Analiza matematyczna 1/Wykład 10: Wzór Taylora. Ekstrema: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
Gracja (dyskusja | edycje)
Nie podano opisu zmian
 
Gracja (dyskusja | edycje)
Nie podano opisu zmian
Linia 2: Linia 2:


Definiujemy pochodne wyższych rzędów oraz funkcje klasy
Definiujemy pochodne wyższych rzędów oraz funkcje klasy
<math>C^k</math>. Twierdzenie Taylora pozwala nam na sformułowanie warunku
<math> \displaystyle C^k</math>. Twierdzenie Taylora pozwala nam na sformułowanie warunku
wystarczającego istnienia ekstremum funkcji klasy <math>C^2</math>.
wystarczającego istnienia ekstremum funkcji klasy <math> \displaystyle C^2</math>.
Pokazujemy jak można za pomocą wielomianów Taylora przybliżać
Pokazujemy jak można za pomocą wielomianów Taylora przybliżać
funkcje klasy <math>C^{n+1}</math>, <math>n\geq 1</math>. Formułujemy twierdzenie
funkcje klasy <math> \displaystyle C^{n+1}</math>, <math> \displaystyle n\geq 1</math>. Formułujemy twierdzenie
Weierstrassa o przybliżaniu wielomianami funkcji ciągłych na
Weierstrassa o przybliżaniu wielomianami funkcji ciągłych na
przedziale domkniętym.   
przedziale domkniętym.   
Linia 11: Linia 11:
==10.1. Pochodne wyższych rzędów==
==10.1. Pochodne wyższych rzędów==


Niech <math>f</math> będzie funkcją różniczkowalną w przedziale otwartym
Niech <math> \displaystyle f</math> będzie funkcją różniczkowalną w przedziale otwartym
<math>(a,b)</math>. Rozważmy funkcję pochodną <center><math>f': (a,b)\ni x\mapsto
<math> \displaystyle (a,b)</math>. Rozważmy funkcję pochodną <center><math> \displaystyle f': (a,b)\ni x\mapsto
f'(x)\in \mathbb{R}.</math></center>  
f'(x)\in \mathbb{R}.</math></center>  


{{definicja|10.1.||
{{definicja|10.1.||
Jeśli funkcja <math>f'</math> jest różniczkowalna
Jeśli funkcja <math> \displaystyle f'</math> jest różniczkowalna
w punkcie <math>x_0\in (a,b)</math>, to znaczy: jeśli istnieje granica
w punkcie <math> \displaystyle x_0\in (a,b)</math>, to znaczy: jeśli istnieje granica
ilorazu różnicowego:
ilorazu różnicowego:
<center><math>\lim_{h\to 0}\frac{f'(x_0 +h)-f'(x_0)}{h},</math></center> to mówimy, że funkcja <math>f</math>
<center><math> \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f'(x_0 +h)-f'(x_0)}{h},</math></center> to mówimy, że funkcja <math> \displaystyle f</math>
jest '''''dwukrotnie różniczkowalna''''' w punkcie <math>x_0</math> a granicę tę
jest '''''dwukrotnie różniczkowalna''''' w punkcie <math> \displaystyle x_0</math> a granicę tę
nazywamy '''''pochodną rzędu drugiego''''' (lub krótko: '''''drugą
nazywamy '''''pochodną rzędu drugiego''''' (lub krótko: '''''drugą
pochodną''''') funkcji <math>f</math> w punkcie <math>x_0</math> i oznaczamy symbolem
pochodną''''') funkcji <math> \displaystyle f</math> w punkcie <math> \displaystyle x_0</math> i oznaczamy symbolem
<math>f''(x_0)</math> lub <math>\frac{d^2 f}{dx^2}(x_0)</math> albo
<math> \displaystyle f''(x_0)</math> lub <math> \displaystyle \frac{d^2 f}{dx^2}(x_0)</math> albo
<math>\frac{d^2}{dx^2}f(x_0)</math>, bądź też <math>f^{(2)}(x_0)</math>.
<math> \displaystyle \frac{d^2}{dx^2}f(x_0)</math>, bądź też <math> \displaystyle f^{(2)}(x_0)</math>.
}}
}}


Linia 30: Linia 30:
Znanym ze szkoły przykładem pochodnej
Znanym ze szkoły przykładem pochodnej
rzędu drugiego jest przyśpieszenie,  równe pochodnej prędkości
rzędu drugiego jest przyśpieszenie,  równe pochodnej prędkości
<math>v</math>:
<math> \displaystyle v</math>:
<center><math>\frac{d^2}{dt^2}x(t)=\frac{d}{dt}\big(\frac{d}{dt}x(t)\big)=\frac{d}{dt}v(t),</math></center>
<center><math> \displaystyle \frac{d^2}{dt^2}x(t)=\frac{d}{dt}\big(\frac{d}{dt}x(t)\big)=\frac{d}{dt}v(t),</math></center>
gdzie <math>t\mapsto x(t)</math> oznacza położenie punktu materialnego w
gdzie <math> \displaystyle t\mapsto x(t)</math> oznacza położenie punktu materialnego w
chwili <math>t</math>.
chwili <math> \displaystyle t</math>.


}}
}}


Definicję pochodnej rzędu <math>n</math> możemy podać dla kolejnych liczb
Definicję pochodnej rzędu <math> \displaystyle n</math> możemy podać dla kolejnych liczb
naturalnych <math>n=1,2,3,\dots</math>. Często  -- aby uprościć wypowiedzi
naturalnych <math> \displaystyle n=1,2,3,\dots</math>. Często  -- aby uprościć wypowiedzi
twierdzeń -- terminem '''''pochodna rzędu zerowego''''' (albo krócej:
twierdzeń -- terminem '''''pochodna rzędu zerowego''''' (albo krócej:
'''''zerowa pochodna''''') funkcji <math>f</math> będziemy nazywać samą funkcję
'''''zerowa pochodna''''') funkcji <math> \displaystyle f</math> będziemy nazywać samą funkcję
<math>f</math>. Symbol pochodnej rzędu zerowego <math>f^{(0)}</math> będzie oznaczać
<math> \displaystyle f</math>. Symbol pochodnej rzędu zerowego <math> \displaystyle f^{(0)}</math> będzie oznaczać
funkcję <math>f</math>.
funkcję <math> \displaystyle f</math>.


Niech <math>f: (a,b)\mapsto \mathbb{R}</math> będzie funkcją <math>n-1</math> krotnie
Niech <math> \displaystyle f: (a,b)\mapsto \mathbb{R}</math> będzie funkcją <math> \displaystyle n-1</math> krotnie
różniczkowalną, <math>n>0</math>.
różniczkowalną, <math> \displaystyle n>0</math>.


{{definicja|10.3.||
{{definicja|10.3.||
Jeśli pochodna <math>f^{(n-1)}</math> rzędu <math>n-1</math>
Jeśli pochodna <math> \displaystyle f^{(n-1)}</math> rzędu <math> \displaystyle n-1</math>
funkcji <math>f</math> jest różniczkowalna w punkcie <math>x_0\in (a,b)</math>, to
funkcji <math> \displaystyle f</math> jest różniczkowalna w punkcie <math> \displaystyle x_0\in (a,b)</math>, to
znaczy: jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:
znaczy: jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:
<center><math>\lim_{h\to 0}\frac{f^{(n-1)}(x_0 +h)-f^{(n-1)}(x_0)}{h},</math></center> to
<center><math> \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f^{(n-1)}(x_0 +h)-f^{(n-1)}(x_0)}{h},</math></center> to
mówimy, że funkcja jest '''''<math>n</math> krotnie różniczkowalna''''' w punkcie
mówimy, że funkcja jest '''''<math> \displaystyle n</math> krotnie różniczkowalna''''' w punkcie
<math>x_0</math>, a granicę tę nazywamy '''''pochodną rzędu <math>n</math>''''' (lub krótko:
<math> \displaystyle x_0</math>, a granicę tę nazywamy '''''pochodną rzędu <math> \displaystyle n</math>''''' (lub krótko:
'''''<math>n</math>-tą pochodną''''') funkcji <math>f</math> w punkcie <math>x_0</math> i oznaczamy
'''''<math> \displaystyle n</math>-tą pochodną''''') funkcji <math> \displaystyle f</math> w punkcie <math> \displaystyle x_0</math> i oznaczamy
symbolem <math>f^{(n)}(x_0)</math> lub <math>\dfrac{d^n f}{dx^n}(x_0)</math>, bądź
symbolem <math> \displaystyle f^{(n)}(x_0)</math> lub <math> \displaystyle \dfrac{d^n f}{dx^n}(x_0)</math>, bądź
<math>\dfrac{d^n}{dx^n}f(x_0)</math>.
<math> \displaystyle \dfrac{d^n}{dx^n}f(x_0)</math>.
}}
}}


Jeśli <math>n=3,4,\dots</math>, na oznaczenie pochodnej rzędu <math>n</math>
Jeśli <math> \displaystyle n=3,4,\dots</math>, na oznaczenie pochodnej rzędu <math> \displaystyle n</math>
funkcji <math>f</math> w punkcie <math>x_0</math> używamy raczej symboli:
funkcji <math> \displaystyle f</math> w punkcie <math> \displaystyle x_0</math> używamy raczej symboli:
<center><math>f^{(3)}(x_0), \ f^{(4)}(x_0), \dots ,</math></center> albo
<center><math> \displaystyle f^{(3)}(x_0), \ f^{(4)}(x_0), \dots ,</math></center> albo
<center><math>\dfrac{d^3}{dx^3}f(x_0), \ \dfrac{d^4}{dx^4}f(x_0), \dots, </math></center> niż <math>f'''(x_0), \
<center><math> \displaystyle \dfrac{d^3}{dx^3}f(x_0), \ \dfrac{d^4}{dx^4}f(x_0), \dots, </math></center> niż <math> \displaystyle f'''(x_0), \
f''''(x_0), \dots.</math>  
f''''(x_0), \dots.</math>  


Kolejne twierdzenie stanowi uogólnienie twierdzenia o
Kolejne twierdzenie stanowi uogólnienie twierdzenia o
pochodnej iloczynu dwóch funkcji na przypadek pochodnej rzędu <math>n</math>.
pochodnej iloczynu dwóch funkcji na przypadek pochodnej rzędu <math> \displaystyle n</math>.


{{twierdzenie|10.4.||
{{twierdzenie|10.4.||
(wzór Leibniza) Niech <math>f,
(wzór Leibniza) Niech <math> \displaystyle f,
g:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}</math> będą funkcjami <math>n</math> krotnie różniczkowalnymi,
g:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}</math> będą funkcjami <math> \displaystyle n</math> krotnie różniczkowalnymi,
<math>n\geq 1</math>. Zachodzi równość
<math> \displaystyle n\geq 1</math>. Zachodzi równość
<center><math>(f\cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}f^{(n-k)}g^{(k)}.</math></center>
<center><math> \displaystyle (f\cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}f^{(n-k)}g^{(k)}.</math></center>
}}
}}


Linia 78: Linia 78:
Zwróćmy przede wszystkim uwagę na podobieństwo wzoru Leibniza
Zwróćmy przede wszystkim uwagę na podobieństwo wzoru Leibniza
do wzoru dwumianowego Newtona. Dowody obu twierdzeń są
do wzoru dwumianowego Newtona. Dowody obu twierdzeń są
analogiczne. Zauważmy wpierw, że twierdzenie zachodzi dla <math>n=1</math>
analogiczne. Zauważmy wpierw, że twierdzenie zachodzi dla <math> \displaystyle n=1</math>
mamy bowiem <math>(fg)'=\binom{1}{0}f'g+\binom{1}{1}fg'=f'g+fg'</math>.
mamy bowiem <math> \displaystyle (fg)'=\binom{1}{0}f'g+\binom{1}{1}fg'=f'g+fg'</math>.
Następnie, korzystając z równości
Następnie, korzystając z równości
<math>\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}</math>, pokazujemy, że dla
<math> \displaystyle \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}</math>, pokazujemy, że dla
dowolnej liczby <math>m\in{1,2,\dots, n-1}</math> zachodzi implikacja
dowolnej liczby <math> \displaystyle m\in{1,2,\dots, n-1}</math> zachodzi implikacja
<center><math>\bigg[(f\cdot g)^{(m)}=\sum_{k=0}^{m}
<center><math> \displaystyle \bigg[(f\cdot g)^{(m)}=\sum_{k=0}^{m}
\binom{m}{k}f^{(m-k)}g^{(k)}\bigg] \implies \bigg[(f\cdot
\binom{m}{k}f^{(m-k)}g^{(k)}\bigg] \implies \bigg[(f\cdot
g)^{(m+1)}=\sum_{k=0}^{m+1}
g)^{(m+1)}=\sum_{k=0}^{m+1}
Linia 92: Linia 92:
{black}
{black}


Niech <math>k=0,1,2,\dots</math> będzie liczbą całkowitą nieujemną.  
Niech <math> \displaystyle k=0,1,2,\dots</math> będzie liczbą całkowitą nieujemną.  


{{definicja|10.5.||
{{definicja|10.5.||
Mówimy, że funkcja <math>f:(a,b)\mapsto\mathbb{R}</math>
Mówimy, że funkcja <math> \displaystyle f:(a,b)\mapsto\mathbb{R}</math>
jest '''''klasy <math>C^k</math> w przedziale <math>(a,b)</math>,''''' jeśli jest <math>k</math>
jest '''''klasy <math> \displaystyle C^k</math> w przedziale <math> \displaystyle (a,b)</math>,''''' jeśli jest <math> \displaystyle k</math>
krotnie różniczkowalna w przedziale <math>(a,b)</math> i pochodna <math>(a,b)\ni
krotnie różniczkowalna w przedziale <math> \displaystyle (a,b)</math> i pochodna <math> \displaystyle (a,b)\ni
x\mapsto f^{(k)}(x)</math> rzędu <math>k</math> funkcji <math>f</math> jest ciągła. Jeśli dla
x\mapsto f^{(k)}(x)</math> rzędu <math> \displaystyle k</math> funkcji <math> \displaystyle f</math> jest ciągła. Jeśli dla
dowolnej liczby <math>k\in\{0,1,2,3,\dots\}</math> funkcja <math>f</math> jest klasy
dowolnej liczby <math> \displaystyle k\in\{0,1,2,3,\dots\}</math> funkcja <math> \displaystyle f</math> jest klasy
<math>C^k</math> w przedziale <math>(a,b)</math>, to mówimy, że jest '''''klasy
<math> \displaystyle C^k</math> w przedziale <math> \displaystyle (a,b)</math>, to mówimy, że jest '''''klasy
<math>C^{\infty}</math> ''''' w tym przedziale.}}
<math> \displaystyle C^{\infty}</math> ''''' w tym przedziale.}}


{{przyklad|10.6.||
{{przyklad|10.6.||
Dowolna funkcja wielomianowa, funkcje
Dowolna funkcja wielomianowa, funkcje
sinus, cosinus i wykładnicza <math>\exp</math> są przykładami funkcji klasy
sinus, cosinus i wykładnicza <math> \displaystyle \exp</math> są przykładami funkcji klasy
<math>C^\infty</math> w całym zbiorze liczb rzeczywistych.  Ogólnie: dowolna
<math> \displaystyle C^\infty</math> w całym zbiorze liczb rzeczywistych.  Ogólnie: dowolna
funkcja dana za pomocą szeregu potęgowego <math>\displaystyle
funkcja dana za pomocą szeregu potęgowego <math> \displaystyle \displaystyle
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-x_0)^k</math> jest klasy <math>C^\infty</math> w
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-x_0)^k</math> jest klasy <math> \displaystyle C^\infty</math> w
przedziale otwartym <math>(x_0 -R, x_0+R)</math>, gdzie <math>R</math> jest promieniem
przedziale otwartym <math> \displaystyle (x_0 -R, x_0+R)</math>, gdzie <math> \displaystyle R</math> jest promieniem
zbieżności szeregu potęgowego. }}
zbieżności szeregu potęgowego. }}


{{przyklad|10.7.||
{{przyklad|10.7.||
Funkcja <math>f_0(x)=|x|</math> jest ciągła, ale
Funkcja <math> \displaystyle f_0(x)=|x|</math> jest ciągła, ale
nie ma ciągłej pochodnej w dowolnym przedziale <math>(a,b)</math>, do którego
nie ma ciągłej pochodnej w dowolnym przedziale <math> \displaystyle (a,b)</math>, do którego
należy zero, tj. gdy <math>a<0<b</math>. Jest więc klasy <math>C^0</math> i nie jest
należy zero, tj. gdy <math> \displaystyle a<0<b</math>. Jest więc klasy <math> \displaystyle C^0</math> i nie jest
klasy <math>C^1</math> w takim przedziale. Jeśli zero nie należy do
klasy <math> \displaystyle C^1</math> w takim przedziale. Jeśli zero nie należy do
przedziału <math>(a,b)</math>, czyli gdy <math>a<b<0</math> lub <math>0<a<b</math>, to restrykcja
przedziału <math> \displaystyle (a,b)</math>, czyli gdy <math> \displaystyle a<b<0</math> lub <math> \displaystyle 0<a<b</math>, to restrykcja
<math>f(x)=|x|</math> do przedziału <math>(a,b)</math> jest wielomianem, czyli funkcją
<math> \displaystyle f(x)=|x|</math> do przedziału <math> \displaystyle (a,b)</math> jest wielomianem, czyli funkcją
klasy <math>C^\infty</math>. }}
klasy <math> \displaystyle C^\infty</math>. }}


{{red}[[Rysunek am1w10.0010]]}
{{red}[[Rysunek am1w10.0010]]}


{{przyklad|10.8.||
{{przyklad|10.8.||
Funkcja <center><math>f_1(x)=\left\{\aligned
Funkcja <center><math> \displaystyle f_1(x)=\left\{\aligned
-\frac{1}{2}x^2, \text{ dla }x<0\\\frac{1}{2}x^2, \text{ dla
-\frac{1}{2}x^2, \text{ dla }x<0\\\frac{1}{2}x^2, \text{ dla
}x\geq 0 \endaligned\right.</math></center> jest różniczkowalna i jej pochodna
}x\geq 0 \endaligned\right.</math></center> jest różniczkowalna i jej pochodna
<math>f'(x)=|x|</math>. Stąd jeśli <math>a<0<b</math>, to <math>f_1</math> jest klasy <math>C^1</math> w
<math> \displaystyle f'(x)=|x|</math>. Stąd jeśli <math> \displaystyle a<0<b</math>, to <math> \displaystyle f_1</math> jest klasy <math> \displaystyle C^1</math> w
przedziale <math>(a,b)</math>, ale nie jest klasy <math>C^2</math>.
przedziale <math> \displaystyle (a,b)</math>, ale nie jest klasy <math> \displaystyle C^2</math>.


{{red}[[Rysunek am1w10.0020]]}
{{red}[[Rysunek am1w10.0020]]}


Przykład ten możemy łatwo dalej modyfikować. Na przykład funkcja
Przykład ten możemy łatwo dalej modyfikować. Na przykład funkcja
<center><math>f_2(x)=\left\{\aligned -\frac{1}{6}x^3, \text{ dla
<center><math> \displaystyle f_2(x)=\left\{\aligned -\frac{1}{6}x^3, \text{ dla
}x<0\\\frac{1}{6}x^3, \text{ dla }x\geq 0 \endaligned\right.</math></center> ma
}x<0\\\frac{1}{6}x^3, \text{ dla }x\geq 0 \endaligned\right.</math></center> ma
pierwszą pochodną równą <math>f_2 '(x)=f_1 (x)</math>, a jej drugą pochodną
pierwszą pochodną równą <math> \displaystyle f_2 '(x)=f_1 (x)</math>, a jej drugą pochodną
jest <math>f_2 ''(x)=f_0 (x)=|x|</math>. Funkcja <math>f_2</math> jest więc klasy <math>C^2</math>,
jest <math> \displaystyle f_2 ''(x)=f_0 (x)=|x|</math>. Funkcja <math> \displaystyle f_2</math> jest więc klasy <math> \displaystyle C^2</math>,
ale nie jest klasy <math>C^3</math> w dowolnym przedziale otwartym
ale nie jest klasy <math> \displaystyle C^3</math> w dowolnym przedziale otwartym
zawierającym zero. Ogólnie
zawierającym zero. Ogólnie
<center><math>f_n(x)=c_n |x|^{n+1}\mathrm{sgn}\, x =\left\{\aligned
<center><math> \displaystyle f_n(x)=c_n |x|^{n+1}\mathrm{sgn}\, x =\left\{\aligned
-c_n x^{n+1}, \text{ dla }x<0\\ c_n x^{n+1}, \text{ dla }x\geq 0
-c_n x^{n+1}, \text{ dla }x<0\\ c_n x^{n+1}, \text{ dla }x\geq 0
\endaligned\right.</math></center> (gdzie <math>c_n=\frac{1}{(n+1)!}</math>, bądź też jest dowolną inną stałą różną od zera) jest funkcją klasy <math>C^n</math> i nie jest klasy
\endaligned\right.</math></center> (gdzie <math> \displaystyle c_n=\frac{1}{(n+1)!}</math>, bądź też jest dowolną inną stałą różną od zera) jest funkcją klasy <math> \displaystyle C^n</math> i nie jest klasy
<math>C^{n+1}</math> w dowolnym przedziale otwartym zawierającym zero. }}
<math> \displaystyle C^{n+1}</math> w dowolnym przedziale otwartym zawierającym zero. }}


{{red}[[Rysunek animacja am1w10.0030]]}
{{red}[[Rysunek animacja am1w10.0030]]}
Linia 148: Linia 148:
===Wzór Taylora===
===Wzór Taylora===


Niech <math>w(x)=a_0 +a_1 x+a_2 x^2 +a_3 x^3\dots +a_{n-1}x^{n-1}+a_n
Niech <math> \displaystyle w(x)=a_0 +a_1 x+a_2 x^2 +a_3 x^3\dots +a_{n-1}x^{n-1}+a_n
x^n</math> będzie wielomianem. Zauważmy, że wartości pochodnych rzędu
x^n</math> będzie wielomianem. Zauważmy, że wartości pochodnych rzędu
<math>k=0,1,2,3,\dots , n, n+1,\dots </math> w punkcie <math>x=0</math> wyrażają się
<math> \displaystyle k=0,1,2,3,\dots , n, n+1,\dots </math> w punkcie <math> \displaystyle x=0</math> wyrażają się
prosto za pomocą współczynników tego wielomianu:
prosto za pomocą współczynników tego wielomianu:
<center><math>\aligned w(0)&=a_0\\ w'(0)&=a_1, \\\text{ gdyż }w'(x)&=0+a_1 +2 a_2 x+3a_3 x^2 +\dots +(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+n a_n
<center><math> \displaystyle \aligned w(0)&=a_0\\ w'(0)&=a_1, \\\text{ gdyż }w'(x)&=0+a_1 +2 a_2 x+3a_3 x^2 +\dots +(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+n a_n
x^{n-1}\\
x^{n-1}\\
w''(0)&=2 a_2,\\ \text{ gdyż }w''(x)&=0+0 +2 a_2 +3\cdot 2 a_3 x
w''(0)&=2 a_2,\\ \text{ gdyż }w''(x)&=0+0 +2 a_2 +3\cdot 2 a_3 x
Linia 163: Linia 163:
+0+n! a_n \\w^{(n+1)}(0)&=0,\\ \text{ gdyż }w^{(n+1)}(x)&=0+0 +0
+0+n! a_n \\w^{(n+1)}(0)&=0,\\ \text{ gdyż }w^{(n+1)}(x)&=0+0 +0
+0 +\dots +0+0 \text{ dla dowolnej liczby } x,\endaligned</math></center> Każda
+0 +\dots +0+0 \text{ dla dowolnej liczby } x,\endaligned</math></center> Każda
następna pochodna rzędu wyższego niż stopień wielomianu <math>w</math> jest
następna pochodna rzędu wyższego niż stopień wielomianu <math> \displaystyle w</math> jest
równa zeru, i to nie tylko w punkcie zero, ale w każdym punkcie
równa zeru, i to nie tylko w punkcie zero, ale w każdym punkcie
<math>x\in \mathbb{R}</math>.
<math> \displaystyle x\in \mathbb{R}</math>.


Uogólnieniem tej obserwacji jest następujące twierdzenie Taylora:
Uogólnieniem tej obserwacji jest następujące twierdzenie Taylora:


{{twierdzenie|10.9.||
{{twierdzenie|10.9.||
Niech <math>f:(\alpha, \beta)\mapsto \mathbb{R}</math>
Niech <math> \displaystyle f:(\alpha, \beta)\mapsto \mathbb{R}</math>
będzie funkcją <math>n+1</math> krotnie różniczkowalną w przedziale <math>(\alpha,
będzie funkcją <math> \displaystyle n+1</math> krotnie różniczkowalną w przedziale <math> \displaystyle (\alpha,
\beta)</math>. Wówczas dla dowolnych punktów <math>a</math>, <math>b</math> takich, że
\beta)</math>. Wówczas dla dowolnych punktów <math> \displaystyle a</math>, <math> \displaystyle b</math> takich, że
<math>\alpha<a<b<\beta</math> istnieje punkt <math>\xi_{n+1}\in (a,b)</math> taki, że
<math> \displaystyle \alpha<a<b<\beta</math> istnieje punkt <math> \displaystyle \xi_{n+1}\in (a,b)</math> taki, że
<center><math>f(b)=T^{n}_a f(b)+\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi_{n+1})(b-a)^{n+1},</math></center>
<center><math> \displaystyle f(b)=T^{n}_a f(b)+\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi_{n+1})(b-a)^{n+1},</math></center>
gdzie
gdzie
<center><math>T^{n}_a f (b)=f(a)+f'(a)(b-a)+\frac{f''(a)}{2!}(b-a)^2+\dots+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(b-a)^{n-1}+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(b-a)^{n}.</math></center>
<center><math> \displaystyle T^{n}_a f (b)=f(a)+f'(a)(b-a)+\frac{f''(a)}{2!}(b-a)^2+\dots+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(b-a)^{n-1}+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(b-a)^{n}.</math></center>
}}
}}


{{definicja|10.10.||
{{definicja|10.10.||
Wielomian <center><math>\aligned T^{n}_a f : \mathbb{R}\ni
Wielomian <center><math> \displaystyle \aligned T^{n}_a f : \mathbb{R}\ni
x\mapsto T^{n}_a
x\mapsto T^{n}_a
f(x)&=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\\&=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\dots+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1}+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}\endaligned</math></center>
f(x)&=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\\&=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\dots+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1}+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}\endaligned</math></center>
nazywamy '''''wielomianem Taylora rzędu <math>n</math> funkcji <math>f</math> o środku
nazywamy '''''wielomianem Taylora rzędu <math> \displaystyle n</math> funkcji <math> \displaystyle f</math> o środku
w punkcie <math>a</math>'''''.
w punkcie <math> \displaystyle a</math>'''''.


}}
}}


Nim wykażemy twierdzenie Taylora zauważmy, że z założenia o
Nim wykażemy twierdzenie Taylora zauważmy, że z założenia o
istnieniu pochodnej rzędu <math>n+1</math> funkcji <math>f</math> w przedziale <math>(\alpha,
istnieniu pochodnej rzędu <math> \displaystyle n+1</math> funkcji <math> \displaystyle f</math> w przedziale <math> \displaystyle (\alpha,
\beta)</math> wynika, że funkcja <math>f</math> i wszystkie jej pochodne <math>f', \
\beta)</math> wynika, że funkcja <math> \displaystyle f</math> i wszystkie jej pochodne <math> \displaystyle f', \
f'', \ f^{(3)}, \dots, f^{(n-1)}, f^{(n)}</math>  aż do rzędu <math>n</math>
f'', \ f^{(3)}, \dots, f^{(n-1)}, f^{(n)}</math>  aż do rzędu <math> \displaystyle n</math>
włącznie, istnieją  i są ciągłe w tym przedziale.
włącznie, istnieją  i są ciągłe w tym przedziale.


Zauważmy też, że w przypadku <math>n=1</math> twierdzenie Taylora sprowadza
Zauważmy też, że w przypadku <math> \displaystyle n=1</math> twierdzenie Taylora sprowadza
się do twierdzenia Lagrange'a:
się do twierdzenia Lagrange'a:
<center><math>f(b)=f(a)+f'(\xi_1)(b-a). </math></center>
<center><math> \displaystyle f(b)=f(a)+f'(\xi_1)(b-a). </math></center>


{{dowod|twierdzenia 10.10.||
{{dowod|twierdzenia 10.10.||
(twierdzenia Taylora) Niech <math>M</math> będzie stałą określoną tak,
(twierdzenia Taylora) Niech <math> \displaystyle M</math> będzie stałą określoną tak,
że zachodzi równość <center><math>f(b)=T^{n}_a f(b)+M(b-a)^{n+1}.</math></center> Aby
że zachodzi równość <center><math> \displaystyle f(b)=T^{n}_a f(b)+M(b-a)^{n+1}.</math></center> Aby
dowieść twierdzenia wystarczy pokazać, że istnieje punkt
dowieść twierdzenia wystarczy pokazać, że istnieje punkt
<math>\xi_{n+1}\in (a,b)</math> taki, że <math>(n+1)!M=f^{(n+1)}(\xi_{n+1})</math>.
<math> \displaystyle \xi_{n+1}\in (a,b)</math> taki, że <math> \displaystyle (n+1)!M=f^{(n+1)}(\xi_{n+1})</math>.
Rozważmy dla <math>t\in[a,b]</math> funkcję
Rozważmy dla <math> \displaystyle t\in[a,b]</math> funkcję
<center><math> g(t):=f(t)-T^{n}_a f(t)-M(t-a)^{n+1}.</math></center>
<center><math> \displaystyle  g(t):=f(t)-T^{n}_a f(t)-M(t-a)^{n+1}.</math></center>
Zauważmy, że <math>g(a)=0</math> i z określenia stałej <math>M</math> mamy również:
Zauważmy, że <math> \displaystyle g(a)=0</math> i z określenia stałej <math> \displaystyle M</math> mamy również:
<math>g(b)=0</math>. Z twierdzenia Rolle'a wynika więc, że istnieje <math>\xi_1\in
<math> \displaystyle g(b)=0</math>. Z twierdzenia Rolle'a wynika więc, że istnieje <math> \displaystyle \xi_1\in
(a,b)</math> taki, że <math>g'(\xi_1)=0</math>. Zauważmy następnie, że nie tylko
(a,b)</math> taki, że <math> \displaystyle g'(\xi_1)=0</math>. Zauważmy następnie, że nie tylko
funkcja <math>g</math> ale również kolejne jej pochodne <math>g^{(k)}</math> dla
funkcja <math> \displaystyle g</math> ale również kolejne jej pochodne <math> \displaystyle g^{(k)}</math> dla
<math>k=1,2,\dots, n</math> zerują się w punkcie <math>a</math>. Wobec tego, że
<math> \displaystyle k=1,2,\dots, n</math> zerują się w punkcie <math> \displaystyle a</math>. Wobec tego, że
<math>g'(a)=0</math> i <math>g'(\xi_1)=0</math>, z twierdzenia Rolle'a wnioskujemy o
<math> \displaystyle g'(a)=0</math> i <math> \displaystyle g'(\xi_1)=0</math>, z twierdzenia Rolle'a wnioskujemy o
istnieniu kolejnego punktu <math>\xi_2\in (a, \xi_1)</math>, w którym zeruje
istnieniu kolejnego punktu <math> \displaystyle \xi_2\in (a, \xi_1)</math>, w którym zeruje
się druga pochodna funkcji <math>g</math>, tj. <math>g''(\xi_2)=0</math>. Powtarzając
się druga pochodna funkcji <math> \displaystyle g</math>, tj. <math> \displaystyle g''(\xi_2)=0</math>. Powtarzając
rozumowanie dla kolejnych pochodnych <math>g^{(k)}</math>, <math>k=1,2,\dots, n</math>
rozumowanie dla kolejnych pochodnych <math> \displaystyle g^{(k)}</math>, <math> \displaystyle k=1,2,\dots, n</math>
na podstawie twierdzenia Rolle'a wnioskujemy o istnieniu punktów
na podstawie twierdzenia Rolle'a wnioskujemy o istnieniu punktów
<math>\xi_{k+1}\in (a, \xi_k )</math> takich, że <math>g^{(k+1)}(\xi_{k+1})=0</math>.
<math> \displaystyle \xi_{k+1}\in (a, \xi_k )</math> takich, że <math> \displaystyle g^{(k+1)}(\xi_{k+1})=0</math>.
Zwróćmy uwagę, że ostatni ze znalezionych punktów <math>\xi_{n+1}</math> jest
Zwróćmy uwagę, że ostatni ze znalezionych punktów <math> \displaystyle \xi_{n+1}</math> jest
tym punktem, którego istnienie postulujemy w tezie twierdzenia.
tym punktem, którego istnienie postulujemy w tezie twierdzenia.
Zauważmy, że pochodna rzędu <math>n+1</math> funkcji <math>g</math> wynosi
Zauważmy, że pochodna rzędu <math> \displaystyle n+1</math> funkcji <math> \displaystyle g</math> wynosi
<center><math>\aligned \frac{d^{n+1}}{dt^{n+1}}g(t)&=\frac{d^{n+1}}{dt^{n+1}}\big(f(t)-T^{n}_a
<center><math> \displaystyle \aligned \frac{d^{n+1}}{dt^{n+1}}g(t)&=\frac{d^{n+1}}{dt^{n+1}}\big(f(t)-T^{n}_a
f(t)-M(t-a)^{n+1}\big)\\&=f^{(n+1)}(t)-0-(n+1)!M. \endaligned</math></center>
f(t)-M(t-a)^{n+1}\big)\\&=f^{(n+1)}(t)-0-(n+1)!M. \endaligned</math></center>
(Pochodna rzędu <math>n+1</math> wielomianu <math>t\mapsto T_a^n f(t)</math> jest w
(Pochodna rzędu <math> \displaystyle n+1</math> wielomianu <math> \displaystyle t\mapsto T_a^n f(t)</math> jest w
każdym punkcie równa zeru, gdyż wielomian ten jest stopnia co
każdym punkcie równa zeru, gdyż wielomian ten jest stopnia co
najwyżej <math>n</math>.) Stąd
najwyżej <math> \displaystyle n</math>.) Stąd
<math>0=g^{(n+1)}(\xi_{n+1})=f^{(n+1)}(\xi_{n+1})-(n+1)! M</math>.
<math> \displaystyle 0=g^{(n+1)}(\xi_{n+1})=f^{(n+1)}(\xi_{n+1})-(n+1)! M</math>.


}}
}}
Linia 235: Linia 235:


{{twierdzenie|10.11.||
{{twierdzenie|10.11.||
Niech <math>f:(a,b) \mapsto \mathbb{R}</math> będzie funkcją klasy <math>C^2</math> w
Niech <math> \displaystyle f:(a,b) \mapsto \mathbb{R}</math> będzie funkcją klasy <math> \displaystyle C^2</math> w
przedziale <math>(a,b)</math> (czyli funkcją dwukrotnie różniczkowalną o
przedziale <math> \displaystyle (a,b)</math> (czyli funkcją dwukrotnie różniczkowalną o
ciągłej drugiej pochodnej <math>f''</math> w przedziale <math>(a,b)</math>). Załóżmy, że
ciągłej drugiej pochodnej <math> \displaystyle f''</math> w przedziale <math> \displaystyle (a,b)</math>). Załóżmy, że
w punkcie <math>x_0\in (a,b)</math> pochodna <math>f'(x_0)</math> zeruje się.
w punkcie <math> \displaystyle x_0\in (a,b)</math> pochodna <math> \displaystyle f'(x_0)</math> zeruje się.


a) Jeśli <math>f''(x_0)>0</math>, to <math>f</math> osiąga minimum lokalne w punkcie
a) Jeśli <math> \displaystyle f''(x_0)>0</math>, to <math> \displaystyle f</math> osiąga minimum lokalne w punkcie
<math>x_0</math>.
<math> \displaystyle x_0</math>.


b) Jeśli <math>f''(x_0)<0</math>, to <math>f</math> osiąga maksimum lokalne w punkcie
b) Jeśli <math> \displaystyle f''(x_0)<0</math>, to <math> \displaystyle f</math> osiąga maksimum lokalne w punkcie
<math>x_0</math>.
<math> \displaystyle x_0</math>.


}}
}}


{{dowod|twierdzenia 10.11.||
{{dowod|twierdzenia 10.11.||
a) Załóżmy, że <math>f''(x_0)>0</math>. Ze wzoru Taylora i z założenia o
a) Załóżmy, że <math> \displaystyle f''(x_0)>0</math>. Ze wzoru Taylora i z założenia o
zerowaniu się pierwszej pochodnej <math>f'</math> danej funkcji  mamy
zerowaniu się pierwszej pochodnej <math> \displaystyle f'</math> danej funkcji  mamy
<center><math>\aligned
<center><math> \displaystyle \aligned
f(x_0+h)&=f(x_0)+&f'(x_0)&+&\frac{1}{2}f''(x_0+\theta h)\\
f(x_0+h)&=f(x_0)+&f'(x_0)&+&\frac{1}{2}f''(x_0+\theta h)\\
&=f(x_0)+&0&+&\frac{1}{2}f''(x_0+\theta h),\endaligned</math></center> gdzie
&=f(x_0)+&0&+&\frac{1}{2}f''(x_0+\theta h),\endaligned</math></center> gdzie
<math>\theta</math> jest pewną liczbą z przedziału <math>(0,1)</math>.  Stąd znak
<math> \displaystyle \theta</math> jest pewną liczbą z przedziału <math> \displaystyle (0,1)</math>.  Stąd znak
różnicy <math>f(x+h)-f(x)=\frac{1}{2}f''(x_0+\theta h)</math> jest taki sam
różnicy <math> \displaystyle f(x+h)-f(x)=\frac{1}{2}f''(x_0+\theta h)</math> jest taki sam
jak znak drugiej pochodnej <math>f''(x_0+\theta h)</math> w pewnym punkcie
jak znak drugiej pochodnej <math> \displaystyle f''(x_0+\theta h)</math> w pewnym punkcie
pośrednim między punktem <math>x_0</math> a <math>x_0+h</math>. Z założenia o ciągłości
pośrednim między punktem <math> \displaystyle x_0</math> a <math> \displaystyle x_0+h</math>. Z założenia o ciągłości
drugiej pochodnej <math>f''</math> na mocy własności Darboux wnioskujemy, że
drugiej pochodnej <math> \displaystyle f''</math> na mocy własności Darboux wnioskujemy, że
nie tylko w samym punkcie <math>x_0</math> druga pochodna <math>f''</math> jest
nie tylko w samym punkcie <math> \displaystyle x_0</math> druga pochodna <math> \displaystyle f''</math> jest
dodatnia, ale również w pewnym otoczeniu tego punktu. Biorąc więc
dodatnia, ale również w pewnym otoczeniu tego punktu. Biorąc więc
na tyle mały przyrost <math>h</math>, aby zarówno <math>x_0</math> jak i <math>x_0+h</math>
na tyle mały przyrost <math> \displaystyle h</math>, aby zarówno <math> \displaystyle x_0</math> jak i <math> \displaystyle x_0+h</math>
należały do przedziału, w którym <math>f''</math> jest dodatnia i nie zeruje
należały do przedziału, w którym <math> \displaystyle f''</math> jest dodatnia i nie zeruje
się, otrzymamy  nierówność <math>f''(x+\theta h)>0</math> również w punkcie
się, otrzymamy  nierówność <math> \displaystyle f''(x+\theta h)>0</math> również w punkcie
pośrednim. Stąd <math>f</math> osiąga minimum lokalne w punkcie <math>x_0</math>, gdyż
pośrednim. Stąd <math> \displaystyle f</math> osiąga minimum lokalne w punkcie <math> \displaystyle x_0</math>, gdyż
<math>f(x+h)-f(x)\leq 0</math> w pewnym otoczeniu punktu <math>x_0</math>.
<math> \displaystyle f(x+h)-f(x)\leq 0</math> w pewnym otoczeniu punktu <math> \displaystyle x_0</math>.


Dowód implikacji b) przebiega podobnie.}}
Dowód implikacji b) przebiega podobnie.}}
Linia 272: Linia 272:


Zauważmy, że podane twierdzenie nie rozstrzyga o istnieniu, ani o
Zauważmy, że podane twierdzenie nie rozstrzyga o istnieniu, ani o
typie ekstremum w przypadku, gdy <math>f'(x_0)=0</math> oraz <math>f''(x_0)=0</math>.
typie ekstremum w przypadku, gdy <math> \displaystyle f'(x_0)=0</math> oraz <math> \displaystyle f''(x_0)=0</math>.


{{red}[[Rysunek am1w10.0035 a, b, c]]}
{{red}[[Rysunek am1w10.0035 a, b, c]]}


{{przyklad|10.12.||
{{przyklad|10.12.||
Rozważmy funkcje <math>f_1(x)=-x^4</math>,
Rozważmy funkcje <math> \displaystyle f_1(x)=-x^4</math>,
<math>f_2(x)=x^4</math>, <math>f_3(x)=x^3</math>. Łatwo zauważyć, że zarówno pierwsza
<math> \displaystyle f_2(x)=x^4</math>, <math> \displaystyle f_3(x)=x^3</math>. Łatwo zauważyć, że zarówno pierwsza
jak i druga pochodna każdej z tych trzech funkcji w punkcie
jak i druga pochodna każdej z tych trzech funkcji w punkcie
<math>x_0=0</math> zerują się, podczas gdy <math>f_1</math> osiąga maksimum w tym
<math> \displaystyle x_0=0</math> zerują się, podczas gdy <math> \displaystyle f_1</math> osiąga maksimum w tym
punkcie a <math>f_2</math> minimum. Natomiast funkcja <math>f_3</math> w ogóle nie
punkcie a <math> \displaystyle f_2</math> minimum. Natomiast funkcja <math> \displaystyle f_3</math> w ogóle nie
osiąga ekstremum w punkcie <math>x_0=0</math>. }}
osiąga ekstremum w punkcie <math> \displaystyle x_0=0</math>. }}


{{uwaga|10.13.||
{{uwaga|10.13.||
Linia 288: Linia 288:
twierdzenia Taylora:
twierdzenia Taylora:


<center><math>\aligned f(b)&=T^n_a f(b)+\frac{f^{(n+1)}(\xi_{n+1})}{(n+1)!}(b-a)^{k+1}
<center><math> \displaystyle \aligned f(b)&=T^n_a f(b)+\frac{f^{(n+1)}(\xi_{n+1})}{(n+1)!}(b-a)^{k+1}
\\ &=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi_{n+1})}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}\endaligned</math></center>
\\ &=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi_{n+1})}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}\endaligned</math></center>
nazywamy '''''wzorem Taylora z resztą Lagrange'a''''' <center><math>\displaystyle
nazywamy '''''wzorem Taylora z resztą Lagrange'a''''' <center><math> \displaystyle \displaystyle
R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(\xi_{n+1})}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}.</math></center> Jeśli
R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(\xi_{n+1})}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}.</math></center> Jeśli
oznaczymy przyrost argument funkcji przez <math>h:=b-a</math>, to wzór ten
oznaczymy przyrost argument funkcji przez <math> \displaystyle h:=b-a</math>, to wzór ten
przyjmie postać
przyjmie postać
<center><math>\aligned f(a+h)&=T^n_a f(a+h)+\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!}h^{k+1}
<center><math> \displaystyle \aligned f(a+h)&=T^n_a f(a+h)+\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!}h^{k+1}
\\ &=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k+\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}\endaligned</math></center>
\\ &=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k+\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}\endaligned</math></center>
dla pewnej liczby <math>\theta \in (0,1)</math> dobranej tak, aby <math>a+\theta
dla pewnej liczby <math> \displaystyle \theta \in (0,1)</math> dobranej tak, aby <math> \displaystyle a+\theta
h=\xi_{n+1}</math>. Tę postać nazywamy '''''wzorem Taylora z resztą
h=\xi_{n+1}</math>. Tę postać nazywamy '''''wzorem Taylora z resztą
Cauchy'ego''''' <center><math>\displaystyle R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(a+\theta
Cauchy'ego''''' <center><math> \displaystyle \displaystyle R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(a+\theta
h)}{(n+1)!}h^{n+1}.</math></center> W szczególnym przypadku, gdy <math>a=0</math> otrzymamy
h)}{(n+1)!}h^{n+1}.</math></center> W szczególnym przypadku, gdy <math> \displaystyle a=0</math> otrzymamy
wzór
wzór
<center><math>\aligned f(h)&=T^n_0 f(h)+\frac{f^{(n+1)}(\theta h)}{(n+1)!}h^{k+1}
<center><math> \displaystyle \aligned f(h)&=T^n_0 f(h)+\frac{f^{(n+1)}(\theta h)}{(n+1)!}h^{k+1}
\\ &=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}h^k+\frac{f^{(n+1)}(\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}\endaligned</math></center>
\\ &=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}h^k+\frac{f^{(n+1)}(\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}\endaligned</math></center>
który nazywamy '''''wzorem Maclaurina''''' z resztą <center><math>\displaystyle
który nazywamy '''''wzorem Maclaurina''''' z resztą <center><math> \displaystyle \displaystyle
R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}.</math></center>
R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}.</math></center>


Linia 309: Linia 309:


{{uwaga|10.14.||
{{uwaga|10.14.||
Jeśli <math>w</math> jest wielomianem stopnia <math>k</math>,
Jeśli <math> \displaystyle w</math> jest wielomianem stopnia <math> \displaystyle k</math>,
to dla dowolnej liczby <math>n\geq k</math> wielomian Taylora rzędu <math>n</math> o
to dla dowolnej liczby <math> \displaystyle n\geq k</math> wielomian Taylora rzędu <math> \displaystyle n</math> o
środku w punkcie <math>a=0</math> jest dokładnie równy wielomianowi <math>w</math>, to
środku w punkcie <math> \displaystyle a=0</math> jest dokładnie równy wielomianowi <math> \displaystyle w</math>, to
znaczy
znaczy
<center><math>w(h)=w(0)+w'(0)h+\frac{w''(0)}{2!}h^2 +\dots +\frac{w^{(n)}(0)}{n!}h^n +R_{n+1},
<center><math> \displaystyle w(h)=w(0)+w'(0)h+\frac{w''(0)}{2!}h^2 +\dots +\frac{w^{(n)}(0)}{n!}h^n +R_{n+1},
\text{ przy czym } R_{n+1}=0.</math></center> }}
\text{ przy czym } R_{n+1}=0.</math></center> }}


Powstaje naturalne pytanie, czy dla innych funkcji
Powstaje naturalne pytanie, czy dla innych funkcji
(niekoniecznie wielomianów) wzór Taylora pozwala na przedstawienie
(niekoniecznie wielomianów) wzór Taylora pozwala na przedstawienie
funkcji <math>f</math> za pomocą wielomianu Taylora <math>T^n_a f</math> tak, aby reszta
funkcji <math> \displaystyle f</math> za pomocą wielomianu Taylora <math> \displaystyle T^n_a f</math> tak, aby reszta
<math>R_{n+1}</math> była jak najmniejsza i zmierzała do zera, gdy rośnie
<math> \displaystyle R_{n+1}</math> była jak najmniejsza i zmierzała do zera, gdy rośnie
<math>n</math>, czyli gdy rośnie stopień wielomianu Taylora funkcji <math>f</math>.
<math> \displaystyle n</math>, czyli gdy rośnie stopień wielomianu Taylora funkcji <math> \displaystyle f</math>.


Odpowiedź na pytanie uzyskamy stosując np. wzór Taylora z resztą
Odpowiedź na pytanie uzyskamy stosując np. wzór Taylora z resztą
Linia 326: Linia 326:


{{twierdzenie|10.15.||
{{twierdzenie|10.15.||
Niech <math>f:(\alpha, \beta)\mapsto \mathbb{R}</math>
Niech <math> \displaystyle f:(\alpha, \beta)\mapsto \mathbb{R}</math>
będzie funkcją <math>n+1</math> krotnie różniczkowalną i niech
będzie funkcją <math> \displaystyle n+1</math> krotnie różniczkowalną i niech
<math>\alpha<a<b<\beta</math>. Jeśli <center><math>M:=\sup\{|f^{(n+1)}(t)|, t\in
<math> \displaystyle \alpha<a<b<\beta</math>. Jeśli <center><math> \displaystyle M:=\sup\{|f^{(n+1)}(t)|, t\in
[a,b]\}<\infty </math></center> (czyli wartość bezwzględna pochodnej rzędu
[a,b]\}<\infty </math></center> (czyli wartość bezwzględna pochodnej rzędu
<math>(n+1)</math> funkcji <math>f</math> jest  ograniczona przez stałą <math>M</math>, która nie
<math> \displaystyle (n+1)</math> funkcji <math> \displaystyle f</math> jest  ograniczona przez stałą <math> \displaystyle M</math>, która nie
zależy od wyboru punktu <math>t</math> z przedziału <math>[a, b]</math>), to dla
zależy od wyboru punktu <math> \displaystyle t</math> z przedziału <math> \displaystyle [a, b]</math>), to dla
dowolnej liczby <math>h</math> takiej, że <math>0\leq h\leq b-a</math>, zachodzi
dowolnej liczby <math> \displaystyle h</math> takiej, że <math> \displaystyle 0\leq h\leq b-a</math>, zachodzi
oszacowanie:
oszacowanie:
<center><math>\bigg|f(a+h)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)} (a)}{k!}h^k\bigg|\leq
<center><math> \displaystyle \bigg|f(a+h)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)} (a)}{k!}h^k\bigg|\leq
\frac{M}{(n+1)!}h^{n+1}.</math></center> }}
\frac{M}{(n+1)!}h^{n+1}.</math></center> }}


Linia 340: Linia 340:
Szacując resztę we wzorze  Taylora (z resztą Cauchy'ego)
Szacując resztę we wzorze  Taylora (z resztą Cauchy'ego)
otrzymamy:
otrzymamy:
<center><math>\aligned \bigg|f(a+h)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}
<center><math> \displaystyle \aligned \bigg|f(a+h)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}
(a)}{k!}h^k\bigg| &=\bigg|\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}\bigg|\\
(a)}{k!}h^k\bigg| &=\bigg|\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}\bigg|\\
&\leq \frac{h^{n+1}}{(n+1)!}\sup\{|f^{(n+1)}(a+\theta h)|,
&\leq \frac{h^{n+1}}{(n+1)!}\sup\{|f^{(n+1)}(a+\theta h)|,
Linia 349: Linia 349:


{{wniosek|10.16.||
{{wniosek|10.16.||
Jeśli pochodna rzędu <math>n+1</math> funkcji <math>f</math>
Jeśli pochodna rzędu <math> \displaystyle n+1</math> funkcji <math> \displaystyle f</math>
jest ograniczona w przedziale <math>(\alpha, \beta)</math>, to dla dowolnych
jest ograniczona w przedziale <math> \displaystyle (\alpha, \beta)</math>, to dla dowolnych
punktów <math>a</math> oraz <math>a+h</math> z tego przedziału mamy oszacowanie
punktów <math> \displaystyle a</math> oraz <math> \displaystyle a+h</math> z tego przedziału mamy oszacowanie


<center><math>\bigg|f(a+h)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)} (a)}{k!}h^k\bigg|\leq
<center><math> \displaystyle \bigg|f(a+h)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)} (a)}{k!}h^k\bigg|\leq
\frac{M}{(n+1)!}|h|^{n+1},</math></center> gdzie <math>M:=\sup\{|f^{(n+1)}(t)|,
\frac{M}{(n+1)!}|h|^{n+1},</math></center> gdzie <math> \displaystyle M:=\sup\{|f^{(n+1)}(t)|,
\alpha<t<\beta\}</math>.}}
\alpha<t<\beta\}</math>.}}


{{dowod|wniosku 10.16.||
{{dowod|wniosku 10.16.||
Jeśli <math>h>0</math>, wniosek sprowadza się do poprzedniego
Jeśli <math> \displaystyle h>0</math>, wniosek sprowadza się do poprzedniego
twierdzenia. Jeśli <math>h<0</math>, należy powtórzyć poprzednie rozumowanie
twierdzenia. Jeśli <math> \displaystyle h<0</math>, należy powtórzyć poprzednie rozumowanie
w przedziale <math>[a+h,a]</math>. }}
w przedziale <math> \displaystyle [a+h,a]</math>. }}


[[Rysunek am1w10.0040]]
[[Rysunek am1w10.0040]]
Linia 367: Linia 367:
Oszacowanie reszty we wzorze
Oszacowanie reszty we wzorze
Maclaurina funkcji sinus jest wyjątkowo proste
Maclaurina funkcji sinus jest wyjątkowo proste
<center><math>\sin h=h-\frac{h^3}{3!}+\frac{h^5}{5!}+\dots+(-1)^n\frac{h^{2n+1}}{(2n+1)!}+R_{2n+2},</math></center>
<center><math> \displaystyle \sin h=h-\frac{h^3}{3!}+\frac{h^5}{5!}+\dots+(-1)^n\frac{h^{2n+1}}{(2n+1)!}+R_{2n+2},</math></center>
gdzie <center><math>\displaystyle |R_{2n+2}|=\bigg|\sin^{(2n+2)}(\theta
gdzie <center><math> \displaystyle \displaystyle |R_{2n+2}|=\bigg|\sin^{(2n+2)}(\theta
h)\cdot \frac{h^{(2n+2)}}{(2n+2)!}\bigg| \leq
h)\cdot \frac{h^{(2n+2)}}{(2n+2)!}\bigg| \leq
\frac{|h|^{(2n+2)}}{(2n+2)!},</math></center> gdyż wartość bezwzględna
\frac{|h|^{(2n+2)}}{(2n+2)!},</math></center> gdyż wartość bezwzględna
pochodnych dowolnie wysokiego rzędu funkcji sinus jest ograniczona
pochodnych dowolnie wysokiego rzędu funkcji sinus jest ograniczona
z góry przez 1. Wzór ten pozwala wyznaczyć wartość <math>\sin h</math> z
z góry przez 1. Wzór ten pozwala wyznaczyć wartość <math> \displaystyle \sin h</math> z
zadaną z góry dokładnością. Na przykład, chcąc wyznaczyć <math>\sin
zadaną z góry dokładnością. Na przykład, chcąc wyznaczyć <math> \displaystyle \sin
\frac{1}{2}</math> z dokładnością do <math>10^{-6}</math> wystarczy wskazać taką
\frac{1}{2}</math> z dokładnością do <math> \displaystyle 10^{-6}</math> wystarczy wskazać taką
liczbę <math>n</math>, aby zachodziła nierówność <math>|R_{2n+2}|<10^{-6}</math>, czyli
liczbę <math> \displaystyle n</math>, aby zachodziła nierówność <math> \displaystyle |R_{2n+2}|<10^{-6}</math>, czyli
<math>\dfrac{1}{2^{2n+2}(2n+2)!}<10^{-6}</math>. Na mocy wykazanego powyżej
<math> \displaystyle \dfrac{1}{2^{2n+2}(2n+2)!}<10^{-6}</math>. Na mocy wykazanego powyżej
wniosku mamy oszacowania:
wniosku mamy oszacowania:
<center><math>\bigg|\sin \frac{1}{2}-\big(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^3\cdot
<center><math> \displaystyle \bigg|\sin \frac{1}{2}-\big(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^3\cdot
3!}\big)\bigg|\leq \frac{1}{46080}</math></center> natomiast
3!}\big)\bigg|\leq \frac{1}{46080}</math></center> natomiast
<center><math>\bigg|\sin \frac{1}{2}-\big(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^3\cdot
<center><math> \displaystyle \bigg|\sin \frac{1}{2}-\big(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^3\cdot
3!}+\frac{1}{2^5\cdot 5!}\big)\bigg|\leq \frac{1}{10321920},</math></center> a
3!}+\frac{1}{2^5\cdot 5!}\big)\bigg|\leq \frac{1}{10321920},</math></center> a
więc suma <math>\frac{1}{2}-\frac{1}{48}+\frac{1}{3840}</math> różni się (a
więc suma <math> \displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{48}+\frac{1}{3840}</math> różni się (a
dokładniej: jest większa) o nie więcej niż jedną
dokładniej: jest większa) o nie więcej niż jedną
dziesięciomilionową od  <math>\sin\frac{1}{2}</math>.
dziesięciomilionową od  <math> \displaystyle \sin\frac{1}{2}</math>.


}}
}}
Linia 393: Linia 393:
Równie łatwo można oszacować resztę we
Równie łatwo można oszacować resztę we
wzorze Maclaurina funkcji cosinus
wzorze Maclaurina funkcji cosinus
<center><math>\cos h=1-\frac{h^2}{2}+\frac{h^4}{4!}+\dots+(-1)^n
<center><math> \displaystyle \cos h=1-\frac{h^2}{2}+\frac{h^4}{4!}+\dots+(-1)^n
\frac{h^{2n}}{(2n)!}+R_{2n+1}, </math></center> gdyż wartość bezwzględna
\frac{h^{2n}}{(2n)!}+R_{2n+1}, </math></center> gdyż wartość bezwzględna
pochodnych dowolnie wysokiego rzędu funkcji cosinus jest
pochodnych dowolnie wysokiego rzędu funkcji cosinus jest
ograniczona z góry przez 1, więc <center><math>\displaystyle
ograniczona z góry przez 1, więc <center><math> \displaystyle \displaystyle
|R_{2n+1}|=\bigg|\cos^{(2n+1)}(\theta h)\cdot
|R_{2n+1}|=\bigg|\cos^{(2n+1)}(\theta h)\cdot
\frac{h^{(2n+1)}}{(2n+1)!}\bigg| \leq
\frac{h^{(2n+1)}}{(2n+1)!}\bigg| \leq
Linia 404: Linia 404:
===Przybliżanie funkcji ciągłych wielomianami===
===Przybliżanie funkcji ciągłych wielomianami===


Powstaje naturalne  pytanie, czy reszta <math>R_{n+1}</math> we wzorze
Powstaje naturalne  pytanie, czy reszta <math> \displaystyle R_{n+1}</math> we wzorze
Maclaurina stanowi ciąg zbieżny do zera, jeśli funkcja <math>f</math> jest
Maclaurina stanowi ciąg zbieżny do zera, jeśli funkcja <math> \displaystyle f</math> jest
klasy <math>C^\infty</math> w przedziale zawierającym punkt <math>0</math>? Negatywna
klasy <math> \displaystyle C^\infty</math> w przedziale zawierającym punkt <math> \displaystyle 0</math>? Negatywna
odpowiedź na to pytanie zawarta jest w kolejnym przykładzie.
odpowiedź na to pytanie zawarta jest w kolejnym przykładzie.


Linia 412: Linia 412:


{{przyklad|[Uzupelnij]||
{{przyklad|[Uzupelnij]||
Funkcja <center><math>f(x)=\left\{\aligned 0, \text{ dla }x\leq 0\\
Funkcja <center><math> \displaystyle f(x)=\left\{\aligned 0, \text{ dla }x\leq 0\\
\exp(-\frac{1}{x}), \text{ dla } x>0
\exp(-\frac{1}{x}), \text{ dla } x>0
\endaligned \right.</math></center>
\endaligned \right.</math></center>
jest różniczkowalna w każdym punkcie <math>x\in \mathbb{R}</math>. W szczególności
jest różniczkowalna w każdym punkcie <math> \displaystyle x\in \mathbb{R}</math>. W szczególności
zerują się wszystkie pochodne w punkcie zero, tj.<center><math>\forall
zerują się wszystkie pochodne w punkcie zero, tj.<center><math> \displaystyle \forall
k=0,1,2,3,\dots \ : f^{(k)}(0)=0,</math></center> (fakt ten wykażemy w kolejnym
k=0,1,2,3,\dots \ : f^{(k)}(0)=0,</math></center> (fakt ten wykażemy w kolejnym
module) czyli wszystkie współczynniki wielomianu Taylora o środku
module) czyli wszystkie współczynniki wielomianu Taylora o środku
w zerze są zerowe.  Z twierdzenia Taylora mamy równość:
w zerze są zerowe.  Z twierdzenia Taylora mamy równość:
<math>f(h)=T_{0}^n(h)+R_{n+1}=0+R_{n+1}</math>. Zwróćmy
<math> \displaystyle f(h)=T_{0}^n(h)+R_{n+1}=0+R_{n+1}</math>. Zwróćmy
uwagę, że dla dowolnej liczby <math>h>0</math> funkcja <math>f</math> przyjmuje
uwagę, że dla dowolnej liczby <math> \displaystyle h>0</math> funkcja <math> \displaystyle f</math> przyjmuje
wartość dodatnią, więc reszta <math>R_{n+1}</math> nie stanowi ciągu
wartość dodatnią, więc reszta <math> \displaystyle R_{n+1}</math> nie stanowi ciągu
zbieżnego do zera. }}
zbieżnego do zera. }}


Linia 428: Linia 428:
przybliżania dowolnych funkcji różniczkowalnych za pomocą
przybliżania dowolnych funkcji różniczkowalnych za pomocą
wielomianów, gdyż -- jak pokazaliśmy w powyższym przykładzie --
wielomianów, gdyż -- jak pokazaliśmy w powyższym przykładzie --
istnieją funkcje klasy <math>C^\infty</math> (czyli takie, które mają ciągłe
istnieją funkcje klasy <math> \displaystyle C^\infty</math> (czyli takie, które mają ciągłe
pochodne dowolnie wysokiego rzędu), których nie da się w rozsądny
pochodne dowolnie wysokiego rzędu), których nie da się w rozsądny
sposób przybliżyć za pomocą wielomianów Taylora <math>T_a ^n f</math>.
sposób przybliżyć za pomocą wielomianów Taylora <math> \displaystyle T_a ^n f</math>.


Prawdziwe jest jednak twierdzenie, które gwarantuje możliwość
Prawdziwe jest jednak twierdzenie, które gwarantuje możliwość
Linia 439: Linia 439:
(twierdzenie Weierstrassa) Funkcję
(twierdzenie Weierstrassa) Funkcję
ciągłą na przedziale domkniętym można przybliżać jednostajnie za
ciągłą na przedziale domkniętym można przybliżać jednostajnie za
pomocą wielomianów, tzn. jeśli <math>f:[a,b] \mapsto\mathbb{R}</math> jest funkcją
pomocą wielomianów, tzn. jeśli <math> \displaystyle f:[a,b] \mapsto\mathbb{R}</math> jest funkcją
ciągłą, to istnieje ciąg wielomianów <math>w_n</math> taki, że
ciągłą, to istnieje ciąg wielomianów <math> \displaystyle w_n</math> taki, że
<center><math> \lim_{n\to\infty}\sup\{|f(t)-w_n(t)|, a\leq t\leq b\}=0. </math></center>}}
<center><math> \displaystyle  \lim_{n\to\infty}\sup\{|f(t)-w_n(t)|, a\leq t\leq b\}=0. </math></center>}}


Dowód tego ważnego twierdzenia wykracza poza ramy tego kursu.
Dowód tego ważnego twierdzenia wykracza poza ramy tego kursu.
Można natomiast łatwo podać efektywną konstrukcję ciągu
Można natomiast łatwo podać efektywną konstrukcję ciągu
wielomianów, które przybliżają jednostajnie daną funkcję ciągłą na
wielomianów, które przybliżają jednostajnie daną funkcję ciągłą na
przedziale <math>[0,1]</math>.
przedziale <math> \displaystyle [0,1]</math>.


{{definicja|[Uzupelnij]||
{{definicja|[Uzupelnij]||
Niech <math>f:[0,1]\mapsto \mathbb{R}</math> będzie
Niech <math> \displaystyle f:[0,1]\mapsto \mathbb{R}</math> będzie
funkcją ciągłą. Dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej
funkcją ciągłą. Dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej
<math>n=0,1,2,\dots</math> definiujemy '''''wielomian Bernsteina rzędu <math>n</math>'''''
<math> \displaystyle n=0,1,2,\dots</math> definiujemy '''''wielomian Bernsteina rzędu <math> \displaystyle n</math>'''''
funkcji <math>f</math> wzorem
funkcji <math> \displaystyle f</math> wzorem
<center><math>B_n f(t)=\sum_{k=0}^n
<center><math> \displaystyle B_n f(t)=\sum_{k=0}^n
f\big(\frac{k}{n}\big)\binom{n}{k}t^{k}(1-t)^{n-k}.</math></center> }}
f\big(\frac{k}{n}\big)\binom{n}{k}t^{k}(1-t)^{n-k}.</math></center> }}


Linia 461: Linia 461:
Podobieństwo wzoru definiującego
Podobieństwo wzoru definiującego
wielomian Bernsteina do wzoru dwumianowego Newtona nie jest
wielomian Bernsteina do wzoru dwumianowego Newtona nie jest
przypadkowe. Weźmy np. funkcję <math>f(x)=1</math>, stałą w przedziale
przypadkowe. Weźmy np. funkcję <math> \displaystyle f(x)=1</math>, stałą w przedziale
<math>[0,1]</math>. Wówczas na mocy wzoru Newtona
<math> \displaystyle [0,1]</math>. Wówczas na mocy wzoru Newtona
<center><math>B_n f(t)=\sum_{k=0}^n
<center><math> \displaystyle B_n f(t)=\sum_{k=0}^n
1 \cdot \binom{n}{k}t^{k}(1-t)^{n-k}=(t+1-t)^n=1.</math></center> Zauważmy, że
1 \cdot \binom{n}{k}t^{k}(1-t)^{n-k}=(t+1-t)^n=1.</math></center> Zauważmy, że
wielomian Bernsteina rzędu <math>n</math> jest wielomianem stopnia nie
wielomian Bernsteina rzędu <math> \displaystyle n</math> jest wielomianem stopnia nie
wyższego niż <math>n</math>. Można wykazać, że jeśli <math>w</math> jest wielomianem
wyższego niż <math> \displaystyle n</math>. Można wykazać, że jeśli <math> \displaystyle w</math> jest wielomianem
stopnia nie wyższego niż <math>n</math>, to <math>B_n w(t)=w(t)</math> dla dowolnej
stopnia nie wyższego niż <math> \displaystyle n</math>, to <math> \displaystyle B_n w(t)=w(t)</math> dla dowolnej
liczby <math>t</math>. Przypomnijmy, że analogiczną własność  mają również
liczby <math> \displaystyle t</math>. Przypomnijmy, że analogiczną własność  mają również
wielomiany Taylora (zob. uwaga [[##u.am1.10.120|Uzupelnic u.am1.10.120|]]).
wielomiany Taylora (zob. uwaga [[##u.am1.10.120|Uzupelnic u.am1.10.120|]]).


Linia 477: Linia 477:
{{twierdzenie|[Uzupelnij]||
{{twierdzenie|[Uzupelnij]||
(twierdzenie Bernsteina) Jeśli
(twierdzenie Bernsteina) Jeśli
<math>f:[0,1]\mapsto\mathbb{R}</math> jest dowolną funkcją ciągłą, to ciąg
<math> \displaystyle f:[0,1]\mapsto\mathbb{R}</math> jest dowolną funkcją ciągłą, to ciąg
wielomianów Bernsteina zmierza do <math>f</math> jednostajnie na przedziale
wielomianów Bernsteina zmierza do <math> \displaystyle f</math> jednostajnie na przedziale
<math>[0,1]</math>, to znaczy
<math> \displaystyle [0,1]</math>, to znaczy
<center><math>\lim_{n\to \infty}\sup\{|f(t)-B_n(t)|, 0\leq t\leq 1\}=0.</math></center>
<center><math> \displaystyle \lim_{n\to \infty}\sup\{|f(t)-B_n(t)|, 0\leq t\leq 1\}=0.</math></center>
}}
}}


Linia 488: Linia 488:
P.Billingsleya, Prawdopodobieństwo i miara,  Państwowe
P.Billingsleya, Prawdopodobieństwo i miara,  Państwowe
Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1987, str. 91-92. Zwróćmy uwagę, że
Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1987, str. 91-92. Zwróćmy uwagę, że
twierdzenie Weierstrassa zachodzi nawet dla funkcji klasy <math>C^0</math>,
twierdzenie Weierstrassa zachodzi nawet dla funkcji klasy <math> \displaystyle C^0</math>,
tj. takich, od których nie wymagamy, aby były różniczkowalne w
tj. takich, od których nie wymagamy, aby były różniczkowalne w
którymkolwiek punkcie. Przykład takiej funkcji, która jest tylko
którymkolwiek punkcie. Przykład takiej funkcji, która jest tylko
ciągła i nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie, podaliśmy w
ciągła i nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie, podaliśmy w
poprzednim module.
poprzednim module.

Wersja z 13:28, 12 sie 2006

10. Wzór Taylora. Ekstrema

Definiujemy pochodne wyższych rzędów oraz funkcje klasy Ck. Twierdzenie Taylora pozwala nam na sformułowanie warunku wystarczającego istnienia ekstremum funkcji klasy C2. Pokazujemy jak można za pomocą wielomianów Taylora przybliżać funkcje klasy Cn+1, n1. Formułujemy twierdzenie Weierstrassa o przybliżaniu wielomianami funkcji ciągłych na przedziale domkniętym.

10.1. Pochodne wyższych rzędów

Niech f będzie funkcją różniczkowalną w przedziale otwartym

(a,b)

. Rozważmy funkcję pochodną

f:(a,b)xf(x).

Definicja 10.1.

Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0(a,b), to znaczy: jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:

limh0f(x0+h)f(x0)h,
to mówimy, że funkcja f

jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie x0 a granicę tę nazywamy pochodną rzędu drugiego (lub krótko: drugą pochodną) funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy symbolem f(x0) lub d2fdx2(x0) albo d2dx2f(x0), bądź też f(2)(x0).

Przykład 10.2.

Znanym ze szkoły przykładem pochodnej rzędu drugiego jest przyśpieszenie, równe pochodnej prędkości v:

d2dt2x(t)=ddt(ddtx(t))=ddtv(t),

gdzie tx(t) oznacza położenie punktu materialnego w chwili t.

Definicję pochodnej rzędu n możemy podać dla kolejnych liczb naturalnych n=1,2,3,. Często -- aby uprościć wypowiedzi twierdzeń -- terminem pochodna rzędu zerowego (albo krócej: zerowa pochodna) funkcji f będziemy nazywać samą funkcję f. Symbol pochodnej rzędu zerowego f(0) będzie oznaczać funkcję f.

Niech f:(a,b) będzie funkcją n1 krotnie różniczkowalną, n>0.

Definicja 10.3.

Jeśli pochodna f(n1) rzędu n1 funkcji f jest różniczkowalna w punkcie x0(a,b), to znaczy: jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:

limh0f(n1)(x0+h)f(n1)(x0)h,
to

mówimy, że funkcja jest n krotnie różniczkowalna w punkcie x0, a granicę tę nazywamy pochodną rzędu n (lub krótko: n-tą pochodną) funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy symbolem f(n)(x0) lub dnfdxn(x0), bądź dndxnf(x0).

Jeśli n=3,4,, na oznaczenie pochodnej rzędu n funkcji f w punkcie x0 używamy raczej symboli:

f(3)(x0), f(4)(x0),,

albo

d3dx3f(x0), d4dx4f(x0),,

niż Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f'''(x_0), \ f''''(x_0), \dots.}

Kolejne twierdzenie stanowi uogólnienie twierdzenia o pochodnej iloczynu dwóch funkcji na przypadek pochodnej rzędu n.

Twierdzenie 10.4.

(wzór Leibniza) Niech f,g: będą funkcjami n krotnie różniczkowalnymi, n1. Zachodzi równość

(fg)(n)=k=0n(nk)f(nk)g(k).

Dowód twierdzenia 10.4.

Zwróćmy przede wszystkim uwagę na podobieństwo wzoru Leibniza do wzoru dwumianowego Newtona. Dowody obu twierdzeń są analogiczne. Zauważmy wpierw, że twierdzenie zachodzi dla n=1 mamy bowiem (fg)=(10)fg+(11)fg=fg+fg. Następnie, korzystając z równości (nk)+(nk+1)=(n+1k+1), pokazujemy, że dla dowolnej liczby m1,2,,n1 zachodzi implikacja

[(fg)(m)=k=0m(mk)f(mk)g(k)][(fg)(m+1)=k=0m+1(m+1k)f(mk+1)g(k)].

{black}

Niech k=0,1,2, będzie liczbą całkowitą nieujemną.

Definicja 10.5.

Mówimy, że funkcja f:(a,b) jest klasy Ck w przedziale (a,b), jeśli jest k krotnie różniczkowalna w przedziale (a,b) i pochodna (a,b)xf(k)(x) rzędu k funkcji f jest ciągła. Jeśli dla dowolnej liczby k{0,1,2,3,} funkcja f jest klasy Ck w przedziale (a,b), to mówimy, że jest klasy

C w tym przedziale.

Przykład 10.6.

Dowolna funkcja wielomianowa, funkcje sinus, cosinus i wykładnicza exp są przykładami funkcji klasy C w całym zbiorze liczb rzeczywistych. Ogólnie: dowolna funkcja dana za pomocą szeregu potęgowego f(x)=k=0ak(xx0)k jest klasy C w przedziale otwartym (x0R,x0+R), gdzie R jest promieniem

zbieżności szeregu potęgowego.

Przykład 10.7.

Funkcja f0(x)=|x| jest ciągła, ale nie ma ciągłej pochodnej w dowolnym przedziale (a,b), do którego należy zero, tj. gdy a<0<b. Jest więc klasy C0 i nie jest klasy C1 w takim przedziale. Jeśli zero nie należy do przedziału (a,b), czyli gdy a<b<0 lub 0<a<b, to restrykcja f(x)=|x| do przedziału (a,b) jest wielomianem, czyli funkcją

klasy C.

{{red}Rysunek am1w10.0010}

{{przyklad|10.8.||

Funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle f_1(x)=\left\{\aligned -\frac{1}{2}x^2, \text{ dla }x<0\\\frac{1}{2}x^2, \text{ dla }x\geq 0 \endaligned\right.}

jest różniczkowalna i jej pochodna

f(x)=|x|. Stąd jeśli a<0<b, to f1 jest klasy C1 w przedziale (a,b), ale nie jest klasy C2.

{{red}Rysunek am1w10.0020}

Przykład ten możemy łatwo dalej modyfikować. Na przykład funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle f_2(x)=\left\{\aligned -\frac{1}{6}x^3, \text{ dla }x<0\\\frac{1}{6}x^3, \text{ dla }x\geq 0 \endaligned\right.}

ma

pierwszą pochodną równą f2(x)=f1(x), a jej drugą pochodną jest f2(x)=f0(x)=|x|. Funkcja f2 jest więc klasy C2, ale nie jest klasy C3 w dowolnym przedziale otwartym zawierającym zero. Ogólnie

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle f_n(x)=c_n |x|^{n+1}\mathrm{sgn}\, x =\left\{\aligned -c_n x^{n+1}, \text{ dla }x<0\\ c_n x^{n+1}, \text{ dla }x\geq 0 \endaligned\right.}

(gdzie

cn=1(n+1)!

, bądź też jest dowolną inną stałą różną od zera) jest funkcją klasy

Cn

i nie jest klasy

Cn+1 w dowolnym przedziale otwartym zawierającym zero. }}

{{red}Rysunek animacja am1w10.0030}

Wzór Taylora

Niech w(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+an1xn1+anxn będzie wielomianem. Zauważmy, że wartości pochodnych rzędu k=0,1,2,3,,n,n+1, w punkcie x=0 wyrażają się prosto za pomocą współczynników tego wielomianu:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned w(0)&=a_0\\ w'(0)&=a_1, \\\text{ gdyż }w'(x)&=0+a_1 +2 a_2 x+3a_3 x^2 +\dots +(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+n a_n x^{n-1}\\ w''(0)&=2 a_2,\\ \text{ gdyż }w''(x)&=0+0 +2 a_2 +3\cdot 2 a_3 x +\dots +(n-1)(n-2)a_{n-1}x^{n-3}+n(n-1) a_n x^{n-2}\\ w^{(3)}(0)&=3\cdot 2 a_3,\\ \text{ gdyż }w^{(3)}(x)&=0+0 +0 +3\cdot 2 a_3 +\dots +(n-1)(n-2)(n-3)a_{n-1}x^{n-4}+n(n-1)(n-2) a_n x^{n-3}\\ &\vdots \\ w^{(n-1)}(0)&=(n-1)! a_{n-1},\\ \text{ gdyż }w^{(n-1)}(x)&=0+0 +0 +0 +\dots +(n-1)!a_{n-1}+n! a_n x\\ w^{(n)}(0)&=n! a_{n},\\ \text{ gdyż }w^{(n)}(x)&=0+0 +0 +0 +\dots +0+n! a_n \\w^{(n+1)}(0)&=0,\\ \text{ gdyż }w^{(n+1)}(x)&=0+0 +0 +0 +\dots +0+0 \text{ dla dowolnej liczby } x,\endaligned}

Każda

następna pochodna rzędu wyższego niż stopień wielomianu w jest równa zeru, i to nie tylko w punkcie zero, ale w każdym punkcie x.

Uogólnieniem tej obserwacji jest następujące twierdzenie Taylora:

Twierdzenie 10.9.

Niech f:(α,β) będzie funkcją n+1 krotnie różniczkowalną w przedziale (α,β). Wówczas dla dowolnych punktów a, b takich, że α<a<b<β istnieje punkt ξn+1(a,b) taki, że

f(b)=Tanf(b)+1(n+1)!f(n+1)(ξn+1)(ba)n+1,

gdzie

Tanf(b)=f(a)+f(a)(ba)+f(a)2!(ba)2++f(n1)(a)(n1)!(ba)n1+f(n)(a)n!(ba)n.

Definicja 10.10.

Wielomian
Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned T^{n}_a f : \mathbb{R}\ni x\mapsto T^{n}_a f(x)&=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\\&=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\dots+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1}+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}\endaligned}

nazywamy wielomianem Taylora rzędu n funkcji f o środku w punkcie a.

Nim wykażemy twierdzenie Taylora zauważmy, że z założenia o istnieniu pochodnej rzędu n+1 funkcji f w przedziale (α,β) wynika, że funkcja f i wszystkie jej pochodne Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f', \ f'', \ f^{(3)}, \dots, f^{(n-1)}, f^{(n)}} aż do rzędu n włącznie, istnieją i są ciągłe w tym przedziale.

Zauważmy też, że w przypadku n=1 twierdzenie Taylora sprowadza się do twierdzenia Lagrange'a:

f(b)=f(a)+f(ξ1)(ba).

Dowód twierdzenia 10.10.

(twierdzenia Taylora) Niech M będzie stałą określoną tak,

że zachodzi równość
f(b)=Tanf(b)+M(ba)n+1.
Aby

dowieść twierdzenia wystarczy pokazać, że istnieje punkt ξn+1(a,b) taki, że (n+1)!M=f(n+1)(ξn+1). Rozważmy dla t[a,b] funkcję

g(t):=f(t)Tanf(t)M(ta)n+1.

Zauważmy, że g(a)=0 i z określenia stałej M mamy również: g(b)=0. Z twierdzenia Rolle'a wynika więc, że istnieje ξ1(a,b) taki, że g(ξ1)=0. Zauważmy następnie, że nie tylko funkcja g ale również kolejne jej pochodne g(k) dla k=1,2,,n zerują się w punkcie a. Wobec tego, że g(a)=0 i g(ξ1)=0, z twierdzenia Rolle'a wnioskujemy o istnieniu kolejnego punktu ξ2(a,ξ1), w którym zeruje się druga pochodna funkcji g, tj. g(ξ2)=0. Powtarzając rozumowanie dla kolejnych pochodnych g(k), k=1,2,,n na podstawie twierdzenia Rolle'a wnioskujemy o istnieniu punktów ξk+1(a,ξk) takich, że g(k+1)(ξk+1)=0. Zwróćmy uwagę, że ostatni ze znalezionych punktów ξn+1 jest tym punktem, którego istnienie postulujemy w tezie twierdzenia. Zauważmy, że pochodna rzędu n+1 funkcji g wynosi

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \frac{d^{n+1}}{dt^{n+1}}g(t)&=\frac{d^{n+1}}{dt^{n+1}}\big(f(t)-T^{n}_a f(t)-M(t-a)^{n+1}\big)\\&=f^{(n+1)}(t)-0-(n+1)!M. \endaligned}

(Pochodna rzędu n+1 wielomianu tTanf(t) jest w każdym punkcie równa zeru, gdyż wielomian ten jest stopnia co najwyżej n.) Stąd 0=g(n+1)(ξn+1)=f(n+1)(ξn+1)(n+1)!M.

{black}

Jednym z ważniejszych wniosków z wykazanego twierdzenia jest warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji dwukrotnie różniczkowalnej.

Twierdzenie 10.11.

Niech f:(a,b) będzie funkcją klasy C2 w przedziale (a,b) (czyli funkcją dwukrotnie różniczkowalną o ciągłej drugiej pochodnej f w przedziale (a,b)). Załóżmy, że w punkcie x0(a,b) pochodna f(x0) zeruje się.

a) Jeśli f(x0)>0, to f osiąga minimum lokalne w punkcie x0.

b) Jeśli f(x0)<0, to f osiąga maksimum lokalne w punkcie x0.

Dowód twierdzenia 10.11.

a) Załóżmy, że f(x0)>0. Ze wzoru Taylora i z założenia o zerowaniu się pierwszej pochodnej f danej funkcji mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f(x_0+h)&=f(x_0)+&f'(x_0)&+&\frac{1}{2}f''(x_0+\theta h)\\ &=f(x_0)+&0&+&\frac{1}{2}f''(x_0+\theta h),\endaligned}
gdzie

θ jest pewną liczbą z przedziału (0,1). Stąd znak różnicy f(x+h)f(x)=12f(x0+θh) jest taki sam jak znak drugiej pochodnej f(x0+θh) w pewnym punkcie pośrednim między punktem x0 a x0+h. Z założenia o ciągłości drugiej pochodnej f na mocy własności Darboux wnioskujemy, że nie tylko w samym punkcie x0 druga pochodna f jest dodatnia, ale również w pewnym otoczeniu tego punktu. Biorąc więc na tyle mały przyrost h, aby zarówno x0 jak i x0+h należały do przedziału, w którym f jest dodatnia i nie zeruje się, otrzymamy nierówność f(x+θh)>0 również w punkcie pośrednim. Stąd f osiąga minimum lokalne w punkcie x0, gdyż f(x+h)f(x)0 w pewnym otoczeniu punktu x0.

Dowód implikacji b) przebiega podobnie.

{black}

Zauważmy, że podane twierdzenie nie rozstrzyga o istnieniu, ani o typie ekstremum w przypadku, gdy f(x0)=0 oraz f(x0)=0.

{{red}Rysunek am1w10.0035 a, b, c}

Przykład 10.12.

Rozważmy funkcje f1(x)=x4, f2(x)=x4, f3(x)=x3. Łatwo zauważyć, że zarówno pierwsza jak i druga pochodna każdej z tych trzech funkcji w punkcie x0=0 zerują się, podczas gdy f1 osiąga maksimum w tym punkcie a f2 minimum. Natomiast funkcja f3 w ogóle nie

osiąga ekstremum w punkcie x0=0.
Uwaga 10.13.

Wzór, który występuje w tezie twierdzenia Taylora:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f(b)&=T^n_a f(b)+\frac{f^{(n+1)}(\xi_{n+1})}{(n+1)!}(b-a)^{k+1} \\ &=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi_{n+1})}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}\endaligned}
nazywamy wzorem Taylora z resztą Lagrange'a
Rn+1=f(n+1)(ξn+1)(n+1)!(ba)n+1.
Jeśli

oznaczymy przyrost argument funkcji przez h:=ba, to wzór ten przyjmie postać

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f(a+h)&=T^n_a f(a+h)+\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!}h^{k+1} \\ &=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k+\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}\endaligned}

dla pewnej liczby θ(0,1) dobranej tak, aby a+θh=ξn+1. Tę postać nazywamy wzorem Taylora z resztą

Cauchy'ego
Rn+1=f(n+1)(a+θh)(n+1)!hn+1.
W szczególnym przypadku, gdy a=0 otrzymamy

wzór

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f(h)&=T^n_0 f(h)+\frac{f^{(n+1)}(\theta h)}{(n+1)!}h^{k+1} \\ &=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}h^k+\frac{f^{(n+1)}(\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}\endaligned}
który nazywamy wzorem Maclaurina z resztą
Rn+1=f(n+1)(θh)(n+1)!hn+1.
Uwaga 10.14.

Jeśli w jest wielomianem stopnia k, to dla dowolnej liczby nk wielomian Taylora rzędu n o środku w punkcie a=0 jest dokładnie równy wielomianowi w, to znaczy

w(h)=w(0)+w(0)h+w(0)2!h2++w(n)(0)n!hn+Rn+1, przy czym Rn+1=0.

Powstaje naturalne pytanie, czy dla innych funkcji (niekoniecznie wielomianów) wzór Taylora pozwala na przedstawienie funkcji f za pomocą wielomianu Taylora Tanf tak, aby reszta Rn+1 była jak najmniejsza i zmierzała do zera, gdy rośnie n, czyli gdy rośnie stopień wielomianu Taylora funkcji f.

Odpowiedź na pytanie uzyskamy stosując np. wzór Taylora z resztą Cauchy'ego.

Twierdzenie 10.15.

Niech f:(α,β) będzie funkcją n+1 krotnie różniczkowalną i niech

α<a<b<β. Jeśli
M:=sup{|f(n+1)(t)|,t[a,b]}<
(czyli wartość bezwzględna pochodnej rzędu

(n+1) funkcji f jest ograniczona przez stałą M, która nie zależy od wyboru punktu t z przedziału [a,b]), to dla dowolnej liczby h takiej, że 0hba, zachodzi oszacowanie:

|f(a+h)k=0nf(k)(a)k!hk|M(n+1)!hn+1.

Dowód twierdzenia 10.15.

Szacując resztę we wzorze Taylora (z resztą Cauchy'ego) otrzymamy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \bigg|f(a+h)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)} (a)}{k!}h^k\bigg| &=\bigg|\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}\bigg|\\ &\leq \frac{h^{n+1}}{(n+1)!}\sup\{|f^{(n+1)}(a+\theta h)|, 0<\theta h<b-a \}\\&\leq M \frac{h^{n+1}}{(n+1)!}.\endaligned}

{black}

Wniosek 10.16.

Jeśli pochodna rzędu n+1 funkcji f jest ograniczona w przedziale (α,β), to dla dowolnych punktów a oraz a+h z tego przedziału mamy oszacowanie

|f(a+h)k=0nf(k)(a)k!hk|M(n+1)!|h|n+1,
gdzie M:=sup{|f(n+1)(t)|,α<t<β}.

Dowód wniosku 10.16.

Jeśli h>0, wniosek sprowadza się do poprzedniego twierdzenia. Jeśli h<0, należy powtórzyć poprzednie rozumowanie

w przedziale [a+h,a].

Rysunek am1w10.0040

Przykład 10.17.

Oszacowanie reszty we wzorze Maclaurina funkcji sinus jest wyjątkowo proste

sinh=hh33!+h55!++(1)nh2n+1(2n+1)!+R2n+2,
gdzie
|R2n+2|=|sin(2n+2)(θh)h(2n+2)(2n+2)!||h|(2n+2)(2n+2)!,
gdyż wartość bezwzględna

pochodnych dowolnie wysokiego rzędu funkcji sinus jest ograniczona z góry przez 1. Wzór ten pozwala wyznaczyć wartość sinh z zadaną z góry dokładnością. Na przykład, chcąc wyznaczyć sin12 z dokładnością do 106 wystarczy wskazać taką liczbę n, aby zachodziła nierówność |R2n+2|<106, czyli 122n+2(2n+2)!<106. Na mocy wykazanego powyżej wniosku mamy oszacowania:

|sin12(121233!)|146080
natomiast
|sin12(121233!+1255!)|110321920,
a

więc suma 12148+13840 różni się (a dokładniej: jest większa) o nie więcej niż jedną dziesięciomilionową od sin12.

{{red}Rysunek, animacja am1w10.0050}

Przykład [Uzupelnij]

Równie łatwo można oszacować resztę we wzorze Maclaurina funkcji cosinus

cosh=1h22+h44!++(1)nh2n(2n)!+R2n+1,
gdyż wartość bezwzględna

pochodnych dowolnie wysokiego rzędu funkcji cosinus jest

ograniczona z góry przez 1, więc
|R2n+1|=|cos(2n+1)(θh)h(2n+1)(2n+1)!||h|(2n+1)(2n+1)!.

Przybliżanie funkcji ciągłych wielomianami

Powstaje naturalne pytanie, czy reszta Rn+1 we wzorze Maclaurina stanowi ciąg zbieżny do zera, jeśli funkcja f jest klasy C w przedziale zawierającym punkt 0? Negatywna odpowiedź na to pytanie zawarta jest w kolejnym przykładzie.

{{red}Rysunek am1w10.0060 }

Przykład [Uzupelnij]

Funkcja
Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle f(x)=\left\{\aligned 0, \text{ dla }x\leq 0\\ \exp(-\frac{1}{x}), \text{ dla } x>0 \endaligned \right.}

jest różniczkowalna w każdym punkcie x. W szczególności

zerują się wszystkie pochodne w punkcie zero, tj.
k=0,1,2,3, :f(k)(0)=0,
(fakt ten wykażemy w kolejnym

module) czyli wszystkie współczynniki wielomianu Taylora o środku w zerze są zerowe. Z twierdzenia Taylora mamy równość: f(h)=T0n(h)+Rn+1=0+Rn+1. Zwróćmy uwagę, że dla dowolnej liczby h>0 funkcja f przyjmuje wartość dodatnią, więc reszta Rn+1 nie stanowi ciągu

zbieżnego do zera.

Twierdzenie Taylora nie jest optymalnym narzędziem do przybliżania dowolnych funkcji różniczkowalnych za pomocą wielomianów, gdyż -- jak pokazaliśmy w powyższym przykładzie -- istnieją funkcje klasy C (czyli takie, które mają ciągłe pochodne dowolnie wysokiego rzędu), których nie da się w rozsądny sposób przybliżyć za pomocą wielomianów Taylora Tanf.

Prawdziwe jest jednak twierdzenie, które gwarantuje możliwość przybliżania funkcji ciągłych na przedziale domkniętym wielomianami.

Twierdzenie [Uzupelnij]

(twierdzenie Weierstrassa) Funkcję ciągłą na przedziale domkniętym można przybliżać jednostajnie za pomocą wielomianów, tzn. jeśli f:[a,b] jest funkcją ciągłą, to istnieje ciąg wielomianów wn taki, że

limnsup{|f(t)wn(t)|,atb}=0.

Dowód tego ważnego twierdzenia wykracza poza ramy tego kursu. Można natomiast łatwo podać efektywną konstrukcję ciągu wielomianów, które przybliżają jednostajnie daną funkcję ciągłą na przedziale [0,1].

Definicja [Uzupelnij]

Niech f:[0,1] będzie funkcją ciągłą. Dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej n=0,1,2, definiujemy wielomian Bernsteina rzędu n funkcji f wzorem

Bnf(t)=k=0nf(kn)(nk)tk(1t)nk.

{{red}Rysunek, animacja am1w10.0070}

Uwaga [Uzupelnij]

Podobieństwo wzoru definiującego wielomian Bernsteina do wzoru dwumianowego Newtona nie jest przypadkowe. Weźmy np. funkcję f(x)=1, stałą w przedziale [0,1]. Wówczas na mocy wzoru Newtona

Bnf(t)=k=0n1(nk)tk(1t)nk=(t+1t)n=1.
Zauważmy, że

wielomian Bernsteina rzędu n jest wielomianem stopnia nie wyższego niż n. Można wykazać, że jeśli w jest wielomianem stopnia nie wyższego niż n, to Bnw(t)=w(t) dla dowolnej liczby t. Przypomnijmy, że analogiczną własność mają również wielomiany Taylora (zob. uwaga Uzupelnic u.am1.10.120|).

Najciekawszą własność ciągu wielomianów Bernsteina podaje

Twierdzenie [Uzupelnij]

(twierdzenie Bernsteina) Jeśli f:[0,1] jest dowolną funkcją ciągłą, to ciąg wielomianów Bernsteina zmierza do f jednostajnie na przedziale [0,1], to znaczy

limnsup{|f(t)Bn(t)|,0t1}=0.

Krótki, szczegółowy dowód tego faktu przeprowadzony w oparciu o nierówność Czebyszewa (zob. wykład z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki) można znaleźć na przykład w podręczniku P.Billingsleya, Prawdopodobieństwo i miara, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1987, str. 91-92. Zwróćmy uwagę, że twierdzenie Weierstrassa zachodzi nawet dla funkcji klasy C0, tj. takich, od których nie wymagamy, aby były różniczkowalne w którymkolwiek punkcie. Przykład takiej funkcji, która jest tylko ciągła i nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie, podaliśmy w poprzednim module.