PS Moduł 2

Ujęcie sygnałów w kategoriach przestrzeni funkcyjnych ma wiele zalet, m.in. umożliwia: przeniesienie na grunt teorii sygnałów dobrze rozwiniętych metod analizy matematycznej, formalne określenie miary odległości sygnałów w danej przestrzeni (analogicznej do odległości euklidesowskiej w zwykłej $n$ -wymiarowej przestrzeni wektorowej ${◻}^n$ ), wyodrębnienie w danej przestrzeni zbioru pewnych standardowych sygnałów spełniających funkcję sygnałów bazowych (analogiczną do tej jaką pełnią wersory osi w przestrzeni ${◻}^n$ ), reprezentację sygnału w danej przestrzeni zbiorem współczynników (nieskończonym w przypadku przestrzeni nieskończenie wymiarowych i skończonym w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych) rozkładu tego sygnału na sygnały bazowe (analogiczną do reprezentacji każdego wektora w przestrzeni ${◻}^n$ jako kombinacji liniowej wersorów), określenie kąta między sygnałami, w szczególności rozstrzyganie ich ortogonalności (analogicznie jak na podstawie iloczynu skalarnego można wnioskować o prostopadłości wektorów w przestrzeni ${◻}^n$ ). Korzystanie z analogii między dobrze znaną zwykłą przestrzenią wektorową ${◻}^n$ (aczkolwiek jest to skończenie wymiarowa przestrzeń Hilberta) a przestrzeniami sygnałowymi Hilberta (które najczęściej, choć nie zawsze, są przestrzeniami nieskończenie wymiarowymi) znakomicie ułatwia zrozumienie pojęć tej części wykładu. Z uwagi na tę analogię metody analizy i syntezy sygnałów oparte na ich reprezentacjach w przestrzeniach Hilberta noszą nazwę metod geometrycznych.

---

Ponieważ baza przestrzeni (2.1) zawiera tylko dwa elementy, zatem przestrzeń ta jest dwuwymiarowa. W przypadku przestrzeni ${L^2}_{T_0}$ baza składa się z nieskończonej (przeliczalnej) liczby elementów. Jest to zatem przestrzeń nieskończenie wymiarowa.

---

W systemie czterowartościowej modulacji cyfrowej QPSK informacja jest transmitowana w postaci ciągu prostokątnych impulsów radiowych o jednakowym czasie trwania $T$ , jednakowej częstotliwości $f_0=1/T$ i amplitudzie $A$ oraz różnych losowych fazach. W każdym przedziale czasu o długości $T$ transmitowany jest jeden z impulsów $s_1(t),s_2(t),s_3(t),$ lub $s_4(t)$ . Informacja jest zakodowana w fazie, przy czym cztery możliwe wartości fazy odpowiadają transmitowanym dwubitom: „10”, „00”, „01” oraz „11”. Z reguły $T_0◻T$ , a ponadto $T/T_0$ jest liczbą całkowitą, tzn. na przedział $T$ przypada całkowita liczba okresów fali harmonicznej.

---

Korzystając z elementarnych tożsamości trygonometrycznych sygnały QPSK można doprowadzić do postaci (2.1). Otrzymane współczynniki $a$ i $b$ przy składowych bazowych $cos2\pi f_{0}t$ i $sin2\pi f_{0}t$ są zarazem współrzędnymi wektorów reprezentujących sygnały QPSK.

---

Pojęcie przestrzeni metrycznej jest podstawowym pojęciem analizy funkcjonalnej. W danym zbiorze można określić więcej niż jedną metrykę. Ten sam zbiór z dwiema różnymi metrykami stanowi dwie różne przestrzenie metryczne. Dla prostoty zapisu w definicjach metryk przestrzeni $L^2(0,T)$ i ${L^2}_{T_0}$ opuszczony został argument $t$ w zapisach sygnałów. Analogicznie można zdefiniować przestrzenie metryczne $L^2(0,\mathrm{\infty })$ oraz $L^2(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ sygnałów o ograniczonej energii określonych w przedziale $[0,\mathrm{\infty })$ i odpowiednio $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ , zmieniając w definicji metryki granice całkowania.

---

Metryka opisuje właściwości geometryczne zbioru $X$ . W przestrzeni liniowej są natomiast określone dodatkowo operacje na jej elementach, a przez to konkretna struktura algebraiczna. W zastosowaniach teorii sygnałów ciałem $F$ jest zwykle albo zbiór liczb rzeczywistych $◻$ albo zespolonych $◻$ (zakładamy tu, że pojęcie ciała jest znane). W zapisie aksjomatów 1-6 pomijany jest dla prostoty znak operacji mnożenia Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle "\cdot"\,} . Z aksjomatów przestrzeni liniowej wynikają następujące oczywiste właściwości: $x+\varnothing =x$ , istnieje jedyny element $-xϵX$ , taki że $x+(-x)=\varnothing$ , jeśli $\alpha x=\varnothing$ i $x\ne \varnothing$ , to $\alpha =0$ .

---

W przestrzeni ${◻}^n$ norma $||x||$ wektora $x$ jest zarazem jego długością. Z tego względu w odniesieniu do przestrzeni sygnałowych norma sygnału jest nazywana niekiedy jego „długością”. Dwa elementy $(x,y)$ przestrzeni liniowej unormowanej są równe wtedy i tylko wtedy, kiedy $||x-y)||=0$ , tj. kiedy element różnicowy jest elementem zerowym. Mówimy wówczas o równości elementów sensie normy. Przestrzeń metryczną $(X,\rho )$ nazywamy przestrzenią zupełną, jeśli każdy ciąg Cauchy’ego (por. [1], def. 2.12) jej elementów jest zbieżny w sensie metryki do pewnej granicy i granica ta jest elementem przestrzeni.

---

Definiując iloczyn skalarny przyjęliśmy od razu, że przestrzeń liniowa może być zespolona. Dlatego w aksjomacie 1 występuje symbol sprzężenia Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle "\, *\,"\,} . W przestrzeni Banacha określona jest odległość między jej elementami. W przestrzeni Hilberta jest natomiast określony dodatkowo „kąt” między nimi. Określenie iloczynu skalarnego w danej przestrzeni umożliwia wprowadzenie bardzo ważnego pojęcia ortogonalności sygnałów (odpowiednika prostopadłości wektorów w przestrzeni ). Dla ortogonalnych sygnałów spełniona jest (uogólniona) równość Pitagorasa: $||x+y)|{|}^2=||x|{|}^2+||y|{|}^2$

---

Przestrzeniami Hilberta są także przestrzenie $L^2(0,\mathrm{\infty })$ oraz $L^2(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ . W przestrzeni sygnałów nieokresowych o ograniczonej mocy nie można w ogólnym przypadku wprowadzić iloczynu skalarnego. Dla przestrzeni tej można natomiast zdefiniować pseudoiloczyn skalarny o zbliżonych właściwościach formalnych. Przestrzeniami Hilberta są oczywiście również zbiory wszystkich sygnałów dyskretnych o ograniczonej energii określonych dla $nϵ◻$ oraz dla $nϵ[n_1,n_2]$ . W tym ostatnim przypadku przestrzeń jest tożsama ze zwykłą przestrzenią wektorową o wymiarze $n_2-n_1+1$ .

---

Baza $\{x_k:kϵK\}$ danej przestrzeni może być skończona, gdy zbiór indeksów $K$ jest skończony, lub nieskończona, gdy zbiór $K$ jest przeliczalny (z reguły równy $◻\cup \left\{0\right\}$ lub $◻$ ) Przestrzeń rozpięta na bazie danej przestrzeni może być identyczna z tą przestrzenią lub być jej podprzestrzenią. Nie w każdej przestrzeni Hilberta istnieje baza ortogonalna. Przestrzeń Hilberta, w której można wyróżnić taką bazę nosi nazwę ośrodkowej przestrzeni Hilberta. W ogólnym przypadku w danej przestrzeni Hilberta może istnieć więcej niż jedna baza ortogonalna. Sygnały ortonormalne są wiernym odpowiednikiem wersorów w zwykłej przestrzeni wektorowej. Każdą bazę przestrzeni Hilberta (a więc zbiór elementów liniowo niezależnych) można zortogonalizować i unormować stosując znaną w literaturze procedurę ortonormalizacji Grama-Schmidta.

---

Wzór (2.9) opisuje rozwinięcie sygnału $x$ w uogólniony szereg Fouriera określony w danej ośrodkowej przestrzeni Hilberta względem bazy ortonormalnej $\{x_k:kϵK\}$ , zaś zbiór $\{a_k:kϵK\}$ współczynników tego rozwinięcia stanowi jednoznaczną reprezentację tego sygnału określoną względem tej bazy. Wzór (2.10) na współczynniki szeregu (2.9) można otrzymać obliczając iloczyny skalarne tego szeregu z sygnałami bazowymi $x_k$ i uwzględniając przy tym ich ortogonalność: $(x,x_k)=(\sum _{lϵK}{\alpha }_l{x}_l,x_k)=\sum _{lϵK}{\alpha }_l(x_l,x_k)=\{\begin{array}{ll}0& dlal\ne k\\ {\alpha }_k& dlal=k\end{array}$ Podkreślmy, że dobrze znane trygonometryczne szeregi Fouriera: rzeczywisty i zespolony są przypadkami szczególnymi szeregu uogólnionego (2.9). Na zakończenie tego wykładu zostaną podane przykłady innych uogólnionych szeregów Fouriera.

---

W niektórych przypadkach rozwinięcie (2.11) w uogólniony szereg Fouriera względem bazy ortogonalnej ma prostszą postać niż rozwinięcie (2.9) względem odpowiadającej jej bazy ortonormalnej. Odwzorowanie $\chi :X\to l^2$ jest liniowe, a ponadto zachowuje normę, tzn. odpowiednie normy w przestrzeniach $X$ i $l^2$ są sobie równe. O odwzorowaniu takim mówimy , że jest izometryczne. Odwzorowanie to zachowuje także iloczyn skalarny.

---

W praktyce zachodzi konieczność ograniczenia reprezentacji danego sygnału do skończonej sumy $N$ początkowych wyrazów uogólnionego szeregu Fouriera. Suma (2.12) przybliża wówczas sygnał jedynie z pewną dokładnością. Błąd przybliżenia jest różnicą sygnału $x$ i szeregu aproksy¬mującego (2.12), zaś za miarę tego błędu przyjmujemy normę sygnału błędu w danej przestrzeni. Miara ta jest najmniejsza ze względu na dobór współczynników sumy (2.12). Oznacza to, że wybór jakichkolwiek innych współczynników ${\beta }_k$ różnych od współczynników Fouriera ${\alpha }_k$ określonych wzorem (2.10) prowadzi do zwiększenia miary błędu. Można pokazać, że miarę tę da się wyrazić przez normę sygnału i pierwsze $N$ współczynniki Fouriera. Twierdzenie Parsevala (2.14) orzeka, że normę sygnału można wyrazić przez współczynniki jego rozwinięcia w uogólniony szereg Fouriera. Z połączenia wzorów (2.13) i (2.14) wynika, że miara błędu aproksymacji jest określona przez współczynniki Fouriera nie uwzględnione w szeregu aproksymującym.

---

Na wyjściach integratorów układu z rys. 2.1 otrzymujemy w chwili $T$ sygnały o wartościach równych współczynnikom Fouriera ${\alpha }_k$ . W praktyce możemy oczywiście zastosować skończoną liczbę generatorów sygnałów bazowych, zatem układ realizuje w istocie rzeczy optymalną aproksymację sygnału $x(t)$ skończonym ortonormalnym szeregiem Fouriera.

---

Układowe wyznaczanie iloczynów skalarnych sygnału $x(t)$ z funkcjami Haara jest szczególnie proste. Mnożenie można zrealizować za pomocą układów kluczujących, zmieniając polaryzację sygnałów w odpowiednich chwilach.

---

Zwróćmy uwagę, że poszczególne funkcje Haara są wykreślone w tej samej skali czasu, ale w różnych skalach amplitudy. Dokonując odpowiedniej transformacji skali czasu i skali amplitud, możemy określić bazę ortonormalną funkcji Haara w dowolnym skończonym przedziale czasu.

---

Funkcje Walsha są funkcjami binarnymi przybierającymi dwie wartości $+1$ lub $-1$ .

---

Definicja funkcji Walsha jest dość skomplikowana. Jednak sposób ich tworzenia będzie dobrze widoczny na wykresach tych funkcji.

---

Podobnie jak funkcje Haara funkcje Walsha można uporządkować według jednego wskaźnika , definiując: , , dla , gdzie oraz .