Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 11: Formy kwadratowe: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
m Zastępowanie tekstu – „.↵</math>” na „</math>”
m Zastępowanie tekstu – „,↵</math>” na „</math>,”
 
Linia 9: Linia 9:




<center><math>F \colon U \ni u \to f_u \in \mathcal{L} (V,W),
<center><math>F \colon U \ni u \to f_u \in \mathcal{L} (V,W)</math>,</center>
</math></center>




Linia 22: Linia 21:




<center><math>F(\alpha_1u_1+\alpha_2u_2)=\alpha_1F(u_1)+\alpha_2F(u_2),
<center><math>F(\alpha_1u_1+\alpha_2u_2)=\alpha_1F(u_1)+\alpha_2F(u_2)</math>,</center>
</math></center>




Linia 78: Linia 76:




<center><math>f(u)=\Phi(u,u),
<center><math>f(u)=\Phi(u,u)</math>,</center>
</math></center>




Linia 251: Linia 248:




<center><math>\varphi((x_1,x_2),(y_1,y_2))=\frac{1}{2}(x_1y_2+x_2y_1),
<center><math>\varphi((x_1,x_2),(y_1,y_2))=\frac{1}{2}(x_1y_2+x_2y_1)</math>,</center>
</math></center>




Linia 258: Linia 254:




<center><math>f(x_1,x_2)=\varphi((x_1,x_2),(x_1,x_2)),
<center><math>f(x_1,x_2)=\varphi((x_1,x_2),(x_1,x_2))</math>,</center>
</math></center>




Linia 314: Linia 309:
1 & -1
1 & -1
\end{array}  
\end{array}  
\right],
\right]</math>,</center>
</math></center>




Linia 323: Linia 317:




<center><math>P^*AP,
<center><math>P^*AP</math>,</center>
</math></center>




Linia 335: Linia 328:
0 & -1
0 & -1
\end{array}  
\end{array}  
\right],
\right]</math>,</center>
</math></center>




Linia 505: Linia 497:
2 & 0 &-1
2 & 0 &-1
\end{array}  
\end{array}  
\right],
\right]</math>,</center>
</math></center>





Aktualna wersja na dzień 21:43, 11 wrz 2023

Zadanie 11.1

Niech U,V,W będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem 𝕂 i niech


Φ:U×VW


będzie odwzorowaniem dwuliniowym. Niech


F:Uufu(V,W),


gdzie fu(v):=Φ(u,v). Wykazać, że F jest odwzorowaniem liniowym.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.2

Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem i niech f:V będzie formą kwadratową. Definiujemy


φ:V×V(v,w)14(f(v+w)f(vw))


Wykazać, że φ jest formą dwuliniową symetryczną, skojarzoną z f.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.3

Dana jest forma kwadratowa


f:2(x1,x2)x12+3x222x1x2


Znaleźć odwzorowanie dwuliniowe symetryczne skojarzone z f.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.4

Dana jest forma kwadratowa


f:3(x1,x2,x3)2x12x2x3+3x32


Wyznaczyć macierz f w bazie kanonicznej oraz rząd f.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.5

Niech f:2(x1,x2)x1x2. Wykazać, że f jest formą kwadratową. Wyznaczyć macierz f przy bazie kanonicznej. Znaleźć bazę 2, przy której macierz f ma postać blokową występującą w tezie twierdzenia Sylvestera. Wyznaczyć sygnaturę f.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.6

Sprowadzić do postaci kanonicznej następujące formy kwadratowe:


f(x1,x2,x3)=x12+3x1x2+2x22+4x2x3+x32,g(x1,x2,x3)=2x12+x22+2x1x3+4x2x3+3x32.


Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.7

Dane jest odwzorowanie liniowe


f:3(x1,x2,x3)(x1x2+2x3,x1+3x2,2x1x3)3


Zbadać, czy f jest odwzorowaniem symetrycznym.

Wskazówka
Rozwiązanie