f$.

Wskazówka

Trzeba znaleźć macierz odwzorowania dwuliniowego skojarzonego z $f$. Rząd tej macierzy będzie równocześnie rzędem formy $f$.

Rozwiązanie

Z zadania 11.2 wynika, że odwzorowanie dwuliniowe symetryczne $\phi :{\mathbb{ℝ}}^3\times {\mathbb{ℝ}}^3\to \mathbb{ℝ}$ skojarzone z $f$ jest dane wzorem

$\phi (v,w)=\frac{1}{4}(f(v+w)-f(v-w)),u,v\in {\mathbb{ℝ}}^3.$

Podstawiając $v=(x_1,x_2,x_3)$ oraz $w=(y_1,y_2,y_3)$ otrzymujemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f(v+w)&=2(x_1+y_1)^2 -(x_2+y_2)(x_3+y_3) +3(x_3+y_3)^2\\ &=2x_1^2+4x_1y_1+2y_1^2-x_2x_3-x_2y_3-y_2x_3-y_2y_3+\\&+3x_3^2+6x_3y_3+3y_3^2,\\ f(v-w)&=2(x_1-y_1)^2 -(x_2-y_2)(x_3-y_3) +3(x_3-y_3)^2\\ &=2x_1^2-4x_1y_1+2y_1^2-x_2x_3+x_2y_3+y_2x_3-y_2y_3+\\&+3x_3^2-6x_3y_3+3y_3^2.\\ \endaligned}

Odejmując od siebie powyższe równości stronami otrzymujemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f(v+w)-f(v-w)&= 8x_1y_1-2x_2y_3-2x_3y_2+12x_3y_3, \endaligned}

co na mocy zadania 11.2 oznacza, że odwzorowanie dwuliniowe symetryczne $\phi :{\mathbb{ℝ}}^3\times {\mathbb{ℝ}}^3\to \mathbb{ℝ}$ skojarzone z $f$ jest dane wzorem

$\phi ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=2x_1{y}_1-\frac{1}{2}{x}_2{y}_3-\frac{1}{2}{x}_3{y}_2+3x_3{y}_3.$

Zgodnie z definicją macierz $A$ jest macierzą odwzorowania dwuliniowego $\phi$ w bazie kanonicznej jeżeli jest dana wzorem

$[a_{ij}{]}_{n\times n}=[\phi (e_i,e_j){]}_{n\times n}.$

Po wykonaniu odpowiednich obliczeń widzimy, że

$A=\left[\begin{array}{rrr}2& 0& 0\\ 0& 0& -\frac{1}{2}\\ 0& -\frac{1}{2}& 3\end{array}\right].$

Widać też, że rząd macierzy $A$ jest równy $3$.

Zadanie 11.5

Niech $f:{\mathbb{ℝ}}^2\ni (x_1,x_2)\to x_1{x}_2\in \mathbb{ℝ}$. Wykazać, że $f$ jest formą kwadratową. Wyznaczyć macierz $f$ przy bazie kanonicznej. Znaleźć bazę ${\mathbb{ℝ}}^2$, przy której macierz $f$ ma postać blokową występującą w tezie twierdzenia Sylvestera. Wyznaczyć sygnaturę $f$.

Wskazówka

Trzeba zacząć od znalezienia odwzorowania dwuliniowego symetrycznego indukującego $f$, a następnie spróbować sprowadzić $f$ do postaci kanonicznej. Związki między współrzędnymi względem szukanej bazy a współrzędnymi względem bazy kanonicznej pozwolą wyliczyć potrzebne nam wektory bazowe.

Rozwiązanie

Można zauważyć (lub obliczyć korzystając z metody podanej w zadaniu 11.2), że jeżeli

$\phi :{\mathbb{ℝ}}^2\times {\mathbb{ℝ}}^2\to \mathbb{ℝ}$

jest symetryczną formą dwuliniową daną wzorem

$\phi ((x_1,x_2),(y_1,y_2))=\frac{1}{2}(x_1{y}_2+x_2{y}_1),$

to dla dowolnego $(x_1,x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2$ zachodzi

$f(x_1,x_2)=\phi ((x_1,x_2),(x_1,x_2)),$

co oznacza, że $f$ jest formą kwadratową, a $\phi$ jest symetryczną formą dwuliniową skojarzoną z $f$. Co więcej, macierzą $f$ w bazie kanonicznej jest macierz

$A=\left[\begin{array}{rr}0& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& 0\end{array}\right].$

Aby wyznaczyć bazę ${\mathbb{ℝ}}^2$, przy której macierz $f$ ma postać blokową występującą w tezie twierdzenia Sylvestera zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f(x_1,x_2)&=x_1x_2\\ &=\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)^2-\left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)^2 \endaligned}

Wprowadzając teraz nowe zmienne

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \xi &=\frac{x_1+x_2}{2}\\ \eta &=\frac{x_1-x_2}{2}, \endaligned}

lub równoważnie

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned x_1 &=\xi+\eta\\ x_2 &=\xi-\eta, \endaligned}

widzimy, że w nowych zmiennych wzór na $f$ przyjmuje postać

${\xi }^2-{\eta }^2.$

Naszej zmianie zmiennych odpowiada macierz przejścia

$P=\left[\begin{array}{rr}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right],$

która z kolei oznacza zmianę bazy z kanonicznej na bazę złożoną z wektorów $(1,1)$ oraz $(1,-1)$. Macierzą $f$ w tej bazie jest macierz

$P^{*}AP,$

czyli

$\left[\begin{array}{rr}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right],$

w szczególności otrzymaliśmy, że sygnaturą formy $f$ jest para $(1,1)$.

Zadanie 11.6

Sprowadzić do postaci kanonicznej następujące formy kwadratowe:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f(x_1,x_2,x_3) &= x_1^2 + 3 x_1x_2 + 2x_2^2 +4x_2x_3 +x_3^2,\\ g (x_1,x_2,x_3)&= 2x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_3 +4x_2x_3 +3x_3^2. \endaligned}

Wskazówka

Można skorzystać z metody Lagrange'a lub metody Jacobiego ( literatura: H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej). Korzystając z metody Jacobiego należy wyznaczyć macierz formy kwadratowej w dowolnej bazie np. w bazie kanonicznej. Niech tą macierzą będzie $A=[a_{ij}{]}_{n\times n}$. Teraz, jeżeli wyznaczniki

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \Delta_1&=\det[a_{11}],&\Delta_2&=\det\left[\begin{array} {cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right],&\ldots&,&\Delta_m&=\det\left[\begin{array} {ccc} a_{11} & \ldots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mm} \end{array} \right] \endaligned}

są różne od zera i $m=n$ lub (gdy $m<n$) ${\mathrm{\Delta }}_{m+1}=0$, to istnieje baza, w której forma kwadratowa przyjmuje postać kanoniczną

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\qedhere”): {\displaystyle \displaystyle f(x_1,\ldots,x_n)=\frac{1}{\Delta_1}x_1^2+ \frac{\Delta_1}{\Delta_2}x_2^2+\ldots+\frac{\Delta_{m-1}}{\Delta_m}x_m^2.\qedhere }

Rozwiązanie

1. Niech

$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+3x_1{x}_2+2x_2^2+4x_2{x}_3+x_3^2.$

Macierzą formy $f$ w bazie kanonicznej jest, jak łatwo sprawdzić, macierz

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& \frac{3}{2}& 0\\ \frac{3}{2}& 2& 2\\ 0& 2& 1\end{array}\right].$

Obliczamy wyznaczniki

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \Delta_1&=\det[1]=1,&\Delta_2&=\det\left[\begin{array} {cc} 1 & \frac{3}{2}\\ \frac{3}{2} & 2 \end{array} \right]=-\frac{1}{4},&\Delta_3&=\det A =-\frac{17}{4}, \endaligned}

które podstawiamy do wzoru na postać kanoniczną naszej formy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f(\xi_1,\xi_2,\xi_3)&=\frac{1}{\Delta_1}\xi_1^2+ \frac{\Delta_1}{\Delta_2}\xi_2^2+\frac{\Delta_{2}}{\Delta_2}\xi_3^2\\ &=\xi_1^2-4\xi_2^2+17\xi_3^2. \endaligned}

1. Niech

$g(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+x_2^2+2x_1{x}_3+4x_2{x}_3+3x_3^2.$

Macierzą formy $g$ w bazie kanonicznej jest, jak łatwo sprawdzić, macierz

$B=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 0& 1& 2\\ 1& 2& 3\end{array}\right].$

Obliczamy wyznaczniki

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \Delta_1&=\det[2]=2,&\Delta_2&=\det\left[\begin{array} {cc} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right]=2,&\Delta_3&=\det B = -3, \endaligned}

które podstawiamy do wzoru na postać kanoniczną naszej formy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned g(\xi_1,\xi_2,\xi_3)&=\frac{1}{\Delta_1}\xi_1^2+ \frac{\Delta_1}{\Delta_2}\xi_2^2+\frac{\Delta_{2}}{\Delta_2}\xi_3^2\\ &=\frac{1}{2}\xi_1^2+\xi_2^2-\frac{2}{3}\xi_3^2.\qedhere \endaligned}

Zadanie 11.7

Dane jest odwzorowanie liniowe

$f:{\mathbb{ℝ}}^3\ni (x_1,x_2,x_3)\to (x_1-x_2+2x_3,-x_1+3x_2,2x_1-x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3.$

Zbadać, czy $f$ jest odwzorowaniem symetrycznym.

Wskazówka

Wystarczy sprawdzić warunek z definicji odwzorowania symetrycznego.

Rozwiązanie

Będziemy utożsamiać przestrzeń ${\mathbb{ℝ}}^3$ z przestrzenią macierzy o trzech wierszach i jednej kolumnie. Wówczas działaniu odwzorowania $f$ odpowiada mnożenie takiego wektora kolumnowego $\mathbf{𝐱}$ przez macierz odwzorowania $f$ w bazach kanonicznych, którą oznaczamy dalej przez $A$, to jest $f(\mathbf{𝐱})$ możemy utożsamiać z $A\mathbf{𝐱}$. Przy tych oznaczeniach standardowy iloczyn skalarny dla wektorów

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \mathbf{x}&=\left[\begin{array} {c} x_1\\x_2\\x_3 \end{array} \right],&\mathbf{y}&=\left[\begin{array} {c} y_1\\y_2\\y_3 \end{array} \right] \endaligned}

dany jest wzorem

$\mathbf{𝐱}\cdot \mathbf{𝐲}={\mathbf{𝐱}}^{*}\mathbf{𝐲}=\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right].$

Zgodnie z definicją odwzorowania symetrycznego musimy sprawdzić, czy

$(A\mathbf{𝐱}{)}^{*}\mathbf{𝐲}={\mathbf{𝐱}}^{*}(A\mathbf{𝐲}).$

Zauważmy jeszcze, że

$A=\left[\begin{array}{rrr}2& -1& 2\\ -1& 3& 0\\ 2& 0& -1\end{array}\right],$

zatem $A$ jest macierzą symetryczną ($A=A^{*}$). Wynika stąd, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned (A\mathbf{x})^*\mathbf{y} &=(\mathbf{x}^*A^*)\mathbf{y}\\ &=(\mathbf{x}^*A)\mathbf{y}\\ &=\mathbf{x}^*(A\mathbf{y}), \endaligned}

co było do okazania.