Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 8: Ekstrema funkcji wielu zmiennych: Różnice pomiędzy wersjami
m Zastępowanie tekstu – „ \displaystyle ” na „” |
m Zastępowanie tekstu – „\displaystyle ” na „” |
||
Linia 3: | Linia 3: | ||
{{cwiczenie|8.1.|cw_8_1| | {{cwiczenie|8.1.|cw_8_1| | ||
a) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu | a) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu | ||
drugiego funkcji <math> | drugiego funkcji <math>f(x,y)=\frac {\cos x}{\cos y}</math> w punkcie | ||
<math> | <math>(0,0)</math>. | ||
b) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji | b) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji | ||
<math> | <math>f(x,y)=\mathrm{arctg}\, (\frac {x-y}{x+y})</math> w punkcie <math>(1,1)</math>. | ||
c) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji | c) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji | ||
<math> | <math>f(x,y)=\frac {xy}{x^2+y^2}</math> w punkcie <math>(1,1)</math>. | ||
d) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję <math> | d) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję <math>f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-3xyz</math> w | ||
punkcie <math> | punkcie <math>(1,1,1)</math>. | ||
}} | }} | ||
Linia 20: | Linia 20: | ||
Jak wyraża się wielomian Taylora za pomocą pochodnych cząstkowych? | Jak wyraża się wielomian Taylora za pomocą pochodnych cząstkowych? | ||
d) Ile pochodnych cząstkowych niezerowych ma funkcja <math> | d) Ile pochodnych cząstkowych niezerowych ma funkcja <math>f</math>? | ||
</div></div> | </div></div> | ||
Linia 26: | Linia 26: | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
a) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji <math> | a) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji <math>f</math> w punkcie | ||
<math> | <math>(0,0)</math>. Mamy | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} &\frac {\partial f}{\partial x}=-\frac {\sin x}{\cos | ||
y},&& | y},&& | ||
\qquad \frac {\partial f}{\partial x}(0,0)=0; \\ | \qquad \frac {\partial f}{\partial x}(0,0)=0; \\ | ||
Linia 45: | Linia 45: | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Tak więc wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji <math> | Tak więc wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji <math>f</math> w punkcie | ||
<math> | <math>(0,0)</math> ma postać | ||
<center><math> | <center><math>T_{(0,0)} ^2 f(h_1,h_2)=1+\frac 12(-h_1^2+h_2^2). | ||
</math></center> | </math></center> | ||
b) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji <math> | b) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji <math>f</math> w punkcie | ||
<math> | <math>(1,1)</math>. Mamy | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} &\frac {\partial f}{\partial x}=\frac {y}{x^2+y^2}, && | ||
\qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1)=\frac 12; \\ | \qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1)=\frac 12; \\ | ||
&\frac {\partial f}{\partial y}=\frac {-x}{x^2+y^2},&& | &\frac {\partial f}{\partial y}=\frac {-x}{x^2+y^2},&& | ||
Linia 66: | Linia 66: | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Tak więc wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji <math> | Tak więc wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji <math>f</math> w punkcie | ||
<math> | <math>(1,1)</math> ma postać | ||
<center><math> | <center><math>T_{(1,1)} ^2 f(h_1,h_2)=\frac 12h_1-\frac 12h_2+\frac 12\left | ||
(-h_1^2+h_2^2\right ). | (-h_1^2+h_2^2\right ). | ||
</math></center> | </math></center> | ||
c) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji <math> | c) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji <math>f</math> w punkcie | ||
<math> | <math>(1,1)</math>. Mamy | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} &\frac {\partial f}{\partial x}=\frac | ||
{y^3-x^2y}{(x^2+y^2)^2},&& | {y^3-x^2y}{(x^2+y^2)^2},&& | ||
\qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1)=0; \\ | \qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1)=0; \\ | ||
Linia 93: | Linia 93: | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Tak więc wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji <math> | Tak więc wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji <math>f</math> w punkcie | ||
<math> | <math>(1,1)</math> ma postać | ||
<center><math> | <center><math>T_{(1,1)} ^2 f(h_1,h_2)=\frac 12+\frac 12\left (-\frac | ||
12h_1^2-\frac 12h_2^2+h_1h_2\right ). | 12h_1^2-\frac 12h_2^2+h_1h_2\right ). | ||
</math></center> | </math></center> | ||
d) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji <math> | d) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji <math>f</math> w punkcie | ||
<math> | <math>(1,1,1)</math>. Mamy | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} &\frac {\partial f}{\partial x}=3x^2-3yz,&& | ||
\qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1,1)=0; \\ | \qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1,1)=0; \\ | ||
&\frac {\partial f}{\partial y}=3y^2-3xz,&& | &\frac {\partial f}{\partial y}=3y^2-3xz,&& | ||
Linia 134: | Linia 134: | ||
Pozostałe pochodne cząstkowe są równe zero. Tak więc rozwinięcie | Pozostałe pochodne cząstkowe są równe zero. Tak więc rozwinięcie | ||
funkcji <math> | funkcji <math>f</math> w szereg Taylora w punkcie <math>(0,0,0)</math> ma postać | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} &f(x,y,z)= \\ | ||
&\frac 12\left | &\frac 12\left | ||
(6(x-1)^2+6(y-1)^2+6(z-1)^2-6(x-1)(y-1)-6(x-1)(z-1)-6(y-1)(z-1)\right) | (6(x-1)^2+6(y-1)^2+6(z-1)^2-6(x-1)(y-1)-6(x-1)(z-1)-6(y-1)(z-1)\right) | ||
Linia 150: | Linia 150: | ||
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | ||
a) <math> | a) <math>f(x,y) = x^4 +y^4 -8x^2 -2y^2 +2006</math>, | ||
b) <math> | b) <math>g(x,y) = x^2+8y^3-6xy+1,</math> | ||
c) <math>\displaystyleh(x,y) = 2xy+\frac{1}{x}+\frac{2}{y}</math>. }} | c) <math>\displaystyleh(x,y) = 2xy+\frac{1}{x}+\frac{2}{y}</math>. }} | ||
Linia 159: | Linia 159: | ||
Należy poszukać punktów krytycznych i zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki. | Należy poszukać punktów krytycznych i zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki. | ||
a) Jeśli <math> | a) Jeśli <math>x_1</math>, <math>x_2</math> i <math>x_3</math> są pierwiastkami równania <math>p(x)=0</math> z jedną niewiadomą i <math>y_1</math>, <math>y_2</math>, <math>y_3</math> są pierwiastkami równania <math>q(y)=0</math> z jedną niewiadomą, to jakie rozwiązania ma układ dwóch równań (z dwoma niewiadomymi) <math>p(x)=0</math> i <math>q(y) = 0</math>? | ||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
a) Z warunku koniecznego istnienia ekstremum otrzymujemy układ dwóch niezależnych równań <math> | a) Z warunku koniecznego istnienia ekstremum otrzymujemy układ dwóch niezależnych równań <math>4x^3-16x=0</math> | ||
i <math> | i <math>4y^3-4y=0</math>. Pierwsze z nich ma rozwiązania <math>-2, 0, 2</math>, drugie | ||
<math> | <math>-1, 0, 1</math>. Punktami krytycznymi są więc pary <math>(0,0), (0, -1), | ||
(0,1), (2, 0), (-2, 0), (-2, -1), (-2, 1), (2, -1), (2, 1)</math>. | (0,1), (2, 0), (-2, 0), (-2, -1), (-2, 1), (2, -1), (2, 1)</math>. | ||
Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu i budujemy macierz | Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu i budujemy macierz | ||
drugiej różniczki <math> | drugiej różniczki <math>d_{(x,y)}^2f</math> | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left[\begin{array} {cc} 12x^2-16& 0\\ | \left[\begin{array} {cc} 12x^2-16& 0\\ | ||
0& 12y^2-4 | 0& 12y^2-4 | ||
Linia 176: | Linia 176: | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Ponieważ ta macierz w punkcie <math> | Ponieważ ta macierz w punkcie <math>(0,0)</math> ma postać <math>\left[\begin{array} {cc} -16& 0\\ | ||
0& -4 | 0& -4 | ||
\end{array} \right]</math>, | \end{array} \right]</math>, | ||
w <math> | w <math>(0,\pm 1)</math> postać <math>\left[\begin{array} {cc} -16& 0\\ | ||
0& 8 | 0& 8 | ||
\end{array} \right]</math>, | \end{array} \right]</math>, | ||
w <math> | w <math>(\pm 2,0)</math> postać <math>\left[\begin{array} {cc} 32& 0\\ | ||
0& -4 | 0& -4 | ||
\end{array} \right]</math>, | \end{array} \right]</math>, | ||
wreszcie w <math> | wreszcie w <math>(\pm 2,1)</math> i <math>(\pm 2, -1)</math> postać <math>\left[\begin{array} {cc} 32& 0\\ | ||
0& 8 | 0& 8 | ||
\end{array} \right]</math>, | \end{array} \right]</math>, | ||
więc funkcja <math> | więc funkcja <math>f</math> nie ma ekstremów w punktach <math>(0, -1), (0,1), (2, | ||
0), (-2, 0)</math>, ale ma maksimum w punkcie <math> | 0), (-2, 0)</math>, ale ma maksimum w punkcie <math>(0,0)</math> i ma minima w | ||
punktach <math> | punktach <math>(-2, -1),(-2, 1), (2, -1), (2, 1)</math>. | ||
<br> | <br> | ||
b) Łatwo wyliczamy punkty krytyczne <math> | b) Łatwo wyliczamy punkty krytyczne <math>(0,0)</math> i | ||
<math> | <math>\left(\frac94,\frac34\right)</math>. | ||
Macierz drugiej różniczki <math> | Macierz drugiej różniczki <math>d_{(x,y)}^2g</math> ma postać <math>\displaystyle\left[\begin{array} {cc} 2& -6\\ | ||
-6& 48y | -6& 48y | ||
\end{array} \right]</math>. Funkcja <math> | \end{array} \right]</math>. Funkcja <math>g</math> | ||
ma tylko jedno ekstremum -- minimum w punkcie <math> | ma tylko jedno ekstremum -- minimum w punkcie <math> | ||
\left(\frac94,\frac34\right)</math>. | \left(\frac94,\frac34\right)</math>. | ||
<br> | <br> | ||
c) Dla funkcji <math> | c) Dla funkcji <math>h</math> należy zrobić założenie <math>x\neq 0</math> i <math>y\neq 0</math>. | ||
Łatwo wyliczyć, że jedynym punkt krytycznym jest | Łatwo wyliczyć, że jedynym punkt krytycznym jest | ||
<math> | <math>(\frac{\sqrt[3]{2}}2, \sqrt[3]{2})</math> i że w tym punkcie funkcja | ||
<math> | <math>h</math> ma minimum (macierz drugiej różniczki <math>d_{(x,y)}^2h</math> ma postać | ||
<math>\displaystyle\left[\begin{array} {cc} \frac2{x^3}& 2\\ | <math>\displaystyle\left[\begin{array} {cc} \frac2{x^3}& 2\\ | ||
2& \frac4{y^3} | 2& \frac4{y^3} | ||
Linia 215: | Linia 215: | ||
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | ||
a) <math> | a) <math>f(x,y) = e^{2x}(x+y^2+2y)</math>, | ||
b) <math> | b) <math>g(x,y) = e^{x^2-y}(5-2x+y)</math>, | ||
c) <math> | c) <math>h(x,y) = \ln |x+y| -x^2-y^2</math>, | ||
d) <math>\displaystyle\phi(x,y) = x - 2y+ \ln \sqrt{x^2+y^2} + 3\mathrm{arctg}\, | d) <math>\displaystyle\phi(x,y) = x - 2y+ \ln \sqrt{x^2+y^2} + 3\mathrm{arctg}\, | ||
Linia 234: | Linia 234: | ||
b) Skorzystać ze wskazówki do podpunktu a) przy wszystkich pochodnych cząstkowych drugiego rzędu. | b) Skorzystać ze wskazówki do podpunktu a) przy wszystkich pochodnych cząstkowych drugiego rzędu. | ||
d) Warto zapisać naszą funkcję w postaci <center><math> | d) Warto zapisać naszą funkcję w postaci <center><math> \phi(x,y) = x - 2y+ | ||
\frac12\ln (x^2+y^2) + 3\mathrm{arctg}\, \frac{y}{x},</math></center> | \frac12\ln (x^2+y^2) + 3\mathrm{arctg}\, \frac{y}{x},</math></center> | ||
łatwiej jest ją wtedy różniczkować. </div></div> | łatwiej jest ją wtedy różniczkować. </div></div> | ||
Linia 240: | Linia 240: | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
a) Warunek konieczny istnienia ekstremum sprowadza się do układu równań | a) Warunek konieczny istnienia ekstremum sprowadza się do układu równań | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left\{\begin{array} {l} e^{2x}(2(x+y^2+2y)+1)=0\\e^{2x}(2y+2)=0 | \left\{\begin{array} {l} e^{2x}(2(x+y^2+2y)+1)=0\\e^{2x}(2y+2)=0 | ||
\end{array} \right., | \end{array} \right., | ||
</math></center> | </math></center> | ||
którego rozwiązaniem jest tylko punkt <math> | którego rozwiązaniem jest tylko punkt <math>(\frac12,-1)</math>. Macierz | ||
drugiej różniczki <math> | drugiej różniczki <math>d_{(x,y)}^2f</math> ma postać | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left[\begin{array} {cc} 2e^{2x}(2(x+y^2+2y)+1)+2e^{2x}& 2e^{2x}(2y+2)\\ | \left[\begin{array} {cc} 2e^{2x}(2(x+y^2+2y)+1)+2e^{2x}& 2e^{2x}(2y+2)\\ | ||
2e^{2x}(2y+2)& 2e^{2x} | 2e^{2x}(2y+2)& 2e^{2x} | ||
Linia 253: | Linia 253: | ||
</math></center> | </math></center> | ||
W naszym punkcie jest to macierz <math> | W naszym punkcie jest to macierz <math>\displaystyle | ||
\left[\begin{array} {cc} 2e& 0\\ | \left[\begin{array} {cc} 2e& 0\\ | ||
0& 2e | 0& 2e | ||
\end{array} \right]</math>, zatem funkcja <math> | \end{array} \right]</math>, zatem funkcja <math>f</math> ma w tym punkcie minimum. | ||
<br> | <br> | ||
b) Przekształcamy układ równań otrzymany z warunku koniecznego | b) Przekształcamy układ równań otrzymany z warunku koniecznego | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left\{\begin{array} {l} e^{x^2-y}[2x(5-2x+y)-2]=0\\ | \left\{\begin{array} {l} e^{x^2-y}[2x(5-2x+y)-2]=0\\ | ||
e^{x^2-y}[-(5-2x+y)+1]=0 | e^{x^2-y}[-(5-2x+y)+1]=0 | ||
Linia 266: | Linia 266: | ||
</math></center> | </math></center> | ||
zauważając, że z drugiego równania wynika, że <math> | zauważając, że z drugiego równania wynika, że <math>5-2x+y=1</math>. Stąd z | ||
pierwszego równania <math> | pierwszego równania <math>x=1</math>. Otrzymujemy jedyny punkt <math>(1, -2)</math>. | ||
Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu | Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}= | \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}= | ||
Linia 281: | Linia 281: | ||
Pierwsze składniki każdej z nich zerują się w naszym punkcie | Pierwsze składniki każdej z nich zerują się w naszym punkcie | ||
krytycznym, zatem łatwo jest policzyć, że macierz drugiej | krytycznym, zatem łatwo jest policzyć, że macierz drugiej | ||
różniczki <math> | różniczki <math>d_{(1,-2)}^2g</math> ma postać | ||
<math> | <math>\left[\begin{array} {cc} -2e^3& 2e^3\\ | ||
2e^3& -e^3 | 2e^3& -e^3 | ||
\end{array} \right]</math>. Stąd wnioskujemy, że <math> | \end{array} \right]</math>. Stąd wnioskujemy, że <math>g</math> nie ma ekstremum. | ||
<br> | <br> | ||
c) Dziedziną funkcji <math> | c) Dziedziną funkcji <math>h</math> jest zbiór <math>\mathbb R^2\setminus \{(x,y): | ||
y=-x\}</math>. Z warunku koniecznego istnienia ekstremum otrzymujemy | y=-x\}</math>. Z warunku koniecznego istnienia ekstremum otrzymujemy | ||
układ równań | układ równań | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left\{\begin{array} {l} \frac1{x+y}-2x=0\\ | \left\{\begin{array} {l} \frac1{x+y}-2x=0\\ | ||
\frac1{x+y}-2y=0 | \frac1{x+y}-2y=0 | ||
Linia 296: | Linia 296: | ||
</math></center> | </math></center> | ||
W szczególności <math> | W szczególności <math>x=y</math>, co po podstawieniu do pierwszego równania | ||
daje nam punkty <math> | daje nam punkty <math>(\frac12,\frac12)</math> i <math>(-\frac12,-\frac12)</math>. | ||
Macierz drugiej różniczki <math> | Macierz drugiej różniczki <math>d_{(x,y)}^2h</math> ma postać | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left[\begin{array} {cc} -\frac1{(x+y)^2}-2& -\frac1{(x+y)^2}\\ | \left[\begin{array} {cc} -\frac1{(x+y)^2}-2& -\frac1{(x+y)^2}\\ | ||
-\frac1{(x+y)^2}& -\frac1{(x+y)^2}-2 | -\frac1{(x+y)^2}& -\frac1{(x+y)^2}-2 | ||
Linia 308: | Linia 308: | ||
<br> | <br> | ||
d) Funkcja <math> | d) Funkcja <math>\phi</math> jest zdefiniowana poza prostą <math>x=0</math>. Warunek | ||
konieczny daje nam układ równań | konieczny daje nam układ równań | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left\{\begin{array} {l} 1+\frac{x-3y}{x^2+y^2}=0\\ | \left\{\begin{array} {l} 1+\frac{x-3y}{x^2+y^2}=0\\ | ||
-2+\frac{y+3x}{x^2+y^2}=0 | -2+\frac{y+3x}{x^2+y^2}=0 | ||
Linia 316: | Linia 316: | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Redukując wyrażenie <math> | Redukując wyrażenie <math>x^2+y^2</math>, otrzymujemy <math>y+3x=-2(x-3y)</math>, czyli | ||
<math> | <math>y=x</math>. Wracając pierwszego równania otrzymujemy jedno rozwiązanie | ||
<math> | <math>(1,1)</math>. Macierzą drugiej różniczki <math>d_{(x,y)}^2\phi</math> jest | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left[\begin{array} {cc} | \left[\begin{array} {cc} | ||
\frac{y^2-x^2+6xy}{(x^2+y^2)^2}& | \frac{y^2-x^2+6xy}{(x^2+y^2)^2}& | ||
Linia 327: | Linia 327: | ||
</math></center> | </math></center> | ||
W naszym punkcie macierz ta przyjmuje postać <math> | W naszym punkcie macierz ta przyjmuje postać <math>\displaystyle | ||
\left[\begin{array} {cc} \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\\ | \left[\begin{array} {cc} \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\\ | ||
-\frac{1}{2}& -\frac{3}{2} | -\frac{1}{2}& -\frac{3}{2} | ||
\end{array} \right]</math>, zatem <math> | \end{array} \right]</math>, zatem <math>\phi</math> nie ma ekstremum. | ||
</div></div> | </div></div> | ||
Linia 337: | Linia 337: | ||
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | ||
a) <math> | a) <math>f(x,y)= \sin{x}\sin{y}\sin(x+y)</math>, | ||
b) <math> | b) <math>h(x,y)=\sin{x}+\cos{y}+\cos(x-y)</math> | ||
<br> | <br> | ||
w zbiorze <math> | w zbiorze <math>(0,\pi)^2</math>. | ||
}} | }} | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
a) Warto pamiętać, że <math> | a) Warto pamiętać, że <math>\sin{\alpha}\cos \beta+\cos\alpha\sin\beta =\sin(\alpha+\beta)</math>. | ||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
a) Mamy do rozwiązania układ równań | a) Mamy do rozwiązania układ równań | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left\{\begin{array} {l} 0= | \left\{\begin{array} {l} 0= | ||
\sin{y}(\cos{x}\sin(x+y)+\sin{x}\cos(x+y))=\sin{y}\sin(2x+y)\\ | \sin{y}(\cos{x}\sin(x+y)+\sin{x}\cos(x+y))=\sin{y}\sin(2x+y)\\ | ||
Linia 358: | Linia 358: | ||
</math></center><br> | </math></center><br> | ||
Ponieważ <math> | Ponieważ <math>x,y\in(0,\pi)</math>, zatem <math>\sin{y}\neq 0</math> oraz | ||
<math> | <math>\sin(2x+y)=0</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>2x+y=\pi</math> lub | ||
<math> | <math>2x+y=2\pi</math>. Wyliczamy stąd <math>y</math> i wstawiamy do drugiego równania, | ||
w którym również zerować może się tylko drugi czynnik. Jeśli | w którym również zerować może się tylko drugi czynnik. Jeśli | ||
<math> | <math>y=\pi-2x</math>, to <math>0=\sin(2\pi-3x)=-\sin{3x}</math>, czyli <math>x=\pi/3</math> lub | ||
<math> | <math>x=2\pi/3</math>. Jeśli <math>y=2\pi-2x</math>, otrzymujemy te same punkty. Wobec | ||
założenia o dziedzinie punktami krytycznymi są <math> | założenia o dziedzinie punktami krytycznymi są <math> | ||
\left(\frac{\pi}3, \frac{\pi}3\right)</math> i <math> | \left(\frac{\pi}3, \frac{\pi}3\right)</math> i <math> \left(\frac{2\pi}3, | ||
\frac{2\pi}3\right)</math>. Macierzą drugiej różniczki <math> | \frac{2\pi}3\right)</math>. Macierzą drugiej różniczki <math>d_{(x,y)}^2f</math> | ||
jest | jest | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left[\begin{array} {cc} 2\sin{y}\cos(2x+y)& \sin(2x+2y)\\ | \left[\begin{array} {cc} 2\sin{y}\cos(2x+y)& \sin(2x+2y)\\ | ||
\sin(2x+2y)& 2\sin{x}\cos(x+2y) | \sin(2x+2y)& 2\sin{x}\cos(x+2y) | ||
Linia 374: | Linia 374: | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Łatwo sprawdzić, że <math> | Łatwo sprawdzić, że <math>f</math> ma w <math> \left(\frac{\pi}3, | ||
\frac{\pi}3\right)</math> maksimum i w <math> | \frac{\pi}3\right)</math> maksimum i w <math> \left(\frac{2\pi}3, | ||
\frac{2\pi}3\right)</math> minimum. | \frac{2\pi}3\right)</math> minimum. | ||
<br> | <br> | ||
b) Tym razem należy rozwiązać układ | b) Tym razem należy rozwiązać układ | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left\{\begin{array} {l} 0= | \left\{\begin{array} {l} 0= | ||
\cos{x}-\sin(x-y)\\ | \cos{x}-\sin(x-y)\\ | ||
Linia 387: | Linia 387: | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Wynika stąd, że <math> | Wynika stąd, że <math>\sin{y}=\cos{x}=\sin(\frac{\pi}{2}-x)</math>. Ponieważ | ||
<math> | <math>x,y\in (0,\pi)</math>, więc <math>y= \frac{\pi}{2}-x</math> lub <math>y= \pi- | ||
(\frac{\pi}{2}-x)=\frac\pi2+x</math>. Otrzymujemy stąd jeden punkt | (\frac{\pi}{2}-x)=\frac\pi2+x</math>. Otrzymujemy stąd jeden punkt | ||
krytyczny <math> | krytyczny <math> \left(\frac{\pi}3,\frac\pi6\right)</math>, w którym funkcja | ||
<math> | <math>h</math> osiąga maksimum. | ||
</div></div> | </div></div> | ||
Linia 398: | Linia 398: | ||
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | ||
a) <math> | a) <math>f(x,y)=1-\sqrt{x^2+y^2}</math>, | ||
b) <math> | b) <math>g(x,y)= \sqrt[5]{x^4+y^4}</math>, | ||
c) <math> | c) <math>h(x,y)= x^5+y^5</math>. | ||
<br> | <br> | ||
Czy otrzymane ekstrema są też globalne? | Czy otrzymane ekstrema są też globalne? | ||
Linia 419: | Linia 419: | ||
pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w środku układu współrzędnych, | pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w środku układu współrzędnych, | ||
a tam gdzie istnieją, nie zerują się. Zatem jedynym kandydatem na | a tam gdzie istnieją, nie zerują się. Zatem jedynym kandydatem na | ||
ekstremum jest punkt <math> | ekstremum jest punkt <math>(0,0)</math>. Zauważmy, że <math>f(0,0)=1</math> i | ||
<math> | <math>\sqrt{x^2+y^2}> 0</math> dla dowolnego punktu <math>(x,y)</math> na płaszczyźnie | ||
różnego od środka układu współrzędnych. W szczególności dla | różnego od środka układu współrzędnych. W szczególności dla | ||
dowolnego <math> | dowolnego <math>(x,y)\neq (0,0)</math> mamy nierówność <math>f(x,y)<1</math>, co | ||
oznacza, że <math> | oznacza, że <math>f</math> ma maksimum globalne w <math>(0,0)</math>. Warto także | ||
zauważyć, że wykres funkcji <math> | zauważyć, że wykres funkcji <math>f</math> -- powierzchnia stożkowa -- | ||
powstaje przez obrót wykresu funkcji | powstaje przez obrót wykresu funkcji | ||
<math> | <math>z=\phi(x)=1-|x|=1-\sqrt{x^2}</math> dookoła osi <math>0z</math>. | ||
<br> | <br> | ||
[[Grafika:Wykres.gif]] [[Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 8: Ekstrema funkcji wielu zmiennych/Ćwiczenie 8.5.(a)|wykres]] | [[Grafika:Wykres.gif]] [[Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 8: Ekstrema funkcji wielu zmiennych/Ćwiczenie 8.5.(a)|wykres]] | ||
<br> | <br> | ||
b) Podobnie jak w poprzednim punkcie funkcja <math> | b) Podobnie jak w poprzednim punkcie funkcja <math>g</math> ma niezerowe | ||
pochodne cząstkowe pierwszego rzędu poza środkiem układu | pochodne cząstkowe pierwszego rzędu poza środkiem układu | ||
współrzędnych, gdzie te pochodne w ogóle nie istnieją. Tym razem | współrzędnych, gdzie te pochodne w ogóle nie istnieją. Tym razem | ||
<math> | <math>g(0,0)=0</math>, a dla <math>(x,y)\neq (0,0)</math> wartość <math>g(x,y)</math> jest | ||
dodatnia. Zatem w punkcie <math> | dodatnia. Zatem w punkcie <math>(0,0)</math> funkcja <math>g</math> ma globalne minimum. | ||
<br> | <br> | ||
[[Grafika:Wykres.gif]] [[Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 8: Ekstrema funkcji wielu zmiennych/Ćwiczenie 8.5.(b)|wykres]] | [[Grafika:Wykres.gif]] [[Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 8: Ekstrema funkcji wielu zmiennych/Ćwiczenie 8.5.(b)|wykres]] | ||
<br> | <br> | ||
c) Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji <math> | c) Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji <math>h</math> zerują się | ||
tylko w punkcie <math> | tylko w punkcie <math>(0,0)</math>, jednakże tym razem funkcja <math>h</math> nie ma | ||
ekstremum w punkcie <math> | ekstremum w punkcie <math>(0,0)</math>. Mamy bowiem <math>h(0,0)=0</math>, | ||
<math> | <math>h(a,0)=a^5>0</math> dla <math>a>0</math> i <math>h(a,0)=a^5<0</math> dla <math>a<0</math>, zatem | ||
dowolnie blisko środka układu współrzędnych funkcja przyjmuje i | dowolnie blisko środka układu współrzędnych funkcja przyjmuje i | ||
wartości dodatnie i ujemne, zatem i mniejsze i większe od wartości | wartości dodatnie i ujemne, zatem i mniejsze i większe od wartości | ||
Linia 454: | Linia 454: | ||
{{cwiczenie|8.6.|| | {{cwiczenie|8.6.|| | ||
a) Pokazać, że funkcja <math> | a) Pokazać, że funkcja <math>f(x,y)= | ||
(1+e^{x})\cos{y}+xe^x</math> ma nieskończenie wiele minimów, natomiast | (1+e^{x})\cos{y}+xe^x</math> ma nieskończenie wiele minimów, natomiast | ||
nie ma żadnego maksimum. | nie ma żadnego maksimum. | ||
b) Pokazać, że funkcja <math> | b) Pokazać, że funkcja <math>f(x,y)=3x^4-4x^2y+y^2</math> nie ma minimum w | ||
punkcie <math> | punkcie <math>(0,0)</math>, ale jej zacieśnienie do dowolnej prostej | ||
przechodzącej przez początek układu współrzędnych ma silne minimum | przechodzącej przez początek układu współrzędnych ma silne minimum | ||
w tym punkcie. | w tym punkcie. | ||
Linia 467: | Linia 467: | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
a) Należy poszukać punktów krytycznych i zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki. | a) Należy poszukać punktów krytycznych i zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki. | ||
Warto pamiętać, że <math> | Warto pamiętać, że <math>F(x)=e^x</math> przyjmuje tylko wartości dodatnie. | ||
b) Należy zbadać znak funkcji na osiach układu współrzędnych i w punktach postaci <math> | b) Należy zbadać znak funkcji na osiach układu współrzędnych i w punktach postaci <math>(a,2a^2)</math>. Jak wygląda zacieśnienie funkcji do prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych? | ||
</div></div> | </div></div> | ||
Linia 476: | Linia 476: | ||
a) Warunek konieczny istnienia ekstremum | a) Warunek konieczny istnienia ekstremum | ||
sprowadza się do układu | sprowadza się do układu | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left\{\begin{array} {l} e^x(\cos{y}+1+x)=0\\-(1+e^x)\sin{y}=0 | \left\{\begin{array} {l} e^x(\cos{y}+1+x)=0\\-(1+e^x)\sin{y}=0 | ||
\end{array} \right.. | \end{array} \right.. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Z drugiego równania wynika, że <math> | Z drugiego równania wynika, że <math>y=k\pi</math> dla pewnego <math>k\in\mathbb | ||
Z</math>. Jeśli <math> | Z</math>. Jeśli <math>k</math> jest parzyste, to z pierwszego równania <math>x=-2</math>, | ||
jeśli nieparzyste, to <math> | jeśli nieparzyste, to <math>x=0</math>. Tworzymy macierz drugiej różniczki | ||
<math> | <math>d_{(x,y)}^2f</math> | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left[\begin{array} {cc} e^x(\cos{y}+2+x)& -e^x\sin{y}\\ | \left[\begin{array} {cc} e^x(\cos{y}+2+x)& -e^x\sin{y}\\ | ||
-e^x\sin{y}& -(1+e^x)\cos{y} | -e^x\sin{y}& -(1+e^x)\cos{y} | ||
Linia 491: | Linia 491: | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Niech <math> | Niech <math>m</math> będzie dowolną liczbą całkowitą. W punkcie <math>(0, | ||
(2m+1)\pi)</math> rozważana powyżej macierz ma postać | (2m+1)\pi)</math> rozważana powyżej macierz ma postać | ||
<math> | <math> | ||
\left[\begin{array} {cc} 1& 0\\ | \left[\begin{array} {cc} 1& 0\\ | ||
0& 2 | 0& 2 | ||
\end{array} \right],</math> | \end{array} \right],</math> | ||
natomiast w punkcie <math> | natomiast w punkcie <math>(-2,2m\pi)</math> postać <math> | ||
\left[\begin{array} {cc} e^{-2}& 0\\ | \left[\begin{array} {cc} e^{-2}& 0\\ | ||
0& -(1+e^{-2}) | 0& -(1+e^{-2}) | ||
\end{array} \right], | \end{array} \right], | ||
</math> | </math> | ||
zatem funkcja <math> | zatem funkcja <math>f</math> ma minimum w każdym punkcie postaci | ||
<math> | <math>(0,(2m+1)\pi)</math>, a nie ma ekstremum w żadnym z punktów postaci | ||
<math> | <math>(-2,2m\pi)</math>. | ||
b) Zauważmy, że <math> | b) Zauważmy, że <math>f(0,0)=0</math> oraz <math>f(0,b)=b^2>0</math> dla dowolnej | ||
niezerowej liczby <math> | niezerowej liczby <math>b</math>. Z drugiej strony | ||
<math> | <math>f(a,2a^2)=3a^4-8a^4+4a^4=-a^4<0</math> dla dowolnej niezerowej liczby | ||
<math> | <math>a</math>. Z tych dwóch faktów funkcja nie może mieć minimum w swoim | ||
miejscu zerowym <math> | miejscu zerowym <math>(0,0)</math>, bo dowolnie blisko tego miejsca przyjmuje | ||
zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne. Widzimy, że zawężenie | zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne. Widzimy, że zawężenie | ||
funkcji <math> | funkcji <math>f</math> do prostej <math>x=0</math>, czyli funkcja <math>g(y)=f(0,y)=y^2</math>, ma | ||
globalne minimum w punkcie <math> | globalne minimum w punkcie <math>0</math>. Podobnie dla dowolnego | ||
<math> | <math>m\in\mathbb R</math> zawężenie funkcji <math>f</math> do prostej <math>y=mx</math>, czyli | ||
funkcja <math> | funkcja <math>h_m(x)=f(x,mx)= 3x^4 -4mx^3+m^2x^2</math>, ma minimum w | ||
punkcie <math> | punkcie <math>0</math> (zob. ćwiczenia z Analizy matematycznej I do modułu | ||
10). | 10). | ||
Linia 524: | Linia 524: | ||
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | ||
a) <math> | a) <math>f(x,y,z)= x^4-y^3+2z^3-2x^2+6y^2-3z^2</math>, | ||
b) <math> | b) <math>g(x,y,z)=x^3+xy+y^2-2zx+2z^2+3y-1</math>, | ||
c) <math> | c) <math>h(x,y,z)=xyz(4-x-y-z)</math>. | ||
}} | }} | ||
Linia 537: | Linia 537: | ||
a) Warto skorzystać ze wskazówki [[#cw_8_1|ćwiczenia 8.1.]] a). | a) Warto skorzystać ze wskazówki [[#cw_8_1|ćwiczenia 8.1.]] a). | ||
c) Zwróćmy uwagę, że funkcja <math> | c) Zwróćmy uwagę, że funkcja <math>h</math> zeruje się na czterech płaszczyznach: <math>x=0</math>, <math>y=0</math>, <math>z=0</math> i <math>x+y+z=4</math>. Najpierw należy pokazać, że w żadnym z punktów trzech pierwszych płaszczyzn funkcja <math>h</math> nie osiąga ekstremum, bo dowolnie blisko każdego takiego punktu przyjmuje zarówno wartości dodatnie lub ujemne. (Ten fakt jest też prawdziwy dla ostatniej płaszczyzny, ale sprawdzenie tego nie jest konieczne, co będzie widoczne w dalszym postępowaniu). Następnie szukamy punktów krytycznych pod założeniem <math>x\neq 0, y\neq 0, z\neq 0</math>. | ||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
a) Każda z pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego funkcji <math> | a) Każda z pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego funkcji <math>f</math> zależy tylko od tej zmiennej, względem | ||
której jest liczona. Z warunku koniecznego istnienia ekstremum otrzymujemy układ trzech niezależnych równań <math> | której jest liczona. Z warunku koniecznego istnienia ekstremum otrzymujemy układ trzech niezależnych równań <math>4x^3-4x=0</math>, <math>-3y^2+12y=0</math> i <math>6z^2-6z=0</math>. Punkty krytyczne zatem to <math>(0,0,0),(0,0,1),(1,0,0),(1,0,1),(-1,0,0), (-1,0,1), (0, | ||
4,0), | 4,0), (0,4,1), (1,4,0), (1,4,1)</math>, <math>(-1,4,1)</math>, <math>(-1,4,1)</math>. | ||
Macierz drugiej różniczki <math> | Macierz drugiej różniczki <math>d_{(x,y,z)}^2f</math> ma postać | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left[\begin{array} {ccc}12x^2-4&0&0\\0&-6y+12&0\\ | \left[\begin{array} {ccc}12x^2-4&0&0\\0&-6y+12&0\\ | ||
0&0&12z-6\end{array} \right]. | 0&0&12z-6\end{array} \right]. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Wobec tego w punkcie <math> | Wobec tego w punkcie <math>(0,0,0)</math> macierzą tą jest <math>\left[\begin{array} {ccc}-4&0&0\\0&12&0\\ | ||
0&0&-6\end{array} \right]</math>, w <math> | 0&0&-6\end{array} \right]</math>, w <math>(0,0,1)</math> - <math>\left[\begin{array} {ccc}-4&0&0\\0&12&0\\ | ||
0&0&6\end{array} \right]</math>, w <math> | 0&0&6\end{array} \right]</math>, w <math>(\pm1,0,0)</math> - <math>\left[\begin{array} {ccc}8&0&0\\0&12&0\\ | ||
0&0&-6\end{array} \right]</math>, w <math> | 0&0&-6\end{array} \right]</math>, w <math>(0,4,0)</math> - <math>\left[\begin{array} {ccc}-4&0&0\\0&-12&0\\ | ||
0&0&-6\end{array} \right]</math>, w <math> | 0&0&-6\end{array} \right]</math>, w <math>(0,4,1)</math> - <math>\left[\begin{array} {ccc}-4&0&0\\0&-12&0\\ | ||
0&0&6\end{array} \right]</math>, w <math> | 0&0&6\end{array} \right]</math>, w <math>(\pm 1,4,0)</math> - <math>\left[\begin{array} {ccc}8&0&0\\0&-12&0\\ | ||
0&0&-6\end{array} \right]</math>, wreszcie w <math> | 0&0&-6\end{array} \right]</math>, wreszcie w <math>(\pm 1,4,1)</math> - <math>\left[\begin{array} {ccc}8&0&0\\0&-12&0\\ | ||
0&0&6\end{array} \right]</math>. | 0&0&6\end{array} \right]</math>. | ||
Stąd widać na mocy kryterium Sylvestera, że funkcja <math> | Stąd widać na mocy kryterium Sylvestera, że funkcja <math>f</math> ma minima | ||
w punktach <math> | w punktach <math>(1,0,1)</math> i <math>(-1,0,1)</math> i maksimum w punkcie <math>(0,4,0)</math> | ||
oraz, że są to jedyne ekstrema tej funkcji. | oraz, że są to jedyne ekstrema tej funkcji. | ||
<br> | <br> | ||
b) Warunek konieczny istnienia ekstremum prowadzi do układu | b) Warunek konieczny istnienia ekstremum prowadzi do układu | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left\{\begin{array} {l} | \left\{\begin{array} {l} | ||
3x^2+y-2z=0\\ | 3x^2+y-2z=0\\ | ||
Linia 573: | Linia 573: | ||
</math></center> | </math></center> | ||
którego rozwiązaniami są dwie trójki liczb <math> | którego rozwiązaniami są dwie trójki liczb <math>(-\frac12, | ||
-\frac54,-\frac14)</math> i <math> | -\frac54,-\frac14)</math> i <math>(1,-2,\frac12)</math>. Macierz drugiej różniczki | ||
<math> | <math>d_{(x,y,z)}^2g</math> ma postać | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left[\begin{array} {ccc}6x&1&-2\\1&2&0\\ | \left[\begin{array} {ccc}6x&1&-2\\1&2&0\\ | ||
-2&0&4\end{array} \right]. | -2&0&4\end{array} \right]. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Ponieważ | Ponieważ | ||
<center><math> | <center><math> | ||
{\rm det}\left[\begin{array} {ccc}-3&1&-2\\1&2&0\\ | {\rm det}\left[\begin{array} {ccc}-3&1&-2\\1&2&0\\ | ||
-2&0&4\end{array} \right]= -36\quad {\rm i}\quad {\rm | -2&0&4\end{array} \right]= -36\quad {\rm i}\quad {\rm | ||
Linia 587: | Linia 587: | ||
</math></center> | </math></center> | ||
funkcja <math> | funkcja <math>g</math> nie ma ekstremum w punkcie <math>(-\frac12, | ||
-\frac54,-\frac14)</math>, natomiast wobec | -\frac54,-\frac14)</math>, natomiast wobec | ||
<center><math> | <center><math> | ||
{\rm det}\left[\begin{array} {ccc}6&1&-2\\1&2&0\\ | {\rm det}\left[\begin{array} {ccc}6&1&-2\\1&2&0\\ | ||
-2&0&4\end{array} \right]= 36\quad {\rm i}\quad {\rm det} | -2&0&4\end{array} \right]= 36\quad {\rm i}\quad {\rm det} | ||
\left[\begin{array} {cc}6&1\\1&2\end{array} \right]=11 | \left[\begin{array} {cc}6&1\\1&2\end{array} \right]=11 | ||
</math></center> | </math></center> | ||
funkcja <math> | funkcja <math>g</math> ma minimum w punkcie <math>(1,-2,\frac12)</math>. | ||
<br> | <br> | ||
c) Funkcja <math> | c) Funkcja <math>h</math> zeruje się na czterech płaszczyznach: <math>x=0</math>, <math>y=0</math>, <math>z=0</math> i <math>x+y+z=4</math>. Pokażmy najpierw, że w żadnym punkcie pierwszych trzech z nich nie ma ekstremum. Weźmy punkt <math>(x_0,y_0,z_0)</math> leżący na płaszczyźnie <math>x=0</math> oraz zdefiniujmy funkcję <math>s(x,y,z)=yz(4-x-y-z)</math>. Mamy <math>x_0=0</math>. Ponieważ częścią wspólną każdych dwóch z naszych płaszczyzn jest tylko prosta, więc | ||
dowolnie blisko punktu <math> | dowolnie blisko punktu <math>(x_0,y_0,z_0)</math> możemy znaleźć taki punkt <math>(x_1,y_1,z_1)</math>, że <math>x_1=0</math> oraz <math>s(x_1,y_1,z_1)\neq 0</math>. Niech np. <math>s(x_1,y_1,z_1)> 0</math> (drugi przypadek jest symetryczny). Z ciągłości funkcji <math>s</math> dla dostatecznie małej liczby dodatniej <math>\delta</math> zachodzi <math>s(\delta, y_1,z_1)>0</math> oraz <math>s(-\delta, y_1,z_1)>0</math> (bo <math>x_1=0</math>). Ale wtedy <math>h(\delta, y_1,z_1)=\delta s(\delta, y_1,z_1)>0</math> oraz <math>h(-\delta, y_1,z_1)=-\delta s(-\delta, y_1,z_1)<0</math>, zatem funkcja <math>h</math> nie ma minimum w punkcie <math>(x_0,y_0,z_0)</math> (bo jest to miejsce zerowe, a dowolnie blisko tego miejsca funkcja <math>h</math> przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne). Analogicznie postępujemy z punktami z płaszczyzn <math>y=0</math> i | ||
<math> | <math>z=0</math>. | ||
Wobec tego wystarczy poszukać punktów krytycznych pod założeniem | Wobec tego wystarczy poszukać punktów krytycznych pod założeniem | ||
<math> | <math>x\neq 0, y\neq 0, z\neq 0</math>. Wtedy warunek konieczny istnienia | ||
ekstremum prowadzi do układu Cramera | ekstremum prowadzi do układu Cramera | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left\{\begin{array} {l} | \left\{\begin{array} {l} | ||
2x+y+z=4\\ | 2x+y+z=4\\ | ||
Linia 612: | Linia 612: | ||
</math></center> | </math></center> | ||
którego rozwiązaniem jest jedna trójka liczb <math> | którego rozwiązaniem jest jedna trójka liczb <math>(1,1,1)</math>. Macierz | ||
drugiej różniczki <math> | drugiej różniczki <math>d_{(x,y,z)}^2h</math> ma postać | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left[\begin{array} {ccc}-2yz&z(4-2x-2y-z)&y(4-2x-y-2z)\\z(4-2x-2y-z)&-2xz&x(4-x-2y-2z)\\ | \left[\begin{array} {ccc}-2yz&z(4-2x-2y-z)&y(4-2x-y-2z)\\z(4-2x-2y-z)&-2xz&x(4-x-2y-2z)\\ | ||
y(4-2x-y-2z)&x(4-x-2y-2z)&-2xy\end{array} \right]. | y(4-2x-y-2z)&x(4-x-2y-2z)&-2xy\end{array} \right]. | ||
Linia 620: | Linia 620: | ||
Ponieważ | Ponieważ | ||
<center><math> | <center><math> | ||
{\rm det}\left[\begin{array} {ccc}-2&-1&-1\\-1&-2&-1\\ | {\rm det}\left[\begin{array} {ccc}-2&-1&-1\\-1&-2&-1\\ | ||
-1&-1&-2\end{array} \right]= -4\quad {\rm i}\quad {\rm | -1&-1&-2\end{array} \right]= -4\quad {\rm i}\quad {\rm | ||
Linia 626: | Linia 626: | ||
</math></center> | </math></center> | ||
funkcja <math> | funkcja <math>h</math> ma maksimum w punkcie <math>(1,1,1)</math>. Jest to jedyne | ||
ekstremum tej funkcji. | ekstremum tej funkcji. | ||
</div></div> | </div></div> | ||
Linia 632: | Linia 632: | ||
{{cwiczenie|8.8.|| | {{cwiczenie|8.8.|| | ||
a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | ||
<center><math> | <center><math> | ||
f(x,y,z)= 4-x^2-\frac{y}x-\frac{z^2}y-\frac1z. | f(x,y,z)= 4-x^2-\frac{y}x-\frac{z^2}y-\frac1z. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
b) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | b) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\Phi(x,y,z)=\sin(x+y+z)-\sin{x}-\sin{y}-\sin{z} | \Phi(x,y,z)=\sin(x+y+z)-\sin{x}-\sin{y}-\sin{z} | ||
</math></center> | </math></center> | ||
w zbiorze | w zbiorze | ||
<math> | <math>(0,\pi)^2</math>. }} | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
Linia 651: | Linia 651: | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
a) Zakładamy, że <math> | a) Zakładamy, że <math>x,y,z\neq 0</math>. Otrzymany z warunku koniecznego układ równań | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left\{\begin{array} {l} | \left\{\begin{array} {l} | ||
-2x+\frac{y}{x^2}=0\\ | -2x+\frac{y}{x^2}=0\\ | ||
Linia 659: | Linia 659: | ||
</math></center> | </math></center> | ||
ma jedyne rozwiązanie - punkt <math> | ma jedyne rozwiązanie - punkt <math> | ||
\left(\frac{\sqrt[3]{2}}2,\frac12,\frac{\sqrt[3]{2}}2\right)</math>. | \left(\frac{\sqrt[3]{2}}2,\frac12,\frac{\sqrt[3]{2}}2\right)</math>. | ||
Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu | Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} | ||
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}= | \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}= | ||
-2-2\frac{y}{x^3},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}= | -2-2\frac{y}{x^3},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}= | ||
Linia 670: | Linia 670: | ||
i budujemy macierz drugiej różniczki | i budujemy macierz drugiej różniczki | ||
<math> | <math>d_{\left(\frac{\sqrt[3]{2}}2, | ||
\frac12,\frac{\sqrt[3]{2}}2\right)}^2f</math> w tym | \frac12,\frac{\sqrt[3]{2}}2\right)}^2f</math> w tym | ||
punkcie, która ma postać | punkcie, która ma postać | ||
<center><math> | <center><math> | ||
A=\left[\begin{array} {ccc}-6&2\sqrt[3]{2}&0\\2\sqrt[3]{2}&-4\sqrt[3]{4}&4\sqrt[3]{2}\\ | A=\left[\begin{array} {ccc}-6&2\sqrt[3]{2}&0\\2\sqrt[3]{2}&-4\sqrt[3]{4}&4\sqrt[3]{2}\\ | ||
0&4\sqrt[3]{2}&-12\end{array} \right].</math></center> | 0&4\sqrt[3]{2}&-12\end{array} \right].</math></center> | ||
Mamy det<math> | Mamy det<math>A=-144\sqrt[3]{4}<0,</math> | ||
det<math> | det<math>\left[\begin{array} {cc}-6&2\sqrt[3]{2}\\2\sqrt[3]{2}&-4\sqrt[3]{4}\end{array} \right]= | ||
20\sqrt[3]{4}>0</math> oraz <math> | 20\sqrt[3]{4}>0</math> oraz <math> -6<0</math>. Zatem z kryterium Sylvestera | ||
funkcja <math> | funkcja <math>f</math> ma maksimum w punkcie | ||
<math> | <math>\left(\frac{\sqrt[3]{2}}2,\frac12,\frac{\sqrt[3]{2}}2\right)</math>. | ||
<br> | <br> | ||
b) Otrzymujemy układ równań | b) Otrzymujemy układ równań | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left\{\begin{array} {l} | \left\{\begin{array} {l} | ||
\cos(x+y+z)=\cos{x}\\ | \cos(x+y+z)=\cos{x}\\ | ||
Linia 693: | Linia 693: | ||
</math></center> | </math></center> | ||
W szczególności <math> | W szczególności <math>\cos{x}=\cos y= \cos z</math>, czyli <math>x=y=z</math>, ponieważ | ||
<math> | <math>x,y,z\in (0,\pi)</math>. Zatem <math>0=\cos{3x}-\cos{x}=-2\sin{2x}\sin{x}</math>, | ||
a stąd <math> | a stąd <math>x=\frac{\pi}{2}</math>. Macierz drugiej różniczki | ||
<math> | <math>d_{(x,y,z)}^2\Phi</math> ma postać | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left[\begin{array} {ccc}\sin{x}-\sin(x+y+z)&-\sin(x+y+z)&-\sin(x+y+z)\\ | \left[\begin{array} {ccc}\sin{x}-\sin(x+y+z)&-\sin(x+y+z)&-\sin(x+y+z)\\ | ||
-\sin(x+y+z)&\sin{y}-\sin(x+y+z)&-\sin(x+y+z)\\ | -\sin(x+y+z)&\sin{y}-\sin(x+y+z)&-\sin(x+y+z)\\ | ||
Linia 703: | Linia 703: | ||
Ponieważ | Ponieważ | ||
<center><math> | <center><math> | ||
{\rm det}\left[\begin{array} {ccc}2&1&1\\1&2&1\\ | {\rm det}\left[\begin{array} {ccc}2&1&1\\1&2&1\\ | ||
1&1&2\end{array} \right]= 4\quad {\rm i}\quad {\rm | 1&1&2\end{array} \right]= 4\quad {\rm i}\quad {\rm | ||
Linia 709: | Linia 709: | ||
</math></center> | </math></center> | ||
funkcja <math> | funkcja <math>\Phi</math> ma w punkcie | ||
<math> | <math>(\frac{\pi}2,\frac{\pi}2,\frac{\pi}2)</math> minimum. | ||
</div></div> | </div></div> | ||
Linia 716: | Linia 716: | ||
{{cwiczenie|8.9.|| | {{cwiczenie|8.9.|| | ||
(Zadanie Huygensa) Pomiędzy liczby | (Zadanie Huygensa) Pomiędzy liczby | ||
dodatnie <math> | dodatnie <math>a</math> i <math>b</math> (<math>a\leq b</math>) wstawić liczby dodatnie | ||
<math> | <math>x_1,...,x_n</math> tak, aby ułamek | ||
<center><math> | <center><math>f(x_1,...,x_n)=\frac{x_1x_2...x_n}{(a+x_1)(x_1+x_2)...(x_{n-1}+x_n)(x_n+b)} | ||
</math></center> | </math></center> | ||
miał największą wartość. | miał największą wartość. | ||
Linia 724: | Linia 724: | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
Przyrównując pochodne cząstkowe pierwszego rzędu do zera należy pamiętać, że dziedziną naszej funkcji jest przedział <math> | Przyrównując pochodne cząstkowe pierwszego rzędu do zera należy pamiętać, że dziedziną naszej funkcji jest przedział <math>(0,+\infty)</math>. Wychodząc z układu równań otrzymanego z warunku koniecznego istnienia ekstremum, proszę | ||
wyrazić zależność między kolejnymi punktami <math> | wyrazić zależność między kolejnymi punktami <math>a, x_1, x_2,..., x_n, b</math> za pomocą liczby <math>q=\frac{x_1}{a}</math>. Jakiego rodzaju jest to zależność? | ||
By pokazać, że funkcja osiąga maksimum globalne w punkcie krytycznym, rozważamy najpierw prosty przypadek <math> | By pokazać, że funkcja osiąga maksimum globalne w punkcie krytycznym, rozważamy najpierw prosty przypadek <math>n=1</math> (mamy wtedy funkcję jednej zmiennej rzeczywistej). Następnie, jeśli <math>n>1</math> | ||
ustalamy dowolne <math> | ustalamy dowolne <math>n-1</math> zmiennych i rozważamy zacieśnienie naszej funkcji do półprostej -- mamy wtedy znowu funkcję jednej zmiennej. Co o niej możemy powiedzieć? Jak z tego wywnioskować naszą tezę? | ||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
Zauważmy, że <math> | Zauważmy, że <math>f</math> jest dobrze zdefiniowaną funkcją <math>n</math> zmiennych dodatnich. Jeśli przyjmiemy oznaczenia | ||
<center><math> | <center><math> | ||
x'=(x_2,...,x_n)\quad {\rm i} \quad p(x')= (x_2+x_3)...(x_{n-1}+x_n)(x_n+b), | x'=(x_2,...,x_n)\quad {\rm i} \quad p(x')= (x_2+x_3)...(x_{n-1}+x_n)(x_n+b), | ||
</math></center> | </math></center> | ||
to | to | ||
licznik pochodnej cząstkowej funkcji <math> | licznik pochodnej cząstkowej funkcji <math>f</math> po <math>x_1</math> wyraża się | ||
wzorem | wzorem | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} | ||
x_2...x_n(a+x_1)(x_1+x_2)p(x') | x_2...x_n(a+x_1)(x_1+x_2)p(x') | ||
-x_1x_2...x_n[(x_1+x_2)p(x')+(a+x_1)p(x')]=\\= | -x_1x_2...x_n[(x_1+x_2)p(x')+(a+x_1)p(x')]=\\= | ||
Linia 748: | Linia 748: | ||
</math></center> | </math></center> | ||
zatem zeruje się wtedy i tylko wtedy, gdy <math> | zatem zeruje się wtedy i tylko wtedy, gdy <math>ax_2-x_1^2=0</math>. | ||
Postępując analogicznie dla pozostałych zmiennych, uzyskamy układ | Postępując analogicznie dla pozostałych zmiennych, uzyskamy układ | ||
równań | równań | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left\{\begin{array} {l} | \left\{\begin{array} {l} | ||
ax_2-x_1^2=0\\x_1x_3-x_2^2=0\\\vdots\\x_{n-2}x_n-x_{n-1}^2=0\\ | ax_2-x_1^2=0\\x_1x_3-x_2^2=0\\\vdots\\x_{n-2}x_n-x_{n-1}^2=0\\ | ||
Linia 758: | Linia 758: | ||
Przekształcając te równania i porównując je, otrzymamy zależność | Przekształcając te równania i porównując je, otrzymamy zależność | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\frac{x_1}{a}=\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_3}{x_2}=...=\frac{x_{n-1}}{x_{n-2}}= | \frac{x_1}{a}=\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_3}{x_2}=...=\frac{x_{n-1}}{x_{n-2}}= | ||
\frac{x_n}{x_{n-1}}=\frac{b}{x_{n}}, | \frac{x_n}{x_{n-1}}=\frac{b}{x_{n}}, | ||
</math></center> | </math></center> | ||
co oznacza, że ciąg | co oznacza, że ciąg | ||
<math> | <math>a,x_1,x_2,...,x_n,b</math> jest geometryczny o ilorazie <math>\displaystyle | ||
q=\frac{x_1}{a}</math>. W konsekwencji <math> | q=\frac{x_1}{a}</math>. W konsekwencji <math>b=aq^{n+1}</math> i stąd | ||
<math> | <math>q=\sqrt[n+1]{\frac ba}</math>. Punktem krytycznym jest zatem | ||
<center><math> | <center><math> | ||
M(\sqrt[n+1]{a^nb}, \sqrt[n+1]{a^{n-1}b^2}, | M(\sqrt[n+1]{a^nb}, \sqrt[n+1]{a^{n-1}b^2}, | ||
\sqrt[n+1]{a^{n-2}b^3},...,\sqrt[n+1]{a^2b^{n-1}}, | \sqrt[n+1]{a^{n-2}b^3},...,\sqrt[n+1]{a^2b^{n-1}}, | ||
Linia 772: | Linia 772: | ||
</math></center> | </math></center> | ||
oraz | oraz | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} | ||
f(M)=\frac{\sqrt[n+1]{a^{1+2+...+n}b^{1+2+...+n}}} | f(M)=\frac{\sqrt[n+1]{a^{1+2+...+n}b^{1+2+...+n}}} | ||
{\sqrt[n+1]{a^n}(\sqrt[n+1]{a}+\sqrt[n+1]{b})\sqrt[n+1]{a^{n-1}b}(\sqrt[n+1]{a}+ | {\sqrt[n+1]{a^n}(\sqrt[n+1]{a}+\sqrt[n+1]{b})\sqrt[n+1]{a^{n-1}b}(\sqrt[n+1]{a}+ | ||
Linia 781: | Linia 781: | ||
Wystarczy jeszcze pokazać, że dla dowolnego punktu | Wystarczy jeszcze pokazać, że dla dowolnego punktu | ||
<math> | <math>P(x_1,...,x_n)\in (0,+\infty)^n</math> różnego od punktu <math>M</math> zachodzi | ||
<math> | <math>f(M)>f(P)</math>. Zanim to udowodnimy, zauważmy, że (co wynika jeszcze z | ||
układu równań uzyskanego z warunku koniecznego ekstremum) punkt | układu równań uzyskanego z warunku koniecznego ekstremum) punkt | ||
<math> | <math>P(x_1,...,x_k)=M</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <center><math> | ||
x_1=\sqrt{ax_2}, | x_1=\sqrt{ax_2}, | ||
x_2=\sqrt{x_1x_3},...,x_{n-1}=\sqrt{x_{n-2}x_n}, | x_2=\sqrt{x_1x_3},...,x_{n-1}=\sqrt{x_{n-2}x_n}, | ||
Linia 790: | Linia 790: | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Rozważmy teraz przypadek <math> | Rozważmy teraz przypadek <math>n=1</math>. Szukamy wtedy maximum funkcji | ||
<math>\displaystyleh(x)=\frac{x}{(a+x)(x+b)}</math> jednej zmiennej | <math>\displaystyleh(x)=\frac{x}{(a+x)(x+b)}</math> jednej zmiennej | ||
dodatniej <math> | dodatniej <math>x</math>. Z powyższego rozumowania wiemy, że punktem | ||
krytycznym jest punkt <math> | krytycznym jest punkt <math>\sqrt{ab}</math>. Chcemy teraz pokazać, że | ||
<math> | <math>h(x)<h(\sqrt{ab})</math> dla dowolnego | ||
<math> | <math>x\in(0,\sqrt{ab})\cup(\sqrt{ab}, +\infty)</math>. Można to udowodnić, | ||
wykorzystując rachunek różniczkowy jednej zmiennej rzeczywistej | wykorzystując rachunek różniczkowy jednej zmiennej rzeczywistej | ||
(zachęcamy do tego ćwiczenia jako przypomnienia z Analizy | (zachęcamy do tego ćwiczenia jako przypomnienia z Analizy | ||
matematycznej I), ale można też zrobić to bardziej elementarnie. | matematycznej I), ale można też zrobić to bardziej elementarnie. | ||
Mamy mianowicie <math> | Mamy mianowicie <math>(x-\sqrt{ab})^2\geq 0</math> dla dowolnej liczby | ||
rzeczywistej <math> | rzeczywistej <math>x</math>, a równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy | ||
<math> | <math>x=\sqrt{ab}</math>. Przekształcając tę nierówność, otrzymujemy kolejno | ||
<math> | <math>x^2+ab\geq 2\sqrt{ab}x</math>, a stąd <math>ax+x^2+ab +bx\geq | ||
(a+2\sqrt{ab}+b)x</math>, czyli <math> | (a+2\sqrt{ab}+b)x</math>, czyli <math>(a+x)(x+b)\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2x</math>, | ||
co jest równoważne nierówności <math> | co jest równoważne nierówności <math>h(x)\leq h(\sqrt{ab})</math> i równość | ||
zachodzi dokładnie wtedy, gdy <math> | zachodzi dokładnie wtedy, gdy <math>x=\sqrt{ab}</math>, co dowodzi naszej | ||
tezy w tym przypadku. | tezy w tym przypadku. | ||
Teraz, jeśli <math> | Teraz, jeśli <math>n</math> jest dowolną liczbą naturalną większą od 1, | ||
ustalmy dowolną liczbę <math> | ustalmy dowolną liczbę <math>k\in\{1,2,...,n\}</math> oraz <math>n-1</math> dowolnie | ||
wybranych liczb dodatnich <math> | wybranych liczb dodatnich <math>x_1,...,x_{k-1},x_{k+1},..., x_n</math> i | ||
rozważmy funkcję | rozważmy funkcję | ||
<center><math> | <center><math>g(x)=f(x_1,x_2,...,x_{k-1},x,x_{k+1},...,x_n).</math></center> | ||
Zauważmy, że | Zauważmy, że | ||
jest to funkcja <math> | jest to funkcja <math>h</math> z poprzedniego przypadku, dla przedziału | ||
<math> | <math>(x_{k-1},x_{k+1})</math> (lub <math>(x_{k+1},x_{k-1})</math>, jeśli liczba | ||
<math> | <math>x_{k+1}</math> jest mniejsza od <math>x_{k-1}</math>), pomnożona przez stałą | ||
dodatnią. Zatem z poprzedniego rozumowania funkcja <math> | dodatnią. Zatem z poprzedniego rozumowania funkcja <math>g</math> osiąga | ||
silne maksimum w punkcie <math> | silne maksimum w punkcie <math>x_k=\sqrt{x_{k-1}x_{k+1}}</math>. Zatem | ||
ogólnie funkcja <math> | ogólnie funkcja <math>f</math> osiąga silne maksimum w punkcie | ||
<math> | <math>P(x_1,...,x_k)</math>, dokładnie wtedy, gdy zachodzą związki | ||
<center><math> | <center><math> | ||
x_1=\sqrt{ax_2}, x_2=\sqrt{x_1x_3},...,x_{n-1}=\sqrt{x_{n-2}x_n}, | x_1=\sqrt{ax_2}, x_2=\sqrt{x_1x_3},...,x_{n-1}=\sqrt{x_{n-2}x_n}, | ||
x_n=\sqrt{x_{n-1}b}, | x_n=\sqrt{x_{n-1}b}, | ||
</math></center> | </math></center> | ||
czyli dokładnie wtedy, gdy <math> | czyli dokładnie wtedy, gdy <math>P=M</math>. | ||
</div></div> | </div></div> |
Wersja z 08:43, 28 sie 2023
Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Ćwiczenia
Ćwiczenie 8.1.
a) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji w punkcie .
b) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji w punkcie .
c) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji w punkcie .
d) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję w punkcie .
Ćwiczenie 8.2.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b)
c) Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleh”): {\displaystyle \displaystyleh(x,y) = 2xy+\frac{1}{x}+\frac{2}{y}} .Ćwiczenie 8.3.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b) ,
c) ,
d) .
Ćwiczenie 8.4.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b)
w zbiorze .
Ćwiczenie 8.5.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b) ,
c) .
Czy otrzymane ekstrema są też globalne?
Ćwiczenie 8.6.
a) Pokazać, że funkcja ma nieskończenie wiele minimów, natomiast nie ma żadnego maksimum.
b) Pokazać, że funkcja nie ma minimum w punkcie , ale jej zacieśnienie do dowolnej prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych ma silne minimum w tym punkcie.
Ćwiczenie 8.7.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b) ,
c) .
Ćwiczenie 8.8.
a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
b) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
w zbiorze
.Ćwiczenie 8.9.
(Zadanie Huygensa) Pomiędzy liczby dodatnie i () wstawić liczby dodatnie tak, aby ułamek
miał największą wartość.