Analiza matematyczna 2/Test 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycjanastępna edycja →
WizualnieWikikod
m Zastępowanie tekstu – „\displaystyle ” na „”
m Zastępowanie tekstu – „\displaystyle” na „”
Linia 8: Linia 8:


<quiz>
<quiz>
Ciąg <math>\displaystyle\bigg\{\frac{1}{n}\bigg\}_{n \in\mathbb{N}}</math> w przestrzeni metrycznej <math>\displaystyle\big(\mathbb{R}\setminus \{0\}, d_2\big)</math> jest
Ciąg <math>\bigg\{\frac{1}{n}\bigg\}_{n \in\mathbb{N}}</math> w przestrzeni metrycznej <math>\big(\mathbb{R}\setminus \{0\}, d_2\big)</math> jest
ciągiem
ciągiem
<wrongoption>zbieżnym w tej przestrzeni</wrongoption>
<wrongoption>zbieżnym w tej przestrzeni</wrongoption>
Linia 17: Linia 17:


<quiz>
<quiz>
W <math>\displaystyle\mathbb{R}^2</math> z metryką kolejową o węźle <math>O=(0,0)</math>
W <math>\mathbb{R}^2</math> z metryką kolejową o węźle <math>O=(0,0)</math>
dany jest ciąg <math>x_n=(-\frac{1}{n},-1)</math> dla <math>n\in\mathbb{N}.</math>
dany jest ciąg <math>x_n=(-\frac{1}{n},-1)</math> dla <math>n\in\mathbb{N}.</math>
Odległość między kolejnymi wyrazami tego ciągu <math>d(x_n,x_{n+1})</math>
Odległość między kolejnymi wyrazami tego ciągu <math>d(x_n,x_{n+1})</math>
<wrongoption>maleje do zera, gdy <math>n\rightarrow+\infty</math></wrongoption>
<wrongoption>maleje do zera, gdy <math>n\rightarrow+\infty</math></wrongoption>
<wrongoption>jest zawsze w przedziale <math>\displaystyle[1,2]</math></wrongoption>
<wrongoption>jest zawsze w przedziale <math>[1,2]</math></wrongoption>
<rightoption>jest zawsze w przedziale <math>\displaystyle[2,4]</math></rightoption>
<rightoption>jest zawsze w przedziale <math>[2,4]</math></rightoption>
</quiz>
</quiz>


Linia 28: Linia 28:
<quiz>
<quiz>
Punktami stałymi odwzorowania <math>f\colon \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R},f(x)=x^2+x-1</math> są
Punktami stałymi odwzorowania <math>f\colon \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R},f(x)=x^2+x-1</math> są
<wrongoption><math>\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math> i <math>\displaystyle\frac{1-\sqrt{5}}{2}</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math> i <math>\frac{1-\sqrt{5}}{2}</math></wrongoption>
    
    
<rightoption><math>-1</math> i <math>1</math></rightoption>
<rightoption><math>-1</math> i <math>1</math></rightoption>
Linia 37: Linia 37:


<quiz>
<quiz>
Obrazem odcinka <math>\displaystyle[0,1]</math> przez funkcję <math>\displaystyle\frac{1}{x-2}</math> jest
Obrazem odcinka <math>[0,1]</math> przez funkcję <math>\frac{1}{x-2}</math> jest
<wrongoption><math>\displaystyle\bigg[\frac{1}{2},1\bigg]</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\bigg[\frac{1}{2},1\bigg]</math></wrongoption>
    
    
<rightoption><math>\displaystyle\bigg[-1,-\frac{1}{2}\bigg]</math></rightoption>
<rightoption><math>\bigg[-1,-\frac{1}{2}\bigg]</math></rightoption>
    
    
<wrongoption><math>\displaystyle\bigg(-\infty,-\frac{1}{2}\bigg]</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\bigg(-\infty,-\frac{1}{2}\bigg]</math></wrongoption>
</quiz>
</quiz>




<quiz>
<quiz>
W <math>\displaystyle\mathbb{R}</math> z metryką dyskretną rozważamy zbiór <math>A=\{5,25\}.</math> Zbiór <math>A</math>
W <math>\mathbb{R}</math> z metryką dyskretną rozważamy zbiór <math>A=\{5,25\}.</math> Zbiór <math>A</math>
<wrongoption>jest spójny</wrongoption>
<wrongoption>jest spójny</wrongoption>
<rightoption>jest zwarty</rightoption>
<rightoption>jest zwarty</rightoption>
Linia 55: Linia 55:


<quiz>
<quiz>
Niech <math>A</math> będzie kulą w <math>\displaystyle\mathbb{R}^2</math> z metryką <math>d_1</math> o środku <math>\displaystyle(0,0)</math> i promieniu <math>1.</math>
Niech <math>A</math> będzie kulą w <math>\mathbb{R}^2</math> z metryką <math>d_1</math> o środku <math>(0,0)</math> i promieniu <math>1.</math>
Promień największej kuli w <math>\displaystyle\mathbb{R}^2</math> z metryką <math>d_2</math>
Promień największej kuli w <math>\mathbb{R}^2</math> z metryką <math>d_2</math>
o środku <math>\displaystyle(0,0)</math> zawartej w kuli <math>A</math> wynosi
o środku <math>(0,0)</math> zawartej w kuli <math>A</math> wynosi
<wrongoption><math>1</math></wrongoption>
<wrongoption><math>1</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\displaystyle\sqrt{2}</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\sqrt{2}</math></wrongoption>
<rightoption><math>\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}</math></rightoption>
<rightoption><math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math></rightoption>
</quiz>
</quiz>


Linia 73: Linia 73:


<quiz>
<quiz>
W przestrzeni metrycznej <math>\displaystyle(\mathbb{R},d_2)</math> dany jest zbiór <math>A=\{-1\}\cup [2,3].</math> Wówczas
W przestrzeni metrycznej <math>(\mathbb{R},d_2)</math> dany jest zbiór <math>A=\{-1\}\cup [2,3].</math> Wówczas
<rightoption><math>\displaystyle\mathrm{int}\, A=(2,3)</math></rightoption>
<rightoption><math>\mathrm{int}\, A=(2,3)</math></rightoption>
<wrongoption><math>\displaystyle\partial A=\{2,3\}</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\partial A=\{2,3\}</math></wrongoption>
<rightoption><math>\displaystyle\partial (\mathrm{int}\, A)=\{2,3\}</math></rightoption>
<rightoption><math>\partial (\mathrm{int}\, A)=\{2,3\}</math></rightoption>
</quiz>
</quiz>

Wersja z 10:19, 28 sie 2023

Ciąg w przestrzeni metrycznej dyskretnej jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy

jest stały

jest od pewnego miejsca stały

zawsze


Ciąg {1n}n∈ℕ w przestrzeni metrycznej (ℝ∖{0},d2) jest ciągiem

zbieżnym w tej przestrzeni

spełniającym warunek Cauchy'ego w tej przestrzeni

ograniczonym w tej przestrzeni


W ℝ2 z metryką kolejową o węźle O=(0,0) dany jest ciąg xn=(−1n,−1) dla n∈ℕ. Odległość między kolejnymi wyrazami tego ciągu d(xn,xn+1)

maleje do zera, gdy n→+∞

jest zawsze w przedziale [1,2]

jest zawsze w przedziale [2,4]


Punktami stałymi odwzorowania f:ℝ⟶ℝ,f(x)=x2+x−1 są

1+52 i 1−52

−1 i 1

odwzorowanie nie ma punktów stałych


Obrazem odcinka [0,1] przez funkcję 1x−2 jest

[12,1]

[−1,−12]

(−∞,−12]


W ℝ z metryką dyskretną rozważamy zbiór A={5,25}. Zbiór A

jest spójny

jest zwarty

zawiera się w pewnej kuli o promieniu 2


Niech A będzie kulą w ℝ2 z metryką d1 o środku (0,0) i promieniu 1. Promień największej kuli w ℝ2 z metryką d2 o środku (0,0) zawartej w kuli A wynosi

1

2

22


W przestrzeni metrycznej dyskretnej dany jest zbiór ciągowo zwarty A. Wówczas zbiór A jest

zwarty

skończony

ograniczony


W przestrzeni metrycznej (ℝ,d2) dany jest zbiór A={−1}∪[2,3]. Wówczas

intA=(2,3)

∂A={2,3}

∂(intA)={2,3}

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_2/Test_2:_Ciągi_w_przestrzeniach_metrycznych&oldid=80002”