PS Moduł 4: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 02:48, 26 sie 2006

Przypominamy, że sygnały dyskretne o skończonej energii należą do przestrzeni Hilberta $l^{2}$ , w której iloczyn skalarny jest określony wzorem $(x, y)_{l^{2}} = \sum_{- \infty}^{\infty} x (n T_{s}) y^{*} (n T_{s})$ .
Celowo przyjmujemy na razie nieunormowaną skalę czasu.
Podobnie jak w przypadku sygnałów analogowych widmo sygnału dyskretnego jest w ogólnym przypadku ciągłą funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej $ω$ .
W teorii sygnałów dyskretnych argument widma jest oznaczany zwyczajowo przez $e^{j ω T_{s}}$ , a nie w sposób naturalny przez $ω$ .

Okresowość widm sygnałów dyskretnych jest ich podstawową cechą. Gdybyśmy widma te wyrazili w funkcji częstotliwości $f = ω / 2 π$ , ich okres byłby równy częstotliwości próbkowania $f_{s}$ .
Jeśli widmo sygnału dyskretnego jest wyrażone w funkcji pulsacji unormowanej $θ = ω / 2 π$ , jego okres jest równy $2 π$ .
Widmo (4.2) można także zapisać w funkcji częstotliwości unormowanej $ν = ω / ω_{s} = f / f_{s} = θ / 2 π$ . Jego okres jest wówczas równy $1$ .

Widmo impulsu Kroneckera jest stałe przedziale $- π \leq θ \leq π$ , a zarazem na całej osi $θ$ .
Korzystanie ze wzorów na sumę skończonego lub nieskończonego szeregu geometrycznego jest charakterystyczne dla obliczania widm wielu sygnałów dyskretnych.

Wykres widma amplitudowego dyskretnego impulsu prostokątnego został sporządzony dla $N = 6$ w przedziale $[- 3 π, 3 π]$ . Jeśli $N$ rośnie, wysokość okresowo powtarzanych „listków” głównych widma rośnie, a ich szerokość maleje. Jednocześnie maleje poziom listków bocznych.
Zwiększając $N$ do nieskończoności otrzymujemy w granicy dyskretny sygnał stały. Przejściu granicznemu towarzyszy wzrost wysokości listków głównych widma do nieskończoności i zanikanie listków bocznych do zera. W efekcie otrzymujemy dystrybucję grzebieniową w dziedzinie częstotliwości (rys. b)
Wzór (4.4) określa wartości kolejnych próbek sygnału dla $n ϵ ◻$ .

Twierdzenia dotyczące przekształcenia Fouriera sygnałów dyskretnych mają swoje ścisłe odpowiedniki w twierdzeniach dotyczących przekształcenia Fouriera sygnałów analogowych. Podobna też jest ich interpretacja.

Uogólnione twierdzenie Rayleigha wyraża równość iloczynów skalarnych w przestrzeni $l^{2}$ sygnałów dyskretnych i przestrzeni ${L^{2}}_{2 π}$ ich okresowych widm.
Twierdzenie Parsevala wyraża równość norm w obu tych przestrzeniach.

Sygnały $N$ -okresowe są szczególnym przypadkiem sygnałów dyskretnych. Powstają one np. w wyniku próbkowania okresowych sygnałów analogowych dokładnie $N$ razy w okresie.
W celu podkreślenia $N$ -okresowości sygnałów są one oznaczane z kreską u góry.
Sygnały bazowe Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \left \{ e^{j2\pi kn/N}: k=0,...N-1}\right \} } w przestrzeni Hilberta ${l^{2}}_{N}$ pełnią podobną rolę jak sygnały bazowe Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \left \{ e^{jk\omega_0 t}: k\epsilon \Box}\right \} } w przestrzeni Hilberta ${L^{2}}_{T_{0}}$ , $T_{0} = 2 π / ω_{0}$ . Zasadnicza różnica polega jednak na tym, że w przypadku przestrzeni ${l^{2}}_{N}$ baza jest skończona.

@@ Linia 67: / Linia 67: @@
 *Sygnały <math>N\,</math>-okresowe są szczególnym przypadkiem sygnałów dyskretnych. Powstają one np. w wyniku próbkowania okresowych sygnałów analogowych dokładnie <math>N\,</math>  razy w okresie.
 *W celu podkreślenia <math>N\,</math>-okresowości sygnałów są one oznaczane z kreską u góry.
-*Sygnały bazowe   w przestrzeni Hilberta   pełnią podobną rolę jak sygnały bazowe   w przestrzeni Hilberta  ,  . Zasadnicza różnica polega jednak na tym, że w przypadku przestrzeni    baza jest skończona.
+*Sygnały bazowe <math>\left \{ e^{j2\pi kn/N}: k=0,...N-1}\right \} </math>  w przestrzeni Hilberta <math>{l^2}_N\,</math>  pełnią podobną rolę jak sygnały bazowe <math>\left \{ e^{jk\omega_0 t}: k\epsilon \Box}\right \} </math>   w przestrzeni Hilberta <math>{L^2}_{T_0}\,</math> , <math>T_0=2\pi/{\omega_0}</math> . Zasadnicza różnica polega jednak na tym, że w przypadku przestrzeni  <math>{l^2}_N\,</math>   baza jest skończona.
 |}