MN03LAB: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 15:58, 26 sie 2006

Uwaga: przekonwertowane latex2mediawiki; prawdopodobnie trzeba wprowadzi? poprawki

{Ćwiczenia: równania nieliniowe skalarne}

Ćwiczenie Metoda Newtona może być zbieżna globalnie

Wykaż, że jeśli $f$ jest rosnąca i wypukła na $[a, b]$ oraz dla $x^{*} \in [a, b] f (x^{*}) = 0$ , to metoda Newtona startująca z $x_{0} > x^{*}$ jest zbieżna.

Rozwiązanie

Powtarzając rachunki z dowodu lokalnej zbieżności, możemy łatwo stwierdzić, że kolejne iteracje dają $x_{k}$ które także spełniają warunek $x_{k} - x^{*} > 0$ . Ponadto nietrudno sprawdzić, że $x_{k + 1} < x_{k}$ , a więc mamy ciąg malejący i ograniczony. Jego granicą musi być $x^{*}$ (dlaczego?).

Ćwiczenie Fraktale

{{{3}}}

Ćwiczenie Pierwiastkowanie

{{{3}}}

Rozwiązanie

Nasza iteracja, którą chcemy zaprogramować, to

x_{k + 1} = \frac{1}{2} (x_{k} + \frac{a}{x_{k}}) .

Dla $a \neq 0$ , spełnione są założenia twierdzenia o zbieżności metody Newtona, więc

| x_{k + 1} - x^{*} | \leq K | x_{k} - x^{*} |^{2}

co właśnie tłumaczy się jako podwajanie liczby dokładnych cyfr znaczących wyniku.

Ale jeśli $a = 0$ to metoda zbieżna jest już tylko liniowo (z ilorazem 0.5 --- bo jaki wtedy jest wzór na iterację?), więc co mniej więcej trzy kroki będziemy dostawali kolejne zero dokładnego wyniku $x^{*} = 0$ .

Ćwiczenie Odwrotność bez dzielenia

Aby wyznaczyć $1 / a$ dla $a > 0$ bez dzielenia(!), można zastosować metodę Newtona do funkcji $f (x) = 1 / x - a$ . Pokaż, że na $k$ -tym kroku iteracji,

| a x_{k} - 1 | = | a x_{k - 1} - 1 |^{2} .

Dla jakich $x_{0}$ metoda będzie zbieżna do $\frac{1}{a}$ , a dla jakich nie? Oceń, ile iteracji potrzeba do spełnienia warunku $\frac{| x_{k} - \frac{1}{a} |}{| a |} \leq ϵ$ , gdy $\frac{| x_{0} - \frac{1}{a} |}{| a |} \leq γ < 1$ ,

Rozwiązanie

Proste ćwiczenie z analizy. Warunkiem zbieżności jest oczywiście (ze względu na równość w wyrażeniu na błąd iteracji powyżej) $| a x_{0} - 1 | < 1$ , to znaczy

0 < x_{0} < \frac{2}{a} .

Ćwiczenie

Zaimplementuj metodę bisekcji. Sprawdź, jak będzie działać m.in. dla funkcji

$f (x) = \sin (x)$ ,
$f (x) = \sin^{2} (x)$ ,
$f (x) = (x - 1)^{5}$ (wzór A),
$f (x) = (x - 1) * (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1)$ (wzór B),
$f (x) = (x - 2)^{1} 3$ (wzór C),
$f (x) = x^{1} 3 - 26 * x^{1} 2 + 312 * x^{1} 1 - 2288 * x^{1} 0 + . . . - 8192$ (wzór D),

gdy tolerancję błędu zadasz na poziomie $1 0^{- 10}$ .

Jak wyjaśnić te wyniki? Czy możesz już być pewna, że masz dobrą implementację?

Rozwiązanie

Jeśli nie pomylisz się, metoda powinna zbiegać bez problemów do zera funkcji $\sin$ , dawać komunikat o błędzie dla $\sin^{2}$ (bo nie ma przeciwnych znaków).

Zapewne zauważyłaś, że wzory A i B są matematycznie równoważne, podobnie zresztą jak wzory C i D. Niestety, tylko wzór A i C dają w efekcie dobre przybliżenia miejsca zerowego, podczas gdy wzory B i D prowadzą do oszacowania na miejsce zerowe, które w ogóle nie zawierają prawdziwego miejsca zerowego.

Wyjaśnieniem tego fenomenu jest zjawisko redukcji cyfr przy odejmowaniu.

Plik:Bisekcjawblad.png

Metoda bisekcji ma kłopoty, gdy funkcja zadana jest wzorem D.

Plik:Bisekcjawresid.png

Residuum też jest duże, gdy

f

zadana jest wzorem D.

Jeśli chodzi o pewność... No cóż, sprawdziłaś, że działa w przypadkach, gdy spodziewałaś się, że będzie działać. Że tam, gdzie spodziewałaś się kłopotów, lub komunikatu o błędzie --- tak rzeczywiście się stało. Wreszcie, potwierdziłaś, że zachowanie metody jest zgodne z jej znanymi właściwościami.

Tak więc, można przypuszczać, że implementacja jest poprawna.

Ćwiczenie

{{{3}}}

Rozwiązanie

Dla $- X_{0} < x_{0} < X_{0}$ mamy zbieżność. Dla $| x_{0} | = | X_{0} |$ oscylacje, dla większych wartości --- rozbieżność. Jednak w eksperymencie wszystko zależy od tego, jak dokładnie wyznaczyliśmy $X_{0}$ . Na przykład, mój solver w Octave wyznaczył wartość $X_{0}$ , dla której metoda Newtona dała następujący ciąg:

Iteracja: 1, x = -1.39175 Iteracja: 2, x = 1.39175 Iteracja: 3, x = -1.39175 Iteracja: 4, x = 1.39175 Iteracja: 5, x = -1.39175

.. itd ..

Iteracja: 25, x = -1.39176 Iteracja: 26, x = 1.39178 Iteracja: 27, x = -1.39183 Iteracja: 28, x = 1.39197 Iteracja: 29, x = -1.39235 Iteracja: 30, x = 1.39333 Iteracja: 31, x = -1.39594 Iteracja: 32, x = 1.40283 Iteracja: 33, x = -1.42117 Iteracja: 34, x = 1.47061 Iteracja: 35, x = -1.60867 Iteracja: 36, x = 2.03161 Iteracja: 37, x = -3.67722 Iteracja: 38, x = 15.2779 Iteracja: 39, x = -337.619 Iteracja: 40, x = 178376 Iteracja: 41, x = -4.99792e+10 Iteracja: 42, x = 3.92372e+21 Iteracja: 43, x = -2.41834e+43 Iteracja: 44, x = 9.18658e+86 Iteracja: 45, x = -1.32565e+174 Iteracja: 46, x = inf Iteracja: 47, x = nan

MN03LAB: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 15:58, 26 sie 2006

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
-\section*{Ćwiczenia: równania nieliniowe skalarne}
+''Uwaga: przekonwertowane latex2mediawiki; prawdopodobnie trzeba wprowadzi? poprawki''
-\begin{exe}[Metoda Newtona może być zbieżna globalnie]
+{Ćwiczenia: równania nieliniowe skalarne}
-Wykaż, że jeśli $f$ jest rosnąca i wypukła na $[a,b]$ oraz dla $x^*\in [a,b]$
-$f(x^*) = 0$, to metoda Newtona startująca z $x_0>x^*$ jest zbieżna.
-\end{exe}
-\begin{sol}
+{{cwiczenie|Metoda Newtona może być zbieżna globalnie||
+Wykaż, że jeśli <math>\displaystyle f</math> jest rosnąca i wypukła na <math>\displaystyle [a,b]</math> oraz dla <math>\displaystyle x^*\in [a,b]\displaystyle f(x^*) = 0</math>, to metoda Newtona startująca z <math>\displaystyle x_0>x^*</math> jest zbieżna.
+}}
+<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 Powtarzając rachunki z dowodu lokalnej zbieżności, możemy łatwo stwierdzić, że kolejne
-iteracje dają $x_k$ które także spełniają warunek $x_k - x^* > 0$. Ponadto
+iteracje dają <math>\displaystyle x_k</math> które także spełniają warunek <math>\displaystyle x_k - x^* > 0</math>. Ponadto
-nietrudno sprawdzić, że $x_{k+1} < x_k$, a więc mamy ciąg malejący i
+nietrudno sprawdzić, że <math>\displaystyle x_{k+1} < x_k</math>, a więc mamy ciąg malejący i
-ograniczony. Jego granicą musi być $x^*$ (dlaczego?).
+ograniczony. Jego granicą musi być <math>\displaystyle x^*</math> (dlaczego?).
-\end{sol}
+</div></div>
-\begin{exe}[Fraktale]
+{{cwiczenie|Fraktale||
 Ciekawy zbiór o charakterze fraktalnym powstaje w wyniku zastosowania metody
-Newtona do rozwiązania równania $z^n-1=0$ w dziedzinie zespolonej. Punkt $z_0 =
+Newtona do rozwiązania równania <math>\displaystyle z^n-1=0</math> w dziedzinie zespolonej. Punkt <math>\displaystyle z_0 =
-(x_0,y_0)$ należy do {\em basenu zbiezności metody}, jeśli metoda Newtona jest
+(x_0,y_0)</math> należy do ''basenu zbiezności metody'', jeśli metoda Newtona jest
 zeń zbieżna do (jakiegokolwiek) pierwiastka w/w równania. Kolor odpowiadający
-$z_0$ jest określany na podstawie liczby iteracji potrzebnych metodzie do
+<math>\displaystyle z_0</math> jest określany na podstawie liczby iteracji potrzebnych metodzie do
 zbieżności.
@@ Linia 25: / Linia 27: @@
 programu w Octave, który wyświetla baseny zbieżności metody Newtona jak poniżej.
-\rysunek{fraktal.png}{Basen zbiezności metody Newtona w okolicy początku układu
+[[Image:fraktal.png|thumb|right|400px|Basen zbiezności metody Newtona w okolicy początku układu
-współrzędnych, dla równania $z^5-1=0$}
+współrzędnych, dla równania <math>\displaystyle z^5-1=0</math>]]
-\hint{Bardzo wygodnie napisać taki program w postaci skryptu Octave. Pamiętaj
+<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
+Bardzo wygodnie napisać taki program w postaci skryptu Octave. Pamiętaj
 jednak, by uniknąć w nim pętli w rodzaju
-for xpixels = 1:1024\\
+for xpixels <nowiki>=</nowiki> 1:1024<br>
-	for ypixels = 1:768\\
+for ypixels <nowiki>=</nowiki> 1:768<br>
-		... wyznacz kolor pixela ....\\
+... wyznacz kolor pixela ....<br>
-	end\\
+end<br>
-end\\
+end<br>
 Taka podwójnie zagnieżdżona pętla może skutecznie zniechęcić Cię do
 Octave'a --- obrazek będzie liczyć się wieki --- zupełnie niepotrzebnie!
-}
-\hint{Kluczem do efektywnej implementacji w Octave jest przeprowadzenie
+</div></div>
-iteracji Newtona na {\em wszystkich pikselach jednocześnie}. W tym celu musisz
-skorzystać z prowadzenia działań na całych macierzach.}
-\end{exe}
+<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
+Kluczem do efektywnej implementacji w Octave jest przeprowadzenie
+iteracji Newtona na ''wszystkich pikselach jednocześnie''. W tym celu musisz
+skorzystać z prowadzenia działań na całych macierzach.
+</div></div>
-\begin{exe}[Pierwiastkowanie]
+}}
-Niech $a\geq 0$. Aby wyznaczyć $\sqrt{a}$, można skorzystać z metody Newtona dla
-równania $x^2 = a$. Zaprogramuj tę metodę i sprawdź, jak wiele dokładnych cyfr
+{{cwiczenie|Pierwiastkowanie||
+Niech <math>\displaystyle a\geq 0</math>. Aby wyznaczyć <math>\displaystyle \sqrt{a}</math>, można skorzystać z metody Newtona dla
+równania <math>\displaystyle x^2 = a</math>. Zaprogramuj tę metodę i sprawdź, jak wiele dokładnych cyfr
 wyniku dostajesz w kolejnych krokach. Czy to możliwe, by liczba dokładnych cyfr
-znaczących z grubsza podwajała się na każdej iteracji? Wskaż takie $a$ dla
+znaczących z grubsza podwajała się na każdej iteracji? Wskaż takie <math>\displaystyle a</math> dla
 którego to nie będzie prawdą.
-\hint{Na pewno kusi Cię, by zaprogramować najpierw ogólnie funkcję ,,metoda
+<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-Newtona'', a następnie przekazać jej jako parametr naszą funkcję. To oczywiście
+Na pewno kusi Cię, by zaprogramować najpierw ogólnie funkcję "metoda
+Newtona", a następnie przekazać jej jako parametr naszą funkcję. To oczywiście
 będzie działać, i to praktycznie tak samo szybko jak drugi spsoób, w którym po prostu
-wyliczysz na karteczce wzór na iterację dla {\em tej konkretnej funkcji, $F(x) =
+wyliczysz na karteczce wzór na iterację dla ''tej konkretnej funkcji, <math>\displaystyle F(x) =
-x^2-a$} i potem go zaimplementujesz. Jednak
+x^2-a</math>'' i potem go zaimplementujesz. Jednak
 drugie podejście jest tutaj godne polecenia, bo ma na sobie znak charakterystyczny dla numeryki: niech
 wszystko, co programujesz będzie tak proste, jak tylko możliwe (ale nie
-prostsze)!}
+prostsze)!
-\end{exe}
+</div></div>
-\begin{sol}
+}}
+<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 Nasza iteracja, którą chcemy zaprogramować, to
-$$
+<center><math>\displaystyle
 x_{k+1} = \frac{1}{2}\left( x_k + \frac{a}{x_k}\right).
-$$
+</math></center>
-Dla $a\neq 0$, spełnione są założenia twierdzenia o zbieżności metody Newtona,
+Dla <math>\displaystyle a\neq 0</math>, spełnione są założenia twierdzenia o zbieżności metody Newtona,
 więc
-\[
-|x_{k+1}-x^*|\leq K |x_{k}-x^*|^2
+<center><math>\displaystyle |x_{k+1}-x^*|\leq K |x_{k}-x^*|^2
-\]
+</math></center>
 co właśnie tłumaczy się jako podwajanie liczby dokładnych cyfr
 znaczących wyniku.
-Ale jeśli $a=0$ to metoda zbieżna jest już tylko liniowo (z ilorazem 0.5 --- bo
+Ale jeśli <math>\displaystyle a=0</math> to metoda zbieżna jest już tylko liniowo (z ilorazem 0.5 --- bo
 jaki wtedy jest wzór na iterację?), więc co mniej więcej trzy kroki będziemy
-dostawali kolejne zero dokładnego wyniku $x^*=0$.
+dostawali kolejne zero dokładnego wyniku <math>\displaystyle x^*=0</math>.
-\end{sol}
+</div></div>
+{{cwiczenie|Odwrotność bez dzielenia||
-\begin{exe}[Odwrotność bez dzielenia]
+Aby wyznaczyć <math>\displaystyle 1/a</math> dla <math>\displaystyle a>0</math> bez dzielenia(!), można zastosować metodę Newtona
-Aby wyznaczyć $1/a$ dla $a>0$ bez dzielenia(!), można zastosować metodę Newtona
+do funkcji <math>\displaystyle f(x) = 1/x - a</math>. Pokaż, że na <math>\displaystyle k</math>-tym kroku iteracji,
-do funkcji $f(x) = 1/x - a$. Pokaż, że na $k$-tym kroku iteracji,
+<center><math>\displaystyle
-$$
 |ax_k - 1| = |ax_{k-1} - 1|^2.
-$$
+</math></center>
-Dla jakich $x_0$ metoda będzie zbieżna do $\frac{1}{a}$, a dla jakich nie?
-Oceń, ile iteracji potrzeba do spełnienia warunku $\frac{|x_k-\frac{1}{a}|}{|a|} \leq
+Dla jakich <math>\displaystyle x_0</math> metoda będzie zbieżna do <math>\displaystyle \frac{1}{a}</math>, a dla jakich nie?
-\epsilon$, gdy $\frac{|x_0-\frac{1}{a}|}{|a|} \leq \gamma < 1$,
+Oceń, ile iteracji potrzeba do spełnienia warunku <math>\displaystyle \frac{|x_k-\frac{1}{a}|}{|a|} \leq
-\end{exe}
+\epsilon</math>, gdy <math>\displaystyle \frac{|x_0-\frac{1}{a}|}{|a|} \leq \gamma < 1</math>,
+}}
-\begin{sol}
+<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 Proste ćwiczenie z analizy. Warunkiem zbieżności jest oczywiście (ze względu na
-równość w wyrażeniu na błąd iteracji powyżej) $|ax_0 - 1| < 1$, to znaczy
+równość w wyrażeniu na błąd iteracji powyżej) <math>\displaystyle |ax_0 - 1| < 1</math>, to znaczy
-$$0 < x_0 < \frac{2}{a}.$$
+<center><math>\displaystyle 0 < x_0 < \frac{2}{a}.</math></center>
-\end{sol}
-\begin{exe}
+</div></div>
+{{cwiczenie|||
 Zaimplementuj metodę bisekcji. Sprawdź, jak będzie działać m.in. dla funkcji
+# <math>\displaystyle f(x) = \sin(x)</math>,
+# <math>\displaystyle f(x) = \sin^2(x)</math>,
+# <math>\displaystyle f(x) = (x-1)^5</math> (wzór A),
+# <math>\displaystyle f(x) = (x-1)*(x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1)</math> (wzór B),
+# <math>\displaystyle f(x) = (x-2)^13</math> (wzór C),
+# <math>\displaystyle f(x) = x^13 - 26*x^12 + 312*x^11 - 2288*x^10 + ... - 8192</math> (wzór D),
-\begin{enumerate}
+gdy tolerancję błędu zadasz na poziomie <math>\displaystyle 10^{-10}</math>.
-\item $f(x) = \sin(x)$,
-\item $f(x) = \sin^2(x)$,
-\item $f(x) = (x-1)^5$ (wzór A),
-\item $f(x) = (x-1)*(x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1)$ (wzór B),
-\item $f(x) = (x-2)^13$ (wzór C),
-\item $f(x) = x^13 - 26*x^12 + 312*x^11 - 2288*x^10 + ... - 8192$ (wzór D),
-\end{enumerate}
-gdy tolerancję błędu zadasz na poziomie $10^{-10}$.
 Jak wyjaśnić te wyniki? Czy możesz już być pewna, że masz dobrą implementację?
-\end{exe}
+}}
-\begin{sol}
+<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 Jeśli nie pomylisz się, metoda powinna zbiegać bez problemów do zera funkcji
-$\sin$, dawać komunikat o błędzie dla $\sin^2$ (bo nie ma przeciwnych znaków).
+<math>\displaystyle \sin</math>, dawać komunikat o błędzie dla <math>\displaystyle \sin^2</math> (bo nie ma przeciwnych znaków).
 Zapewne zauważyłaś, że wzory A i B są matematycznie równoważne, podobnie zresztą
 jak wzory C i D. Niestety, tylko wzór A i C dają w efekcie dobre przybliżenia
 miejsca zerowego, podczas gdy wzory B i D prowadzą do oszacowania na miejsce
-zerowe, które {\em w ogóle nie zawierają} prawdziwego miejsca zerowego.
+zerowe, które ''w ogóle nie zawierają'' prawdziwego miejsca zerowego.
 Wyjaśnieniem tego fenomenu jest zjawisko redukcji cyfr przy odejmowaniu.
-\rysunek{bisekcjawblad.png}{Metoda bisekcji ma kłopoty, gdy funkcja zadana jest
+[[Image:bisekcjawblad.png|thumb|right|400px|Metoda bisekcji ma kłopoty, gdy funkcja zadana jest
-wzorem D.}
+wzorem D.]]
-\rysunek{bisekcjawresid.png}{Residuum też jest duże, gdy $f$ zadana jest
+[[Image:bisekcjawresid.png|thumb|right|400px|Residuum też jest duże, gdy <math>\displaystyle f</math> zadana jest
-wzorem D.}
+wzorem D.]]
 Jeśli chodzi o pewność... No cóż, sprawdziłaś, że działa w przypadkach, gdy
@@ Linia 141: / Linia 152: @@
 potwierdziłaś, że zachowanie metody jest zgodne z jej znanymi właściwościami.
-Tak więc, można {\em przypuszczać}, że implementacja jest poprawna.
+Tak więc, można ''przypuszczać'', że implementacja jest poprawna.
-\end{sol}
+</div></div>
-\begin{exe}
+{{cwiczenie|||
-Wskaż {\em wszystkie} wartości $x_0$, dla jakich metoda Newtona będzie zbieżna
+Wskaż ''wszystkie'' wartości <math>\displaystyle x_0</math>, dla jakich metoda Newtona będzie zbieżna
-do rozwiązania $x^*$ równania
+do rozwiązania <math>\displaystyle x^*</math> równania
-\[
-\arctan(x) = 0.
+<center><math>\displaystyle \arctan(x) = 0.
-\]
+</math></center>
-Wyznacz wartość $X_0$, z którego startując powinieneś dostać ciąg oscylujący $X_0, -X_0,\ldots$.
+Wyznacz wartość <math>\displaystyle X_0</math>, z którego startując powinieneś dostać ciąg oscylujący <math>\displaystyle X_0, -X_0,\ldots</math>.
 Sprawdź eksperymentalnie, czy tak jest rzeczywiście.
-\hint{Aby znaleźć graniczne $X_0$, czyli takie, dla którego dostaniesz
+<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-oscylacje $X_0, -X_0,\ldots$,  musisz rozwiązać równanie nieliniowe:
+Aby znaleźć graniczne <math>\displaystyle X_0</math>, czyli takie, dla którego dostaniesz
-\[
+oscylacje <math>\displaystyle X_0, -X_0,\ldots</math>,  musisz rozwiązać równanie nieliniowe:
--X_0 = X_0 - \frac{\arctan(X_0)}{\frac{1}{1+X_0^2}}.
-\]
+<center><math>\displaystyle -X_0 = X_0 - \frac{\arctan(X_0)}{\frac{1}{1+X_0^2}}.
+</math></center>
 To łatwe.
-}
-\end{exe}
+</div></div>
+}}
-\begin{sol}
+<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-Dla $-X_0 < x_0 < X_0$ mamy zbieżność. Dla $|x_0| = |X_0|$ oscylacje, dla
+Dla <math>\displaystyle -X_0 < x_0 < X_0</math> mamy zbieżność. Dla <math>\displaystyle |x_0| = |X_0|</math> oscylacje, dla
 większych wartości --- rozbieżność. Jednak w eksperymencie wszystko zależy od
-tego, jak dokładnie wyznaczyliśmy $X_0$. Na przykład, mój solver w Octave
+tego, jak dokładnie wyznaczyliśmy <math>\displaystyle X_0</math>. Na przykład, mój solver w Octave
-wyznaczył wartość $X_0$, dla której metoda Newtona dała następujący ciąg:
+wyznaczył wartość <math>\displaystyle X_0</math>, dla której metoda Newtona dała następujący ciąg:
-\begin{outoct}
-Iteracja:   1,   x = -1.39175
+Iteracja:   1,   x <nowiki>=</nowiki> -1.39175
-Iteracja:   2,   x = 1.39175
+Iteracja:   2,   x <nowiki>=</nowiki> 1.39175
-Iteracja:   3,   x = -1.39175
+Iteracja:   3,   x <nowiki>=</nowiki> -1.39175
-Iteracja:   4,   x = 1.39175
+Iteracja:   4,   x <nowiki>=</nowiki> 1.39175
-Iteracja:   5,   x = -1.39175
+Iteracja:   5,   x <nowiki>=</nowiki> -1.39175
 .. itd ..
-Iteracja:  25,   x = -1.39176
+Iteracja:  25,   x <nowiki>=</nowiki> -1.39176
-Iteracja:  26,   x = 1.39178
+Iteracja:  26,   x <nowiki>=</nowiki> 1.39178
-Iteracja:  27,   x = -1.39183
+Iteracja:  27,   x <nowiki>=</nowiki> -1.39183
-Iteracja:  28,   x = 1.39197
+Iteracja:  28,   x <nowiki>=</nowiki> 1.39197
-Iteracja:  29,   x = -1.39235
+Iteracja:  29,   x <nowiki>=</nowiki> -1.39235
-Iteracja:  30,   x = 1.39333
+Iteracja:  30,   x <nowiki>=</nowiki> 1.39333
-Iteracja:  31,   x = -1.39594
+Iteracja:  31,   x <nowiki>=</nowiki> -1.39594
-Iteracja:  32,   x = 1.40283
+Iteracja:  32,   x <nowiki>=</nowiki> 1.40283
-Iteracja:  33,   x = -1.42117
+Iteracja:  33,   x <nowiki>=</nowiki> -1.42117
-Iteracja:  34,   x = 1.47061
+Iteracja:  34,   x <nowiki>=</nowiki> 1.47061
-Iteracja:  35,   x = -1.60867
+Iteracja:  35,   x <nowiki>=</nowiki> -1.60867
-Iteracja:  36,   x = 2.03161
+Iteracja:  36,   x <nowiki>=</nowiki> 2.03161
-Iteracja:  37,   x = -3.67722
+Iteracja:  37,   x <nowiki>=</nowiki> -3.67722
-Iteracja:  38,   x = 15.2779
+Iteracja:  38,   x <nowiki>=</nowiki> 15.2779
-Iteracja:  39,   x = -337.619
+Iteracja:  39,   x <nowiki>=</nowiki> -337.619
-Iteracja:  40,   x = 178376
+Iteracja:  40,   x <nowiki>=</nowiki> 178376
-Iteracja:  41,   x = -4.99792e+10
+Iteracja:  41,   x <nowiki>=</nowiki> -4.99792e+10
-Iteracja:  42,   x = 3.92372e+21
+Iteracja:  42,   x <nowiki>=</nowiki> 3.92372e+21
-Iteracja:  43,   x = -2.41834e+43
+Iteracja:  43,   x <nowiki>=</nowiki> -2.41834e+43
-Iteracja:  44,   x = 9.18658e+86
+Iteracja:  44,   x <nowiki>=</nowiki> 9.18658e+86
-Iteracja:  45,   x = -1.32565e+174
+Iteracja:  45,   x <nowiki>=</nowiki> -1.32565e+174
-Iteracja:  46,   x = inf
+Iteracja:  46,   x <nowiki>=</nowiki> inf
-Iteracja:  47,   x = nan
+Iteracja:  47,   x <nowiki>=</nowiki> nan
-\end{outoct}
-\end{sol}
+</div></div>