Analiza matematyczna 2/Wykład 3: Norma. Iloczyn skalarny: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
Gracja (dyskusja | edycje)
Nie podano opisu zmian
Gracja (dyskusja | edycje)
Nie podano opisu zmian
Linia 1: Linia 1:
''Uwaga: przekonwertowane latex2mediawiki; prawdopodobnie trzeba wprowadzi栰oprawki''
==3. Norma. Iloczyn skalarny==
 
==Norma. Iloczyn skalarny==


W wykładzie tym wprowadzamy pojęcie normy i przestrzeni
W wykładzie tym wprowadzamy pojęcie normy i przestrzeni
Linia 8: Linia 6:
wypukłymi.
wypukłymi.
Wprowadzamy pojęcia iloczynu skalarnego i przestrzeni unitarnej.
Wprowadzamy pojęcia iloczynu skalarnego i przestrzeni unitarnej.
Dowodzimy nierówność Schwarza,
Dowodzimy nierówności Schwarza,
warunek równoległoboku
warunku równoległoboku
i twierdzenie Pitagorasa.
i twierdzenia Pitagorasa.


===Przestrzenie unormowane===
==3.1. Przestrzenie unormowane==


Przypomnijmy, że na pierwszym wykładzie z Analizy Matematycznej
Przypomnijmy, że na pierwszym wykładzie z Analizy Matematycznej
Linia 23: Linia 21:
Funkcję tę nazwiemy normą.
Funkcję tę nazwiemy normą.
Okaże się
Okaże się
(zgodnie z intuicją, jak dla przypadku płaszczyzny <math>\displaystyle \displaystyle\rr^2</math>),
(zgodnie z intuicją, jak dla przypadku płaszczyzny <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math>),
że jeśli umiemy zmierzyć długość wektorów
że jeśli umiemy zmierzyć długość wektorów
przestrzeni wektorowej <math>\displaystyle X,</math>
przestrzeni wektorowej <math>\displaystyle X,</math>
Linia 30: Linia 28:


Pojęcie normy jest szczególnie przydatne w przestrzeniach
Pojęcie normy jest szczególnie przydatne w przestrzeniach
funkcji (na przykład przestrzeniach funkcji liniowych lub przestrzeniach
funkcji (np. przestrzeniach funkcji liniowych lub przestrzeniach
funkcji ciągłych). Norma będzie nam również przydatna w przyszłości do
funkcji ciągłych). Norma będzie nam również przydatna w przyszłości do
zdefiniowania pochodnych wyższych rzędów dla funkcji wielu
zdefiniowania pochodnych wyższych rzędów dla funkcji wielu
Linia 37: Linia 35:
Wprowadźmy formalną definicję
Wprowadźmy formalną definicję
(wektor zerowy przestrzeni wektorowej <math>\displaystyle X</math> będziemy oznaczać przez <math>\displaystyle \Theta</math>).
(wektor zerowy przestrzeni wektorowej <math>\displaystyle X</math> będziemy oznaczać przez <math>\displaystyle \Theta</math>).
{{definicja|||


Niech <math>\displaystyle X</math> będzie przestrzenią wektorową nad ciałem <math>\displaystyle K</math>
Niech <math>\displaystyle X</math> będzie przestrzenią wektorową nad ciałem <math>\displaystyle K</math>
(<math>\displaystyle K=\rr</math> lub <math>\displaystyle K=\cc</math>).<br>
(<math>\displaystyle K=\mathbb{R}</math> lub <math>\displaystyle K=\mathbb{C}</math>).<br>
Odwzorowanie
Odwzorowanie
<math>\displaystyle \displaystyle\|\cdot\|\colon X\lra\rr_+</math> nazywamy normą w <math>\displaystyle X,</math>  jeśli:<br>
<math>\displaystyle \displaystyle\|\cdot\|\colon X\longrightarrow\mathbb{R}_+</math> nazywamy normą w <math>\displaystyle X,</math>  jeśli:<br>
'''(1)'''
'''(1)'''
<math>\displaystyle \displaystyle\forall x\in X:\ \
<math>\displaystyle \displaystyle\forall x\in X:\ \
\|x\|=0\ \Llra\ x=\Theta;</math><br>
\|x\|=0\ \Longleftrightarrow\ x=\Theta</math>;<br>
'''(2)'''
'''(2)'''
<math>\displaystyle \displaystyle\forall x\in X,\ \ \lambda\in K:\ \
<math>\displaystyle \displaystyle\forall x\in X,\ \ \lambda\in K:\ \
Linia 54: Linia 54:
(subaddytywność).<br>
(subaddytywność).<br>
Parę <math>\displaystyle \displaystyle (X,\|\cdot\|)</math> nazywamy
Parę <math>\displaystyle \displaystyle (X,\|\cdot\|)</math> nazywamy
{przestrzenią unormowaną}.
'''''przestrzenią unormowaną'''''.
}}


Zauważmy, że definicja powyższa precyzuje nasze naturalne
Zauważmy, że definicja powyższa precyzuje nasze naturalne
Linia 65: Linia 66:
tego wektora i wartości bezwzględnej tej liczby;<br>
tego wektora i wartości bezwzględnej tej liczby;<br>
'''(3)'''
'''(3)'''
długość sumy wektorów jest nie większa od sumy ich długości.
długość sumy wektorów jest niewiększa od sumy ich długości.
 
{{przyklad|||


W przestrzeni wektorowej
W przestrzeni wektorowej
<math>\displaystyle \displaystyle\rr^N</math> nad <math>\displaystyle \displaystyle\rr</math> możemy wprowadzić następujące
<math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math> nad <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}</math> możemy wprowadzić następujące
normy:<br>
normy:<br>
<math>\displaystyle \displaystyle \|x\|_{2}
<math>\displaystyle \displaystyle \|x\|_{2}
\sri
\stackrel{df}{=}
\sqrt{\sum_{i=1}^N x_i^2},
\sqrt{\sum_{i=1}^N x_i^2},
\qquad  x=(x_1,\ldots,x_N)\in\rr^N</math>
\qquad  x=(x_1,\ldots,x_N)\in\mathbb{R}^N</math>
(norma euklidesowa),<br>
(norma euklidesowa),<br>
<math>\displaystyle \displaystyle
<math>\displaystyle \displaystyle
\|x\|_{1}
\|x\|_{1}
\sri
\stackrel{df}{=}
\sum_{i=1}^N |x_i|,
\sum_{i=1}^N |x_i|,
\qquad  x=(x_1,\ldots,x_N)\in\rr^N</math>
\qquad  x=(x_1,\ldots,x_N)\in\mathbb{R}^N</math>
(norma taksówkowa),<br>
(norma taksówkowa),<br>
<math>\displaystyle \displaystyle
<math>\displaystyle \displaystyle
\|x\|_{\infty}
\|x\|_{\infty}
\sri
\stackrel{df}{=}
\max_{1\le i\le N} |x_i|,
\max_{1\le i\le N} |x_i|,
\qquad  x=(x_1,\ldots,x_N)\in\rr^N</math>
\qquad  x=(x_1,\ldots,x_N)\in\mathbb{R}^N</math>
(normamaksimowa).<br>
(normamaksimowa).<br>
Dowód faktu, że powyższe odwzorowania są normami, pozostawiamy
Dowód faktów, że powyższe odwzorowania są normami pozostawiamy
na ćwiczenia (patrz Zadanie [[##z.new.am2.c.03.010|Uzupelnic z.new.am2.c.03.010|]]).
na ćwiczenia (patrz Zadanie [[##z.new.am2.c.03.010|Uzupelnic z.new.am2.c.03.010|]]).
Nazwy powyższych norm nie są przypadkowe
Nazwy powyższych norm nie są przypadkowe
(patrz Uwaga [[##u.new.am2.w.03.040|Uzupelnic u.new.am2.w.03.040|]]).
(patrz Uwaga [[##u.new.am2.w.03.040|Uzupelnic u.new.am2.w.03.040|]]).
}}


Okazuje się, że każda przestrzeń unormowana jest w naturalny
Okazuje się, że każda przestrzeń unormowana jest w naturalny
Linia 96: Linia 100:
Mówi o tym następujące twierdzenie.
Mówi o tym następujące twierdzenie.


{{twierdzenie|||
Jeśli
<math>\displaystyle \displaystyle (X,\|\cdot\|)</math> jest przestrzenią unormowaną,
<math>\displaystyle \displaystyle (X,\|\cdot\|)</math> jest przestrzenią unormowaną,
<math>\displaystyle d\colon X\times X\lra\rr_+</math>
<math>\displaystyle d\colon X\times X\longrightarrow\mathbb{R}_+</math>
jest funkcją zadaną przez
jest funkcją zadaną przez
<math>\displaystyle d(x,y)\sri\|x-y\|,\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> jest przestrzenią metryczną.<br>
<math>\displaystyle d(x,y)\stackrel{df}{=}\|x-y\|,</math>
to
<math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> jest przestrzenią metryczną.<br>
Mówimy, że <math>\displaystyle d</math> jest
Mówimy, że <math>\displaystyle d</math> jest
{metryką zadaną przez normę} <math>\displaystyle \displaystyle\|\cdot\|.</math>
'''''metryką zadaną przez normę''''' <math>\displaystyle \displaystyle\|\cdot\|.</math>
}}
 
{{dowod|||


Załóżmy, że <math>\displaystyle \displaystyle\|\cdot\|</math> jest normą w <math>\displaystyle X.</math>
Załóżmy, że <math>\displaystyle \displaystyle\|\cdot\|</math> jest normą w <math>\displaystyle X.</math>
Pokażemy, że odwzorowanie
Pokażemy, że odwzorowanie
<math>\displaystyle d\colon X\times X\lra\rr_+</math>
<math>\displaystyle d\colon X\times X\longrightarrow\mathbb{R}_+</math>
zadane przez <math>\displaystyle d(x,y)\sri\|x-y\|</math>
zadane przez <math>\displaystyle d(x,y)\stackrel{df}{=}\|x-y\|</math>
jest metryką w <math>\displaystyle X.</math><br>
jest metryką w <math>\displaystyle X.</math><br>
'''(1)'''
'''(1)'''
Linia 128: Linia 140:


'''(2)'''
'''(2)'''
Dla dowolnych <math>\displaystyle x,y\in X</math> mamy
Dla dowolnych <math>\displaystyle x,y\in X,</math> mamy


<center><math>\displaystyle d(x,y)
<center><math>\displaystyle d(x,y)
Linia 146: Linia 158:


'''(3)'''
'''(3)'''
Dla dowolnych <math>\displaystyle x,y,z\in X</math> mamy
Dla dowolnych <math>\displaystyle x,y,z\in X,</math> mamy


<center><math>\displaystyle d(x,y)
<center><math>\displaystyle d(x,y)
Linia 156: Linia 168:
\|x-z\|+\|z-y\|
\|x-z\|+\|z-y\|
\ =\
\ =\
d(x,z)+d(z,y),
d(x,z)+d(z,y)
</math></center>
</math></center>


więc zachodzi warunek trójkąta dla <math>\displaystyle d.</math>
zatem zachodzi warunek trójkąta dla <math>\displaystyle d.</math>


Pokazaliśmy zatem, że <math>\displaystyle d</math> jest metryką.
Pokazaliśmy zatem, że <math>\displaystyle d</math> jest metryką.
}}
{{uwaga|||


'''(1)'''
'''(1)'''
Linia 171: Linia 186:
'''(3)'''
'''(3)'''
Zbieżność w sensie metryki zadanej przez normę nazywamy
Zbieżność w sensie metryki zadanej przez normę nazywamy
{zbieżnością silną} lub
'''''zbieżnością silną''''' lub
{zbieżnością w normie}, to znaczy
'''''zbieżnością w normie''''', to znaczy
jeśli <math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X</math> jest ciągiem, to
jeśli <math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X</math> jest ciągiem, to


<center><math>\displaystyle \graph
<center><math>\displaystyle  
x_n
x_n
\ \stackrel{\|\cdot\|}{\lra}
\ \stackrel{\|\cdot\|}{\longrightarrow}
x
x
\ \ \ \stackrel{df}{\Llra}\ \ \
\ \ \ \stackrel{df}{\Longleftrightarrow}\ \ \
\|x_n-x\|
\|x_n-x\|
\ \lra\
\ \longrightarrow\
0.
0.
</math></center>
</math></center>


'''(4)'''
'''(4)'''
Normy: euklidesowa, taksówkowa, maksimowa, zdefiniowane w
Normy euklidesowa, taksówkowa, maksimowa zdefiniowane w
Przykładzie [[##p.new.am2.w.03.020|Uzupelnic p.new.am2.w.03.020|]], zadają odpowiednio
Przykładzie [[##p.new.am2.w.03.020|Uzupelnic p.new.am2.w.03.020|]] zadają odpowiednio
metryki euklidesową, taksówkową, maksimową
metryki euklidesową, taksówkową, maksimową
(patrz Zadanie [[##z.new.am2.c.03.020|Uzupelnic z.new.am2.c.03.020|]]).
(patrz Zadanie [[##z.new.am2.c.03.020|Uzupelnic z.new.am2.c.03.020|]]).
}}


W przypadku norm można
Podobnie jak w przypadku metryk, tak i w przypadku norm można
rozważać ich równoważność.
rozważać ich równoważność.
{{definicja|||


Dwie normy <math>\displaystyle \displaystyle\|\cdot\|_{a}</math> i <math>\displaystyle \displaystyle\|\cdot\|_{b}</math> w
Dwie normy <math>\displaystyle \displaystyle\|\cdot\|_{a}</math> i <math>\displaystyle \displaystyle\|\cdot\|_{b}</math> w
przestrzeni unormowanej <math>\displaystyle X</math> nazywamy
przestrzeni unormowanej <math>\displaystyle X</math> nazywamy
{równoważnymi}, jeśli
'''''równoważnymi''''', jeśli


<center><math>\displaystyle \exists m,M>0\ \
<center><math>\displaystyle \exists m,M>0\ \
Linia 206: Linia 224:
M\|x\|_{a}.
M\|x\|_{a}.
</math></center>
</math></center>
}}


Równoważność norm ma następujące własności.
Równoważność norm ma następujące własności.
{{uwaga|||


'''(1)'''
'''(1)'''
Linia 214: Linia 236:
przestrzeni unormowanej.<br>
przestrzeni unormowanej.<br>
'''(2)'''
'''(2)'''
Normy: euklidesowa <math>\displaystyle \displaystyle\|\cdot\|_2,</math>
Norma euklidesowa <math>\displaystyle \displaystyle\|\cdot\|_2</math> zadaje metrykę euklidesową
maksimowa <math>\displaystyle \displaystyle\|\cdot\|_{\infty}</math> i
<math>\displaystyle d_2.</math>
taksówkowa <math>\displaystyle \displaystyle\|\cdot\|_1</math>
Norma maksimowa <math>\displaystyle \displaystyle\|\cdot\|_{\infty}</math> zadaje metrykę maksimową
są równoważne
<math>\displaystyle d_{\infty}.</math>
Norma taksówkowa <math>\displaystyle \displaystyle\|\cdot\|_1</math> zadaje metrykę taksówkową
<math>\displaystyle d_1</math>
(patrz Przykłady AM1.[[##p.new.am1.w.03.040|Uzupelnic p.new.am1.w.03.040|]], AM1.[[##p.new.am1.w.03.050|Uzupelnic p.new.am1.w.03.050|]]
oraz AM1.[[##p.new.am1.w.03.060|Uzupelnic p.new.am1.w.03.060|]]
oraz Zadanie [[##z.new.am2.c.03.020|Uzupelnic z.new.am2.c.03.020|]]).<br>
'''(3)''' Powyższe trzy normy są równoważne
(będzie to pokazane na ćwiczeniach;
(będzie to pokazane na ćwiczeniach;
patrz Zadanie [[##z.new.am2.c.03.030|Uzupelnic z.new.am2.c.03.030|]]).
patrz Zadanie [[##z.new.am2.c.03.030|Uzupelnic z.new.am2.c.03.030|]]).
Linia 223: Linia 251:
wymiarowych wszystkie normy są równoważne
wymiarowych wszystkie normy są równoważne
(patrz Twierdzenie [[##t.new.am2.w.03.150|Uzupelnic t.new.am2.w.03.150|]]).
(patrz Twierdzenie [[##t.new.am2.w.03.150|Uzupelnic t.new.am2.w.03.150|]]).
 
}}
Twierdzenie poniższe podajemy tu bez
dowodu.
 
Wszystkie normy w <math>\displaystyle \displaystyle\rr^N</math> są równoważne.


Kolejne twierdzenie mówi, że
Kolejne twierdzenie mówi, że
odwzorowanie normy <math>\displaystyle \displaystyle\|\cdot\|\colon X\lra\rr_+</math> jest ciągłe
odwzorowanie normy <math>\displaystyle \displaystyle\|\cdot\|\colon X\longrightarrow\mathbb{R}_+</math> jest ciągłe
(oczywiście w przestrzeni <math>\displaystyle X</math> rozważamy metrykę zadaną przez normę,
(oczywiście w przestrzeni <math>\displaystyle X</math> rozważamy metrykę zadaną przez normę,
a w <math>\displaystyle \displaystyle\rr</math> metrykę euklidesową).
a w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}</math> metrykę euklidesową).


{{twierdzenie|||
'''(Ciągłość normy)'''<br>
'''(Ciągłość normy)'''<br>
Norma jest funkcją ciągłą, to znaczy
Norma jest funkcją ciągłą, to znaczy


<center><math>\displaystyle \limn x_n = x
<center><math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n = x
\ \ \ \Lra\ \ \
\ \ \ \Longrightarrow\ \ \
\limn\|x_n\|=\|x\|.
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\|x_n\|=\|x\|.
</math></center>
</math></center>
}}


W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący
W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący
lemat, będący wariantem nierówności trójkąta.
lemat, będący wariantem nierówności trójkąta.


{{lemat|||
Jeśli
<math>\displaystyle X</math> jest przestrzenią unormowaną,
<math>\displaystyle X</math> jest przestrzenią unormowaną,
to


<center><math>\displaystyle \forall x,y\in X:\
<center><math>\displaystyle \forall x,y\in X:\
Linia 252: Linia 283:
\|x-y\|.
\|x-y\|.
</math></center>
</math></center>
}}
{{dowod|||


Korzystając z subaddytywności normy, dla dowolnych
Korzystając z subaddytywności normy, dla dowolnych
<math>\displaystyle x,y\in X</math> mamy
<math>\displaystyle x,y\in X,</math> mamy


<center><math>\displaystyle \|x\|
<center><math>\displaystyle \|x\|
Linia 278: Linia 313:


Obie powyższe nierówności implikują nierówność w tezie lematu.
Obie powyższe nierówności implikują nierówność w tezie lematu.
}}


{{dowod|||
Twierdzenia [[##t.new.am2.w.03.070|Uzupelnic t.new.am2.w.03.070|]]<br>
Twierdzenia [[##t.new.am2.w.03.070|Uzupelnic t.new.am2.w.03.070|]]<br>
Warunek <math>\displaystyle \displaystyle\limn x_n = x</math> oznacza, że
Warunek <math>\displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n = x</math> oznacza, że


<center><math>\displaystyle \limn \|x_n-x\|
<center><math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \|x_n-x\|
\ =\
\ =\
0.
0.
</math></center>
</math></center>


Ustalmy dowolne <math>\displaystyle \displaystyle\eps>0.</math>
Ustalmy dowolne <math>\displaystyle \displaystyle\varepsilon>0.</math>
Z powyższej równości wynika, że
Z powyższej równości wynika, że


Linia 293: Linia 330:
\|x_n-x\|
\|x_n-x\|
\ \le\
\ \le\
\eps.
\varepsilon.
</math></center>
</math></center>


Zatem dla
Zatem, dla
<math>\displaystyle n\ge N</math> mamy
<math>\displaystyle n\ge N,</math> mamy


<center><math>\displaystyle \big|\|x_n\|-\|x\|\big|
<center><math>\displaystyle \big|\|x_n\|-\|x\|\big|
Linia 303: Linia 340:
\|x_n-x\|
\|x_n-x\|
\ \le\
\ \le\
\eps.
\varepsilon.
</math></center>
</math></center>


Zatem pokazaliśmy, że <math>\displaystyle \displaystyle\graph\|x_n\|\stackrel{\rr}{\lra}\|x\|.</math>
Zatem pokazaliśmy, że <math>\displaystyle \displaystyle\|x_n\|\stackrel{\mathbb{R}}{\longrightarrow}\|x\|.</math>
}}


Dowód tego, że <math>\displaystyle \ol{K}(a,r)</math> jest zbiorem wypukłym jest analogiczny.
{{uwaga|||


'''(1)'''
'''(1)'''
Implikacja odwrotna do implikacji w
Implikacja odwrotna do implikacji w
twierdzeniu&nbsp;[[##t.new.am2.w.03.070|Uzupelnic t.new.am2.w.03.070|]] nie jest prawdziwa.<br>
twierdzeniu&nbsp;[[##t.new.am2.w.03.070|Uzupelnic t.new.am2.w.03.070|]] nie jest prawdziwa.<br>
Aby to zobaczyć, rozważmy ciąg <math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq \rr</math>
Aby to zobaczyć, rozważmy ciąg <math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq \mathbb{R}</math>
zadany przez
zadany przez
<math>\displaystyle x_n=(-1)^n.</math>
<math>\displaystyle x_n=(-1)^n.</math>
Linia 321: Linia 359:
\ =\
\ =\
1
1
\ \lra\
\ \longrightarrow\
1,
1,
</math></center>
</math></center>
Linia 333: Linia 371:
można odwrócić, to znaczy zachodzi równoważność:
można odwrócić, to znaczy zachodzi równoważność:


<center><math>\displaystyle \limn x_n = \Theta
<center><math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n = \Theta
\ \ \ \Llra\ \ \
\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \
\limn\|x_n\|=0
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\|x_n\|=0
</math></center>
</math></center>


(dowód pozostawiamy jako proste ćwiczenie).
(dowód pozostawiamy jako proste ćwiczenie).
}}


W przestrzeniach wektorowych możemy mówić o wypukłości zbiorów.
W przestrzeniach wektorowych możemy mówić o wypukłości zbiorów.
{{definicja|||


Niech <math>\displaystyle X</math> będzie przestrzenią unormowaną oraz
Niech <math>\displaystyle X</math> będzie przestrzenią unormowaną oraz
Linia 346: Linia 387:
'''(1)'''
'''(1)'''
Jeśli <math>\displaystyle x,y\in X,</math>
Jeśli <math>\displaystyle x,y\in X,</math>
to {odcinkiem} w <math>\displaystyle X</math> łączącym punkty <math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math>
to '''''odcinkiem''''' w <math>\displaystyle X</math> łączącym punkty <math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math>
nazywamy zbiór
nazywamy zbiór


<center><math>\displaystyle [x,y]
<center><math>\displaystyle [x,y]
\sr
\ \stackrel{df}{=}\
\bigg\{z\in X:\
\bigg\{z\in X:\
z=\lambda x+(1-\lambda)y:\ \
z=\lambda x+(1-\lambda)y:\ \
Linia 359: Linia 400:
{ [[Rysunek AM2.M03.W.R02 (stary numer AM2.4.1b)]]}<br>
{ [[Rysunek AM2.M03.W.R02 (stary numer AM2.4.1b)]]}<br>
'''(2)'''
'''(2)'''
Mówimy, że zbiór <math>\displaystyle A</math> jest {wypukły}, jeśli
Mówimy, że zbiór <math>\displaystyle A</math> jest '''''wypukły''''', jeśli


<center><math>\displaystyle \forall x,y\in A:\ \
<center><math>\displaystyle \forall x,y\in A:\ \
Linia 367: Linia 408:
{ [[Rysunek AM2.M03.W.R03 (stary numer AM2.4.2a)]]}<br>
{ [[Rysunek AM2.M03.W.R03 (stary numer AM2.4.2a)]]}<br>
{ [[Rysunek AM2.M03.W.R04 (stary numer AM2.4.2b)]]}
{ [[Rysunek AM2.M03.W.R04 (stary numer AM2.4.2b)]]}
}}


W szczególnych przestrzeniach metrycznych, jakimi są przestrzenie
W szczególnych przestrzeniach metrycznych jakimi są przestrzenie
unormowane, kule mają tę przydatną własność, że są wypukłe.
unormowane, kule mają tę przydatną własność, że są wypukłe.
{{twierdzenie|||


Kule i kule domknięte w przestrzeniach unormowanych są
Kule i kule domknięte w przestrzeniach unormowanych są
Linia 376: Linia 420:
{ [[Rysunek AM2.M03.W.R06 (stary numer AM2.4.3b)]]}<br>
{ [[Rysunek AM2.M03.W.R06 (stary numer AM2.4.3b)]]}<br>
{ [[Rysunek AM2.M03.W.R07 (stary numer AM2.4.3c)]]}
{ [[Rysunek AM2.M03.W.R07 (stary numer AM2.4.3c)]]}
}}
{{dowod|||


Niech <math>\displaystyle a\in X</math> oraz <math>\displaystyle r>0.</math>
Niech <math>\displaystyle a\in X</math> oraz <math>\displaystyle r>0.</math>
Linia 411: Linia 458:


Zatem pokazaliśmy, że <math>\displaystyle x\in K(a,r).</math>
Zatem pokazaliśmy, że <math>\displaystyle x\in K(a,r).</math>
}}


Powyższe twierdzenie dostarcza nam pewnego warunku koniecznego
Powyższe twierdzenie dostarcza nam pewnego warunku koniecznego
na to, aby dana przestrzeń metryczna była zadana przez normę.
na to aby dana przestrzeń metryczna była zadana przez normę.


Metryka kolejowa i metryka rzeka w <math>\displaystyle \displaystyle\rr^2</math> nie są
{{wniosek|||
 
Metryka kolejowa i metryka rzeka w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> nie są
zadane przez żadną normę, ponieważ kule w tych metrykach
zadane przez żadną normę, ponieważ kule w tych metrykach
nie są zbiorami wypukłymi
nie są zbiorami wypukłymi
Linia 422: Linia 472:
{ [[Rysunek AM2.M03.W.R08 (stary numer AM2.4.4a)]]}<br>
{ [[Rysunek AM2.M03.W.R08 (stary numer AM2.4.4a)]]}<br>
{ [[Rysunek AM2.M03.W.R09 (stary numer AM2.4.4b)]]}
{ [[Rysunek AM2.M03.W.R09 (stary numer AM2.4.4b)]]}
}}


Przypomnijmy, że przestrzeń metryczną nazywamy zupełną, gdy
Przypomnijmy, że przestrzeń metryczną nazywamy zupełną, gdy
Linia 429: Linia 480:
przestrzenie unormowane zupełne.
przestrzenie unormowane zupełne.


{Przestrzenią Banacha} nazywamy przestrzeń
{{definicja|||
 
'''''Przestrzenią Banacha''''' nazywamy przestrzeń
unormowaną zupełną.
unormowaną zupełną.
}}
{{przyklad|||


'''(1)'''
'''(1)'''
<math>\displaystyle \displaystyle\big(\rr^N,\|\cdot\|_{2}\big) </math> jest przestrzenią Banacha
<math>\displaystyle \displaystyle\big(\mathbb{R}^N,\|\cdot\|_{2}\big) </math> jest przestrzenią Banacha
(patrz Wniosek [[##w.new.am2.w.02.230|Uzupelnic w.new.am2.w.02.230|]]).<br>
(patrz Wniosek [[##w.new.am2.w.02.230|Uzupelnic w.new.am2.w.02.230|]]).<br>
'''(2)'''
'''(2)'''
Przestrzeń
Przestrzeń
<math>\displaystyle C\big([a,b];\rr\big)</math> z normą
<math>\displaystyle C\big([a,b];\mathbb{R}\big)</math> z normą
<math>\displaystyle \displaystyle\|f\|_{\infty}=\sup\limits_{x\in[a,b]}\big|f(x)\big|</math>
<math>\displaystyle \displaystyle\|f\|_{\infty}=\sup\limits_{x\in[a,b]}\big|f(x)\big|</math>
jest przestrzenią Banacha
jest przestrzenią Banacha
(patrz Zadanie [[##z.new.am2.c.03.050|Uzupelnic z.new.am2.c.03.050|]]).
(patrz Zadanie [[##z.new.am2.c.03.050|Uzupelnic z.new.am2.c.03.050|]]).
}}
Okazuje się, że w przestrzeniach skończenie wymiarowych
wszystkie normy są równoważne. Twierdzenie to podajemy tu bez
dowodu.
{{twierdzenie|||
Wszystkie normy w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math> są równoważne.
}}


===Przestrzenie unitarne===
===Przestrzenie unitarne===
Linia 449: Linia 515:
Okaże się, że przestrzenie z iloczynem skalarnym są także
Okaże się, że przestrzenie z iloczynem skalarnym są także
przestrzeniami unormowanymi z naturalnie wprowadzoną normą.
przestrzeniami unormowanymi z naturalnie wprowadzoną normą.
{{definicja|||


Niech <math>\displaystyle X</math> będzie rzeczywistą przestrzenią wektorową.
Niech <math>\displaystyle X</math> będzie rzeczywistą przestrzenią wektorową.
Odwzorowanie
Odwzorowanie
<math>\displaystyle \displaystyle (\cdot|\cdot)\colon X\times X\lra \rr</math>
<math>\displaystyle \displaystyle (\cdot|\cdot)\colon X\times X\longrightarrow \mathbb{R}</math>
nazywamy {iloczynem skalarnym} w <math>\displaystyle X,</math> jeśli:<br>
nazywamy '''''iloczynem skalarnym''''' w <math>\displaystyle X,</math> jeśli:<br>
'''(1)'''
'''(1)'''
<math>\displaystyle \displaystyle\forall x\in X:\ \
<math>\displaystyle \displaystyle\forall x\in X:\ \
Linia 460: Linia 528:
\big[
\big[
(x|x)=0
(x|x)=0
\ \Llra\
\ \Longleftrightarrow\
x=\Theta
x=\Theta
\big];</math><br>
\big]</math><br>
'''(2)'''
'''(2)'''
<math>\displaystyle \displaystyle\forall x,y\in X,\ \lambda\in\rr:\ \
<math>\displaystyle \displaystyle\forall x,y\in X,\ \lambda\in\mathbb{R}:\ \
(\lambda x|y)=\lambda(x|y);</math><br>
(\lambda x|y)=\lambda(x|y)</math><br>
'''(3)'''
'''(3)'''
<math>\displaystyle \displaystyle\forall x,y,z\in X:\ \
<math>\displaystyle \displaystyle\forall x,y,z\in X:\ \
(x+y|z)=(x|z)+(y|z);</math><br>
(x+y|z)=(x|z)+(y|z)</math><br>
'''(4)'''
'''(4)'''
<math>\displaystyle \displaystyle\forall x,y\in X:\ \
<math>\displaystyle \displaystyle\forall x,y\in X:\ \
Linia 474: Linia 542:
(symetria).<br>
(symetria).<br>
Parę <math>\displaystyle \displaystyle (X,(\cdot|\cdot))</math> nazywamy
Parę <math>\displaystyle \displaystyle (X,(\cdot|\cdot))</math> nazywamy
{przestrzenią unitarną}.
'''''przestrzenią unitarną'''''.
}}
 
{{uwaga|||


'''(a)''' Warunki '''(2)''' i '''(3)'''
'''(a)''' Warunki '''(2)''' i '''(3)'''
Linia 482: Linia 553:
iloczyn skalarny jest także liniowy ze względu na drugą
iloczyn skalarny jest także liniowy ze względu na drugą
zmienną, zatem jest on dwuliniowy.
zmienną, zatem jest on dwuliniowy.
}}
{{przyklad|||


Odwzorowanie zdefiniowane przez
Odwzorowanie zdefiniowane przez


<center><math>\displaystyle (x|y)
<center><math>\displaystyle (x|y)
\sr
\ \stackrel{df}{=}\
\sumijN x_iy_i
\displaystyle \sum_{i=1}^N x_iy_i
\quad </math> dla <math>\displaystyle  \ x=(x_1,\ldots,x_N),\ y=(y_1,\ldots,y_N)\in\rr^N
\quad </math> dla <math>\displaystyle  \ x=(x_1,\ldots,x_N),\ y=(y_1,\ldots,y_N)\in\mathbb{R}^N
</math></center>
</math></center>


jest iloczynem skalarnym w <math>\displaystyle \displaystyle\rr^N.</math>
jest iloczynem skalarnym w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N.</math>
Nazywamy go
Nazywamy go
{standardowym iloczynem skalarnym} w <math>\displaystyle \rr^N.</math>
'''''standardowym iloczynem skalarnym''''' w <math>\displaystyle \mathbb{R}^N</math>.
Iloczyn ten znamy ze szkoły dla przestrzeni
Iloczyn ten znamy ze szkoły dla przestrzeni
<math>\displaystyle \rr^2</math> i <math>\displaystyle \rr^3.</math>
<math>\displaystyle \mathbb{R}^2</math> i <math>\displaystyle \mathbb{R}^3</math>.
}}
 
{{dowod|||


Sprawdzimy kolejno punkty definicji iloczynu skalarnego.<br>
Sprawdzimy kolejno punkty definicji iloczynu skalarnego.<br>
'''(1)'''
'''(1)'''
Dla dowolnego <math>\displaystyle x\in\rr^N,</math> mamy
Dla dowolnego <math>\displaystyle x\in\mathbb{R}^N</math>, mamy


<center><math>\displaystyle (x|x)
<center><math>\displaystyle (x|x)
Linia 520: Linia 597:


'''(2)'''
'''(2)'''
Dla dowolnych <math>\displaystyle x,y\in\rr^N</math>
Dla dowolnych <math>\displaystyle x,y\in\mathbb{R}^N</math>
oraz <math>\displaystyle \lambda\in\rr,</math> mamy
oraz <math>\displaystyle \lambda\in\mathbb{R}</math>, mamy


<center><math>\displaystyle (\lambda x,y)
<center><math>\displaystyle (\lambda x,y)
Linia 533: Linia 610:


'''(3)'''
'''(3)'''
Dla dowolnych <math>\displaystyle x,y,z\in\rr^N,</math> mamy
Dla dowolnych <math>\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}^N</math>, mamy


<center><math>\displaystyle (x+y|z)
<center><math>\displaystyle (x+y|z)
Linia 548: Linia 625:


'''(4)'''
'''(4)'''
Dla dowolnych <math>\displaystyle x,y\in\rr^N,</math> mamy
Dla dowolnych <math>\displaystyle x,y\in\mathbb{R}^N</math>, mamy


<center><math>\displaystyle (x|y)
<center><math>\displaystyle (x|y)
Linia 560: Linia 637:


Zatem pokazaliśmy, że odwzorowanie
Zatem pokazaliśmy, że odwzorowanie
<math>\displaystyle (x|y)=\sumijN x_iy_i</math>
<math>\displaystyle (x|y)=\displaystyle \sum_{i=1}^N x_iy_i</math>
jest iloczynem skalarnym w <math>\displaystyle \rr^N.</math>
jest iloczynem skalarnym w <math>\displaystyle \mathbb{R}^N</math>.
}}


Okazuje się, że przestrzeń z iloczynem skalarnym jest
Okazuje się, że przestrzeń z iloczynem skalarnym jest
przestrzenią unormowaną.
przestrzenią unormowaną.


{{twierdzenie|||
Jeśli
<math>\displaystyle \displaystyle (X,(\cdot|\cdot))</math> jest przestrzenią unitarną oraz
<math>\displaystyle \displaystyle (X,(\cdot|\cdot))</math> jest przestrzenią unitarną oraz
<math>\displaystyle \displaystyle\forall x\in X:\ \|x\|_{}\sr\sqrt{(x|x)} ,\displaystyle \displaystyle\|\cdot\|_{}</math> jest normą w <math>\displaystyle X.</math><br>
<math>\displaystyle \displaystyle\forall x\in X:\ \|x\|_{}\ \stackrel{df}{=}\ \sqrt{(x|x)} ,</math>
to
<math>\displaystyle \displaystyle\|\cdot\|_{}</math> jest normą w <math>\displaystyle X.</math><br>
Mówimy, że <math>\displaystyle \displaystyle\|\cdot\|_{}</math> jest
Mówimy, że <math>\displaystyle \displaystyle\|\cdot\|_{}</math> jest
{normą zadaną przez iloczyn skalarny}
'''''normą zadaną przez iloczyn skalarny'''''
<math>\displaystyle \displaystyle (\cdot|\cdot).</math>
<math>\displaystyle \displaystyle (\cdot|\cdot).</math>
}}


W dowodzie wykorzystamy następującą nierówność Schwarza,
W dowodzie wykorzystamy następującą nierówność Schwarza,
zachodzącą w przestrzeniach unitarnych.
zachodzącą w przestrzeniach unitarnych.


{{lemat|||
'''(Nierówność Schwarza)'''<br>
'''(Nierówność Schwarza)'''<br>
Jeśli <math>\displaystyle \displaystyle (X,(\cdot|\cdot))</math> jest przestrzenią unitarną, to
Jeśli <math>\displaystyle \displaystyle (X,(\cdot|\cdot))</math> jest przestrzenią unitarną, to
Linia 581: Linia 666:
\left|(x|y)\right|\le\|x\|\|y\|.
\left|(x|y)\right|\le\|x\|\|y\|.
</math></center>
</math></center>
}}
{{dowod|||


Ustalmy dowolne <math>\displaystyle x,y\in X.</math>
Ustalmy dowolne <math>\displaystyle x,y\in X.</math>
Linia 587: Linia 676:
Niech
Niech
<math>\displaystyle \displaystyle \lambda=\frac{(x|y)}{(y|y)}</math>
<math>\displaystyle \displaystyle \lambda=\frac{(x|y)}{(y|y)}</math>
Korzystając z dwuliniowości iloczynu skalarnego, mamy:
Korzystając z dwuliniowości iloczynu skalarnego mamy:


<center><math>\displaystyle 0
<center><math>\displaystyle 0
Linia 628: Linia 717:


co należało dowieść.
co należało dowieść.
}}
{{uwaga|||


Zauważmy, że nierówność Cauchy'ego
Zauważmy, że nierówność Cauchy'ego
(patrz Lemat AM1.[[##l.new.am1.w.03.080|Uzupelnic l.new.am1.w.03.080|]])
(patrz Lemat AM1.[[##l.new.am1.w.03.080|Uzupelnic l.new.am1.w.03.080|]])
jest szczególnym przypadkiem nierówności
jest szczególnym przypadkiem nierówności
Schwarza, gdy w przestrzeni <math>\displaystyle \displaystyle\rr^N</math>
Schwarza, gdy w przestrzeni <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math>
mamy standardowy iloczyn skalarny.
mamy standardowy iloczyn skalarny.
}}


Twierdzenia [[##t.new.am2.w.03.180|Uzupelnic t.new.am2.w.03.180|]].<br>
{{dowod|||
Twierdzenia [[##t.new.am2.w.03.180|Uzupelnic t.new.am2.w.03.180|]]<br>
'''(1)'''
'''(1)'''


Linia 680: Linia 774:


zatem trzeci warunek (subaddytywność) w definicji normy jest spełniony.
zatem trzeci warunek (subaddytywność) w definicji normy jest spełniony.
}}
{{przyklad|||


Iloczyn skalarny w <math>\displaystyle \rr^N</math> dany wzorem
Iloczyn skalarny w <math>\displaystyle \mathbb{R}^N</math> dany wzorem
(patrz Przykład [[##t.new.am2.w.03.175|Uzupelnic t.new.am2.w.03.175|]])
(patrz Przykład [[##t.new.am2.w.03.175|Uzupelnic t.new.am2.w.03.175|]])


<center><math>\displaystyle (x|y)
<center><math>\displaystyle (x|y)
\sr
\ \stackrel{df}{=}\
\sumijN x_iy_i
\displaystyle \sum_{i=1}^N x_iy_i
\quad </math> dla <math>\displaystyle  \ x=(x_1,\ldots,x_N),\ y=(y_1,\ldots,y_N)\in\rr^N
\quad </math> dla <math>\displaystyle  \ x=(x_1,\ldots,x_N),\ y=(y_1,\ldots,y_N)\in\mathbb{R}^N
</math></center>
</math></center>


Linia 694: Linia 791:
<center><math>\displaystyle \sqrt{(x|x)}
<center><math>\displaystyle \sqrt{(x|x)}
\ =\
\ =\
\sqrt{\sumijN x_i^2}
\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^N x_i^2}
\ =\
\ =\
\|x\|_{2}.
\|x\|_{2}.
</math></center>
</math></center>
}}


Podobnie jak dla przestrzeni unormowanych, tak i dla
Podobnie jak dla przestrzeni unormowanych, tak i dla
przestrzeni unitarnych szczególną rolę odgrywają przestrzenie
przestrzeni unitarnych, szczególną rolę odgrywają przestrzenie
unitarne zupełne.
unitarne zupełne.


{Przestrzenią Hilberta} nazywamy
{{definicja|||
 
'''''Przestrzenią Hilberta''''' nazywamy
przestrzeń unitarną zupełną.
przestrzeń unitarną zupełną.
}}


{{twierdzenie|||
'''(Ciągłość iloczynu skalarnego)'''<br>
'''(Ciągłość iloczynu skalarnego)'''<br>
Iloczyn skalarny w przestrzeni unitarnej jest funkcją ciągłą,
Iloczyn skalarny w przestrzeni unitarnej jest funkcją ciągłą,
to znaczy
to znaczy


<center><math>\displaystyle \graph
<center><math>\displaystyle  
\bigg[
\bigg[
x_n\stackrel{X}{\lra} x,\
x_n\stackrel{X}{\longrightarrow} x,\
y_n\stackrel{X}{\lra} y
y_n\stackrel{X}{\longrightarrow} y
\bigg]
\bigg]
\ \ \Lra\ \
\ \ \Longrightarrow\ \
\bigg[
\bigg[
(x_n|y_n)
(x_n|y_n)
\ \stackrel{\rr}{\lra}\
\ \stackrel{\mathbb{R}}{\longrightarrow}\
(x|y)
(x|y)
\bigg]
\bigg]
</math></center>
</math></center>


(oczywiście zbieżność <math>\displaystyle \displaystyle\graph x_n\stackrel{X}{\lra} x</math> oznacza zbieżność
(oczywiście zbieżność <math>\displaystyle \displaystyle x_n\stackrel{X}{\longrightarrow} x</math> oznacza zbieżność
w normie zadanej
w normie zadanej
przez iloczyn skalarny <math>\displaystyle \displaystyle (\cdot|\cdot)</math>).
przez iloczyn skalarny <math>\displaystyle \displaystyle (\cdot|\cdot)</math>).
}}


Niech <math>\displaystyle \displaystyle\{(x_n,y_n)\}</math> będzie ciągiem takim, że
{{dowod|||
<math>\displaystyle \displaystyle\graph x_n\stackrel{X}{\lra} x</math> i
(Dowód nadobowiązkowy.)<br>
<math>\displaystyle \displaystyle\graph y_n\stackrel{X}{\lra} y.</math>
Niech <math>\displaystyle \displaystyle\{(x_n,y_n)\}</math> będzie ciągiem, takim, że
<math>\displaystyle \displaystyle x_n\stackrel{X}{\longrightarrow} x</math> i
<math>\displaystyle \displaystyle y_n\stackrel{X}{\longrightarrow} y.</math>
Oznacza to, że
Oznacza to, że


<center><math>\displaystyle \|x_n-x\|
<center><math>\displaystyle \|x_n-x\|
\ \lra\
\ \longrightarrow\
0,\quad
0,\quad
\|y_n-y\|
\|y_n-y\|
\ \lra\
\ \longrightarrow\
0
0
</math></center>
</math></center>
Linia 742: Linia 848:
oraz z ciągłości normy (patrz Twierdzenie [[##t.new.am2.w.03.070|Uzupelnic t.new.am2.w.03.070|]]), mamy
oraz z ciągłości normy (patrz Twierdzenie [[##t.new.am2.w.03.070|Uzupelnic t.new.am2.w.03.070|]]), mamy


<center><math>\displaystyle \|x_n\|\lra \|x\|.
<center><math>\displaystyle \|x_n\|\longrightarrow \|x\|.
</math></center>
</math></center>


Linia 759: Linia 865:
</math></center>
</math></center>


Z wyżej wskazanych zbieżności w <math>\displaystyle \displaystyle\rr</math> wynika, że
Z wyżej wskazanych zbieżności w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}</math> wynika, że
prawa strona nierówności,
prawa strona nierówności,
a zatem także lewa, zmierza do zera, gdy <math>\displaystyle n\ra+\infty.</math>
a zatem także lewa, zmierza do zera, gdy <math>\displaystyle n\rightarrow+\infty.</math>
Oznacza to, że <math>\displaystyle \displaystyle\graph (x_n|y_n)\stackrel{\rr}{\lra}(x|y),</math>
Oznacza to, że <math>\displaystyle \displaystyle (x_n|y_n)\stackrel{\mathbb{R}}{\longrightarrow}(x|y),</math>
co należało dowieść.
co należało dowieść.
}}


W przestrzeni unitarnej możemy wprowadzić pojęcie prostopadłości
W przestrzeni unitarnej możemy wprowadzić pojęcie prostopadłości
wektorów.
wektorów.
{{definicja|||


Niech <math>\displaystyle \displaystyle\big(X,(\cdot|\cdot)\big) </math> będzie przestrzenią
Niech <math>\displaystyle \displaystyle\big(X,(\cdot|\cdot)\big) </math> będzie przestrzenią
Linia 772: Linia 881:
'''(1)'''
'''(1)'''
Jeśli <math>\displaystyle \displaystyle (x|y)=0,</math> to mówimy, że wektory
Jeśli <math>\displaystyle \displaystyle (x|y)=0,</math> to mówimy, że wektory
<math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math> są {ortogonalne} (lub {prostopadłe})
<math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math> są '''''ortogonalne''''' (lub '''''prostopadłe''''')
i piszemy <math>\displaystyle x\perp y.</math><br>
i piszemy <math>\displaystyle x\perp y.</math><br>
{ [[Rysunek AM2.M03.W.R10 (stary numer AM2.4.5a)]]}<br>
{ [[Rysunek AM2.M03.W.R10 (stary numer AM2.4.5a)]]}<br>
Linia 778: Linia 887:
'''(2)'''
'''(2)'''
Niech <math>\displaystyle Y</math> będzie podprzestrzenią wektorową <math>\displaystyle X.</math>
Niech <math>\displaystyle Y</math> będzie podprzestrzenią wektorową <math>\displaystyle X.</math>
Mówimy, że wektor <math>\displaystyle x</math> jest {ortogonalny}
Mówimy, że wektor <math>\displaystyle x</math> jest '''''ortogonalny'''''
({prostopadły}, {normalny}) do
('''''prostopadły''''', '''''normalny''''') do
podprzestrzeni <math>\displaystyle Y,</math>
podprzestrzeni <math>\displaystyle Y,</math>
jeśli
jeśli
Linia 791: Linia 900:
'''(3)'''
'''(3)'''
Mówimy, że wektory <math>\displaystyle a_1,\ldots,a_k\in X</math> tworzą układ
Mówimy, że wektory <math>\displaystyle a_1,\ldots,a_k\in X</math> tworzą układ
{ortogonalny},
'''''ortogonalny''''',
jeśli
jeśli


<center><math>\displaystyle (a_i|a_j)=0
<center><math>\displaystyle (a_i|a_j)=0
\qfa i\ne j.
\qquad\forall\  i\ne j.
</math></center>
</math></center>


'''(4)'''
'''(4)'''
Mówimy, że wektory <math>\displaystyle a_1,\ldots,a_k\in X</math> tworzą układ
Mówimy, że wektory <math>\displaystyle a_1,\ldots,a_k\in X</math> tworzą układ
{ortonormalny},
'''''ortonormalny''''',
jeśli
jeśli


<center><math>\displaystyle \graph
<center><math>\displaystyle  
\forall i,j:\ \
\forall i,j:\ \
(a_i|a_j)=\delta_{ij}
(a_i|a_j)=\delta_{ij}
\sr
\ \stackrel{df}{=}\
\left\{
\left\{
\begin{array} {ll}
\begin{array} {ll}
Linia 818: Linia 927:
są parami ortogonalne oraz mają
są parami ortogonalne oraz mają
normę <math>\displaystyle 1</math>).
normę <math>\displaystyle 1</math>).
}}


Poniższe twierdzenie podamy tu bez dowodu.
Poniższe twierdzenie podamy tu bez dowodu.
{{twierdzenie|||


Każda przestrzeń unitarna skończenie wymiarowa posiada bazę
Każda przestrzeń unitarna skończenie wymiarowa posiada bazę
ortonormalną (to znaczy bazę tworzącą układ ortonormalny).
ortonormalną (to znaczy bazę tworzącą układ ortonormalny).
}}


Baza kanoniczna w <math>\displaystyle \displaystyle\rr^N</math> jest bazą ortonormalną.
{{przyklad|||


Baza kanoniczna w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math> jest bazą ortonormalną.
}}
{{twierdzenie|||
'''(Warunek równoległoboku)'''<br>
'''(Warunek równoległoboku)'''<br>
 
Jeśli
<math>\displaystyle \displaystyle\big(X,(\cdot|\cdot)\big)</math> jest przestrzenią unitarną oraz
<math>\displaystyle \displaystyle\big(X,(\cdot|\cdot)\big)</math> jest przestrzenią unitarną oraz
<math>\displaystyle \displaystyle\|\cdot\|</math> jest normą zadaną przez iloczyn skalarny,
<math>\displaystyle \displaystyle\|\cdot\|</math> jest normą zadaną przez iloczyn skalarny,
to


<center><math>\displaystyle \forall x,y\in X:\ \
<center><math>\displaystyle \forall x,y\in X:\ \
Linia 837: Linia 955:
2\big(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}\big).
2\big(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}\big).
</math></center>
</math></center>
}}
{{dowod|||


Dla dowolnych ustalonych <math>\displaystyle x,y\in X</math> liczymy
Dla dowolnych ustalonych <math>\displaystyle x,y\in X</math> liczymy
Linia 852: Linia 974:
</math></center>
</math></center>


Dodając stronami powyższe równości, dostajemy tezę twierdzenia.
Dodając stronami powyższe równości dostajemy tezę twierdzenia.
}}


{ [[Rysunek AM2.M03.W.R13 (stary numer AM2.4.7)]]}
{ [[Rysunek AM2.M03.W.R13 (stary numer AM2.4.7)]]}


{{twierdzenie|||
'''(Twierdzenie Pitagorasa)'''<br>
'''(Twierdzenie Pitagorasa)'''<br>
 
Jeśli
<math>\displaystyle \displaystyle\big(X,(\cdot|\cdot)\big)</math>
<math>\displaystyle \displaystyle\big(X,(\cdot|\cdot)\big)</math>
jest przestrzenią unitarną oraz
jest przestrzenią unitarną oraz
<math>\displaystyle \displaystyle\|\cdot\|</math> jest normą zadaną przez iloczyn skalarny,
<math>\displaystyle \displaystyle\|\cdot\|</math> jest normą zadaną przez iloczyn skalarny,
to


<center><math>\displaystyle \forall x,y\in X:\ \
<center><math>\displaystyle \forall x,y\in X:\ \
\bigg[
\bigg[
x\perp y
x\perp y
\ \ \Llra\ \
\ \ \Longleftrightarrow\ \
\|x+y\|^{2}
\|x+y\|^{2}
=
=
Linia 871: Linia 996:
\bigg].
\bigg].
</math></center>
</math></center>
}}
{{dowod|||


Dla dowolnych ustalonych <math>\displaystyle x,y\in X</math> liczymy
Dla dowolnych ustalonych <math>\displaystyle x,y\in X</math> liczymy
Linia 883: Linia 1012:
co należało dowieść.<br>
co należało dowieść.<br>
{ [[Rysunek AM2.M03.W.R14 (stary numer AM2.4.8)]]}
{ [[Rysunek AM2.M03.W.R14 (stary numer AM2.4.8)]]}
 
}}
Zauważmy, że gdy <math>\displaystyle X=\rr^2,</math> to implikacja w prawą stronę w
powyższym twierdzeniu (<math>\displaystyle \Lra</math>), to znane ze szkoły twierdzenie
Pitagorasa.
Implikację w lewą stronę (<math>\displaystyle \Lla</math>) znamy ze szkoły jako
twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.

Wersja z 19:23, 24 sie 2006

3. Norma. Iloczyn skalarny

W wykładzie tym wprowadzamy pojęcie normy i przestrzeni unormowanej. Pokazujemy, że kule w przestrzeniach unormowanych są zbiorami wypukłymi. Wprowadzamy pojęcia iloczynu skalarnego i przestrzeni unitarnej. Dowodzimy nierówności Schwarza, warunku równoległoboku i twierdzenia Pitagorasa.

3.1. Przestrzenie unormowane

Przypomnijmy, że na pierwszym wykładzie z Analizy Matematycznej 2 wprowadziliśmy pojęcie metryki, czyli funkcji, która każdym dwóm punktom danego zbioru przyporządkowuje ich odległość. W przypadku, gdy dany zbiór jest przestrzenią wektorową, możemy wprowadzić funkcję mierzącą "długość" wektora. Funkcję tę nazwiemy normą. Okaże się (zgodnie z intuicją, jak dla przypadku płaszczyzny 2), że jeśli umiemy zmierzyć długość wektorów przestrzeni wektorowej X, to możemy także mierzyć odległość między punktami zbioru X.

Pojęcie normy jest szczególnie przydatne w przestrzeniach funkcji (np. przestrzeniach funkcji liniowych lub przestrzeniach funkcji ciągłych). Norma będzie nam również przydatna w przyszłości do zdefiniowania pochodnych wyższych rzędów dla funkcji wielu zmiennych.

Wprowadźmy formalną definicję (wektor zerowy przestrzeni wektorowej X będziemy oznaczać przez Θ).

Definicja

Niech X będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K (K= lub K=).
Odwzorowanie :X+ nazywamy normą w X, jeśli:
(1) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x\in X:\ \ \|x\|=0\ \Longleftrightarrow\ x=\Theta} ;
(2) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x\in X,\ \ \lambda\in K:\ \ \|\lambda x\|=|\lambda|\cdot\|x\|} (jednorodność);
(3) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x,y\in X:\ \ \|x+y\|\le\|x\|+\|y\|} (subaddytywność).
Parę (X,) nazywamy przestrzenią unormowaną.

Zauważmy, że definicja powyższa precyzuje nasze naturalne wymagania w stosunku do długości wektora, a mianowicie:
(1) długość wektora wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy wektor jest zerowy;
(2) długość iloczynu wektora przez liczbę, to iloczyn długości tego wektora i wartości bezwzględnej tej liczby;
(3) długość sumy wektorów jest niewiększa od sumy ich długości.

Przykład

W przestrzeni wektorowej N nad możemy wprowadzić następujące normy:
x2=dfi=1Nxi2,x=(x1,,xN)N (norma euklidesowa),
x1=dfi=1N|xi|,x=(x1,,xN)N (norma taksówkowa),
x=dfmax1iN|xi|,x=(x1,,xN)N (normamaksimowa).
Dowód faktów, że powyższe odwzorowania są normami pozostawiamy na ćwiczenia (patrz Zadanie Uzupelnic z.new.am2.c.03.010|). Nazwy powyższych norm nie są przypadkowe (patrz Uwaga Uzupelnic u.new.am2.w.03.040|).

Okazuje się, że każda przestrzeń unormowana jest w naturalny sposób przestrzenią metryczną. Mówi o tym następujące twierdzenie.

Twierdzenie

Jeśli (X,) jest przestrzenią unormowaną, d:X×X+ jest funkcją zadaną przez d(x,y)=dfxy, to (X,d) jest przestrzenią metryczną.
Mówimy, że d jest metryką zadaną przez normę .

Dowód

Załóżmy, że jest normą w X. Pokażemy, że odwzorowanie d:X×X+ zadane przez d(x,y)=dfxy jest metryką w X.
(1) Zauważmy, że dla dowolnych x,yX:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x,y) \ =\ \|x-y\| \ \ge\ 0 }

oraz

d(x,y)=0xy=0x=y.

(2) Dla dowolnych x,yX, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x,y) \ =\ \|x-y\| \ =\ |-1|\|x-y\| \ =\ \|(-1)(x-y)\| \ =\ \|-x+y\| \ =\ \|y-x\| \ =\ d(y,x). }

(3) Dla dowolnych x,y,zX, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x,y) \ =\ \|x-y\| \ =\ \|x-z+z-y\| \ \le\ \|x-z\|+\|z-y\| \ =\ d(x,z)+d(z,y) }

zatem zachodzi warunek trójkąta dla d.

Pokazaliśmy zatem, że d jest metryką.

Uwaga

(1) Z powyższego twierdzenia wynika, że każda norma zadaje metrykę.
(2) Nie każda metryka jest zadana przez normę (patrz Wniosek Uzupelnic w.new.am2.w.03.120|).
(3) Zbieżność w sensie metryki zadanej przez normę nazywamy zbieżnością silną lub zbieżnością w normie, to znaczy jeśli {xn}X jest ciągiem, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x_n \ \stackrel{\|\cdot\|}{\longrightarrow} x \ \ \ \stackrel{df}{\Longleftrightarrow}\ \ \ \|x_n-x\| \ \longrightarrow\ 0. }

(4) Normy euklidesowa, taksówkowa, maksimowa zdefiniowane w Przykładzie Uzupelnic p.new.am2.w.03.020| zadają odpowiednio metryki euklidesową, taksówkową, maksimową (patrz Zadanie Uzupelnic z.new.am2.c.03.020|).

Podobnie jak w przypadku metryk, tak i w przypadku norm można rozważać ich równoważność.

Definicja

Dwie normy a i b w przestrzeni unormowanej X nazywamy równoważnymi, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists m,M>0\ \ \forall x\in X:\ \ m\|x\|_{a} \ \le\ \|x\|_{b} \ \le\ M\|x\|_{a}. }

Równoważność norm ma następujące własności.

Uwaga

(1) Relacja równoważności norm jest relacją równoważnościową w zbiorze wszystkich norm na danej przestrzeni unormowanej.
(2) Norma euklidesowa 2 zadaje metrykę euklidesową d2. Norma maksimowa zadaje metrykę maksimową d. Norma taksówkowa 1 zadaje metrykę taksówkową d1 (patrz Przykłady AM1.Uzupelnic p.new.am1.w.03.040|, AM1.Uzupelnic p.new.am1.w.03.050| oraz AM1.Uzupelnic p.new.am1.w.03.060| oraz Zadanie Uzupelnic z.new.am2.c.03.020|).
(3) Powyższe trzy normy są równoważne (będzie to pokazane na ćwiczeniach; patrz Zadanie Uzupelnic z.new.am2.c.03.030|). Okazuje się, że w przestrzeniach wektorowych skończenie wymiarowych wszystkie normy są równoważne (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.03.150|).

Kolejne twierdzenie mówi, że odwzorowanie normy :X+ jest ciągłe (oczywiście w przestrzeni X rozważamy metrykę zadaną przez normę, a w metrykę euklidesową).

Twierdzenie

(Ciągłość normy)
Norma jest funkcją ciągłą, to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n = x \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\|x_n\|=\|x\|. }

W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący lemat, będący wariantem nierówności trójkąta.

Lemat

Jeśli X jest przestrzenią unormowaną, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x,y\in X:\ \big|\|x\|-\|y\|\big| \ \le\ \|x-y\|. }

Dowód

Korzystając z subaddytywności normy, dla dowolnych x,yX, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\| \ =\ \|x+(-y)+y\| \ \le\ \|x-y\|+\|y\|, }

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|-\|y\| \ \le\ \|x-y\|. }

Analogicznie pokazujemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|y\|-\|x\| \ \le\ \|x-y\|. }

Obie powyższe nierówności implikują nierówność w tezie lematu.

Dowód

Twierdzenia Uzupelnic t.new.am2.w.03.070|
Warunek limn+xn=x oznacza, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \|x_n-x\| \ =\ 0. }

Ustalmy dowolne ε>0. Z powyższej równości wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N\forall n\ge N:\ \|x_n-x\| \ \le\ \varepsilon. }

Zatem, dla nN, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big|\|x_n\|-\|x\|\big| \ \le\ \|x_n-x\| \ \le\ \varepsilon. }

Zatem pokazaliśmy, że xnx.

Uwaga

(1) Implikacja odwrotna do implikacji w twierdzeniu Uzupelnic t.new.am2.w.03.070| nie jest prawdziwa.
Aby to zobaczyć, rozważmy ciąg {xn} zadany przez xn=(1)n. Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x_n\|_2 \ =\ 1 \ \longrightarrow\ 1, }

ale sam ciąg {xn} nie jest silnie zbieżny (dlaczego?)
(2) Jeżeli granicą ciągu {xn} jest Θ (wektor "zerowy" przestrzeni wektorowej), to implikację w Twierdzeniu Uzupelnic t.new.am2.w.03.070| można odwrócić, to znaczy zachodzi równoważność:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n = \Theta \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\|x_n\|=0 }

(dowód pozostawiamy jako proste ćwiczenie).

W przestrzeniach wektorowych możemy mówić o wypukłości zbiorów.

Definicja

Niech X będzie przestrzenią unormowaną oraz AX.
(1) Jeśli x,yX, to odcinkiem w X łączącym punkty x i y nazywamy zbiór

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle [x,y] \ \stackrel{df}{=}\ \bigg\{z\in X:\ z=\lambda x+(1-\lambda)y:\ \ \lambda\in[0,1]\bigg\}. }

{ Rysunek AM2.M03.W.R01 (stary numer AM2.4.1a)}
{ Rysunek AM2.M03.W.R02 (stary numer AM2.4.1b)}
(2) Mówimy, że zbiór A jest wypukły, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x,y\in A:\ \ [x,y]\subseteq A. }

{ Rysunek AM2.M03.W.R03 (stary numer AM2.4.2a)}
{ Rysunek AM2.M03.W.R04 (stary numer AM2.4.2b)}

W szczególnych przestrzeniach metrycznych jakimi są przestrzenie unormowane, kule mają tę przydatną własność, że są wypukłe.

Twierdzenie

Dowód

Niech aX oraz r>0. Pokażemy, że kula K(a,r) jest zbiorem wypukłym. W tym celu wybierzmy dowolne x1,x2K(a,r). Z definicji kuli wynika, że

x1a<r,x2a<r.

Niech x[x1,x2]. Należy pokazać, że xK(a,r). Z definicji odcinka w X wiemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists \lambda\in[0,1]:\ x=\lambda x_1+(1-\lambda)x_2. }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x-a\| \ =\ \|\lambda x_1+(1-\lambda)x_2-a\| \ =\ \|\lambda(x_1-a)+(1-\lambda)(x_2-a)\| \ \le\ \lambda\|x_1-a\|+(1-\lambda)\|x_2-a\| \ <\ \lambda r+(1-\lambda)r \ =\ r. }

Zatem pokazaliśmy, że xK(a,r).

Powyższe twierdzenie dostarcza nam pewnego warunku koniecznego na to aby dana przestrzeń metryczna była zadana przez normę.

Wniosek

Metryka kolejowa i metryka rzeka w 2 nie są zadane przez żadną normę, ponieważ kule w tych metrykach nie są zbiorami wypukłymi (patrz Przykład Uzupelnic p.new.am2.w.01.050| oraz Przykład Uzupelnic p.new.am2.w.01.060|).
{ Rysunek AM2.M03.W.R08 (stary numer AM2.4.4a)}
{ Rysunek AM2.M03.W.R09 (stary numer AM2.4.4b)}

Przypomnijmy, że przestrzeń metryczną nazywamy zupełną, gdy każdy ciąg Cauchy'ego tej przestrzeni ma granicę (patrz Definicja Uzupelnic d.new.am2.w.02.100|). Wśród przestrzeni unormowanych szczególną rolę odgrywają przestrzenie unormowane zupełne.

Definicja

Przestrzenią Banacha nazywamy przestrzeń unormowaną zupełną.

Przykład

(1) (N,2) jest przestrzenią Banacha (patrz Wniosek Uzupelnic w.new.am2.w.02.230|).
(2) Przestrzeń C([a,b];) z normą f=supx[a,b]|f(x)| jest przestrzenią Banacha (patrz Zadanie Uzupelnic z.new.am2.c.03.050|).

Okazuje się, że w przestrzeniach skończenie wymiarowych wszystkie normy są równoważne. Twierdzenie to podajemy tu bez dowodu.

Twierdzenie

Wszystkie normy w N są równoważne.

Przestrzenie unitarne

W przestrzeniach wektorowych możemy wprowadzić pojęcie iloczynu skalarnego. Dzięki niemu będziemy mogli mówić o prostopadłości wektorów. Okaże się, że przestrzenie z iloczynem skalarnym są także przestrzeniami unormowanymi z naturalnie wprowadzoną normą.

Definicja

Niech X będzie rzeczywistą przestrzenią wektorową. Odwzorowanie (|):X×X nazywamy iloczynem skalarnym w X, jeśli:
(1) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x\in X:\ \ \big[(x|x)\ge 0\big] \ } i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \ \big[ (x|x)=0 \ \Longleftrightarrow\ x=\Theta \big]}
(2) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x,y\in X,\ \lambda\in\mathbb{R}:\ \ (\lambda x|y)=\lambda(x|y)}
(3) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x,y,z\in X:\ \ (x+y|z)=(x|z)+(y|z)}
(4) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x,y\in X:\ \ (x|y)=(y|x)} (symetria).
Parę (X,(|)) nazywamy przestrzenią unitarną.

Uwaga

(a) Warunki (2) i (3) mówią, że iloczyn skalarny jest liniowy ze względu na pierwszą zmienną.
(b) Ze względu na symetrię (4), iloczyn skalarny jest także liniowy ze względu na drugą zmienną, zatem jest on dwuliniowy.

Przykład

Odwzorowanie zdefiniowane przez

(x|y) =df i=1Nxiyi dla  x=(x1,,xN), y=(y1,,yN)N

jest iloczynem skalarnym w N. Nazywamy go standardowym iloczynem skalarnym w N. Iloczyn ten znamy ze szkoły dla przestrzeni 2 i 3.

Dowód

Sprawdzimy kolejno punkty definicji iloczynu skalarnego.
(1) Dla dowolnego xN, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (x|x) \ =\ \sum_{n=1}^N x_i^2 \ \ge\ 0 }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (x|x)=0 \ \Longleftrightarrow\ \sum_{n=1}^N x_i^2=0 \ \Longleftrightarrow\ x_1=\ldots=x_N \ \Longleftrightarrow\ x=\Theta. }

(2) Dla dowolnych x,yN oraz λ, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (\lambda x,y) \ =\ \sum_{n=1}^N \lambda x_iy_i \ =\ \lambda \sum_{n=1}^N x_iy_i \ =\ \lambda (x|y) }

(3) Dla dowolnych x,y,zN, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (x+y|z) \ =\ \sum_{n=1}^N (x_i+y_i)z_i \ =\ \sum_{n=1}^N(x_iz_i+y_iz_i) \ =\ \sum_{n=1}^N x_iz_i +\sum_{n=1}^Ny_iz_i \ =\ (x|z)+(y|z). }

(4) Dla dowolnych x,yN, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (x|y) \ =\ \sum_{n=1}^N x_iy_i \ =\ \sum_{n=1}^N y_ix_i \ =\ (y|x). }

Zatem pokazaliśmy, że odwzorowanie (x|y)=i=1Nxiyi jest iloczynem skalarnym w N.

Okazuje się, że przestrzeń z iloczynem skalarnym jest przestrzenią unormowaną.

Twierdzenie

Jeśli (X,(|)) jest przestrzenią unitarną oraz xX: x =df (x|x), to jest normą w X.
Mówimy, że jest normą zadaną przez iloczyn skalarny (|).

W dowodzie wykorzystamy następującą nierówność Schwarza, zachodzącą w przestrzeniach unitarnych.

Lemat

(Nierówność Schwarza)
Jeśli (X,(|)) jest przestrzenią unitarną, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x,y\in X:\ \ \left|(x|y)\right|\le\|x\|\|y\|. }

Dowód

Ustalmy dowolne x,yX. Jeśli y=Θ to powyższa nierówność jest oczywistą równością. Załóżmy, że yΘ. Niech λ=(x|y)(y|y) Korzystając z dwuliniowości iloczynu skalarnego mamy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 0 \ \le\ (x-\lambda y|x-\lambda y) \ =\ (x|x)-2\lambda(x|y)+\lambda^2(y|y) \ =\ (x|x)-2\frac{(x|y)^2}{(y|y)} +\frac{(x|y)^2}{(y|y)} }
Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle =\ (x|x) -\frac{(x|y)^2}{(y|y)} \ =\ \|x\|-\frac{(x|y)^2}{\|y\|}. }

Zatem mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{(x|y)^2}{\|y\|^2} \ \le\ \|x\|^2, }

skąd

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (x|y)^2 \ \le\ \|x\|^2\cdot \|y\|^2, }

a zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |(x|y)| \ \le\ \|x\|\cdot\|y\|, }

co należało dowieść.

Uwaga

Zauważmy, że nierówność Cauchy'ego (patrz Lemat AM1.Uzupelnic l.new.am1.w.03.080|) jest szczególnym przypadkiem nierówności Schwarza, gdy w przestrzeni N mamy standardowy iloczyn skalarny.

Dowód

Twierdzenia Uzupelnic t.new.am2.w.03.180|
(1)

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|=0 \ \Longleftrightarrow\ (x|x)=0 \ \Longleftrightarrow x=\Theta, }

zatem pierwszy warunek w definicji normy jest spełniony.
(2)

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|\lambda x\| \ =\ \sqrt{(\lambda x|\lambda x)} \ =\ \sqrt{\lambda^2}\sqrt{(x|x)} \ =\ |\lambda|\|x\|, }

zatem drugi warunek (jednorodność) w definicji normy jest spełniony.
(3) Korzystając z nierówności Schwarza, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x+y\|^2 \ =\ (x+y|x+y) \ =\ (x|x)+2(x|y)+(y|y) \ \le\ \|x\|^2+2\|x\|\cdot\|y\| +\|y^2\| \ =\ (\|x\|+\|y\|)^2, }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x+y\| \ \le\ \|x\|+\|y\|. }

zatem trzeci warunek (subaddytywność) w definicji normy jest spełniony.

Przykład

Iloczyn skalarny w N dany wzorem (patrz Przykład Uzupelnic t.new.am2.w.03.175|)

(x|y) =df i=1Nxiyi dla  x=(x1,,xN), y=(y1,,yN)N

zadaje normę euklidesową, bo

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sqrt{(x|x)} \ =\ \sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^N x_i^2} \ =\ \|x\|_{2}. }

Podobnie jak dla przestrzeni unormowanych, tak i dla przestrzeni unitarnych, szczególną rolę odgrywają przestrzenie unitarne zupełne.

Definicja

Przestrzenią Hilberta nazywamy przestrzeń unitarną zupełną.

Twierdzenie

(Ciągłość iloczynu skalarnego)
Iloczyn skalarny w przestrzeni unitarnej jest funkcją ciągłą, to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \bigg[ x_n\stackrel{X}{\longrightarrow} x,\ y_n\stackrel{X}{\longrightarrow} y \bigg] \ \ \Longrightarrow\ \ \bigg[ (x_n|y_n) \ \stackrel{\mathbb{R}}{\longrightarrow}\ (x|y) \bigg] }

(oczywiście zbieżność xnXx oznacza zbieżność w normie zadanej przez iloczyn skalarny (|)).

Dowód

(Dowód nadobowiązkowy.)
Niech {(xn,yn)} będzie ciągiem, takim, że xnXx i ynXy. Oznacza to, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x_n-x\| \ \longrightarrow\ 0,\quad \|y_n-y\| \ \longrightarrow\ 0 }

oraz z ciągłości normy (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.03.070|), mamy

xnx.

Korzystając z nierówności Schwarza, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big|(x_n|y_n)-(x|y)\big| \ =\ \big|(x_n|y_n)-(x_n|y)+(x_n|y)-(x|y)\big| \ \le\ \big|(x_n|y_n-y)+(x_n-x|y)\big| }
Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \le\ \|x_n\|\cdot\|y_n-y\| +\|x_n-x\|\cdot\|y\|. }

Z wyżej wskazanych zbieżności w wynika, że prawa strona nierówności, a zatem także lewa, zmierza do zera, gdy n+. Oznacza to, że (xn|yn)(x|y), co należało dowieść.

W przestrzeni unitarnej możemy wprowadzić pojęcie prostopadłości wektorów.

Definicja

Niech (X,(|)) będzie przestrzenią unitarną.
(1) Jeśli (x|y)=0, to mówimy, że wektory x i yortogonalne (lub prostopadłe) i piszemy xy.
{ Rysunek AM2.M03.W.R10 (stary numer AM2.4.5a)}
{ Rysunek AM2.M03.W.R11 (stary numer AM2.4.5b)} (2) Niech Y będzie podprzestrzenią wektorową X. Mówimy, że wektor x jest ortogonalny (prostopadły, normalny) do podprzestrzeni Y, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall y\in Y:\ x\perp y. }

Piszemy xY.
{ Rysunek AM2.M03.W.R12 (stary numer AM2.4.6)}
(3) Mówimy, że wektory a1,,akX tworzą układ ortogonalny, jeśli

(ai|aj)=0 ij.

(4) Mówimy, że wektory a1,,akX tworzą układ ortonormalny, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall i,j:\ \ (a_i|a_j)=\delta_{ij} \ \stackrel{df}{=}\ \left\{ \begin{array} {ll} 1 & \quad i=j,\\ 0 & \quad i\ne j \end{array} \right. }

(to znaczy wektory a1,,ak są parami ortogonalne oraz mają normę 1).

Poniższe twierdzenie podamy tu bez dowodu.

Twierdzenie

Każda przestrzeń unitarna skończenie wymiarowa posiada bazę ortonormalną (to znaczy bazę tworzącą układ ortonormalny).

Przykład

Baza kanoniczna w N jest bazą ortonormalną.

Twierdzenie

(Warunek równoległoboku)
Jeśli (X,(|)) jest przestrzenią unitarną oraz jest normą zadaną przez iloczyn skalarny, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x,y\in X:\ \ \|x+y\|^{2} +\|x-y\|^{2} \ =\ 2\big(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}\big). }

Dowód

Dla dowolnych ustalonych x,yX liczymy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x+y\|^2 \ =\ \|x\|^2+2(x|y)+\|y\|^2, }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x-y\|^2 \ =\ \|x\|^2-2(x|y)+\|y\|^2. }

Dodając stronami powyższe równości dostajemy tezę twierdzenia.

{ Rysunek AM2.M03.W.R13 (stary numer AM2.4.7)}

Twierdzenie

(Twierdzenie Pitagorasa)
Jeśli (X,(|)) jest przestrzenią unitarną oraz jest normą zadaną przez iloczyn skalarny, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x,y\in X:\ \ \bigg[ x\perp y \ \ \Longleftrightarrow\ \ \|x+y\|^{2} = \|x\|^{2}+\|y\|^{2} \bigg]. }

Dowód

Dla dowolnych ustalonych x,yX liczymy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x+y\|^2 \ =\ \|x\|^2+2\underbrace{(x|y)}\limits_{=0}+\|y\|^2 \ =\ \|x\|^2+\|y\|^2, }

co należało dowieść.
{ Rysunek AM2.M03.W.R14 (stary numer AM2.4.8)}