Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 3: Odległość i ciągi

Odległość i ciągi w ${\mathbb{ℝ}}^N.$ Ćwiczenia

Ćwiczenie 3.1.

Wykazać, że funkcje $d_{\mathrm{\infty }}$ i $d_1$ zdefiniowane na ${\mathbb{ℝ}}^N\times {\mathbb{ℝ}}^N$ jako

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned d_{\infty}(x,y) & \ \stackrel{df}{=}\ & \max_{i=1,\ldots, N}|x_i-y_i|, \qquad\textrm{dla}\quad x,y\in\mathbb{R}^N,\\ d_1(x,y) & \ \stackrel{df}{=}\ & \sum_{i=1}^{N}|x_i-y_i| \qquad\textrm{dla}\quad x,y\in\mathbb{R}^N, \endaligned}

są metrykami (patrz Przykłady Uzupelnic p.new.am1.w.03.050| i Uzupelnic p.new.am1.w.03.060|).

Wskazówka

Wszystkie trzy warunki definicji metryki są łatwe do sprawdzenia. W nierówności trójkąta należy wykorzystać nierówność dla wartości bezwzględnej w $\mathbb{ℝ}$ (to znaczy nierówność trójkąta dla metryki euklidesowej w $\mathbb{ℝ}$).

Rozwiązanie

Sprawdźmy trzy warunki z definicji metryki dla $d_{\mathrm{\infty }}$:
Dla $x,y\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned d_{\infty}(x,y)=0 & \Longleftrightarrow \max_{i=1,\ldots, N}|x_i-y_i|=0 \ \Longleftrightarrow\ |x_1-y_1|=\ldots=|x_N-y_N|=0\\ & \Longleftrightarrow\big[x_1=y_1,\ \ldots,\ x_N=y_N\big] \ \Longleftrightarrow\ x=y. \endaligned}

Wobec tego, że $|a-b|=|b-a|$, dla $x,y\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle d_{\infty}(x,y) \ =\ \max_{i=1,\ldots, N}|x_i-y_i| \ =\ \max_{i=1,\ldots, N}|y_i-x_i| \ =\ d_{\infty}(x,y) }

zatem spełniony jest warunek symetrii.
Wobec tego, że $|a-b|\le |a-c|+|c-b|$, dla $x,y,z\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned d_{\infty}(x,z) & = \max_{i=1,\ldots, N}|x_i-z_i| \ =\ \max_{i=1,\ldots, N}|x_i-y_i+y_i-z_i| \ \le\ \max_{i=1,\ldots, N}\big(|x_i-y_i|+|y_i-z_i|\big)\\ & \le \max_{i=1,\ldots, N}|x_i-y_i| +\max_{i=1,\ldots, N}|y_i-z_i| \ =\ d_{\infty}(x,y)+d_{\infty}(y,z), \endaligned}

zatem pokazaliśmy warunek trójkąta. Zatem że $d_{\mathrm{\infty }}$ jest metryką w ${\mathbb{ℝ}}^N.$

Sprawdźmy trzy warunki z definicji metryki dla $d_1$:
Dla $x,y\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned d_1(x,y)=0 & \Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{N}|x_i-y_i|=0 \ \Longleftrightarrow\ |x_1-y_1|=\ldots=|x_N-y_N|=0\\ & \Longleftrightarrow \big[x_1=y_1,\ \ldots,\ x_N=y_N\big] \ \Longleftrightarrow\ x=y. \endaligned}

Dla $x,y\in {\mathbb{ℝ}}^N,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle d_1(x,y) \ =\ \sum_{i=1}^{N}|x_i-y_i| \ =\ \sum_{i=1}^{N}|y_i-x_i| \ =\ d_1(x,y) }

zatem spełniony jest warunek symetrii.
Dla $x,y,z\in {\mathbb{ℝ}}^N,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned d_1(x,z) & = \sum_{i=1}^{N}|x_i-z_i| \ =\ \sum_{i=1}^{N}|x_i-y_i+y_i-z_i| \ \le\ \sum_{i=1}^{N}\big(|x_i-y_i|+|y_i-z_i|\big)\\ & \le \sum_{i=1}^{N}|x_i-y_i| +\sum_{i=1}^{N}|y_i-z_i| \ =\ d_1(x,y)+d_1(y,z), \endaligned}

zatem pokazaliśmy warunek trójkąta. Wykazaliśmy zatem, że $d_1$ jest metryką w ${\mathbb{ℝ}}^N.$

Ćwiczenie 3.2.

Dla danej metryki $d$ w ${\mathbb{ℝ}}^N$ można zdefiniować odległość punktu $x$ od zbioru $A\ne \mathrm{\varnothing }$ jako infimum wszystkich odległości między $x$ a punktami zbioru $A$, czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \mathrm{dist}\, (x,A) \ =\ \inf_{z\in A}d(x,z). }

Rysunek AM1.M03.C.R01 (stary numer AM1.3.24).

Dany jest zbiór $A=[0,1]\times [0,1]\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2$ oraz dwa punkty $x=(2,3)$ oraz $y=(3,-2).$ Wyznaczyć
(a) odległość punktów $x$ i $y$;
(b) $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x,A)$; kolejno w metrykach: euklidesowej $d_2$; taksówkowej $d_1$; maksimowej $d_{\mathrm{\infty }}.$

Wskazówka

Należy wykonać rysunek zbioru $A$ oraz wszystkich zadanych punktów w układzie współrzędnych. Przy liczeniu odległości punktów oraz odległości punktu od zbioru należy skorzystać z definicji poszczególnych metryk oraz rysunku.

Rozwiązanie

(1) Dla metryki euklidesowej $d_2$ mamy:

Rysunek AM1.M03.C.R02 (nowy)

(a)

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle d_2(x,y) \ =\ d_2\big((2,3),(3,-2)\big) \ =\ \sqrt{(2-3)^2+(3+2)^2} \ =\ \sqrt{26}. }

(b) Odległość $x$ od zbioru $A$ jest realizowana w punkcie $z=(1,1)$ (patrz rysunek; łatwo pokazać, że odległość od $x$ do dowolnego innego punktu zbioru $A$ jest większa, niż do $z$), zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \mathrm{dist}\, (x,A) \ =\ d_2\big((2,3),(1,1)\big) \ =\ \sqrt{(2-1)^2+(3-1)^2} \ =\ \sqrt{5}. }

(2) Dla metryki taksówkowej $d_1$ mamy:

Rysunek AM1.M03.C.R03 (nowy)

(a)

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle d_1(x,y) \ =\ d_1\big((2,3),(3,-2)\big) \ =\ |2-3|+|3+2| \ =\ 6. }

(b) Odległość $x$ od zbioru $A$ jest realizowana w punkcie $z=(1,1)$ (patrz rysunek; łatwo pokazać, że odległość od $x$ do dowolnego innego punktu zbioru $A$ jest większa, niż do $z$), zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \mathrm{dist}\, (x,A) \ =\ d_1\big((2,3),(1,1)\big) \ =\ |2-1|+|3-1| \ =\ 3. }

(3) Dla metryki maksimowej $d_{\mathrm{\infty }}$ mamy:

Rysunek AM1.M03.C.R04 (nowy).

(a)

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle d_{\infty}(x,y) \ =\ d_{\infty}\big((2,3),(3,-2)\big) \ =\ \max\big\{|2-3|,|3+2|\big\} \ =\ 5. }

(b) Odległość $x$ od zbioru $A$ jest realizowana na przykład w punkcie $z=(0,1)$ (patrz rysunek; łatwo pokazać, że odległość od $x$ do dowolnego innego punktu zbioru $A$ jest niemniejsza, niż do $z$), zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \mathrm{dist}\, (x,A) \ =\ d_2\big((2,3),(0,1)\big) \ =\ \max\big\{|2-0|,|3-1|\big\} \ =\ 2. }

Ćwiczenie 3.3.

Udowodnić, że dla każdego ciągu $\{x_n\}\subseteq {\mathbb{ℝ}}^N$ istnieje co najwyżej jedna granica, to znaczy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \bigg[\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n = g_1\in \mathbb{R}^N \quad\textrm{i}\quad \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n = g_2\in \mathbb{R}^N \bigg] \ \Longrightarrow\ g_1=g_2. }

Wskazówka

Przeprowadzić dowód niewprost. Dobrać $\epsilon =\frac{1}{2}d(g_1,g_2)$ w definicji granicy ciągu.

Rozwiązanie

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że

$\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=g_1,\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=g_2\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">oraz</mrow>}{g}_1\ne g_2.$

Niech $\epsilon =\frac{1}{2}d(g_1,g_2).$ Wówczas $\epsilon >0$ (gdyż założyliśmy, że $g_1\ne g_2$). Z definicji granicy ciągu wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1: && d(x_n,g_1)<\frac{1}{2},\\ \exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1: && d(x_n,g_2)<\frac{1}{2}. \endaligned}

Niech $N=\max \{N_1,N_2\}.$ Wówczas dla wyrazu $x_N$ mamy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle d(g_1,g_2) \ \le\ d(g_1,x_N)+d(x_N,g_2) \ <\ \frac{1}{2}d(g_1,g_2)+\frac{1}{2}d(g_1,g_2) \ =\ d(g_1,g_2), }

sprzeczność. Zatem $g_1=g_2.$

Rysunek AM1.M03.C.R05 (nowy)
Rysunek AM1.M03.C.R06 (nowy)

Ćwiczenie 3.4.

Udowodnić, że jeśli ciąg $\{x_n\}\subseteq {\mathbb{ℝ}}^N$ jest zbieżny, to jest ograniczony.

Wskazówka

Zastosować definicję granicy z ustalonym $\epsilon >0$ (na przykład $\epsilon =1$) i zauważyć, że od pewnego miejsca ciąg jest ograniczony.

Rozwiązanie

Załóżmy, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=g.$ Ustalmy $\epsilon =1.$ Z definicji granicy ciągu mamy

$\mathrm{\exists }N\in \mathbb{\mathbb{N}}\mathrm{\forall }n\ge N:d(x_n,g)<1$

(to znaczy wszystkie wyrazy ciągu począwszy od $N$-tego leża w kuli jednostkowej, a więc tworzą zbiór ograniczony). Niech teraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle R \ =\ \max\big\{ d(x_1,g),\ d(x_2,g),\ \ldots,\ d(x_N,g) \big\} +1. }

Wówczas $d(x_n,g)<R$ dla dowolnego $n\in \mathbb{\mathbb{N}},$ czyli

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{\mathbb{N}}:x_n\in K(g,R),$

Rysunek AM1.M03.C.R07 (nowy)

a to oznacza, że ciąg $\{x_n\}$ jest ograniczony.

Ćwiczenie 3.5.

(1) Podać przykład nieskończonej rodziny zbiorów otwartych w $\mathbb{ℝ}$ takich, że ich przecięcie nie jest zbiorem otwartym.
(2) Podać przykład nieskończonej rodziny zbiorów domkniętych w $\mathbb{ℝ}$ takich, że ich suma nie jest zbiorem domkniętym.

Wskazówka

(1) Rozważyć zstępującą rodzinę przedziałów otwartych (to znaczy rodzinę zbiorów otwartych, z których każdy następny jest zawarty w poprzednim).
(2) Rozważyć wstępującą rodzinę przedziałów domkniętych (to znaczy rodzinę zbiorów domkniętych, z których każdy następny zawiera poprzedni).

Rozwiązanie

(1) Rozważmy przedziały otwarte $U_n=(-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n})$ dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}U_n \ =\ [0,1], }

oraz przedział $[0,1]$ nie jest zbiorem otwartym.

(2) Rozważmy przedziały domknięte $F_n=[\frac{1}{n},2-\frac{1}{n}].$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}F_n \ =\ (0,2), }

oraz przedział $(0,2)$ nie jest zbiorem domkniętym.

Ćwiczenie 3.6.

Zbadać czy ciąg $\{x_n\}\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2,$ gdzie $x_n=\{\frac{2+n}{n},n\},$ spełnia warunek Cauchy'ego.

Wskazówka

Zbadać odległość dwóch kolejnych wyrazów ciągu $x_n$ i $x_{n+1}$ dla dowolnego $n\in \mathbb{\mathbb{N}}.$

Rozwiązanie

Zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle d_2(x_n,x_{n+1}) \ =\ \sqrt{\underbrace{\bigg(\frac{2+n+1}{n+1}-\frac{2+n}{n}\bigg)^2}_{\ge 0}+(\underbrace{n+1-n}_{=1})^2} \ \ge\ 1, }

a zatem ciąg ten nie spełnia warunku Cauchy'ego, gdyż dla dowolnie dużego $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ odległości między kolejnymi wyrazami ciągu są stale większe od $1.$