|
|
| Linia 1: |
Linia 1: |
| {stre}{Streszczenie}
| |
| {wsk}{Wskazówka}
| |
| {rozw}{Rozwiązanie}
| |
| {textt}{}
| |
| {thm}{Twierdzenie}[section]
| |
| {stw}[thm]{Stwierdzenie}
| |
| {lem}[thm]{Lemat}
| |
| {uwa}[thm]{Uwaga}
| |
| {exa}[thm]{Example}
| |
| {dfn}[thm]{Definicja}
| |
| {wn}[thm]{Wniosek}
| |
| {prz}[thm]{Przykład}
| |
| {zadan}[thm]{Zadanie}
| |
|
| |
|
| {}
| |
| {}
| |
|
| |
| ==Ciągi liczbowe. Ćwiczenia==
| |
|
| |
| {{cwiczenie|[Uzupelnij]||
| |
|
| |
| Obliczyć następujące granice ciągów:<br>
| |
| "'(1)"'
| |
| <math>\displaystyle
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{2n^2+1}{3n^2-1}</math><br>
| |
| "'(2)"'
| |
| <math>\displaystyle
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{2n^2+n+2}{n\sqrt{n}}</math><br>
| |
| "'(3)"'
| |
| <math>\displaystyle
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{-n+1}{n^2+2}.</math>
| |
| }}
| |
|
| |
| {black}
| |
|
| |
| <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
| |
| "'(1)"' Podzielić licznik i mianownik przez <math>n^2</math>
| |
| i skorzystać z twierdzeń o arytmetyce granic.<br>
| |
| "'(2)"' Wykorzystać twierdzenie o dwóch ciągach.<br>
| |
| "'(3)"' Sposób I. Wykorzystać twierdzenie o trzech ciągach.<br>
| |
| Sposób II.
| |
| Podzielić licznik i mianownik przez <math>n^2</math>
| |
| oraz skorzystać z twierdzeń o arytmetyce granic.
| |
| {}<math>\Box</math></div></div>
| |
|
| |
| <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
| |
| "'(1)"'
| |
| Dzielimy licznik i mianownik przez <math>n^2</math> i dostajemy:
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{2n^2+1}{3n^2-1}
| |
| \ =\
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}
| |
| \frac{\displaystyle 2+\overbrace{\frac{1}{n^2}}^{\rightarrow 0}}{\displaystyle 3-\underbrace{\frac{1}{n^2}}_{\rightarrow 0}}
| |
| \ =\
| |
| \frac{2}{3},
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| przy czym w ostatniej równości wykorzystujemy twierdzenia o
| |
| arytmetyce granic (dla sumy i iloczynu; patrz Twierdzenie [[##t.new.am1.w.04.080|Uzupelnic t.new.am1.w.04.080|]])
| |
| oraz fakt, że
| |
| <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2}=0</math>
| |
| (patrz Przykład [[##p.new.am1.w.03.210|Uzupelnic p.new.am1.w.03.210|]] i Twierdzenie
| |
| [[##t.new.am1.w.04.080|Uzupelnic t.new.am1.w.04.080|]]).<br>
| |
| <br>
| |
| "'(2)"'
| |
| Zauważmy, że
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \beginarray {ccccc}
| |
| \displaystyle\frac{2n^2}{n\sqrt{n}} & \le & \displaystyle\frac{2n^2+n+2}{n\sqrt{n}}\\
| |
| \shortparallel & & \\
| |
| \displaystyle 2\sqrt{n} & & \\
| |
| \downarrow & & \\
| |
| +\infty & &
| |
| \endarray
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| (przy czym ostatnią zbieżność <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt{n}=+\infty</math>
| |
| łatwo pokazać z definicji granicy niewłaściwej).
| |
| Zatem korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach
| |
| (patrz Twierdzenie [[##t.new.am1.w.04.120|Uzupelnic t.new.am1.w.04.120|]](a))
| |
| wnioskujemy, że
| |
| <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{2n^2+n+2}{n\sqrt{n}}=+\infty</math><br>
| |
| "'(3)"'
| |
| "'Sposób I."'
| |
| Zauważmy, że
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \beginarray {ccccc}
| |
| \displaystyle -\frac{n}{n^2} & \le & \displaystyle\frac{-n+1}{n^2+2} & \le & 0\\
| |
| \shortparallel & & & & \downarrow\\
| |
| \displaystyle -\frac{1}{n} & & & & 0\\
| |
| \downarrow & & & & \\
| |
| 0 & & & & \\
| |
| \endarray
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Zatem korzystając z twierdzenia a trzech ciągach wnioskujemy,
| |
| że
| |
| <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{-n+1}{n^2+2}=0.</math><br>
| |
| "'Sposób II."'
| |
| Dzieląc licznik i mianownik przez <math>n^2</math>
| |
| oraz korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic, mamy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{-n+1}{n^2+2}
| |
| \ =\
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\displaystyle \overbrace{-\frac{1}{n}}^{\rightarrow 0}+\overbrace{\frac{1}{n^2}}^{\rightarrow 0}}{\displaystyle 1+\underbrace{\frac{2}{n^2}}_{\rightarrow 0}}
| |
| \ =\
| |
| 0.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| {}<math>\Box</math></div></div>
| |
|
| |
| {{cwiczenie|[Uzupelnij]||
| |
|
| |
| Obliczyć następujące granice ciągów:<br>
| |
| "'(1)"'
| |
| <math>\displaystyle
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\binom{n+2}{n}}{n^2}</math><br>
| |
| "'(2)"'
| |
| <math>\displaystyle
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\binom{n+3}{n}}{n^3}.</math>
| |
| }}
| |
|
| |
| {black}
| |
|
| |
| <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
| |
| "'(1)"' Rozpisać symbol Newtona. Podzielić licznik i mianownik przez <math>n^2.</math><br>
| |
| "'(2)"' Rozwiązać analogicznie do przykładu (1).
| |
| {}<math>\Box</math></div></div>
| |
|
| |
| <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
| |
| "'(1)"'
| |
| Rozpiszmy symbol Newtona występujący w wyrazach ciągu
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \binom{n+2}{n}
| |
| \ =\
| |
| \frac{(n+2)!}{n!\cdot 2!}
| |
| \ =\
| |
| \frac{(n+1)(n+2)}{2}
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Zatem liczymy:
| |
|
| |
| <center><math>\aligned
| |
| \displaystyle
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\binom{n+2}{n}}{n^2}
| |
| & = &
| |
| \displaystyle
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{(n+1)(n+2)}{2n^2}
| |
| \ =\
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^2+3n+2}{2n^2}\\
| |
| & = &
| |
| \displaystyle
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{2}
| |
| +\underbrace{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{n}}_{=0}
| |
| +\underbrace{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n^2}}_{=0}
| |
| \ =\
| |
| \frac{1}{2}.
| |
|
| |
| \endaligned</math></center>
| |
|
| |
| "'(2)"'
| |
| Rozpiszmy symbol Newtona występujący w wyrazach ciągu
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \binom{n+3}{n}
| |
| \ =\
| |
| \frac{(n+3)!}{n!\cdot 3!}
| |
| \ =\
| |
| \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Zatem liczymy:
| |
|
| |
| <center><math>\aligned
| |
| \displaystyle
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\binom{n+3}{n}}{n^3}
| |
| & = &
| |
| \displaystyle
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6n^3}
| |
| \ =\
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^3+6n^2+11n+6}{6n^3}\\
| |
| & = &
| |
| \displaystyle
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{6}
| |
| +\underbrace{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}}_{=0}
| |
| +\underbrace{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{11}{6}\cdot\frac{1}{n^2}}_{=0}
| |
| +\underbrace{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n^3}}_{=0}
| |
| \ =\
| |
| \frac{1}{6}.
| |
|
| |
| \endaligned</math></center>
| |
|
| |
| {}<math>\Box</math></div></div>
| |
|
| |
| {{cwiczenie|[Uzupelnij]||
| |
|
| |
| Obliczyć następujące granice ciągów:<br>
| |
| "'(1)"'
| |
| <math>\displaystyle
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{5^{n+1}+1+6^{n+1}}{3\cdot 6^n}</math><br>
| |
| "'(2)"'
| |
| <math>\displaystyle
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2}</math><br>
| |
| "'(3)"'
| |
| <math>\displaystyle
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\ldots+\frac{1}{4^n}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{3^n}}.</math>
| |
| }}
| |
|
| |
| {black}
| |
|
| |
| <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
| |
| "'(1)"' Wykonać dzielenie <math>6^n.</math><br>
| |
| "'(2)"' Sposób I. Wykorzystać twierdzenie o trzech ciągach.<br>
| |
| Sposób II.
| |
| Podzielić licznik i mianownik przez <math>3^{2n}</math>
| |
| i skorzystać z twierdzeń o arytmetyce granic.<br>
| |
| "'(3)"' Wykorzystać wzór na sumę skończonego
| |
| ciągu geometrycznego (patrz Uwaga [[##u.1.0100|Uzupelnic u.1.0100|]]).
| |
| {}<math>\Box</math></div></div>
| |
|
| |
| <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
| |
| "'(1)"'
| |
| Wykonując dzielenie przez <math>6^n</math> dostajemy:
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{5^{n+1}+1+6^{n+1}}{3\cdot 6^n}
| |
| \ =\
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{5}{3}\bigg(\frac{5}{6}\bigg)^n
| |
| +\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{3}\bigg(\frac{1}{6}\bigg)^n
| |
| +\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} 2
| |
| \ =\
| |
| 2,
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| gdzie wykorzystaliśmy znajomość ciągu geometrycznego
| |
| (patrz Przykład [[##p.new.am1.w.03.220|Uzupelnic p.new.am1.w.03.220|]]).<br>
| |
| <br>
| |
| "'(2)"'
| |
| "'Sposób I."'
| |
| Zauważmy, że
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \beginarray {ccccc}
| |
| \displaystyle 0 & \le & \displaystyle\frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2} & \le & \displaystyle\frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}}\\
| |
| \downarrow & & & & \shortparallel\\
| |
| \displaystyle 0 & & & & \displaystyle 2\bigg(\frac{2}{9}\bigg)^n+\bigg(\frac{1}{3}\bigg)^n\\
| |
| & & & & \downarrow\\
| |
| & & & & 0\\
| |
| \endarray
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| gdzie wykorzystaliśmy znajomość ciągu geometrycznego.
| |
| Zatem korzystając z twierdzenie a trzech ciągach wnioskujemy,
| |
| że
| |
| <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2}=0.</math><br>
| |
| <br>
| |
| "'Sposób II."'
| |
| Dzieląc licznik i mianownik przez <math>3^{2n}</math>
| |
| oraz korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic, mamy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2}
| |
| \ =\
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\displaystyle 2\cdot\bigg(\frac{2}{9}\bigg)^n+\bigg(\frac{1}{3}\bigg)^n}{\displaystyle 1+2\cdot\bigg(\frac{1}{9}\bigg)^n}
| |
| \ =\
| |
| 0.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| "'(3)"'
| |
| Korzystając ze wzoru na sumę skończonego
| |
| ciągu geometrycznego (patrz Uwaga [[##u.1.0100|Uzupelnic u.1.0100|]]), mamy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\displaystyle 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\ldots+\frac{1}{4^n}}{\displaystyle 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{3^n}}
| |
| \ =\
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\displaystyle\frac{\displaystyle 1-\frac{1}{4^{n+1}}}{\displaystyle 1-\frac{1}{4}}}{\displaystyle\frac{\displaystyle 1-\frac{1}{3^{n+1}}}{\displaystyle 1-\frac{1}{3}}}
| |
| \ =\
| |
| \frac{9}{8}\cdot
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\displaystyle 1-\overbrace{\bigg(\frac{1}{4}\bigg)^{n+1}}^{\rightarrow 0}}{\displaystyle 1-\underbrace{\bigg(\frac{1}{3}\bigg)^{n+1}}_{\rightarrow 0}}
| |
| \ =\
| |
| \frac{9}{8}\cdot 1
| |
| \ =\
| |
| \frac{9}{8}.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| {}<math>\Box</math></div></div>
| |
|
| |
| {{cwiczenie|[Uzupelnij]||
| |
| Niech
| |
| <math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> będzie ciągiem liczbowym takim, że
| |
| <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g.</math>
| |
| Udowodnić, że
| |
| jeśli <math>g\ne 0</math> oraz
| |
| <math>x_n\ne 0</math> dla dowolnego <math>n\in\mathbb{N},</math> to ciąg
| |
| <math>\displaystyle\big\{\frac{1}{x_n}\big\}</math> jest ograniczony
| |
| oraz dodatkowo
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \exists m>0:\ \bigg|\frac{1}{x_n}\bigg|\ge m.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| }}
| |
|
| |
| {black}
| |
|
| |
| <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
| |
| Skorzystać z definicji granicy ciągu z
| |
| <math>\displaystyle\varepsilon=\frac{|g|}{2}.</math>
| |
| {}<math>\Box</math></div></div>
| |
|
| |
| <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
| |
| Niech <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g\ne 0.</math>
| |
| Niech <math>\displaystyle\varepsilon=\frac{|g|}{2}>0.</math>
| |
| Z definicji granicy mamy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
| |
| |x_n-g|<\frac{|g|}{2},
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| w szczególności dla tak dobranego <math>N\in\mathbb{N},</math> mamy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \forall n\ge N:\ g-\frac{|g|}{2}<x_n<g+\frac{|g|}{2},
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| zatem
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \forall n\ge N:\ \frac{|g|}{2}<|x_n|<\frac{3|g|}{2},
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| czyli
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \forall n\ge N:\
| |
| \frac{2}{3|g|}<\frac{1}{|x_n|}<\frac{2}{|g|}.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Zdefiniujmy teraz
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| m
| |
| \ =\
| |
| \min\bigg\{\frac{2}{3|g|},\frac{1}{|x_1|},\ldots,\frac{1}{|x_n|}\bigg\},\qquad
| |
| M
| |
| \ =\
| |
| \max\bigg\{\frac{2}{|g|},\frac{1}{|x_1|},\ldots,\frac{1}{|x_n|}\bigg\}.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Oczywiście <math>0<m<M</math>
| |
| oraz
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \forall n\in\mathbb{N}:\ m\le \bigg|\frac{1}{x_n}\bigg|\le M,
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| co należało dowieść.
| |
| {}<math>\Box</math></div></div>
| |
|
| |
| {{cwiczenie|[Uzupelnij]||
| |
|
| |
| Niech
| |
| <math>\displaystyle\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>
| |
| będą ciągami liczbowymi zbieżnymi,
| |
| Udowodnić następujące stwierdzenia:<br>
| |
| "'(1)"'
| |
| <math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_nb_n)
| |
| =\bigg(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n\bigg)\bigg(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n\bigg)</math>;<br>
| |
| "'(2)"'
| |
| <math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{a_n}{b_n}
| |
| =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n}{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n}</math>
| |
| (o ile
| |
| <math>b_n\ne 0</math> dla <math>n\in\mathbb{N}</math> oraz <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n\ne 0</math>).
| |
| }}
| |
|
| |
| {black}
| |
|
| |
| <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
| |
| "'(1)"' Skorzystać z faktu, że ciąg zbieżny jest ograniczony.
| |
| Przy liczeniu granicy ciągu <math>\displaystyle\{a_nb_n\}</math> wykorzystać oszacowanie
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \big|a_nb_n-ab\big|
| |
| \ \le\
| |
| \big|a_nb_n-a_nb\big|
| |
| +\big|a_nb-ab\big|.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| "'(2)"' Najpierw udowodnić, że
| |
| <math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{b_n}
| |
| =\frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n}.</math>
| |
| W tym celu skorzystać z Zadania [[##z.new.am1.c.04.0040|Uzupelnic z.new.am1.c.04.0040|]].
| |
| Następnie wykorzystać punkt (1).
| |
| {}<math>\Box</math></div></div>
| |
|
| |
| <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
| |
| "'(1)"'
| |
| Niech <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a</math> i <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b.</math>
| |
| Należy pokazać, że
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:
| |
| \big|a_nb_n-ab\big|<\varepsilon.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Ustalmy dowolne <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
| |
|
| |
| Ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}</math> jako zbieżny, jest ograniczony, to znaczy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \exists A>0\ \forall n\in\mathbb{N}:\ |a_n|\le A.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Z definicji granicy mamy
| |
|
| |
| <center><math>\aligned
| |
| && \exists N_1\in\mathbb{N}:\ |b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2A},\\
| |
| && \exists N_2\in\mathbb{N}:\ |a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2|b|}
| |
|
| |
| \endaligned</math></center>
| |
|
| |
| (przy czym jeśli <math>b=0,</math> to ostatnie wyrażenie
| |
| <math>\displaystyle\frac{\varepsilon}{2|b|}</math> zastąpmy przez <math>\displaystyle\varepsilon</math>).
| |
|
| |
| Niech <math>N=\max\{N_1,N_2\}.</math>
| |
| Wówczas dla dowolnego <math>n\ge N,</math> mamy
| |
|
| |
| <center><math>\aligned
| |
| \big|a_nb_n-ab\big|
| |
| & \le &
| |
| \big|a_nb_n-a_nb\big|
| |
| +\big|a_nb-ab\big|
| |
| \ =\
| |
| |a_n||b_n-b|+|a_n-a||b|\\
| |
| & < &
| |
| A\cdot\frac{\varepsilon}{2A}
| |
| +\frac{\varepsilon}{2|b|}\cdot |b|
| |
| \ =\
| |
| \varepsilon,
| |
|
| |
| \endaligned</math></center>
| |
|
| |
| zatem
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_nb_n)
| |
| \ =\
| |
| a\cdot b
| |
| \ =\
| |
| \bigg(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n\bigg)\cdot\bigg(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n\bigg).
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| "'(2)"'
| |
| Niech <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a</math> i <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b</math>
| |
| (gdzie <math>b_n\ne 0</math> dla <math>n\in\mathbb{N}</math> oraz <math>b\ne 0</math>).
| |
| Pokażemy najpierw, że
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{b_n}
| |
| =\frac{1}{b}.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Ustalmy dowolne <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
| |
| Z Zadania [[##z.new.am1.c.04.0040|Uzupelnic z.new.am1.c.04.0040|]] wynika, że
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \exists M>0\ \forall n\in\mathbb{N}:\
| |
| \bigg|\frac{1}{b_n}\bigg|\le M.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Z definicji granicy,
| |
| zastosowanej do
| |
| <math>\displaystyle\widetilde{\varepsilon}=\frac{|b|\varepsilon}{M}</math>, mamy także
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
| |
| |b_n-b|<\frac{|b|\varepsilon}{M}.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Wówczas dla <math>n\ge N,</math> mamy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \bigg|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b}\bigg|
| |
| \ =\
| |
| \bigg|\frac{b-b_n}{bb_n}\bigg|
| |
| \ =\
| |
| |b_n-b|\cdot\bigg|\frac{1}{b}\bigg|\cdot\bigg|\frac{1}{b_n}\bigg|
| |
| \ \le\
| |
| \frac{|b|\varepsilon}{M}\cdot\frac{1}{|b|}\cdot M
| |
| \ =\
| |
| \varepsilon,
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| pokazaliśmy więc, że
| |
| <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{b_n}=\frac{1}{b}.</math>
| |
|
| |
| Możemy teraz skorzystać z udowodnionego już punktu (2),
| |
| a mianowicie
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{a_n}{b_n}
| |
| \ =\
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(a_n\cdot\frac{1}{b_n}\bigg)
| |
| \ =\
| |
| a\cdot\frac{1}{b}
| |
| \ =\
| |
| \frac{a}{b}.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| {}<math>\Box</math></div></div>
| |
|
| |
| {{cwiczenie|[Uzupelnij]||
| |
|
| |
| Niech
| |
| <math>\displaystyle\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>
| |
| będą ciągami liczbowymi zbieżnymi.
| |
| Udowodnić następujące stwierdzenia:<br>
| |
| "'(1)"'
| |
| <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n =a\quad
| |
| \Longrightarrow\quad
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=|a|</math>;<br>
| |
| "'(2)"'
| |
| <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n =0\quad
| |
| \Longleftrightarrow\quad
| |
| \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=0</math>;
| |
| }}
| |
|
| |
| {black}
| |
|
| |
| <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
| |
| "'(1)"'
| |
| Udowodnić najpierw prostą nierówność:
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \forall x,y\in\mathbb{R}:\
| |
| \big| |x|-|y|\big|
| |
| \ \le\
| |
| |x-y|.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| "'(2)"' Wykorzystać jedynie definicję granicy ciągu.
| |
| {}<math>\Box</math></div></div>
| |
|
| |
| <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
| |
| "'(1)"'
| |
| Udowodnimy najpierw, że
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \forall x,y\in\mathbb{R}:\
| |
| \big| |x|-|y|\big|
| |
| \ \le\
| |
| |x-y|.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Korzystając z nierówności trójkąta dla
| |
| wartości bezwzględnej (metryki euklidesowej w <math>\displaystyle\mathbb{R}</math>), mamy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| |x|
| |
| \ =\
| |
| |x-y+y|
| |
| \ \le\
| |
| |x-y|+|y|,
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| stąd
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| |x|-|y|
| |
| \ \le\
| |
| |x-y|.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Analogicznie dostajemy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| |y|-|x|
| |
| \ \le\
| |
| |y-x|
| |
| \ =\
| |
| |x-y|.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Dwie ostatnie nierówności oznaczają, że
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \big| |x|-|y|\big|
| |
| \ \le\
| |
| |x-y|,
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| co należało dowieść.
| |
|
| |
| Załóżmy teraz, że
| |
| <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a.</math>
| |
| Należy pokazać, że
| |
| <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=|a|.</math>
| |
| Ustalmy dowolne <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
| |
| Z definicji granicy mamy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
| |
| |a_n-a|<\varepsilon.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Wówczas, korzystając z udowodnionej nierówności,
| |
| dla <math>n\ge N,</math> mamy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \big||a_n|-|a|\big|
| |
| \ \le\
| |
| |a_n-a|
| |
| \ <\
| |
| \varepsilon.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Zatem pokazaliśmy, że
| |
| <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=|a|.</math><br>
| |
| <br>
| |
| Zauważmy w tym miejscu, że nie jest ogólnie prawdziwa implikacja
| |
| w drugą stronę. Rozważmy bowiem ciąg <math>a_n=(-1)^n</math>.
| |
| Wówczas <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} 1=1=|1|</math>, , ale ciąg <math>\{a_n\}</math> nie ma
| |
| granicy.<br>
| |
| <br>
| |
| "'(2)"'
| |
| "<math>\displaystyle\Longrightarrow</math>":<br>
| |
| Wynika wprost z punktu (4).<br>
| |
| "<math>\displaystyle\Longleftarrow</math>":<br>
| |
| Niech <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=0.</math>
| |
| Należy pokazać, że <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0.</math>
| |
| Ustalmy dowolne <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
| |
| Z definicji granicy ciągu mamy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
| |
| \big||a_n|-0\big|<\varepsilon.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Zatem dla <math>n\ge N,</math> mamy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| |a_n-0|
| |
| \ =\
| |
| |a_n|
| |
| \ =\
| |
| \big||a_n|\big|
| |
| \ =\
| |
| \big||a_n|-0\big|
| |
| \ <\
| |
| \varepsilon,
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| co oznacza, że <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0.</math>
| |
| {}<math>\Box</math></div></div>
| |
