Analiza matematyczna 1/Wykład 10: Wzór Taylora. Ekstrema: Różnice pomiędzy wersjami
Nie podano opisu zmian |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 2: | Linia 2: | ||
Definiujemy pochodne wyższych rzędów oraz funkcje klasy | Definiujemy pochodne wyższych rzędów oraz funkcje klasy | ||
<math>C^k</math>. Twierdzenie Taylora pozwala nam na sformułowanie warunku | <math> \displaystyle C^k</math>. Twierdzenie Taylora pozwala nam na sformułowanie warunku | ||
wystarczającego istnienia ekstremum funkcji klasy <math>C^2</math>. | wystarczającego istnienia ekstremum funkcji klasy <math> \displaystyle C^2</math>. | ||
Pokazujemy jak można za pomocą wielomianów Taylora przybliżać | Pokazujemy jak można za pomocą wielomianów Taylora przybliżać | ||
funkcje klasy <math>C^{n+1}</math>, <math>n\geq 1</math>. Formułujemy twierdzenie | funkcje klasy <math> \displaystyle C^{n+1}</math>, <math> \displaystyle n\geq 1</math>. Formułujemy twierdzenie | ||
Weierstrassa o przybliżaniu wielomianami funkcji ciągłych na | Weierstrassa o przybliżaniu wielomianami funkcji ciągłych na | ||
przedziale domkniętym. | przedziale domkniętym. | ||
Linia 11: | Linia 11: | ||
==10.1. Pochodne wyższych rzędów== | ==10.1. Pochodne wyższych rzędów== | ||
Niech <math>f</math> będzie funkcją różniczkowalną w przedziale otwartym | Niech <math> \displaystyle f</math> będzie funkcją różniczkowalną w przedziale otwartym | ||
<math>(a,b)</math>. Rozważmy funkcję pochodną <center><math>f': (a,b)\ni x\mapsto | <math> \displaystyle (a,b)</math>. Rozważmy funkcję pochodną <center><math> \displaystyle f': (a,b)\ni x\mapsto | ||
f'(x)\in \mathbb{R}.</math></center> | f'(x)\in \mathbb{R}.</math></center> | ||
{{definicja|10.1.|| | {{definicja|10.1.|| | ||
Jeśli funkcja <math>f'</math> jest różniczkowalna | Jeśli funkcja <math> \displaystyle f'</math> jest różniczkowalna | ||
w punkcie <math>x_0\in (a,b)</math>, to znaczy: jeśli istnieje granica | w punkcie <math> \displaystyle x_0\in (a,b)</math>, to znaczy: jeśli istnieje granica | ||
ilorazu różnicowego: | ilorazu różnicowego: | ||
<center><math>\lim_{h\to 0}\frac{f'(x_0 +h)-f'(x_0)}{h},</math></center> to mówimy, że funkcja <math>f</math> | <center><math> \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f'(x_0 +h)-f'(x_0)}{h},</math></center> to mówimy, że funkcja <math> \displaystyle f</math> | ||
jest '''''dwukrotnie różniczkowalna''''' w punkcie <math>x_0</math> a granicę tę | jest '''''dwukrotnie różniczkowalna''''' w punkcie <math> \displaystyle x_0</math> a granicę tę | ||
nazywamy '''''pochodną rzędu drugiego''''' (lub krótko: '''''drugą | nazywamy '''''pochodną rzędu drugiego''''' (lub krótko: '''''drugą | ||
pochodną''''') funkcji <math>f</math> w punkcie <math>x_0</math> i oznaczamy symbolem | pochodną''''') funkcji <math> \displaystyle f</math> w punkcie <math> \displaystyle x_0</math> i oznaczamy symbolem | ||
<math>f''(x_0)</math> lub <math>\frac{d^2 f}{dx^2}(x_0)</math> albo | <math> \displaystyle f''(x_0)</math> lub <math> \displaystyle \frac{d^2 f}{dx^2}(x_0)</math> albo | ||
<math>\frac{d^2}{dx^2}f(x_0)</math>, bądź też <math>f^{(2)}(x_0)</math>. | <math> \displaystyle \frac{d^2}{dx^2}f(x_0)</math>, bądź też <math> \displaystyle f^{(2)}(x_0)</math>. | ||
}} | }} | ||
Linia 30: | Linia 30: | ||
Znanym ze szkoły przykładem pochodnej | Znanym ze szkoły przykładem pochodnej | ||
rzędu drugiego jest przyśpieszenie, równe pochodnej prędkości | rzędu drugiego jest przyśpieszenie, równe pochodnej prędkości | ||
<math>v</math>: | <math> \displaystyle v</math>: | ||
<center><math>\frac{d^2}{dt^2}x(t)=\frac{d}{dt}\big(\frac{d}{dt}x(t)\big)=\frac{d}{dt}v(t),</math></center> | <center><math> \displaystyle \frac{d^2}{dt^2}x(t)=\frac{d}{dt}\big(\frac{d}{dt}x(t)\big)=\frac{d}{dt}v(t),</math></center> | ||
gdzie <math>t\mapsto x(t)</math> oznacza położenie punktu materialnego w | gdzie <math> \displaystyle t\mapsto x(t)</math> oznacza położenie punktu materialnego w | ||
chwili <math>t</math>. | chwili <math> \displaystyle t</math>. | ||
}} | }} | ||
Definicję pochodnej rzędu <math>n</math> możemy podać dla kolejnych liczb | Definicję pochodnej rzędu <math> \displaystyle n</math> możemy podać dla kolejnych liczb | ||
naturalnych <math>n=1,2,3,\dots</math>. Często -- aby uprościć wypowiedzi | naturalnych <math> \displaystyle n=1,2,3,\dots</math>. Często -- aby uprościć wypowiedzi | ||
twierdzeń -- terminem '''''pochodna rzędu zerowego''''' (albo krócej: | twierdzeń -- terminem '''''pochodna rzędu zerowego''''' (albo krócej: | ||
'''''zerowa pochodna''''') funkcji <math>f</math> będziemy nazywać samą funkcję | '''''zerowa pochodna''''') funkcji <math> \displaystyle f</math> będziemy nazywać samą funkcję | ||
<math>f</math>. Symbol pochodnej rzędu zerowego <math>f^{(0)}</math> będzie oznaczać | <math> \displaystyle f</math>. Symbol pochodnej rzędu zerowego <math> \displaystyle f^{(0)}</math> będzie oznaczać | ||
funkcję <math>f</math>. | funkcję <math> \displaystyle f</math>. | ||
Niech <math>f: (a,b)\mapsto \mathbb{R}</math> będzie funkcją <math>n-1</math> krotnie | Niech <math> \displaystyle f: (a,b)\mapsto \mathbb{R}</math> będzie funkcją <math> \displaystyle n-1</math> krotnie | ||
różniczkowalną, <math>n>0</math>. | różniczkowalną, <math> \displaystyle n>0</math>. | ||
{{definicja|10.3.|| | {{definicja|10.3.|| | ||
Jeśli pochodna <math>f^{(n-1)}</math> rzędu <math>n-1</math> | Jeśli pochodna <math> \displaystyle f^{(n-1)}</math> rzędu <math> \displaystyle n-1</math> | ||
funkcji <math>f</math> jest różniczkowalna w punkcie <math>x_0\in (a,b)</math>, to | funkcji <math> \displaystyle f</math> jest różniczkowalna w punkcie <math> \displaystyle x_0\in (a,b)</math>, to | ||
znaczy: jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego: | znaczy: jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego: | ||
<center><math>\lim_{h\to 0}\frac{f^{(n-1)}(x_0 +h)-f^{(n-1)}(x_0)}{h},</math></center> to | <center><math> \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f^{(n-1)}(x_0 +h)-f^{(n-1)}(x_0)}{h},</math></center> to | ||
mówimy, że funkcja jest '''''<math>n</math> krotnie różniczkowalna''''' w punkcie | mówimy, że funkcja jest '''''<math> \displaystyle n</math> krotnie różniczkowalna''''' w punkcie | ||
<math>x_0</math>, a granicę tę nazywamy '''''pochodną rzędu <math>n</math>''''' (lub krótko: | <math> \displaystyle x_0</math>, a granicę tę nazywamy '''''pochodną rzędu <math> \displaystyle n</math>''''' (lub krótko: | ||
'''''<math>n</math>-tą pochodną''''') funkcji <math>f</math> w punkcie <math>x_0</math> i oznaczamy | '''''<math> \displaystyle n</math>-tą pochodną''''') funkcji <math> \displaystyle f</math> w punkcie <math> \displaystyle x_0</math> i oznaczamy | ||
symbolem <math>f^{(n)}(x_0)</math> lub <math>\dfrac{d^n f}{dx^n}(x_0)</math>, bądź | symbolem <math> \displaystyle f^{(n)}(x_0)</math> lub <math> \displaystyle \dfrac{d^n f}{dx^n}(x_0)</math>, bądź | ||
<math>\dfrac{d^n}{dx^n}f(x_0)</math>. | <math> \displaystyle \dfrac{d^n}{dx^n}f(x_0)</math>. | ||
}} | }} | ||
Jeśli <math>n=3,4,\dots</math>, na oznaczenie pochodnej rzędu <math>n</math> | Jeśli <math> \displaystyle n=3,4,\dots</math>, na oznaczenie pochodnej rzędu <math> \displaystyle n</math> | ||
funkcji <math>f</math> w punkcie <math>x_0</math> używamy raczej symboli: | funkcji <math> \displaystyle f</math> w punkcie <math> \displaystyle x_0</math> używamy raczej symboli: | ||
<center><math>f^{(3)}(x_0), \ f^{(4)}(x_0), \dots ,</math></center> albo | <center><math> \displaystyle f^{(3)}(x_0), \ f^{(4)}(x_0), \dots ,</math></center> albo | ||
<center><math>\dfrac{d^3}{dx^3}f(x_0), \ \dfrac{d^4}{dx^4}f(x_0), \dots, </math></center> niż <math>f'''(x_0), \ | <center><math> \displaystyle \dfrac{d^3}{dx^3}f(x_0), \ \dfrac{d^4}{dx^4}f(x_0), \dots, </math></center> niż <math> \displaystyle f'''(x_0), \ | ||
f''''(x_0), \dots.</math> | f''''(x_0), \dots.</math> | ||
Kolejne twierdzenie stanowi uogólnienie twierdzenia o | Kolejne twierdzenie stanowi uogólnienie twierdzenia o | ||
pochodnej iloczynu dwóch funkcji na przypadek pochodnej rzędu <math>n</math>. | pochodnej iloczynu dwóch funkcji na przypadek pochodnej rzędu <math> \displaystyle n</math>. | ||
{{twierdzenie|10.4.|| | {{twierdzenie|10.4.|| | ||
(wzór Leibniza) Niech <math>f, | (wzór Leibniza) Niech <math> \displaystyle f, | ||
g:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}</math> będą funkcjami <math>n</math> krotnie różniczkowalnymi, | g:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}</math> będą funkcjami <math> \displaystyle n</math> krotnie różniczkowalnymi, | ||
<math>n\geq 1</math>. Zachodzi równość | <math> \displaystyle n\geq 1</math>. Zachodzi równość | ||
<center><math>(f\cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}f^{(n-k)}g^{(k)}.</math></center> | <center><math> \displaystyle (f\cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}f^{(n-k)}g^{(k)}.</math></center> | ||
}} | }} | ||
Linia 78: | Linia 78: | ||
Zwróćmy przede wszystkim uwagę na podobieństwo wzoru Leibniza | Zwróćmy przede wszystkim uwagę na podobieństwo wzoru Leibniza | ||
do wzoru dwumianowego Newtona. Dowody obu twierdzeń są | do wzoru dwumianowego Newtona. Dowody obu twierdzeń są | ||
analogiczne. Zauważmy wpierw, że twierdzenie zachodzi dla <math>n=1</math> | analogiczne. Zauważmy wpierw, że twierdzenie zachodzi dla <math> \displaystyle n=1</math> | ||
mamy bowiem <math>(fg)'=\binom{1}{0}f'g+\binom{1}{1}fg'=f'g+fg'</math>. | mamy bowiem <math> \displaystyle (fg)'=\binom{1}{0}f'g+\binom{1}{1}fg'=f'g+fg'</math>. | ||
Następnie, korzystając z równości | Następnie, korzystając z równości | ||
<math>\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}</math>, pokazujemy, że dla | <math> \displaystyle \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}</math>, pokazujemy, że dla | ||
dowolnej liczby <math>m\in{1,2,\dots, n-1}</math> zachodzi implikacja | dowolnej liczby <math> \displaystyle m\in{1,2,\dots, n-1}</math> zachodzi implikacja | ||
<center><math>\bigg[(f\cdot g)^{(m)}=\sum_{k=0}^{m} | <center><math> \displaystyle \bigg[(f\cdot g)^{(m)}=\sum_{k=0}^{m} | ||
\binom{m}{k}f^{(m-k)}g^{(k)}\bigg] \implies \bigg[(f\cdot | \binom{m}{k}f^{(m-k)}g^{(k)}\bigg] \implies \bigg[(f\cdot | ||
g)^{(m+1)}=\sum_{k=0}^{m+1} | g)^{(m+1)}=\sum_{k=0}^{m+1} | ||
Linia 92: | Linia 92: | ||
{black} | {black} | ||
Niech <math>k=0,1,2,\dots</math> będzie liczbą całkowitą nieujemną. | Niech <math> \displaystyle k=0,1,2,\dots</math> będzie liczbą całkowitą nieujemną. | ||
{{definicja|10.5.|| | {{definicja|10.5.|| | ||
Mówimy, że funkcja <math>f:(a,b)\mapsto\mathbb{R}</math> | Mówimy, że funkcja <math> \displaystyle f:(a,b)\mapsto\mathbb{R}</math> | ||
jest '''''klasy <math>C^k</math> w przedziale <math>(a,b)</math>,''''' jeśli jest <math>k</math> | jest '''''klasy <math> \displaystyle C^k</math> w przedziale <math> \displaystyle (a,b)</math>,''''' jeśli jest <math> \displaystyle k</math> | ||
krotnie różniczkowalna w przedziale <math>(a,b)</math> i pochodna <math>(a,b)\ni | krotnie różniczkowalna w przedziale <math> \displaystyle (a,b)</math> i pochodna <math> \displaystyle (a,b)\ni | ||
x\mapsto f^{(k)}(x)</math> rzędu <math>k</math> funkcji <math>f</math> jest ciągła. Jeśli dla | x\mapsto f^{(k)}(x)</math> rzędu <math> \displaystyle k</math> funkcji <math> \displaystyle f</math> jest ciągła. Jeśli dla | ||
dowolnej liczby <math>k\in\{0,1,2,3,\dots\}</math> funkcja <math>f</math> jest klasy | dowolnej liczby <math> \displaystyle k\in\{0,1,2,3,\dots\}</math> funkcja <math> \displaystyle f</math> jest klasy | ||
<math>C^k</math> w przedziale <math>(a,b)</math>, to mówimy, że jest '''''klasy | <math> \displaystyle C^k</math> w przedziale <math> \displaystyle (a,b)</math>, to mówimy, że jest '''''klasy | ||
<math>C^{\infty}</math> ''''' w tym przedziale.}} | <math> \displaystyle C^{\infty}</math> ''''' w tym przedziale.}} | ||
{{przyklad|10.6.|| | {{przyklad|10.6.|| | ||
Dowolna funkcja wielomianowa, funkcje | Dowolna funkcja wielomianowa, funkcje | ||
sinus, cosinus i wykładnicza <math>\exp</math> są przykładami funkcji klasy | sinus, cosinus i wykładnicza <math> \displaystyle \exp</math> są przykładami funkcji klasy | ||
<math>C^\infty</math> w całym zbiorze liczb rzeczywistych. Ogólnie: dowolna | <math> \displaystyle C^\infty</math> w całym zbiorze liczb rzeczywistych. Ogólnie: dowolna | ||
funkcja dana za pomocą szeregu potęgowego <math>\displaystyle | funkcja dana za pomocą szeregu potęgowego <math> \displaystyle \displaystyle | ||
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-x_0)^k</math> jest klasy <math>C^\infty</math> w | f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-x_0)^k</math> jest klasy <math> \displaystyle C^\infty</math> w | ||
przedziale otwartym <math>(x_0 -R, x_0+R)</math>, gdzie <math>R</math> jest promieniem | przedziale otwartym <math> \displaystyle (x_0 -R, x_0+R)</math>, gdzie <math> \displaystyle R</math> jest promieniem | ||
zbieżności szeregu potęgowego. }} | zbieżności szeregu potęgowego. }} | ||
{{przyklad|10.7.|| | {{przyklad|10.7.|| | ||
Funkcja <math>f_0(x)=|x|</math> jest ciągła, ale | Funkcja <math> \displaystyle f_0(x)=|x|</math> jest ciągła, ale | ||
nie ma ciągłej pochodnej w dowolnym przedziale <math>(a,b)</math>, do którego | nie ma ciągłej pochodnej w dowolnym przedziale <math> \displaystyle (a,b)</math>, do którego | ||
należy zero, tj. gdy <math>a<0<b</math>. Jest więc klasy <math>C^0</math> i nie jest | należy zero, tj. gdy <math> \displaystyle a<0<b</math>. Jest więc klasy <math> \displaystyle C^0</math> i nie jest | ||
klasy <math>C^1</math> w takim przedziale. Jeśli zero nie należy do | klasy <math> \displaystyle C^1</math> w takim przedziale. Jeśli zero nie należy do | ||
przedziału <math>(a,b)</math>, czyli gdy <math>a<b<0</math> lub <math>0<a<b</math>, to restrykcja | przedziału <math> \displaystyle (a,b)</math>, czyli gdy <math> \displaystyle a<b<0</math> lub <math> \displaystyle 0<a<b</math>, to restrykcja | ||
<math>f(x)=|x|</math> do przedziału <math>(a,b)</math> jest wielomianem, czyli funkcją | <math> \displaystyle f(x)=|x|</math> do przedziału <math> \displaystyle (a,b)</math> jest wielomianem, czyli funkcją | ||
klasy <math>C^\infty</math>. }} | klasy <math> \displaystyle C^\infty</math>. }} | ||
{{red}[[Rysunek am1w10.0010]]} | {{red}[[Rysunek am1w10.0010]]} | ||
{{przyklad|10.8.|| | {{przyklad|10.8.|| | ||
Funkcja <center><math>f_1(x)=\left\{\aligned | Funkcja <center><math> \displaystyle f_1(x)=\left\{\aligned | ||
-\frac{1}{2}x^2, \text{ dla }x<0\\\frac{1}{2}x^2, \text{ dla | -\frac{1}{2}x^2, \text{ dla }x<0\\\frac{1}{2}x^2, \text{ dla | ||
}x\geq 0 \endaligned\right.</math></center> jest różniczkowalna i jej pochodna | }x\geq 0 \endaligned\right.</math></center> jest różniczkowalna i jej pochodna | ||
<math>f'(x)=|x|</math>. Stąd jeśli <math>a<0<b</math>, to <math>f_1</math> jest klasy <math>C^1</math> w | <math> \displaystyle f'(x)=|x|</math>. Stąd jeśli <math> \displaystyle a<0<b</math>, to <math> \displaystyle f_1</math> jest klasy <math> \displaystyle C^1</math> w | ||
przedziale <math>(a,b)</math>, ale nie jest klasy <math>C^2</math>. | przedziale <math> \displaystyle (a,b)</math>, ale nie jest klasy <math> \displaystyle C^2</math>. | ||
{{red}[[Rysunek am1w10.0020]]} | {{red}[[Rysunek am1w10.0020]]} | ||
Przykład ten możemy łatwo dalej modyfikować. Na przykład funkcja | Przykład ten możemy łatwo dalej modyfikować. Na przykład funkcja | ||
<center><math>f_2(x)=\left\{\aligned -\frac{1}{6}x^3, \text{ dla | <center><math> \displaystyle f_2(x)=\left\{\aligned -\frac{1}{6}x^3, \text{ dla | ||
}x<0\\\frac{1}{6}x^3, \text{ dla }x\geq 0 \endaligned\right.</math></center> ma | }x<0\\\frac{1}{6}x^3, \text{ dla }x\geq 0 \endaligned\right.</math></center> ma | ||
pierwszą pochodną równą <math>f_2 '(x)=f_1 (x)</math>, a jej drugą pochodną | pierwszą pochodną równą <math> \displaystyle f_2 '(x)=f_1 (x)</math>, a jej drugą pochodną | ||
jest <math>f_2 ''(x)=f_0 (x)=|x|</math>. Funkcja <math>f_2</math> jest więc klasy <math>C^2</math>, | jest <math> \displaystyle f_2 ''(x)=f_0 (x)=|x|</math>. Funkcja <math> \displaystyle f_2</math> jest więc klasy <math> \displaystyle C^2</math>, | ||
ale nie jest klasy <math>C^3</math> w dowolnym przedziale otwartym | ale nie jest klasy <math> \displaystyle C^3</math> w dowolnym przedziale otwartym | ||
zawierającym zero. Ogólnie | zawierającym zero. Ogólnie | ||
<center><math>f_n(x)=c_n |x|^{n+1}\mathrm{sgn}\, x =\left\{\aligned | <center><math> \displaystyle f_n(x)=c_n |x|^{n+1}\mathrm{sgn}\, x =\left\{\aligned | ||
-c_n x^{n+1}, \text{ dla }x<0\\ c_n x^{n+1}, \text{ dla }x\geq 0 | -c_n x^{n+1}, \text{ dla }x<0\\ c_n x^{n+1}, \text{ dla }x\geq 0 | ||
\endaligned\right.</math></center> (gdzie <math>c_n=\frac{1}{(n+1)!}</math>, bądź też jest dowolną inną stałą różną od zera) jest funkcją klasy <math>C^n</math> i nie jest klasy | \endaligned\right.</math></center> (gdzie <math> \displaystyle c_n=\frac{1}{(n+1)!}</math>, bądź też jest dowolną inną stałą różną od zera) jest funkcją klasy <math> \displaystyle C^n</math> i nie jest klasy | ||
<math>C^{n+1}</math> w dowolnym przedziale otwartym zawierającym zero. }} | <math> \displaystyle C^{n+1}</math> w dowolnym przedziale otwartym zawierającym zero. }} | ||
{{red}[[Rysunek animacja am1w10.0030]]} | {{red}[[Rysunek animacja am1w10.0030]]} | ||
Linia 148: | Linia 148: | ||
===Wzór Taylora=== | ===Wzór Taylora=== | ||
Niech <math>w(x)=a_0 +a_1 x+a_2 x^2 +a_3 x^3\dots +a_{n-1}x^{n-1}+a_n | Niech <math> \displaystyle w(x)=a_0 +a_1 x+a_2 x^2 +a_3 x^3\dots +a_{n-1}x^{n-1}+a_n | ||
x^n</math> będzie wielomianem. Zauważmy, że wartości pochodnych rzędu | x^n</math> będzie wielomianem. Zauważmy, że wartości pochodnych rzędu | ||
<math>k=0,1,2,3,\dots , n, n+1,\dots </math> w punkcie <math>x=0</math> wyrażają się | <math> \displaystyle k=0,1,2,3,\dots , n, n+1,\dots </math> w punkcie <math> \displaystyle x=0</math> wyrażają się | ||
prosto za pomocą współczynników tego wielomianu: | prosto za pomocą współczynników tego wielomianu: | ||
<center><math>\aligned w(0)&=a_0\\ w'(0)&=a_1, \\\text{ gdyż }w'(x)&=0+a_1 +2 a_2 x+3a_3 x^2 +\dots +(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+n a_n | <center><math> \displaystyle \aligned w(0)&=a_0\\ w'(0)&=a_1, \\\text{ gdyż }w'(x)&=0+a_1 +2 a_2 x+3a_3 x^2 +\dots +(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+n a_n | ||
x^{n-1}\\ | x^{n-1}\\ | ||
w''(0)&=2 a_2,\\ \text{ gdyż }w''(x)&=0+0 +2 a_2 +3\cdot 2 a_3 x | w''(0)&=2 a_2,\\ \text{ gdyż }w''(x)&=0+0 +2 a_2 +3\cdot 2 a_3 x | ||
Linia 163: | Linia 163: | ||
+0+n! a_n \\w^{(n+1)}(0)&=0,\\ \text{ gdyż }w^{(n+1)}(x)&=0+0 +0 | +0+n! a_n \\w^{(n+1)}(0)&=0,\\ \text{ gdyż }w^{(n+1)}(x)&=0+0 +0 | ||
+0 +\dots +0+0 \text{ dla dowolnej liczby } x,\endaligned</math></center> Każda | +0 +\dots +0+0 \text{ dla dowolnej liczby } x,\endaligned</math></center> Każda | ||
następna pochodna rzędu wyższego niż stopień wielomianu <math>w</math> jest | następna pochodna rzędu wyższego niż stopień wielomianu <math> \displaystyle w</math> jest | ||
równa zeru, i to nie tylko w punkcie zero, ale w każdym punkcie | równa zeru, i to nie tylko w punkcie zero, ale w każdym punkcie | ||
<math>x\in \mathbb{R}</math>. | <math> \displaystyle x\in \mathbb{R}</math>. | ||
Uogólnieniem tej obserwacji jest następujące twierdzenie Taylora: | Uogólnieniem tej obserwacji jest następujące twierdzenie Taylora: | ||
{{twierdzenie|10.9.|| | {{twierdzenie|10.9.|| | ||
Niech <math>f:(\alpha, \beta)\mapsto \mathbb{R}</math> | Niech <math> \displaystyle f:(\alpha, \beta)\mapsto \mathbb{R}</math> | ||
będzie funkcją <math>n+1</math> krotnie różniczkowalną w przedziale <math>(\alpha, | będzie funkcją <math> \displaystyle n+1</math> krotnie różniczkowalną w przedziale <math> \displaystyle (\alpha, | ||
\beta)</math>. Wówczas dla dowolnych punktów <math>a</math>, <math>b</math> takich, że | \beta)</math>. Wówczas dla dowolnych punktów <math> \displaystyle a</math>, <math> \displaystyle b</math> takich, że | ||
<math>\alpha<a<b<\beta</math> istnieje punkt <math>\xi_{n+1}\in (a,b)</math> taki, że | <math> \displaystyle \alpha<a<b<\beta</math> istnieje punkt <math> \displaystyle \xi_{n+1}\in (a,b)</math> taki, że | ||
<center><math>f(b)=T^{n}_a f(b)+\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi_{n+1})(b-a)^{n+1},</math></center> | <center><math> \displaystyle f(b)=T^{n}_a f(b)+\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi_{n+1})(b-a)^{n+1},</math></center> | ||
gdzie | gdzie | ||
<center><math>T^{n}_a f (b)=f(a)+f'(a)(b-a)+\frac{f''(a)}{2!}(b-a)^2+\dots+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(b-a)^{n-1}+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(b-a)^{n}.</math></center> | <center><math> \displaystyle T^{n}_a f (b)=f(a)+f'(a)(b-a)+\frac{f''(a)}{2!}(b-a)^2+\dots+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(b-a)^{n-1}+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(b-a)^{n}.</math></center> | ||
}} | }} | ||
{{definicja|10.10.|| | {{definicja|10.10.|| | ||
Wielomian <center><math>\aligned T^{n}_a f : \mathbb{R}\ni | Wielomian <center><math> \displaystyle \aligned T^{n}_a f : \mathbb{R}\ni | ||
x\mapsto T^{n}_a | x\mapsto T^{n}_a | ||
f(x)&=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\\&=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\dots+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1}+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}\endaligned</math></center> | f(x)&=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\\&=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\dots+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1}+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}\endaligned</math></center> | ||
nazywamy '''''wielomianem Taylora rzędu <math>n</math> funkcji <math>f</math> o środku | nazywamy '''''wielomianem Taylora rzędu <math> \displaystyle n</math> funkcji <math> \displaystyle f</math> o środku | ||
w punkcie <math>a</math>'''''. | w punkcie <math> \displaystyle a</math>'''''. | ||
}} | }} | ||
Nim wykażemy twierdzenie Taylora zauważmy, że z założenia o | Nim wykażemy twierdzenie Taylora zauważmy, że z założenia o | ||
istnieniu pochodnej rzędu <math>n+1</math> funkcji <math>f</math> w przedziale <math>(\alpha, | istnieniu pochodnej rzędu <math> \displaystyle n+1</math> funkcji <math> \displaystyle f</math> w przedziale <math> \displaystyle (\alpha, | ||
\beta)</math> wynika, że funkcja <math>f</math> i wszystkie jej pochodne <math>f', \ | \beta)</math> wynika, że funkcja <math> \displaystyle f</math> i wszystkie jej pochodne <math> \displaystyle f', \ | ||
f'', \ f^{(3)}, \dots, f^{(n-1)}, f^{(n)}</math> aż do rzędu <math>n</math> | f'', \ f^{(3)}, \dots, f^{(n-1)}, f^{(n)}</math> aż do rzędu <math> \displaystyle n</math> | ||
włącznie, istnieją i są ciągłe w tym przedziale. | włącznie, istnieją i są ciągłe w tym przedziale. | ||
Zauważmy też, że w przypadku <math>n=1</math> twierdzenie Taylora sprowadza | Zauważmy też, że w przypadku <math> \displaystyle n=1</math> twierdzenie Taylora sprowadza | ||
się do twierdzenia Lagrange'a: | się do twierdzenia Lagrange'a: | ||
<center><math>f(b)=f(a)+f'(\xi_1)(b-a). </math></center> | <center><math> \displaystyle f(b)=f(a)+f'(\xi_1)(b-a). </math></center> | ||
{{dowod|twierdzenia 10.10.|| | {{dowod|twierdzenia 10.10.|| | ||
(twierdzenia Taylora) Niech <math>M</math> będzie stałą określoną tak, | (twierdzenia Taylora) Niech <math> \displaystyle M</math> będzie stałą określoną tak, | ||
że zachodzi równość <center><math>f(b)=T^{n}_a f(b)+M(b-a)^{n+1}.</math></center> Aby | że zachodzi równość <center><math> \displaystyle f(b)=T^{n}_a f(b)+M(b-a)^{n+1}.</math></center> Aby | ||
dowieść twierdzenia wystarczy pokazać, że istnieje punkt | dowieść twierdzenia wystarczy pokazać, że istnieje punkt | ||
<math>\xi_{n+1}\in (a,b)</math> taki, że <math>(n+1)!M=f^{(n+1)}(\xi_{n+1})</math>. | <math> \displaystyle \xi_{n+1}\in (a,b)</math> taki, że <math> \displaystyle (n+1)!M=f^{(n+1)}(\xi_{n+1})</math>. | ||
Rozważmy dla <math>t\in[a,b]</math> funkcję | Rozważmy dla <math> \displaystyle t\in[a,b]</math> funkcję | ||
<center><math> g(t):=f(t)-T^{n}_a f(t)-M(t-a)^{n+1}.</math></center> | <center><math> \displaystyle g(t):=f(t)-T^{n}_a f(t)-M(t-a)^{n+1}.</math></center> | ||
Zauważmy, że <math>g(a)=0</math> i z określenia stałej <math>M</math> mamy również: | Zauważmy, że <math> \displaystyle g(a)=0</math> i z określenia stałej <math> \displaystyle M</math> mamy również: | ||
<math>g(b)=0</math>. Z twierdzenia Rolle'a wynika więc, że istnieje <math>\xi_1\in | <math> \displaystyle g(b)=0</math>. Z twierdzenia Rolle'a wynika więc, że istnieje <math> \displaystyle \xi_1\in | ||
(a,b)</math> taki, że <math>g'(\xi_1)=0</math>. Zauważmy następnie, że nie tylko | (a,b)</math> taki, że <math> \displaystyle g'(\xi_1)=0</math>. Zauważmy następnie, że nie tylko | ||
funkcja <math>g</math> ale również kolejne jej pochodne <math>g^{(k)}</math> dla | funkcja <math> \displaystyle g</math> ale również kolejne jej pochodne <math> \displaystyle g^{(k)}</math> dla | ||
<math>k=1,2,\dots, n</math> zerują się w punkcie <math>a</math>. Wobec tego, że | <math> \displaystyle k=1,2,\dots, n</math> zerują się w punkcie <math> \displaystyle a</math>. Wobec tego, że | ||
<math>g'(a)=0</math> i <math>g'(\xi_1)=0</math>, z twierdzenia Rolle'a wnioskujemy o | <math> \displaystyle g'(a)=0</math> i <math> \displaystyle g'(\xi_1)=0</math>, z twierdzenia Rolle'a wnioskujemy o | ||
istnieniu kolejnego punktu <math>\xi_2\in (a, \xi_1)</math>, w którym zeruje | istnieniu kolejnego punktu <math> \displaystyle \xi_2\in (a, \xi_1)</math>, w którym zeruje | ||
się druga pochodna funkcji <math>g</math>, tj. <math>g''(\xi_2)=0</math>. Powtarzając | się druga pochodna funkcji <math> \displaystyle g</math>, tj. <math> \displaystyle g''(\xi_2)=0</math>. Powtarzając | ||
rozumowanie dla kolejnych pochodnych <math>g^{(k)}</math>, <math>k=1,2,\dots, n</math> | rozumowanie dla kolejnych pochodnych <math> \displaystyle g^{(k)}</math>, <math> \displaystyle k=1,2,\dots, n</math> | ||
na podstawie twierdzenia Rolle'a wnioskujemy o istnieniu punktów | na podstawie twierdzenia Rolle'a wnioskujemy o istnieniu punktów | ||
<math>\xi_{k+1}\in (a, \xi_k )</math> takich, że <math>g^{(k+1)}(\xi_{k+1})=0</math>. | <math> \displaystyle \xi_{k+1}\in (a, \xi_k )</math> takich, że <math> \displaystyle g^{(k+1)}(\xi_{k+1})=0</math>. | ||
Zwróćmy uwagę, że ostatni ze znalezionych punktów <math>\xi_{n+1}</math> jest | Zwróćmy uwagę, że ostatni ze znalezionych punktów <math> \displaystyle \xi_{n+1}</math> jest | ||
tym punktem, którego istnienie postulujemy w tezie twierdzenia. | tym punktem, którego istnienie postulujemy w tezie twierdzenia. | ||
Zauważmy, że pochodna rzędu <math>n+1</math> funkcji <math>g</math> wynosi | Zauważmy, że pochodna rzędu <math> \displaystyle n+1</math> funkcji <math> \displaystyle g</math> wynosi | ||
<center><math>\aligned \frac{d^{n+1}}{dt^{n+1}}g(t)&=\frac{d^{n+1}}{dt^{n+1}}\big(f(t)-T^{n}_a | <center><math> \displaystyle \aligned \frac{d^{n+1}}{dt^{n+1}}g(t)&=\frac{d^{n+1}}{dt^{n+1}}\big(f(t)-T^{n}_a | ||
f(t)-M(t-a)^{n+1}\big)\\&=f^{(n+1)}(t)-0-(n+1)!M. \endaligned</math></center> | f(t)-M(t-a)^{n+1}\big)\\&=f^{(n+1)}(t)-0-(n+1)!M. \endaligned</math></center> | ||
(Pochodna rzędu <math>n+1</math> wielomianu <math>t\mapsto T_a^n f(t)</math> jest w | (Pochodna rzędu <math> \displaystyle n+1</math> wielomianu <math> \displaystyle t\mapsto T_a^n f(t)</math> jest w | ||
każdym punkcie równa zeru, gdyż wielomian ten jest stopnia co | każdym punkcie równa zeru, gdyż wielomian ten jest stopnia co | ||
najwyżej <math>n</math>.) Stąd | najwyżej <math> \displaystyle n</math>.) Stąd | ||
<math>0=g^{(n+1)}(\xi_{n+1})=f^{(n+1)}(\xi_{n+1})-(n+1)! M</math>. | <math> \displaystyle 0=g^{(n+1)}(\xi_{n+1})=f^{(n+1)}(\xi_{n+1})-(n+1)! M</math>. | ||
}} | }} | ||
Linia 235: | Linia 235: | ||
{{twierdzenie|10.11.|| | {{twierdzenie|10.11.|| | ||
Niech <math>f:(a,b) \mapsto \mathbb{R}</math> będzie funkcją klasy <math>C^2</math> w | Niech <math> \displaystyle f:(a,b) \mapsto \mathbb{R}</math> będzie funkcją klasy <math> \displaystyle C^2</math> w | ||
przedziale <math>(a,b)</math> (czyli funkcją dwukrotnie różniczkowalną o | przedziale <math> \displaystyle (a,b)</math> (czyli funkcją dwukrotnie różniczkowalną o | ||
ciągłej drugiej pochodnej <math>f''</math> w przedziale <math>(a,b)</math>). Załóżmy, że | ciągłej drugiej pochodnej <math> \displaystyle f''</math> w przedziale <math> \displaystyle (a,b)</math>). Załóżmy, że | ||
w punkcie <math>x_0\in (a,b)</math> pochodna <math>f'(x_0)</math> zeruje się. | w punkcie <math> \displaystyle x_0\in (a,b)</math> pochodna <math> \displaystyle f'(x_0)</math> zeruje się. | ||
a) Jeśli <math>f''(x_0)>0</math>, to <math>f</math> osiąga minimum lokalne w punkcie | a) Jeśli <math> \displaystyle f''(x_0)>0</math>, to <math> \displaystyle f</math> osiąga minimum lokalne w punkcie | ||
<math>x_0</math>. | <math> \displaystyle x_0</math>. | ||
b) Jeśli <math>f''(x_0)<0</math>, to <math>f</math> osiąga maksimum lokalne w punkcie | b) Jeśli <math> \displaystyle f''(x_0)<0</math>, to <math> \displaystyle f</math> osiąga maksimum lokalne w punkcie | ||
<math>x_0</math>. | <math> \displaystyle x_0</math>. | ||
}} | }} | ||
{{dowod|twierdzenia 10.11.|| | {{dowod|twierdzenia 10.11.|| | ||
a) Załóżmy, że <math>f''(x_0)>0</math>. Ze wzoru Taylora i z założenia o | a) Załóżmy, że <math> \displaystyle f''(x_0)>0</math>. Ze wzoru Taylora i z założenia o | ||
zerowaniu się pierwszej pochodnej <math>f'</math> danej funkcji mamy | zerowaniu się pierwszej pochodnej <math> \displaystyle f'</math> danej funkcji mamy | ||
<center><math>\aligned | <center><math> \displaystyle \aligned | ||
f(x_0+h)&=f(x_0)+&f'(x_0)&+&\frac{1}{2}f''(x_0+\theta h)\\ | f(x_0+h)&=f(x_0)+&f'(x_0)&+&\frac{1}{2}f''(x_0+\theta h)\\ | ||
&=f(x_0)+&0&+&\frac{1}{2}f''(x_0+\theta h),\endaligned</math></center> gdzie | &=f(x_0)+&0&+&\frac{1}{2}f''(x_0+\theta h),\endaligned</math></center> gdzie | ||
<math>\theta</math> jest pewną liczbą z przedziału <math>(0,1)</math>. Stąd znak | <math> \displaystyle \theta</math> jest pewną liczbą z przedziału <math> \displaystyle (0,1)</math>. Stąd znak | ||
różnicy <math>f(x+h)-f(x)=\frac{1}{2}f''(x_0+\theta h)</math> jest taki sam | różnicy <math> \displaystyle f(x+h)-f(x)=\frac{1}{2}f''(x_0+\theta h)</math> jest taki sam | ||
jak znak drugiej pochodnej <math>f''(x_0+\theta h)</math> w pewnym punkcie | jak znak drugiej pochodnej <math> \displaystyle f''(x_0+\theta h)</math> w pewnym punkcie | ||
pośrednim między punktem <math>x_0</math> a <math>x_0+h</math>. Z założenia o ciągłości | pośrednim między punktem <math> \displaystyle x_0</math> a <math> \displaystyle x_0+h</math>. Z założenia o ciągłości | ||
drugiej pochodnej <math>f''</math> na mocy własności Darboux wnioskujemy, że | drugiej pochodnej <math> \displaystyle f''</math> na mocy własności Darboux wnioskujemy, że | ||
nie tylko w samym punkcie <math>x_0</math> druga pochodna <math>f''</math> jest | nie tylko w samym punkcie <math> \displaystyle x_0</math> druga pochodna <math> \displaystyle f''</math> jest | ||
dodatnia, ale również w pewnym otoczeniu tego punktu. Biorąc więc | dodatnia, ale również w pewnym otoczeniu tego punktu. Biorąc więc | ||
na tyle mały przyrost <math>h</math>, aby zarówno <math>x_0</math> jak i <math>x_0+h</math> | na tyle mały przyrost <math> \displaystyle h</math>, aby zarówno <math> \displaystyle x_0</math> jak i <math> \displaystyle x_0+h</math> | ||
należały do przedziału, w którym <math>f''</math> jest dodatnia i nie zeruje | należały do przedziału, w którym <math> \displaystyle f''</math> jest dodatnia i nie zeruje | ||
się, otrzymamy nierówność <math>f''(x+\theta h)>0</math> również w punkcie | się, otrzymamy nierówność <math> \displaystyle f''(x+\theta h)>0</math> również w punkcie | ||
pośrednim. Stąd <math>f</math> osiąga minimum lokalne w punkcie <math>x_0</math>, gdyż | pośrednim. Stąd <math> \displaystyle f</math> osiąga minimum lokalne w punkcie <math> \displaystyle x_0</math>, gdyż | ||
<math>f(x+h)-f(x)\leq 0</math> w pewnym otoczeniu punktu <math>x_0</math>. | <math> \displaystyle f(x+h)-f(x)\leq 0</math> w pewnym otoczeniu punktu <math> \displaystyle x_0</math>. | ||
Dowód implikacji b) przebiega podobnie.}} | Dowód implikacji b) przebiega podobnie.}} | ||
Linia 272: | Linia 272: | ||
Zauważmy, że podane twierdzenie nie rozstrzyga o istnieniu, ani o | Zauważmy, że podane twierdzenie nie rozstrzyga o istnieniu, ani o | ||
typie ekstremum w przypadku, gdy <math>f'(x_0)=0</math> oraz <math>f''(x_0)=0</math>. | typie ekstremum w przypadku, gdy <math> \displaystyle f'(x_0)=0</math> oraz <math> \displaystyle f''(x_0)=0</math>. | ||
{{red}[[Rysunek am1w10.0035 a, b, c]]} | {{red}[[Rysunek am1w10.0035 a, b, c]]} | ||
{{przyklad|10.12.|| | {{przyklad|10.12.|| | ||
Rozważmy funkcje <math>f_1(x)=-x^4</math>, | Rozważmy funkcje <math> \displaystyle f_1(x)=-x^4</math>, | ||
<math>f_2(x)=x^4</math>, <math>f_3(x)=x^3</math>. Łatwo zauważyć, że zarówno pierwsza | <math> \displaystyle f_2(x)=x^4</math>, <math> \displaystyle f_3(x)=x^3</math>. Łatwo zauważyć, że zarówno pierwsza | ||
jak i druga pochodna każdej z tych trzech funkcji w punkcie | jak i druga pochodna każdej z tych trzech funkcji w punkcie | ||
<math>x_0=0</math> zerują się, podczas gdy <math>f_1</math> osiąga maksimum w tym | <math> \displaystyle x_0=0</math> zerują się, podczas gdy <math> \displaystyle f_1</math> osiąga maksimum w tym | ||
punkcie a <math>f_2</math> minimum. Natomiast funkcja <math>f_3</math> w ogóle nie | punkcie a <math> \displaystyle f_2</math> minimum. Natomiast funkcja <math> \displaystyle f_3</math> w ogóle nie | ||
osiąga ekstremum w punkcie <math>x_0=0</math>. }} | osiąga ekstremum w punkcie <math> \displaystyle x_0=0</math>. }} | ||
{{uwaga|10.13.|| | {{uwaga|10.13.|| | ||
Linia 288: | Linia 288: | ||
twierdzenia Taylora: | twierdzenia Taylora: | ||
<center><math>\aligned f(b)&=T^n_a f(b)+\frac{f^{(n+1)}(\xi_{n+1})}{(n+1)!}(b-a)^{k+1} | <center><math> \displaystyle \aligned f(b)&=T^n_a f(b)+\frac{f^{(n+1)}(\xi_{n+1})}{(n+1)!}(b-a)^{k+1} | ||
\\ &=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi_{n+1})}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}\endaligned</math></center> | \\ &=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi_{n+1})}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}\endaligned</math></center> | ||
nazywamy '''''wzorem Taylora z resztą Lagrange'a''''' <center><math>\displaystyle | nazywamy '''''wzorem Taylora z resztą Lagrange'a''''' <center><math> \displaystyle \displaystyle | ||
R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(\xi_{n+1})}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}.</math></center> Jeśli | R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(\xi_{n+1})}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}.</math></center> Jeśli | ||
oznaczymy przyrost argument funkcji przez <math>h:=b-a</math>, to wzór ten | oznaczymy przyrost argument funkcji przez <math> \displaystyle h:=b-a</math>, to wzór ten | ||
przyjmie postać | przyjmie postać | ||
<center><math>\aligned f(a+h)&=T^n_a f(a+h)+\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!}h^{k+1} | <center><math> \displaystyle \aligned f(a+h)&=T^n_a f(a+h)+\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!}h^{k+1} | ||
\\ &=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k+\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}\endaligned</math></center> | \\ &=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k+\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}\endaligned</math></center> | ||
dla pewnej liczby <math>\theta \in (0,1)</math> dobranej tak, aby <math>a+\theta | dla pewnej liczby <math> \displaystyle \theta \in (0,1)</math> dobranej tak, aby <math> \displaystyle a+\theta | ||
h=\xi_{n+1}</math>. Tę postać nazywamy '''''wzorem Taylora z resztą | h=\xi_{n+1}</math>. Tę postać nazywamy '''''wzorem Taylora z resztą | ||
Cauchy'ego''''' <center><math>\displaystyle R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(a+\theta | Cauchy'ego''''' <center><math> \displaystyle \displaystyle R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(a+\theta | ||
h)}{(n+1)!}h^{n+1}.</math></center> W szczególnym przypadku, gdy <math>a=0</math> otrzymamy | h)}{(n+1)!}h^{n+1}.</math></center> W szczególnym przypadku, gdy <math> \displaystyle a=0</math> otrzymamy | ||
wzór | wzór | ||
<center><math>\aligned f(h)&=T^n_0 f(h)+\frac{f^{(n+1)}(\theta h)}{(n+1)!}h^{k+1} | <center><math> \displaystyle \aligned f(h)&=T^n_0 f(h)+\frac{f^{(n+1)}(\theta h)}{(n+1)!}h^{k+1} | ||
\\ &=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}h^k+\frac{f^{(n+1)}(\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}\endaligned</math></center> | \\ &=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}h^k+\frac{f^{(n+1)}(\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}\endaligned</math></center> | ||
który nazywamy '''''wzorem Maclaurina''''' z resztą <center><math>\displaystyle | który nazywamy '''''wzorem Maclaurina''''' z resztą <center><math> \displaystyle \displaystyle | ||
R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}.</math></center> | R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}.</math></center> | ||
Linia 309: | Linia 309: | ||
{{uwaga|10.14.|| | {{uwaga|10.14.|| | ||
Jeśli <math>w</math> jest wielomianem stopnia <math>k</math>, | Jeśli <math> \displaystyle w</math> jest wielomianem stopnia <math> \displaystyle k</math>, | ||
to dla dowolnej liczby <math>n\geq k</math> wielomian Taylora rzędu <math>n</math> o | to dla dowolnej liczby <math> \displaystyle n\geq k</math> wielomian Taylora rzędu <math> \displaystyle n</math> o | ||
środku w punkcie <math>a=0</math> jest dokładnie równy wielomianowi <math>w</math>, to | środku w punkcie <math> \displaystyle a=0</math> jest dokładnie równy wielomianowi <math> \displaystyle w</math>, to | ||
znaczy | znaczy | ||
<center><math>w(h)=w(0)+w'(0)h+\frac{w''(0)}{2!}h^2 +\dots +\frac{w^{(n)}(0)}{n!}h^n +R_{n+1}, | <center><math> \displaystyle w(h)=w(0)+w'(0)h+\frac{w''(0)}{2!}h^2 +\dots +\frac{w^{(n)}(0)}{n!}h^n +R_{n+1}, | ||
\text{ przy czym } R_{n+1}=0.</math></center> }} | \text{ przy czym } R_{n+1}=0.</math></center> }} | ||
Powstaje naturalne pytanie, czy dla innych funkcji | Powstaje naturalne pytanie, czy dla innych funkcji | ||
(niekoniecznie wielomianów) wzór Taylora pozwala na przedstawienie | (niekoniecznie wielomianów) wzór Taylora pozwala na przedstawienie | ||
funkcji <math>f</math> za pomocą wielomianu Taylora <math>T^n_a f</math> tak, aby reszta | funkcji <math> \displaystyle f</math> za pomocą wielomianu Taylora <math> \displaystyle T^n_a f</math> tak, aby reszta | ||
<math>R_{n+1}</math> była jak najmniejsza i zmierzała do zera, gdy rośnie | <math> \displaystyle R_{n+1}</math> była jak najmniejsza i zmierzała do zera, gdy rośnie | ||
<math>n</math>, czyli gdy rośnie stopień wielomianu Taylora funkcji <math>f</math>. | <math> \displaystyle n</math>, czyli gdy rośnie stopień wielomianu Taylora funkcji <math> \displaystyle f</math>. | ||
Odpowiedź na pytanie uzyskamy stosując np. wzór Taylora z resztą | Odpowiedź na pytanie uzyskamy stosując np. wzór Taylora z resztą | ||
Linia 326: | Linia 326: | ||
{{twierdzenie|10.15.|| | {{twierdzenie|10.15.|| | ||
Niech <math>f:(\alpha, \beta)\mapsto \mathbb{R}</math> | Niech <math> \displaystyle f:(\alpha, \beta)\mapsto \mathbb{R}</math> | ||
będzie funkcją <math>n+1</math> krotnie różniczkowalną i niech | będzie funkcją <math> \displaystyle n+1</math> krotnie różniczkowalną i niech | ||
<math>\alpha<a<b<\beta</math>. Jeśli <center><math>M:=\sup\{|f^{(n+1)}(t)|, t\in | <math> \displaystyle \alpha<a<b<\beta</math>. Jeśli <center><math> \displaystyle M:=\sup\{|f^{(n+1)}(t)|, t\in | ||
[a,b]\}<\infty </math></center> (czyli wartość bezwzględna pochodnej rzędu | [a,b]\}<\infty </math></center> (czyli wartość bezwzględna pochodnej rzędu | ||
<math>(n+1)</math> funkcji <math>f</math> jest ograniczona przez stałą <math>M</math>, która nie | <math> \displaystyle (n+1)</math> funkcji <math> \displaystyle f</math> jest ograniczona przez stałą <math> \displaystyle M</math>, która nie | ||
zależy od wyboru punktu <math>t</math> z przedziału <math>[a, b]</math>), to dla | zależy od wyboru punktu <math> \displaystyle t</math> z przedziału <math> \displaystyle [a, b]</math>), to dla | ||
dowolnej liczby <math>h</math> takiej, że <math>0\leq h\leq b-a</math>, zachodzi | dowolnej liczby <math> \displaystyle h</math> takiej, że <math> \displaystyle 0\leq h\leq b-a</math>, zachodzi | ||
oszacowanie: | oszacowanie: | ||
<center><math>\bigg|f(a+h)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)} (a)}{k!}h^k\bigg|\leq | <center><math> \displaystyle \bigg|f(a+h)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)} (a)}{k!}h^k\bigg|\leq | ||
\frac{M}{(n+1)!}h^{n+1}.</math></center> }} | \frac{M}{(n+1)!}h^{n+1}.</math></center> }} | ||
Linia 340: | Linia 340: | ||
Szacując resztę we wzorze Taylora (z resztą Cauchy'ego) | Szacując resztę we wzorze Taylora (z resztą Cauchy'ego) | ||
otrzymamy: | otrzymamy: | ||
<center><math>\aligned \bigg|f(a+h)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)} | <center><math> \displaystyle \aligned \bigg|f(a+h)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)} | ||
(a)}{k!}h^k\bigg| &=\bigg|\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}\bigg|\\ | (a)}{k!}h^k\bigg| &=\bigg|\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}\bigg|\\ | ||
&\leq \frac{h^{n+1}}{(n+1)!}\sup\{|f^{(n+1)}(a+\theta h)|, | &\leq \frac{h^{n+1}}{(n+1)!}\sup\{|f^{(n+1)}(a+\theta h)|, | ||
Linia 349: | Linia 349: | ||
{{wniosek|10.16.|| | {{wniosek|10.16.|| | ||
Jeśli pochodna rzędu <math>n+1</math> funkcji <math>f</math> | Jeśli pochodna rzędu <math> \displaystyle n+1</math> funkcji <math> \displaystyle f</math> | ||
jest ograniczona w przedziale <math>(\alpha, \beta)</math>, to dla dowolnych | jest ograniczona w przedziale <math> \displaystyle (\alpha, \beta)</math>, to dla dowolnych | ||
punktów <math>a</math> oraz <math>a+h</math> z tego przedziału mamy oszacowanie | punktów <math> \displaystyle a</math> oraz <math> \displaystyle a+h</math> z tego przedziału mamy oszacowanie | ||
<center><math>\bigg|f(a+h)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)} (a)}{k!}h^k\bigg|\leq | <center><math> \displaystyle \bigg|f(a+h)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)} (a)}{k!}h^k\bigg|\leq | ||
\frac{M}{(n+1)!}|h|^{n+1},</math></center> gdzie <math>M:=\sup\{|f^{(n+1)}(t)|, | \frac{M}{(n+1)!}|h|^{n+1},</math></center> gdzie <math> \displaystyle M:=\sup\{|f^{(n+1)}(t)|, | ||
\alpha<t<\beta\}</math>.}} | \alpha<t<\beta\}</math>.}} | ||
{{dowod|wniosku 10.16.|| | {{dowod|wniosku 10.16.|| | ||
Jeśli <math>h>0</math>, wniosek sprowadza się do poprzedniego | Jeśli <math> \displaystyle h>0</math>, wniosek sprowadza się do poprzedniego | ||
twierdzenia. Jeśli <math>h<0</math>, należy powtórzyć poprzednie rozumowanie | twierdzenia. Jeśli <math> \displaystyle h<0</math>, należy powtórzyć poprzednie rozumowanie | ||
w przedziale <math>[a+h,a]</math>. }} | w przedziale <math> \displaystyle [a+h,a]</math>. }} | ||
[[Rysunek am1w10.0040]] | [[Rysunek am1w10.0040]] | ||
Linia 367: | Linia 367: | ||
Oszacowanie reszty we wzorze | Oszacowanie reszty we wzorze | ||
Maclaurina funkcji sinus jest wyjątkowo proste | Maclaurina funkcji sinus jest wyjątkowo proste | ||
<center><math>\sin h=h-\frac{h^3}{3!}+\frac{h^5}{5!}+\dots+(-1)^n\frac{h^{2n+1}}{(2n+1)!}+R_{2n+2},</math></center> | <center><math> \displaystyle \sin h=h-\frac{h^3}{3!}+\frac{h^5}{5!}+\dots+(-1)^n\frac{h^{2n+1}}{(2n+1)!}+R_{2n+2},</math></center> | ||
gdzie <center><math>\displaystyle |R_{2n+2}|=\bigg|\sin^{(2n+2)}(\theta | gdzie <center><math> \displaystyle \displaystyle |R_{2n+2}|=\bigg|\sin^{(2n+2)}(\theta | ||
h)\cdot \frac{h^{(2n+2)}}{(2n+2)!}\bigg| \leq | h)\cdot \frac{h^{(2n+2)}}{(2n+2)!}\bigg| \leq | ||
\frac{|h|^{(2n+2)}}{(2n+2)!},</math></center> gdyż wartość bezwzględna | \frac{|h|^{(2n+2)}}{(2n+2)!},</math></center> gdyż wartość bezwzględna | ||
pochodnych dowolnie wysokiego rzędu funkcji sinus jest ograniczona | pochodnych dowolnie wysokiego rzędu funkcji sinus jest ograniczona | ||
z góry przez 1. Wzór ten pozwala wyznaczyć wartość <math>\sin h</math> z | z góry przez 1. Wzór ten pozwala wyznaczyć wartość <math> \displaystyle \sin h</math> z | ||
zadaną z góry dokładnością. Na przykład, chcąc wyznaczyć <math>\sin | zadaną z góry dokładnością. Na przykład, chcąc wyznaczyć <math> \displaystyle \sin | ||
\frac{1}{2}</math> z dokładnością do <math>10^{-6}</math> wystarczy wskazać taką | \frac{1}{2}</math> z dokładnością do <math> \displaystyle 10^{-6}</math> wystarczy wskazać taką | ||
liczbę <math>n</math>, aby zachodziła nierówność <math>|R_{2n+2}|<10^{-6}</math>, czyli | liczbę <math> \displaystyle n</math>, aby zachodziła nierówność <math> \displaystyle |R_{2n+2}|<10^{-6}</math>, czyli | ||
<math>\dfrac{1}{2^{2n+2}(2n+2)!}<10^{-6}</math>. Na mocy wykazanego powyżej | <math> \displaystyle \dfrac{1}{2^{2n+2}(2n+2)!}<10^{-6}</math>. Na mocy wykazanego powyżej | ||
wniosku mamy oszacowania: | wniosku mamy oszacowania: | ||
<center><math>\bigg|\sin \frac{1}{2}-\big(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^3\cdot | <center><math> \displaystyle \bigg|\sin \frac{1}{2}-\big(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^3\cdot | ||
3!}\big)\bigg|\leq \frac{1}{46080}</math></center> natomiast | 3!}\big)\bigg|\leq \frac{1}{46080}</math></center> natomiast | ||
<center><math>\bigg|\sin \frac{1}{2}-\big(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^3\cdot | <center><math> \displaystyle \bigg|\sin \frac{1}{2}-\big(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^3\cdot | ||
3!}+\frac{1}{2^5\cdot 5!}\big)\bigg|\leq \frac{1}{10321920},</math></center> a | 3!}+\frac{1}{2^5\cdot 5!}\big)\bigg|\leq \frac{1}{10321920},</math></center> a | ||
więc suma <math>\frac{1}{2}-\frac{1}{48}+\frac{1}{3840}</math> różni się (a | więc suma <math> \displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{48}+\frac{1}{3840}</math> różni się (a | ||
dokładniej: jest większa) o nie więcej niż jedną | dokładniej: jest większa) o nie więcej niż jedną | ||
dziesięciomilionową od <math>\sin\frac{1}{2}</math>. | dziesięciomilionową od <math> \displaystyle \sin\frac{1}{2}</math>. | ||
}} | }} | ||
Linia 393: | Linia 393: | ||
Równie łatwo można oszacować resztę we | Równie łatwo można oszacować resztę we | ||
wzorze Maclaurina funkcji cosinus | wzorze Maclaurina funkcji cosinus | ||
<center><math>\cos h=1-\frac{h^2}{2}+\frac{h^4}{4!}+\dots+(-1)^n | <center><math> \displaystyle \cos h=1-\frac{h^2}{2}+\frac{h^4}{4!}+\dots+(-1)^n | ||
\frac{h^{2n}}{(2n)!}+R_{2n+1}, </math></center> gdyż wartość bezwzględna | \frac{h^{2n}}{(2n)!}+R_{2n+1}, </math></center> gdyż wartość bezwzględna | ||
pochodnych dowolnie wysokiego rzędu funkcji cosinus jest | pochodnych dowolnie wysokiego rzędu funkcji cosinus jest | ||
ograniczona z góry przez 1, więc <center><math>\displaystyle | ograniczona z góry przez 1, więc <center><math> \displaystyle \displaystyle | ||
|R_{2n+1}|=\bigg|\cos^{(2n+1)}(\theta h)\cdot | |R_{2n+1}|=\bigg|\cos^{(2n+1)}(\theta h)\cdot | ||
\frac{h^{(2n+1)}}{(2n+1)!}\bigg| \leq | \frac{h^{(2n+1)}}{(2n+1)!}\bigg| \leq | ||
Linia 404: | Linia 404: | ||
===Przybliżanie funkcji ciągłych wielomianami=== | ===Przybliżanie funkcji ciągłych wielomianami=== | ||
Powstaje naturalne pytanie, czy reszta <math>R_{n+1}</math> we wzorze | Powstaje naturalne pytanie, czy reszta <math> \displaystyle R_{n+1}</math> we wzorze | ||
Maclaurina stanowi ciąg zbieżny do zera, jeśli funkcja <math>f</math> jest | Maclaurina stanowi ciąg zbieżny do zera, jeśli funkcja <math> \displaystyle f</math> jest | ||
klasy <math>C^\infty</math> w przedziale zawierającym punkt <math>0</math>? Negatywna | klasy <math> \displaystyle C^\infty</math> w przedziale zawierającym punkt <math> \displaystyle 0</math>? Negatywna | ||
odpowiedź na to pytanie zawarta jest w kolejnym przykładzie. | odpowiedź na to pytanie zawarta jest w kolejnym przykładzie. | ||
Linia 412: | Linia 412: | ||
{{przyklad|[Uzupelnij]|| | {{przyklad|[Uzupelnij]|| | ||
Funkcja <center><math>f(x)=\left\{\aligned 0, \text{ dla }x\leq 0\\ | Funkcja <center><math> \displaystyle f(x)=\left\{\aligned 0, \text{ dla }x\leq 0\\ | ||
\exp(-\frac{1}{x}), \text{ dla } x>0 | \exp(-\frac{1}{x}), \text{ dla } x>0 | ||
\endaligned \right.</math></center> | \endaligned \right.</math></center> | ||
jest różniczkowalna w każdym punkcie <math>x\in \mathbb{R}</math>. W szczególności | jest różniczkowalna w każdym punkcie <math> \displaystyle x\in \mathbb{R}</math>. W szczególności | ||
zerują się wszystkie pochodne w punkcie zero, tj.<center><math>\forall | zerują się wszystkie pochodne w punkcie zero, tj.<center><math> \displaystyle \forall | ||
k=0,1,2,3,\dots \ : f^{(k)}(0)=0,</math></center> (fakt ten wykażemy w kolejnym | k=0,1,2,3,\dots \ : f^{(k)}(0)=0,</math></center> (fakt ten wykażemy w kolejnym | ||
module) czyli wszystkie współczynniki wielomianu Taylora o środku | module) czyli wszystkie współczynniki wielomianu Taylora o środku | ||
w zerze są zerowe. Z twierdzenia Taylora mamy równość: | w zerze są zerowe. Z twierdzenia Taylora mamy równość: | ||
<math>f(h)=T_{0}^n(h)+R_{n+1}=0+R_{n+1}</math>. Zwróćmy | <math> \displaystyle f(h)=T_{0}^n(h)+R_{n+1}=0+R_{n+1}</math>. Zwróćmy | ||
uwagę, że dla dowolnej liczby <math>h>0</math> funkcja <math>f</math> przyjmuje | uwagę, że dla dowolnej liczby <math> \displaystyle h>0</math> funkcja <math> \displaystyle f</math> przyjmuje | ||
wartość dodatnią, więc reszta <math>R_{n+1}</math> nie stanowi ciągu | wartość dodatnią, więc reszta <math> \displaystyle R_{n+1}</math> nie stanowi ciągu | ||
zbieżnego do zera. }} | zbieżnego do zera. }} | ||
Linia 428: | Linia 428: | ||
przybliżania dowolnych funkcji różniczkowalnych za pomocą | przybliżania dowolnych funkcji różniczkowalnych za pomocą | ||
wielomianów, gdyż -- jak pokazaliśmy w powyższym przykładzie -- | wielomianów, gdyż -- jak pokazaliśmy w powyższym przykładzie -- | ||
istnieją funkcje klasy <math>C^\infty</math> (czyli takie, które mają ciągłe | istnieją funkcje klasy <math> \displaystyle C^\infty</math> (czyli takie, które mają ciągłe | ||
pochodne dowolnie wysokiego rzędu), których nie da się w rozsądny | pochodne dowolnie wysokiego rzędu), których nie da się w rozsądny | ||
sposób przybliżyć za pomocą wielomianów Taylora <math>T_a ^n f</math>. | sposób przybliżyć za pomocą wielomianów Taylora <math> \displaystyle T_a ^n f</math>. | ||
Prawdziwe jest jednak twierdzenie, które gwarantuje możliwość | Prawdziwe jest jednak twierdzenie, które gwarantuje możliwość | ||
Linia 439: | Linia 439: | ||
(twierdzenie Weierstrassa) Funkcję | (twierdzenie Weierstrassa) Funkcję | ||
ciągłą na przedziale domkniętym można przybliżać jednostajnie za | ciągłą na przedziale domkniętym można przybliżać jednostajnie za | ||
pomocą wielomianów, tzn. jeśli <math>f:[a,b] \mapsto\mathbb{R}</math> jest funkcją | pomocą wielomianów, tzn. jeśli <math> \displaystyle f:[a,b] \mapsto\mathbb{R}</math> jest funkcją | ||
ciągłą, to istnieje ciąg wielomianów <math>w_n</math> taki, że | ciągłą, to istnieje ciąg wielomianów <math> \displaystyle w_n</math> taki, że | ||
<center><math> \lim_{n\to\infty}\sup\{|f(t)-w_n(t)|, a\leq t\leq b\}=0. </math></center>}} | <center><math> \displaystyle \lim_{n\to\infty}\sup\{|f(t)-w_n(t)|, a\leq t\leq b\}=0. </math></center>}} | ||
Dowód tego ważnego twierdzenia wykracza poza ramy tego kursu. | Dowód tego ważnego twierdzenia wykracza poza ramy tego kursu. | ||
Można natomiast łatwo podać efektywną konstrukcję ciągu | Można natomiast łatwo podać efektywną konstrukcję ciągu | ||
wielomianów, które przybliżają jednostajnie daną funkcję ciągłą na | wielomianów, które przybliżają jednostajnie daną funkcję ciągłą na | ||
przedziale <math>[0,1]</math>. | przedziale <math> \displaystyle [0,1]</math>. | ||
{{definicja|[Uzupelnij]|| | {{definicja|[Uzupelnij]|| | ||
Niech <math>f:[0,1]\mapsto \mathbb{R}</math> będzie | Niech <math> \displaystyle f:[0,1]\mapsto \mathbb{R}</math> będzie | ||
funkcją ciągłą. Dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej | funkcją ciągłą. Dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej | ||
<math>n=0,1,2,\dots</math> definiujemy '''''wielomian Bernsteina rzędu <math>n</math>''''' | <math> \displaystyle n=0,1,2,\dots</math> definiujemy '''''wielomian Bernsteina rzędu <math> \displaystyle n</math>''''' | ||
funkcji <math>f</math> wzorem | funkcji <math> \displaystyle f</math> wzorem | ||
<center><math>B_n f(t)=\sum_{k=0}^n | <center><math> \displaystyle B_n f(t)=\sum_{k=0}^n | ||
f\big(\frac{k}{n}\big)\binom{n}{k}t^{k}(1-t)^{n-k}.</math></center> }} | f\big(\frac{k}{n}\big)\binom{n}{k}t^{k}(1-t)^{n-k}.</math></center> }} | ||
Linia 461: | Linia 461: | ||
Podobieństwo wzoru definiującego | Podobieństwo wzoru definiującego | ||
wielomian Bernsteina do wzoru dwumianowego Newtona nie jest | wielomian Bernsteina do wzoru dwumianowego Newtona nie jest | ||
przypadkowe. Weźmy np. funkcję <math>f(x)=1</math>, stałą w przedziale | przypadkowe. Weźmy np. funkcję <math> \displaystyle f(x)=1</math>, stałą w przedziale | ||
<math>[0,1]</math>. Wówczas na mocy wzoru Newtona | <math> \displaystyle [0,1]</math>. Wówczas na mocy wzoru Newtona | ||
<center><math>B_n f(t)=\sum_{k=0}^n | <center><math> \displaystyle B_n f(t)=\sum_{k=0}^n | ||
1 \cdot \binom{n}{k}t^{k}(1-t)^{n-k}=(t+1-t)^n=1.</math></center> Zauważmy, że | 1 \cdot \binom{n}{k}t^{k}(1-t)^{n-k}=(t+1-t)^n=1.</math></center> Zauważmy, że | ||
wielomian Bernsteina rzędu <math>n</math> jest wielomianem stopnia nie | wielomian Bernsteina rzędu <math> \displaystyle n</math> jest wielomianem stopnia nie | ||
wyższego niż <math>n</math>. Można wykazać, że jeśli <math>w</math> jest wielomianem | wyższego niż <math> \displaystyle n</math>. Można wykazać, że jeśli <math> \displaystyle w</math> jest wielomianem | ||
stopnia nie wyższego niż <math>n</math>, to <math>B_n w(t)=w(t)</math> dla dowolnej | stopnia nie wyższego niż <math> \displaystyle n</math>, to <math> \displaystyle B_n w(t)=w(t)</math> dla dowolnej | ||
liczby <math>t</math>. Przypomnijmy, że analogiczną własność mają również | liczby <math> \displaystyle t</math>. Przypomnijmy, że analogiczną własność mają również | ||
wielomiany Taylora (zob. uwaga [[##u.am1.10.120|Uzupelnic u.am1.10.120|]]). | wielomiany Taylora (zob. uwaga [[##u.am1.10.120|Uzupelnic u.am1.10.120|]]). | ||
Linia 477: | Linia 477: | ||
{{twierdzenie|[Uzupelnij]|| | {{twierdzenie|[Uzupelnij]|| | ||
(twierdzenie Bernsteina) Jeśli | (twierdzenie Bernsteina) Jeśli | ||
<math>f:[0,1]\mapsto\mathbb{R}</math> jest dowolną funkcją ciągłą, to ciąg | <math> \displaystyle f:[0,1]\mapsto\mathbb{R}</math> jest dowolną funkcją ciągłą, to ciąg | ||
wielomianów Bernsteina zmierza do <math>f</math> jednostajnie na przedziale | wielomianów Bernsteina zmierza do <math> \displaystyle f</math> jednostajnie na przedziale | ||
<math>[0,1]</math>, to znaczy | <math> \displaystyle [0,1]</math>, to znaczy | ||
<center><math>\lim_{n\to \infty}\sup\{|f(t)-B_n(t)|, 0\leq t\leq 1\}=0.</math></center> | <center><math> \displaystyle \lim_{n\to \infty}\sup\{|f(t)-B_n(t)|, 0\leq t\leq 1\}=0.</math></center> | ||
}} | }} | ||
Linia 488: | Linia 488: | ||
P.Billingsleya, Prawdopodobieństwo i miara, Państwowe | P.Billingsleya, Prawdopodobieństwo i miara, Państwowe | ||
Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1987, str. 91-92. Zwróćmy uwagę, że | Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1987, str. 91-92. Zwróćmy uwagę, że | ||
twierdzenie Weierstrassa zachodzi nawet dla funkcji klasy <math>C^0</math>, | twierdzenie Weierstrassa zachodzi nawet dla funkcji klasy <math> \displaystyle C^0</math>, | ||
tj. takich, od których nie wymagamy, aby były różniczkowalne w | tj. takich, od których nie wymagamy, aby były różniczkowalne w | ||
którymkolwiek punkcie. Przykład takiej funkcji, która jest tylko | którymkolwiek punkcie. Przykład takiej funkcji, która jest tylko | ||
ciągła i nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie, podaliśmy w | ciągła i nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie, podaliśmy w | ||
poprzednim module. | poprzednim module. |
Wersja z 13:28, 12 sie 2006
10. Wzór Taylora. Ekstrema
Definiujemy pochodne wyższych rzędów oraz funkcje klasy . Twierdzenie Taylora pozwala nam na sformułowanie warunku wystarczającego istnienia ekstremum funkcji klasy . Pokazujemy jak można za pomocą wielomianów Taylora przybliżać funkcje klasy , . Formułujemy twierdzenie Weierstrassa o przybliżaniu wielomianami funkcji ciągłych na przedziale domkniętym.
10.1. Pochodne wyższych rzędów
Niech będzie funkcją różniczkowalną w przedziale otwartym
. Rozważmy funkcję pochodną
Definicja 10.1.
Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie , to znaczy: jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:
jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie a granicę tę nazywamy pochodną rzędu drugiego (lub krótko: drugą pochodną) funkcji w punkcie i oznaczamy symbolem lub albo , bądź też .
Przykład 10.2.
Znanym ze szkoły przykładem pochodnej rzędu drugiego jest przyśpieszenie, równe pochodnej prędkości :
gdzie oznacza położenie punktu materialnego w chwili .
Definicję pochodnej rzędu możemy podać dla kolejnych liczb naturalnych . Często -- aby uprościć wypowiedzi twierdzeń -- terminem pochodna rzędu zerowego (albo krócej: zerowa pochodna) funkcji będziemy nazywać samą funkcję . Symbol pochodnej rzędu zerowego będzie oznaczać funkcję .
Niech będzie funkcją krotnie różniczkowalną, .
Definicja 10.3.
Jeśli pochodna rzędu funkcji jest różniczkowalna w punkcie , to znaczy: jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:
mówimy, że funkcja jest krotnie różniczkowalna w punkcie , a granicę tę nazywamy pochodną rzędu (lub krótko: -tą pochodną) funkcji w punkcie i oznaczamy symbolem lub , bądź .
Jeśli , na oznaczenie pochodnej rzędu funkcji w punkcie używamy raczej symboli:
albo
niż Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f'''(x_0), \ f''''(x_0), \dots.}
Kolejne twierdzenie stanowi uogólnienie twierdzenia o pochodnej iloczynu dwóch funkcji na przypadek pochodnej rzędu .
Twierdzenie 10.4.
(wzór Leibniza) Niech będą funkcjami krotnie różniczkowalnymi, . Zachodzi równość
Dowód twierdzenia 10.4.
Zwróćmy przede wszystkim uwagę na podobieństwo wzoru Leibniza do wzoru dwumianowego Newtona. Dowody obu twierdzeń są analogiczne. Zauważmy wpierw, że twierdzenie zachodzi dla mamy bowiem . Następnie, korzystając z równości , pokazujemy, że dla dowolnej liczby zachodzi implikacja

{black}
Niech będzie liczbą całkowitą nieujemną.
Definicja 10.5.
Mówimy, że funkcja jest klasy w przedziale , jeśli jest krotnie różniczkowalna w przedziale i pochodna rzędu funkcji jest ciągła. Jeśli dla dowolnej liczby funkcja jest klasy w przedziale , to mówimy, że jest klasy
w tym przedziale.Przykład 10.6.
Dowolna funkcja wielomianowa, funkcje sinus, cosinus i wykładnicza są przykładami funkcji klasy w całym zbiorze liczb rzeczywistych. Ogólnie: dowolna funkcja dana za pomocą szeregu potęgowego jest klasy w przedziale otwartym , gdzie jest promieniem
zbieżności szeregu potęgowego.Przykład 10.7.
Funkcja jest ciągła, ale nie ma ciągłej pochodnej w dowolnym przedziale , do którego należy zero, tj. gdy . Jest więc klasy i nie jest klasy w takim przedziale. Jeśli zero nie należy do przedziału , czyli gdy lub , to restrykcja do przedziału jest wielomianem, czyli funkcją
klasy .{{red}Rysunek am1w10.0010}
{{przyklad|10.8.||
Funkcja
jest różniczkowalna i jej pochodna
. Stąd jeśli , to jest klasy w przedziale , ale nie jest klasy .
{{red}Rysunek am1w10.0020}
Przykład ten możemy łatwo dalej modyfikować. Na przykład funkcja
ma
pierwszą pochodną równą , a jej drugą pochodną jest . Funkcja jest więc klasy , ale nie jest klasy w dowolnym przedziale otwartym zawierającym zero. Ogólnie
(gdzie
, bądź też jest dowolną inną stałą różną od zera) jest funkcją klasy
i nie jest klasy
w dowolnym przedziale otwartym zawierającym zero. }}
{{red}Rysunek animacja am1w10.0030}
Wzór Taylora
Niech będzie wielomianem. Zauważmy, że wartości pochodnych rzędu w punkcie wyrażają się prosto za pomocą współczynników tego wielomianu:
Każda
następna pochodna rzędu wyższego niż stopień wielomianu jest równa zeru, i to nie tylko w punkcie zero, ale w każdym punkcie .
Uogólnieniem tej obserwacji jest następujące twierdzenie Taylora:
Twierdzenie 10.9.
Niech będzie funkcją krotnie różniczkowalną w przedziale . Wówczas dla dowolnych punktów , takich, że istnieje punkt taki, że
gdzie
Definicja 10.10.
nazywamy wielomianem Taylora rzędu funkcji o środku w punkcie .
Nim wykażemy twierdzenie Taylora zauważmy, że z założenia o istnieniu pochodnej rzędu funkcji w przedziale wynika, że funkcja i wszystkie jej pochodne Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f', \ f'', \ f^{(3)}, \dots, f^{(n-1)}, f^{(n)}} aż do rzędu włącznie, istnieją i są ciągłe w tym przedziale.
Zauważmy też, że w przypadku twierdzenie Taylora sprowadza się do twierdzenia Lagrange'a:
Dowód twierdzenia 10.10.
(twierdzenia Taylora) Niech będzie stałą określoną tak,
że zachodzi równośćdowieść twierdzenia wystarczy pokazać, że istnieje punkt taki, że . Rozważmy dla funkcję
Zauważmy, że i z określenia stałej mamy również: . Z twierdzenia Rolle'a wynika więc, że istnieje taki, że . Zauważmy następnie, że nie tylko funkcja ale również kolejne jej pochodne dla zerują się w punkcie . Wobec tego, że i , z twierdzenia Rolle'a wnioskujemy o istnieniu kolejnego punktu , w którym zeruje się druga pochodna funkcji , tj. . Powtarzając rozumowanie dla kolejnych pochodnych , na podstawie twierdzenia Rolle'a wnioskujemy o istnieniu punktów takich, że . Zwróćmy uwagę, że ostatni ze znalezionych punktów jest tym punktem, którego istnienie postulujemy w tezie twierdzenia. Zauważmy, że pochodna rzędu funkcji wynosi
(Pochodna rzędu wielomianu jest w każdym punkcie równa zeru, gdyż wielomian ten jest stopnia co najwyżej .) Stąd .

{black}
Jednym z ważniejszych wniosków z wykazanego twierdzenia jest warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji dwukrotnie różniczkowalnej.
Twierdzenie 10.11.
Niech będzie funkcją klasy w przedziale (czyli funkcją dwukrotnie różniczkowalną o ciągłej drugiej pochodnej w przedziale ). Załóżmy, że w punkcie pochodna zeruje się.
a) Jeśli , to osiąga minimum lokalne w punkcie .
b) Jeśli , to osiąga maksimum lokalne w punkcie .
Dowód twierdzenia 10.11.
a) Załóżmy, że . Ze wzoru Taylora i z założenia o zerowaniu się pierwszej pochodnej danej funkcji mamy
jest pewną liczbą z przedziału . Stąd znak różnicy jest taki sam jak znak drugiej pochodnej w pewnym punkcie pośrednim między punktem a . Z założenia o ciągłości drugiej pochodnej na mocy własności Darboux wnioskujemy, że nie tylko w samym punkcie druga pochodna jest dodatnia, ale również w pewnym otoczeniu tego punktu. Biorąc więc na tyle mały przyrost , aby zarówno jak i należały do przedziału, w którym jest dodatnia i nie zeruje się, otrzymamy nierówność również w punkcie pośrednim. Stąd osiąga minimum lokalne w punkcie , gdyż w pewnym otoczeniu punktu .
Dowód implikacji b) przebiega podobnie.
{black}
Zauważmy, że podane twierdzenie nie rozstrzyga o istnieniu, ani o typie ekstremum w przypadku, gdy oraz .
{{red}Rysunek am1w10.0035 a, b, c}
Przykład 10.12.
Rozważmy funkcje , , . Łatwo zauważyć, że zarówno pierwsza jak i druga pochodna każdej z tych trzech funkcji w punkcie zerują się, podczas gdy osiąga maksimum w tym punkcie a minimum. Natomiast funkcja w ogóle nie
osiąga ekstremum w punkcie .Wzór, który występuje w tezie twierdzenia Taylora:
oznaczymy przyrost argument funkcji przez , to wzór ten przyjmie postać
dla pewnej liczby dobranej tak, aby . Tę postać nazywamy wzorem Taylora z resztą
Cauchy'egowzór
Jeśli jest wielomianem stopnia , to dla dowolnej liczby wielomian Taylora rzędu o środku w punkcie jest dokładnie równy wielomianowi , to znaczy
Powstaje naturalne pytanie, czy dla innych funkcji (niekoniecznie wielomianów) wzór Taylora pozwala na przedstawienie funkcji za pomocą wielomianu Taylora tak, aby reszta była jak najmniejsza i zmierzała do zera, gdy rośnie , czyli gdy rośnie stopień wielomianu Taylora funkcji .
Odpowiedź na pytanie uzyskamy stosując np. wzór Taylora z resztą Cauchy'ego.
Twierdzenie 10.15.
Niech będzie funkcją krotnie różniczkowalną i niech
. Jeślifunkcji jest ograniczona przez stałą , która nie zależy od wyboru punktu z przedziału ), to dla dowolnej liczby takiej, że , zachodzi oszacowanie:
Dowód twierdzenia 10.15.
Szacując resztę we wzorze Taylora (z resztą Cauchy'ego) otrzymamy:

{black}
Wniosek 10.16.
Jeśli pochodna rzędu funkcji jest ograniczona w przedziale , to dla dowolnych punktów oraz z tego przedziału mamy oszacowanie
Dowód wniosku 10.16.
Jeśli , wniosek sprowadza się do poprzedniego twierdzenia. Jeśli , należy powtórzyć poprzednie rozumowanie
w przedziale .
Przykład 10.17.
Oszacowanie reszty we wzorze Maclaurina funkcji sinus jest wyjątkowo proste
pochodnych dowolnie wysokiego rzędu funkcji sinus jest ograniczona z góry przez 1. Wzór ten pozwala wyznaczyć wartość z zadaną z góry dokładnością. Na przykład, chcąc wyznaczyć z dokładnością do wystarczy wskazać taką liczbę , aby zachodziła nierówność , czyli . Na mocy wykazanego powyżej wniosku mamy oszacowania:
więc suma różni się (a dokładniej: jest większa) o nie więcej niż jedną dziesięciomilionową od .
{{red}Rysunek, animacja am1w10.0050}
Przykład [Uzupelnij]
Równie łatwo można oszacować resztę we wzorze Maclaurina funkcji cosinus
pochodnych dowolnie wysokiego rzędu funkcji cosinus jest
ograniczona z góry przez 1, więcPrzybliżanie funkcji ciągłych wielomianami
Powstaje naturalne pytanie, czy reszta we wzorze Maclaurina stanowi ciąg zbieżny do zera, jeśli funkcja jest klasy w przedziale zawierającym punkt ? Negatywna odpowiedź na to pytanie zawarta jest w kolejnym przykładzie.
{{red}Rysunek am1w10.0060 }
Przykład [Uzupelnij]
jest różniczkowalna w każdym punkcie . W szczególności
zerują się wszystkie pochodne w punkcie zero, tj.module) czyli wszystkie współczynniki wielomianu Taylora o środku w zerze są zerowe. Z twierdzenia Taylora mamy równość: . Zwróćmy uwagę, że dla dowolnej liczby funkcja przyjmuje wartość dodatnią, więc reszta nie stanowi ciągu
zbieżnego do zera.Twierdzenie Taylora nie jest optymalnym narzędziem do przybliżania dowolnych funkcji różniczkowalnych za pomocą wielomianów, gdyż -- jak pokazaliśmy w powyższym przykładzie -- istnieją funkcje klasy (czyli takie, które mają ciągłe pochodne dowolnie wysokiego rzędu), których nie da się w rozsądny sposób przybliżyć za pomocą wielomianów Taylora .
Prawdziwe jest jednak twierdzenie, które gwarantuje możliwość przybliżania funkcji ciągłych na przedziale domkniętym wielomianami.
Twierdzenie [Uzupelnij]
(twierdzenie Weierstrassa) Funkcję ciągłą na przedziale domkniętym można przybliżać jednostajnie za pomocą wielomianów, tzn. jeśli jest funkcją ciągłą, to istnieje ciąg wielomianów taki, że
Dowód tego ważnego twierdzenia wykracza poza ramy tego kursu. Można natomiast łatwo podać efektywną konstrukcję ciągu wielomianów, które przybliżają jednostajnie daną funkcję ciągłą na przedziale .
Definicja [Uzupelnij]
Niech będzie funkcją ciągłą. Dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej definiujemy wielomian Bernsteina rzędu funkcji wzorem
{{red}Rysunek, animacja am1w10.0070}
Podobieństwo wzoru definiującego wielomian Bernsteina do wzoru dwumianowego Newtona nie jest przypadkowe. Weźmy np. funkcję , stałą w przedziale . Wówczas na mocy wzoru Newtona
wielomian Bernsteina rzędu jest wielomianem stopnia nie wyższego niż . Można wykazać, że jeśli jest wielomianem stopnia nie wyższego niż , to dla dowolnej liczby . Przypomnijmy, że analogiczną własność mają również wielomiany Taylora (zob. uwaga Uzupelnic u.am1.10.120|).
Najciekawszą własność ciągu wielomianów Bernsteina podaje
Twierdzenie [Uzupelnij]
(twierdzenie Bernsteina) Jeśli jest dowolną funkcją ciągłą, to ciąg wielomianów Bernsteina zmierza do jednostajnie na przedziale , to znaczy
Krótki, szczegółowy dowód tego faktu przeprowadzony w oparciu o nierówność Czebyszewa (zob. wykład z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki) można znaleźć na przykład w podręczniku P.Billingsleya, Prawdopodobieństwo i miara, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1987, str. 91-92. Zwróćmy uwagę, że twierdzenie Weierstrassa zachodzi nawet dla funkcji klasy , tj. takich, od których nie wymagamy, aby były różniczkowalne w którymkolwiek punkcie. Przykład takiej funkcji, która jest tylko ciągła i nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie, podaliśmy w poprzednim module.