Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 4: Ciągi liczbowe

{stre}{Streszczenie} {wsk}{Wskazówka} {rozw}{Rozwiązanie} {textt}{} {thm}{Twierdzenie}[section] {stw}[thm]{Stwierdzenie} {lem}[thm]{Lemat} {uwa}[thm]{Uwaga} {exa}[thm]{Example} {dfn}[thm]{Definicja} {wn}[thm]{Wniosek} {prz}[thm]{Przykład} {zadan}[thm]{Zadanie}

{} {}

Ciągi liczbowe. Ćwiczenia

Ćwiczenie [Uzupelnij]

Obliczyć następujące granice ciągów:
(1) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{2n^2+1}{3n^2-1}$
(2) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{2n^2+n+2}{n\sqrt{n}}$
(3) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{-n+1}{n^2+2}.$

{black}

Wskazówka

(1) Podzielić licznik i mianownik przez $n^2$ i skorzystać z twierdzeń o arytmetyce granic.
(2) Wykorzystać twierdzenie o dwóch ciągach.
(3) Sposób I. Wykorzystać twierdzenie o trzech ciągach.
Sposób II. Podzielić licznik i mianownik przez $n^2$ oraz skorzystać z twierdzeń o arytmetyce granic.

{}$◻$

Rozwiązanie

(1) Dzielimy licznik i mianownik przez $n^2$ i dostajemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{2n^2+1}{3n^2-1} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\displaystyle 2+\overbrace{\frac{1}{n^2}}^{\rightarrow 0}}{\displaystyle 3-\underbrace{\frac{1}{n^2}}_{\rightarrow 0}} \ =\ \frac{2}{3}, }

przy czym w ostatniej równości wykorzystujemy twierdzenia o arytmetyce granic (dla sumy i iloczynu; patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am1.w.04.080|) oraz fakt, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=0$ (patrz Przykład Uzupelnic p.new.am1.w.03.210| i Twierdzenie Uzupelnic t.new.am1.w.04.080|).

(2) Zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginarray”): {\displaystyle \beginarray {ccccc} \displaystyle\frac{2n^2}{n\sqrt{n}} & \le & \displaystyle\frac{2n^2+n+2}{n\sqrt{n}}\\ \shortparallel & & \\ \displaystyle 2\sqrt{n} & & \\ \downarrow & & \\ +\infty & & \endarray }

(przy czym ostatnią zbieżność $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\sqrt{n}=+\mathrm{\infty }$ łatwo pokazać z definicji granicy niewłaściwej). Zatem korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am1.w.04.120|(a)) wnioskujemy, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{2n^2+n+2}{n\sqrt{n}}=+\mathrm{\infty }$
(3) Sposób I. Zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginarray”): {\displaystyle \beginarray {ccccc} \displaystyle -\frac{n}{n^2} & \le & \displaystyle\frac{-n+1}{n^2+2} & \le & 0\\ \shortparallel & & & & \downarrow\\ \displaystyle -\frac{1}{n} & & & & 0\\ \downarrow & & & & \\ 0 & & & & \\ \endarray }

Zatem korzystając z twierdzenia a trzech ciągach wnioskujemy, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{-n+1}{n^2+2}=0.$
Sposób II. Dzieląc licznik i mianownik przez $n^2$ oraz korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{-n+1}{n^2+2} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\displaystyle \overbrace{-\frac{1}{n}}^{\rightarrow 0}+\overbrace{\frac{1}{n^2}}^{\rightarrow 0}}{\displaystyle 1+\underbrace{\frac{2}{n^2}}_{\rightarrow 0}} \ =\ 0. } {}$◻$

Ćwiczenie [Uzupelnij]

Obliczyć następujące granice ciągów:
(1) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{n})}{n^2}$
(2) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+3}{n})}{n^3}.$

{black}

Wskazówka

(1) Rozpisać symbol Newtona. Podzielić licznik i mianownik przez $n^2.$
(2) Rozwiązać analogicznie do przykładu (1).

{}$◻$

Rozwiązanie

(1) Rozpiszmy symbol Newtona występujący w wyrazach ciągu

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \binom{n+2}{n} \ =\ \frac{(n+2)!}{n!\cdot 2!} \ =\ \frac{(n+1)(n+2)}{2} }

Zatem liczymy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\binom{n+2}{n}}{n^2} & = & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{(n+1)(n+2)}{2n^2} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^2+3n+2}{2n^2}\\ & = & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{2} +\underbrace{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{n}}_{=0} +\underbrace{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n^2}}_{=0} \ =\ \frac{1}{2}. \endaligned}

(2) Rozpiszmy symbol Newtona występujący w wyrazach ciągu

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \binom{n+3}{n} \ =\ \frac{(n+3)!}{n!\cdot 3!} \ =\ \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6} }

Zatem liczymy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\binom{n+3}{n}}{n^3} & = & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6n^3} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^3+6n^2+11n+6}{6n^3}\\ & = & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{6} +\underbrace{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}}_{=0} +\underbrace{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{11}{6}\cdot\frac{1}{n^2}}_{=0} +\underbrace{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n^3}}_{=0} \ =\ \frac{1}{6}. \endaligned} {}$◻$

Ćwiczenie [Uzupelnij]

Obliczyć następujące granice ciągów:
(1) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{5^{n+1}+1+6^{n+1}}{3\cdot 6^n}$
(2) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2}$
(3) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\dots +\frac{1}{4^n}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\dots +\frac{1}{3^n}}.$

{black}

Wskazówka

(1) Wykonać dzielenie $6^n.$
(2) Sposób I. Wykorzystać twierdzenie o trzech ciągach.
Sposób II. Podzielić licznik i mianownik przez $3^{2n}$ i skorzystać z twierdzeń o arytmetyce granic.
(3) Wykorzystać wzór na sumę skończonego ciągu geometrycznego (patrz Uwaga Uzupelnic u.1.0100|).

{}$◻$

Rozwiązanie

(1) Wykonując dzielenie przez $6^n$ dostajemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{5^{n+1}+1+6^{n+1}}{3\cdot 6^n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{5}{3}\bigg(\frac{5}{6}\bigg)^n +\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{3}\bigg(\frac{1}{6}\bigg)^n +\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} 2 \ =\ 2, }

gdzie wykorzystaliśmy znajomość ciągu geometrycznego (patrz Przykład Uzupelnic p.new.am1.w.03.220|).

(2) Sposób I. Zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginarray”): {\displaystyle \beginarray {ccccc} \displaystyle 0 & \le & \displaystyle\frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2} & \le & \displaystyle\frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}}\\ \downarrow & & & & \shortparallel\\ \displaystyle 0 & & & & \displaystyle 2\bigg(\frac{2}{9}\bigg)^n+\bigg(\frac{1}{3}\bigg)^n\\ & & & & \downarrow\\ & & & & 0\\ \endarray }

gdzie wykorzystaliśmy znajomość ciągu geometrycznego. Zatem korzystając z twierdzenie a trzech ciągach wnioskujemy, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2}=0.$

Sposób II. Dzieląc licznik i mianownik przez $3^{2n}$ oraz korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\displaystyle 2\cdot\bigg(\frac{2}{9}\bigg)^n+\bigg(\frac{1}{3}\bigg)^n}{\displaystyle 1+2\cdot\bigg(\frac{1}{9}\bigg)^n} \ =\ 0. }

(3) Korzystając ze wzoru na sumę skończonego ciągu geometrycznego (patrz Uwaga Uzupelnic u.1.0100|), mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\displaystyle 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\ldots+\frac{1}{4^n}}{\displaystyle 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{3^n}} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\displaystyle\frac{\displaystyle 1-\frac{1}{4^{n+1}}}{\displaystyle 1-\frac{1}{4}}}{\displaystyle\frac{\displaystyle 1-\frac{1}{3^{n+1}}}{\displaystyle 1-\frac{1}{3}}} \ =\ \frac{9}{8}\cdot \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\displaystyle 1-\overbrace{\bigg(\frac{1}{4}\bigg)^{n+1}}^{\rightarrow 0}}{\displaystyle 1-\underbrace{\bigg(\frac{1}{3}\bigg)^{n+1}}_{\rightarrow 0}} \ =\ \frac{9}{8}\cdot 1 \ =\ \frac{9}{8}. } {}$◻$

Ćwiczenie [Uzupelnij]

Niech $\{x_n\}\subseteq \mathbb{ℝ}$ będzie ciągiem liczbowym takim, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=g.$ Udowodnić, że jeśli $g\ne 0$ oraz $x_n\ne 0$ dla dowolnego $n\in \mathbb{\mathbb{N}},$ to ciąg $\left\{\frac{1}{x_n}\right\}$ jest ograniczony oraz dodatkowo

$\mathrm{\exists }m>0:\left|\frac{1}{x_n}\right|\ge m.$

{black}

Wskazówka

Skorzystać z definicji granicy ciągu z $\epsilon =\frac{|g|}{2}.$

{}$◻$

Rozwiązanie

Niech $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=g\ne 0.$ Niech $\epsilon =\frac{|g|}{2}>0.$ Z definicji granicy mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |x_n-g|<\frac{|g|}{2}, }

w szczególności dla tak dobranego $N\in \mathbb{\mathbb{N}},$ mamy

$\mathrm{\forall }n\ge N:g-\frac{|g|}{2}<x_n<g+\frac{|g|}{2},$

zatem

$\mathrm{\forall }n\ge N:\frac{|g|}{2}<|x_n|<\frac{3|g|}{2},$

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge N:\ \frac{2}{3|g|}<\frac{1}{|x_n|}<\frac{2}{|g|}. }

Zdefiniujmy teraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle m \ =\ \min\bigg\{\frac{2}{3|g|},\frac{1}{|x_1|},\ldots,\frac{1}{|x_n|}\bigg\},\qquad M \ =\ \max\bigg\{\frac{2}{|g|},\frac{1}{|x_1|},\ldots,\frac{1}{|x_n|}\bigg\}. }

Oczywiście $0<m<M$ oraz

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{\mathbb{N}}:m\le \left|\frac{1}{x_n}\right|\le M,$

co należało dowieść.

{}$◻$

Ćwiczenie [Uzupelnij]

Niech $\{a_n\},\{b_n\}\subseteq \mathbb{ℝ}$ będą ciągami liczbowymi zbieżnymi, Udowodnić następujące stwierdzenia:
(1) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}(a_n{b}_n)=(\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n)(\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{b}_n)$;
(2) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n}{\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{b}_n}$ (o ile $b_n\ne 0$ dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ oraz $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{b}_n\ne 0$).

{black}

Wskazówka

(1) Skorzystać z faktu, że ciąg zbieżny jest ograniczony. Przy liczeniu granicy ciągu $\{a_n{b}_n\}$ wykorzystać oszacowanie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \big|a_nb_n-ab\big| \ \le\ \big|a_nb_n-a_nb\big| +\big|a_nb-ab\big|. }

(2) Najpierw udowodnić, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{1}{b_n}=\frac{1}{\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{b}_n}.$ W tym celu skorzystać z Zadania Uzupelnic z.new.am1.c.04.0040|. Następnie wykorzystać punkt (1).

{}$◻$

Rozwiązanie

(1) Niech $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=a$ i $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{b}_n=b.$ Należy pokazać, że

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\in \mathbb{\mathbb{N}}\mathrm{\forall }n\ge N:|a_n{b}_n-ab|<\epsilon .$

Ustalmy dowolne $\epsilon >0.$

Ciąg $\{a_n\}$ jako zbieżny, jest ograniczony, to znaczy

$\mathrm{\exists }A>0\mathrm{\forall }n\in \mathbb{\mathbb{N}}:|a_n|\le A.$

Z definicji granicy mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned && \exists N_1\in\mathbb{N}:\ |b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2A},\\ && \exists N_2\in\mathbb{N}:\ |a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2|b|} \endaligned}

(przy czym jeśli $b=0,$ to ostatnie wyrażenie $\frac{\epsilon }{2|b|}$ zastąpmy przez $\epsilon$).

Niech $N=\max \{N_1,N_2\}.$ Wówczas dla dowolnego $n\ge N,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned \big|a_nb_n-ab\big| & \le & \big|a_nb_n-a_nb\big| +\big|a_nb-ab\big| \ =\ |a_n||b_n-b|+|a_n-a||b|\\ & < & A\cdot\frac{\varepsilon}{2A} +\frac{\varepsilon}{2|b|}\cdot |b| \ =\ \varepsilon, \endaligned}

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_nb_n) \ =\ a\cdot b \ =\ \bigg(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n\bigg)\cdot\bigg(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n\bigg). }

(2) Niech $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=a$ i $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{b}_n=b$ (gdzie $b_n\ne 0$ dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ oraz $b\ne 0$). Pokażemy najpierw, że

$\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{1}{b_n}=\frac{1}{b}.$

Ustalmy dowolne $\epsilon >0.$ Z Zadania Uzupelnic z.new.am1.c.04.0040| wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists M>0\ \forall n\in\mathbb{N}:\ \bigg|\frac{1}{b_n}\bigg|\le M. }

Z definicji granicy, zastosowanej do $\tilde{\epsilon }=\frac{|b|\epsilon }{M}$, mamy także

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |b_n-b|<\frac{|b|\varepsilon}{M}. }

Wówczas dla $n\ge N,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \bigg|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b}\bigg| \ =\ \bigg|\frac{b-b_n}{bb_n}\bigg| \ =\ |b_n-b|\cdot\bigg|\frac{1}{b}\bigg|\cdot\bigg|\frac{1}{b_n}\bigg| \ \le\ \frac{|b|\varepsilon}{M}\cdot\frac{1}{|b|}\cdot M \ =\ \varepsilon, }

pokazaliśmy więc, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{1}{b_n}=\frac{1}{b}.$

Możemy teraz skorzystać z udowodnionego już punktu (2), a mianowicie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{a_n}{b_n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(a_n\cdot\frac{1}{b_n}\bigg) \ =\ a\cdot\frac{1}{b} \ =\ \frac{a}{b}. } {}$◻$

Ćwiczenie [Uzupelnij]

Niech $\{a_n\},\{b_n\}\subseteq \mathbb{ℝ}$ będą ciągami liczbowymi zbieżnymi. Udowodnić następujące stwierdzenia:
(1) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=a⟹\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}|a_n|=|a|$;
(2) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=0⟺\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}|a_n|=0$;

{black}

Wskazówka

(1) Udowodnić najpierw prostą nierówność:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall x,y\in\mathbb{R}:\ \big| |x|-|y|\big| \ \le\ |x-y|. }

(2) Wykorzystać jedynie definicję granicy ciągu.

{}$◻$

Rozwiązanie

(1) Udowodnimy najpierw, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall x,y\in\mathbb{R}:\ \big| |x|-|y|\big| \ \le\ |x-y|. }

Korzystając z nierówności trójkąta dla wartości bezwzględnej (metryki euklidesowej w $\mathbb{ℝ}$), mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle |x| \ =\ |x-y+y| \ \le\ |x-y|+|y|, }

stąd

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle |x|-|y| \ \le\ |x-y|. }

Analogicznie dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle |y|-|x| \ \le\ |y-x| \ =\ |x-y|. }

Dwie ostatnie nierówności oznaczają, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \big| |x|-|y|\big| \ \le\ |x-y|, }

co należało dowieść.

Załóżmy teraz, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=a.$ Należy pokazać, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}|a_n|=|a|.$ Ustalmy dowolne $\epsilon >0.$ Z definicji granicy mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |a_n-a|<\varepsilon. }

Wówczas, korzystając z udowodnionej nierówności, dla $n\ge N,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \big||a_n|-|a|\big| \ \le\ |a_n-a| \ <\ \varepsilon. }

Zatem pokazaliśmy, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}|a_n|=|a|.$

Zauważmy w tym miejscu, że nie jest ogólnie prawdziwa implikacja w drugą stronę. Rozważmy bowiem ciąg $a_n=(-1{)}^n$. Wówczas $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}|a_n|=\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}1=1=|1|$, , ale ciąg $\{a_n\}$ nie ma granicy.

(2) "$⟹$":
Wynika wprost z punktu (4).
"$⟸$":
Niech $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}|a_n|=0.$ Należy pokazać, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=0.$ Ustalmy dowolne $\epsilon >0.$ Z definicji granicy ciągu mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ \big||a_n|-0\big|<\varepsilon. }

Zatem dla $n\ge N,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle |a_n-0| \ =\ |a_n| \ =\ \big||a_n|\big| \ =\ \big||a_n|-0\big| \ <\ \varepsilon, }

co oznacza, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=0.$

{}$◻$