PS Moduł 4: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycjanastępna edycja →
WizualnieWikikod
Daniel-PW (dyskusja | edycje)
2699 edycji
Nie podano opisu zmian
m Zastępowanie tekstu – „,</math>” na „</math>,”
Linia 2: Linia 2:
|width="500px" valign="top"|[[Grafika:PS_M4_Slajd1.png|thumb|500px]]
|width="500px" valign="top"|[[Grafika:PS_M4_Slajd1.png|thumb|500px]]
|valign="top"|
|valign="top"|
*Przypominamy, że sygnały dyskretne o skończonej energii należą do przestrzeni Hilberta <math>l^2\,</math> , w której iloczyn skalarny jest określony wzorem <math>(x, y)_{l^2}=\sum_{-\infty}^{\infty} {x(nT_s)y^{*}(nT_s)}</math>  .
*Przypominamy, że sygnały dyskretne o skończonej energii należą do przestrzeni Hilberta <math>l^2\</math>, , w której iloczyn skalarny jest określony wzorem <math>(x, y)_{l^2}=\sum_{-\infty}^{\infty} {x(nT_s)y^{*}(nT_s)}</math>  .
*Celowo przyjmujemy na razie nieunormowaną skalę czasu.
*Celowo przyjmujemy na razie nieunormowaną skalę czasu.
*Podobnie jak w przypadku sygnałów analogowych widmo sygnału dyskretnego jest w ogólnym przypadku ciągłą funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej <math>\omega\,</math> .   
*Podobnie jak w przypadku sygnałów analogowych widmo sygnału dyskretnego jest w ogólnym przypadku ciągłą funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej <math>\omega\</math>, .   
*W teorii sygnałów dyskretnych argument widma  jest oznaczany zwyczajowo przez <math>e^{j\omega T_s}\,</math> , a nie w sposób naturalny przez <math>\omega\,</math> .   
*W teorii sygnałów dyskretnych argument widma  jest oznaczany zwyczajowo przez <math>e^{j\omega T_s}\</math>, , a nie w sposób naturalny przez <math>\omega\</math>, .   


|}
|}
Linia 14: Linia 14:
|width="500px" valign="top"|[[Grafika:PS_M4_Slajd2.png|thumb|500px]]
|width="500px" valign="top"|[[Grafika:PS_M4_Slajd2.png|thumb|500px]]
|valign="top"|
|valign="top"|
*Okresowość widm sygnałów dyskretnych jest ich podstawową cechą. Gdybyśmy widma te wyrazili w funkcji częstotliwości <math>f=\omega/2\pi</math> , ich okres byłby równy częstotliwości próbkowania <math>f_s\,</math> .  
*Okresowość widm sygnałów dyskretnych jest ich podstawową cechą. Gdybyśmy widma te wyrazili w funkcji częstotliwości <math>f=\omega/2\pi</math> , ich okres byłby równy częstotliwości próbkowania <math>f_s\</math>, .  
*Jeśli widmo sygnału dyskretnego jest wyrażone w funkcji pulsacji unormowanej <math>\theta=\omega/2\pi</math> , jego okres jest równy <math>2\pi\,</math> .
*Jeśli widmo sygnału dyskretnego jest wyrażone w funkcji pulsacji unormowanej <math>\theta=\omega/2\pi</math> , jego okres jest równy <math>2\pi\</math>, .
*Widmo (4.2) można także zapisać w funkcji częstotliwości unormowanej <math>\nu=\omega/{\omega_s}=f/f_s=\theta/2\pi</math> . Jego okres jest wówczas równy <math>1\,</math>.  
*Widmo (4.2) można także zapisać w funkcji częstotliwości unormowanej <math>\nu=\omega/{\omega_s}=f/f_s=\theta/2\pi</math> . Jego okres jest wówczas równy <math>1\</math>,.  


|}
|}
Linia 25: Linia 25:
|width="500px" valign="top"|[[Grafika:PS_M4_Slajd3.png|thumb|500px]]
|width="500px" valign="top"|[[Grafika:PS_M4_Slajd3.png|thumb|500px]]
|valign="top"|
|valign="top"|
*Widmo impulsu Kroneckera jest stałe przedziale <math>-\pi\le \theta \le \pi\,</math> , a zarazem na całej osi <math>\theta\,</math> .  
*Widmo impulsu Kroneckera jest stałe przedziale <math>-\pi\le \theta \le \pi\</math>, , a zarazem na całej osi <math>\theta\</math>, .  
*Korzystanie ze wzorów na sumę skończonego lub nieskończonego szeregu geometrycznego jest charakterystyczne dla obliczania widm wielu sygnałów dyskretnych.  
*Korzystanie ze wzorów na sumę skończonego lub nieskończonego szeregu geometrycznego jest charakterystyczne dla obliczania widm wielu sygnałów dyskretnych.  


Linia 35: Linia 35:
|width="500px" valign="top"|[[Grafika:PS_M4_Slajd4.png|thumb|500px]]
|width="500px" valign="top"|[[Grafika:PS_M4_Slajd4.png|thumb|500px]]
|valign="top"|
|valign="top"|
*Wykres widma amplitudowego dyskretnego impulsu prostokątnego został sporządzony dla <math>N=6\,</math>  w przedziale <math>[-3\pi, 3\pi]\,</math> . Jeśli <math>N\,</math>  rośnie, wysokość okresowo powtarzanych „listków” głównych widma rośnie, a ich szerokość maleje. Jednocześnie maleje poziom listków bocznych.
*Wykres widma amplitudowego dyskretnego impulsu prostokątnego został sporządzony dla <math>N=6\</math>, w przedziale <math>[-3\pi, 3\pi]\</math>, . Jeśli <math>N\</math>, rośnie, wysokość okresowo powtarzanych „listków” głównych widma rośnie, a ich szerokość maleje. Jednocześnie maleje poziom listków bocznych.
*Zwiększając <math>N\,</math>  do nieskończoności otrzymujemy w granicy dyskretny sygnał stały. Przejściu granicznemu towarzyszy wzrost wysokości listków głównych widma do nieskończoności i zanikanie listków bocznych  do zera. W efekcie otrzymujemy dystrybucję grzebieniową w dziedzinie częstotliwości (rys. b)
*Zwiększając <math>N\</math>, do nieskończoności otrzymujemy w granicy dyskretny sygnał stały. Przejściu granicznemu towarzyszy wzrost wysokości listków głównych widma do nieskończoności i zanikanie listków bocznych  do zera. W efekcie otrzymujemy dystrybucję grzebieniową w dziedzinie częstotliwości (rys. b)
*Wzór (4.4) określa wartości kolejnych próbek sygnału dla <math>n \epsilon \Box\,</math> .  
*Wzór (4.4) określa wartości kolejnych próbek sygnału dla <math>n \epsilon \Box\</math>, .  


|}
|}
Linia 55: Linia 55:
|width="500px" valign="top"|[[Grafika:PS_M4_Slajd6.png|thumb|500px]]
|width="500px" valign="top"|[[Grafika:PS_M4_Slajd6.png|thumb|500px]]
|valign="top"|
|valign="top"|
*Uogólnione twierdzenie Rayleigha wyraża równość iloczynów skalarnych w przestrzeni <math>l^2\,</math>  sygnałów dyskretnych i przestrzeni <math>{L^2}_{2\pi}\,</math>  ich okresowych widm.
*Uogólnione twierdzenie Rayleigha wyraża równość iloczynów skalarnych w przestrzeni <math>l^2\</math>, sygnałów dyskretnych i przestrzeni <math>{L^2}_{2\pi}\</math>, ich okresowych widm.
*Twierdzenie Parsevala wyraża równość norm w obu tych przestrzeniach.
*Twierdzenie Parsevala wyraża równość norm w obu tych przestrzeniach.


Linia 65: Linia 65:
|width="500px" valign="top"|[[Grafika:PS_M4_Slajd7.png|thumb|500px]]
|width="500px" valign="top"|[[Grafika:PS_M4_Slajd7.png|thumb|500px]]
|valign="top"|
|valign="top"|
*Sygnały <math>N\,</math>-okresowe są szczególnym przypadkiem sygnałów dyskretnych. Powstają one np. w wyniku próbkowania okresowych sygnałów analogowych dokładnie <math>N\,</math>  razy w okresie.
*Sygnały <math>N\</math>,-okresowe są szczególnym przypadkiem sygnałów dyskretnych. Powstają one np. w wyniku próbkowania okresowych sygnałów analogowych dokładnie <math>N\</math>, razy w okresie.
*W celu podkreślenia <math>N\,</math>-okresowości sygnałów są one oznaczane z kreską u góry.
*W celu podkreślenia <math>N\</math>,-okresowości sygnałów są one oznaczane z kreską u góry.
*Sygnały bazowe <math>\left \{ e^{j2\pi kn/N}: k=0,...N-1}\right \} </math>  w przestrzeni Hilberta <math>{l^2}_N\,</math> pełnią podobną rolę jak sygnały bazowe <math>\left \{ e^{jk\omega_0 t}: k\epsilon \Box}\right \} </math>  w przestrzeni Hilberta <math>{L^2}_{T_0}\,</math> , <math>T_0=2\pi/{\omega_0}</math> . Zasadnicza różnica polega jednak na tym, że w przypadku przestrzeni  <math>{l^2}_N\,</math>  baza jest skończona.
*Sygnały bazowe <math>\left \{ e^{j2\pi kn/N}: k=0,...N-1}\right \} </math>  w przestrzeni Hilberta <math>{l^2}_N\</math>, pełnią podobną rolę jak sygnały bazowe <math>\left \{ e^{jk\omega_0 t}: k\epsilon \Box}\right \} </math>  w przestrzeni Hilberta <math>{L^2}_{T_0}\</math>, , <math>T_0=2\pi/{\omega_0}</math> . Zasadnicza różnica polega jednak na tym, że w przypadku przestrzeni  <math>{l^2}_N\</math>,   baza jest skończona.


|}
|}
Linia 76: Linia 76:
|width="500px" valign="top"|[[Grafika:PS_M4_Slajd8.png|thumb|500px]]
|width="500px" valign="top"|[[Grafika:PS_M4_Slajd8.png|thumb|500px]]
|valign="top"|
|valign="top"|
*W przeciwieństwie do widm nieokresowych sygnałów dyskretnych, które są funkcjami ciągłymi pulsacji unormowanej <math>\theta\,</math> , widma sygnałów <math>N\,</math> -okresowych są dyskretnymi funkcjami pulsacji unormowanej określonymi w punktach <math>\theta_k=2\pi k/N</math>  (dlatego ich argument jest oznaczany przez <math>k\,</math> ). Zachowują one oczywiście ogólną cechę okresowości widm sygnałów dyskretnych, przy czym widmo sygnału <math>N\,</math> -okresowego  jest również <math>N\,</math> -okresowe.  
*W przeciwieństwie do widm nieokresowych sygnałów dyskretnych, które są funkcjami ciągłymi pulsacji unormowanej <math>\theta\</math>, , widma sygnałów <math>N\</math>, -okresowych są dyskretnymi funkcjami pulsacji unormowanej określonymi w punktach <math>\theta_k=2\pi k/N</math>  (dlatego ich argument jest oznaczany przez <math>k\</math>, ). Zachowują one oczywiście ogólną cechę okresowości widm sygnałów dyskretnych, przy czym widmo sygnału <math>N\</math>, -okresowego  jest również <math>N\</math>, -okresowe.  
*W praktyce liczbę <math>N\,</math> wybiera się z reguły jako parzystą.
*W praktyce liczbę <math>N\</math>, wybiera się z reguły jako parzystą.
*Znając <math>N\,</math>  wartości widma sygnału <math>N\,</math> -okresowego (a dla <math>N\,</math>  parzystych  <math>N/2+1\,</math> wartości) można ze wzoru (4.5) obliczyć jego próbki. Problem odwrotny, tj. sposób wyznaczania widma sygnału <math>N\,</math> -okresowego na podstawie jego próbek rozpatrzymy później.
*Znając <math>N\</math>, wartości widma sygnału <math>N\</math>, -okresowego (a dla <math>N\</math>, parzystych  <math>N/2+1\</math>, wartości) można ze wzoru (4.5) obliczyć jego próbki. Problem odwrotny, tj. sposób wyznaczania widma sygnału <math>N\</math>, -okresowego na podstawie jego próbek rozpatrzymy później.




Linia 91: Linia 91:
*DPF jest nie tylko punktem wyjścia do opracowania odpowiednich metod numerycznych obliczania widma, ale także silnym narzędziem teoretycznym analizy, syntezy i przetwarzania sygnałów dyskretnych.
*DPF jest nie tylko punktem wyjścia do opracowania odpowiednich metod numerycznych obliczania widma, ale także silnym narzędziem teoretycznym analizy, syntezy i przetwarzania sygnałów dyskretnych.
*Milcząco zakładamy tu, że pozostałe próbki sygnału impulsowego są zerowe.  
*Milcząco zakładamy tu, że pozostałe próbki sygnału impulsowego są zerowe.  
*Liczbę punktów pulsacji unormowanej <math>\theta\,</math> , w których obliczamy dyskretne wartości widma sygnału sensownie jest wybrać równą liczbie <math>N\,</math> próbek sygnału.
*Liczbę punktów pulsacji unormowanej <math>\theta\</math>, , w których obliczamy dyskretne wartości widma sygnału sensownie jest wybrać równą liczbie <math>N\</math>, próbek sygnału.


|}
|}
Linia 100: Linia 100:
|width="500px" valign="top"|[[Grafika:PS_M4_Slajd10.png|thumb|500px]]
|width="500px" valign="top"|[[Grafika:PS_M4_Slajd10.png|thumb|500px]]
|valign="top"|
|valign="top"|
*Widmo dyskretne jest oczywiście funkcją okresową zmiennej <math>k\,</math>  o okresie równym <math>N\,</math> .  
*Widmo dyskretne jest oczywiście funkcją okresową zmiennej <math>k\</math>, o okresie równym <math>N\</math>, .  
*Wykres dyskretnego widma amplitudowego impulsu prostokątnego sporządzono w środkowym jego okresie <math>(-N/2, N/2]=(-4, 4]</math> odpowiadającym przedziałowi <math>(-\pi, \pi]\,</math>  na ciągłej skali zmiennej <math>\theta\,</math> . Jego próbki są oczywiście położone na krzywej ciągłej <math>A(e^{j\theta})\,</math> . Jak widać jednak tylko jedna, centralna próbka jest niezerowa. Tak więc w tym przypadku widmo dyskretne <math>\left \{ X(k): k=0,...,N-1}\right \} </math>  bardzo niedokładnie oddaje charakter widma ciągłego <math>X(e^{j\theta})\,</math> . Stanowi to wadę DTF związaną z jej małą rozdzielczością.  
*Wykres dyskretnego widma amplitudowego impulsu prostokątnego sporządzono w środkowym jego okresie <math>(-N/2, N/2]=(-4, 4]</math> odpowiadającym przedziałowi <math>(-\pi, \pi]\</math>, na ciągłej skali zmiennej <math>\theta\</math>, . Jego próbki są oczywiście położone na krzywej ciągłej <math>A(e^{j\theta})\</math>, . Jak widać jednak tylko jedna, centralna próbka jest niezerowa. Tak więc w tym przypadku widmo dyskretne <math>\left \{ X(k): k=0,...,N-1}\right \} </math>  bardzo niedokładnie oddaje charakter widma ciągłego <math>X(e^{j\theta})\</math>, . Stanowi to wadę DTF związaną z jej małą rozdzielczością.  


|}
|}
Linia 110: Linia 110:
|width="500px" valign="top"|[[Grafika:PS_M4_Slajd11.png|thumb|500px]]
|width="500px" valign="top"|[[Grafika:PS_M4_Slajd11.png|thumb|500px]]
|valign="top"|
|valign="top"|
*<math>{\mathfrak{F}^{-1}}_D\,</math>  -transformata wynika w istocie rzeczy z rozwiązania układu równań (4.7) względem niewiadomych <math>x(n)\,</math>, <math>n=0,...,N-1\,</math> przy  założeniu znajomości próbek widmowych <math>X(k)\,</math>, <math>k=0,...,N-1\,</math> .  
*<math>{\mathfrak{F}^{-1}}_D\</math>, -transformata wynika w istocie rzeczy z rozwiązania układu równań (4.7) względem niewiadomych <math>x(n)\</math>,, <math>n=0,...,N-1\</math>, przy  założeniu znajomości próbek widmowych <math>X(k)\</math>,, <math>k=0,...,N-1\</math>, .  
*<math>N\,</math> -okresowość <math>{\mathfrak{F}^{-1}}_D\,</math> -transformaty wynika z <math>N\,</math> -okresowości widma dyskretnego <math>X[k]\,</math> . Sytuacja jest tu analogiczna do rozwinięcia nieokresowego impulsowego sygnału analogowego określonego w skończonym przedziale <math>[0, T]\,</math> w trygonometryczny szereg Fouriera,  który jest zarazem szeregiem Fouriera okresowego przedłużenia tego sygnału z okresem <math>T\,</math> .
*<math>N\</math>, -okresowość <math>{\mathfrak{F}^{-1}}_D\</math>, -transformaty wynika z <math>N\</math>, -okresowości widma dyskretnego <math>X[k]\</math>, . Sytuacja jest tu analogiczna do rozwinięcia nieokresowego impulsowego sygnału analogowego określonego w skończonym przedziale <math>[0, T]\</math>, w trygonometryczny szereg Fouriera,  który jest zarazem szeregiem Fouriera okresowego przedłużenia tego sygnału z okresem <math>T\</math>, .


|}
|}
Linia 120: Linia 120:
|width="500px" valign="top"|[[Grafika:PS_M4_Slajd12.png|thumb|500px]]
|width="500px" valign="top"|[[Grafika:PS_M4_Slajd12.png|thumb|500px]]
|valign="top"|
|valign="top"|
*Z formalnego punktu widzenie DPF sygnału <math>N\,</math> -okresowego można traktować jako wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie przestrzeni Hilberta <math>{l^2}_N\,</math> ciągów <math>N\,</math> -okresowych w dziedzinie czas w przestrzeń Hilberta <math>{l^2}_N\,</math> ciągów <math>N\,</math> -okresowych w dziedzinie częstotliwości.  
*Z formalnego punktu widzenie DPF sygnału <math>N\</math>, -okresowego można traktować jako wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie przestrzeni Hilberta <math>{l^2}_N\</math>, ciągów <math>N\</math>, -okresowych w dziedzinie czas w przestrzeń Hilberta <math>{l^2}_N\</math>, ciągów <math>N\</math>, -okresowych w dziedzinie częstotliwości.  
*Istnieje zasadnicza różnica między DTF sygnału impulsowego <math>x[n]\,</math> a DTF jego przedłużenia okresowego <math>\overline{x} [n]\,</math> , mimo że są one określone tym samym wyrażeniem. Podkreślmy raz jeszcze, że widmo <math>X(e^{j\theta})\,</math>  sygnału impulsowego jest funkcją zmiennej ciągłej <math>\theta\,</math> , a  DTF tego sygnału określa jedynie wartości tego widma w dyskretnych punktach <math>\theta_k=2\pi k/N\,</math> . Natomiast DTF przedłużenia okresowego <math>\overline{x} [n]\,</math> sygnału <math>x[n]\,</math> określa dokładne widmo sygnału okresowego, które z natury rzeczy jest dyskretne.  
*Istnieje zasadnicza różnica między DTF sygnału impulsowego <math>x[n]\</math>, a DTF jego przedłużenia okresowego <math>\overline{x} [n]\</math>, , mimo że są one określone tym samym wyrażeniem. Podkreślmy raz jeszcze, że widmo <math>X(e^{j\theta})\</math>, sygnału impulsowego jest funkcją zmiennej ciągłej <math>\theta\</math>, , a  DTF tego sygnału określa jedynie wartości tego widma w dyskretnych punktach <math>\theta_k=2\pi k/N\</math>, . Natomiast DTF przedłużenia okresowego <math>\overline{x} [n]\</math>, sygnału <math>x[n]\</math>, określa dokładne widmo sygnału okresowego, które z natury rzeczy jest dyskretne.  
*DFT jest  symetryczne (ze sprzężeniem) względem punktu <math>N/2\,</math>  .  
*DFT jest  symetryczne (ze sprzężeniem) względem punktu <math>N/2\</math>, .  
|}
|}


Linia 130: Linia 130:
|width="500px" valign="top"|[[Grafika:PS_M4_Slajd13.png|thumb|500px]]
|width="500px" valign="top"|[[Grafika:PS_M4_Slajd13.png|thumb|500px]]
|valign="top"|
|valign="top"|
*Jeśli sygnał jest rzeczywisty, to próbka widma <math>X(0)\,</math> jest rzeczywista. Jeśli sygnał jest rzeczywisty oraz <math>N\,</math> jest parzyste, to próbka <math>X(n/2)\,</math>  jest rzeczywista.
*Jeśli sygnał jest rzeczywisty, to próbka widma <math>X(0)\</math>, jest rzeczywista. Jeśli sygnał jest rzeczywisty oraz <math>N\</math>, jest parzyste, to próbka <math>X(n/2)\</math>, jest rzeczywista.
*W wyniku przesunięcia sygnału o <math>m\,</math>  próbek, jego dyskretne widmo amplitudowe nie ulega zmianie, a widmo fazowe zmienia się o wartości <math>-2\pi km/N\,</math> . W wyniku mnożenia  sygnału przez dyskretny sygnał harmoniczny o pulsacji unormowanej <math>2\pi m/N\,</math>  jego widmo ulega przesunięciu o <math>m\,</math>  próbek.
*W wyniku przesunięcia sygnału o <math>m\</math>, próbek, jego dyskretne widmo amplitudowe nie ulega zmianie, a widmo fazowe zmienia się o wartości <math>-2\pi km/N\</math>, . W wyniku mnożenia  sygnału przez dyskretny sygnał harmoniczny o pulsacji unormowanej <math>2\pi m/N\</math>, jego widmo ulega przesunięciu o <math>m\</math>, próbek.
*Można łatwo sprawdzić, że widmo rozpatrywanego w przykładzie sygnału okresowego spełnia właściwości 2-4 oraz twierdzenie Parsevala.  
*Można łatwo sprawdzić, że widmo rozpatrywanego w przykładzie sygnału okresowego spełnia właściwości 2-4 oraz twierdzenie Parsevala.  


Linia 141: Linia 141:
|width="500px" valign="top"|[[Grafika:PS_M4_Slajd14.png|thumb|500px]]
|width="500px" valign="top"|[[Grafika:PS_M4_Slajd14.png|thumb|500px]]
|valign="top"|
|valign="top"|
*Sygnał odtworzony z <math>N\,</math> -punktowej DFT <math>\left \{ X(k): k=0,...,N-1}\right \} </math>  danego sygnału <math>x[n]\,</math>  jest powieleniem okresowym tego sygnału z okresem <math>N\,</math> . Jeżeli czas trwania <math>N_0\,</math>  sygnału <math>x[n]\,</math> jest większy od <math>N\,</math> ( w szczególności nieskończony), to poszczególne powielone kopie sygnału <math>x[n]\,</math>  nakładają się na siebie i nie jest możliwe dokładnie odtworzenie jego próbek.
*Sygnał odtworzony z <math>N\</math>, -punktowej DFT <math>\left \{ X(k): k=0,...,N-1}\right \} </math>  danego sygnału <math>x[n]\</math>, jest powieleniem okresowym tego sygnału z okresem <math>N\</math>, . Jeżeli czas trwania <math>N_0\</math>, sygnału <math>x[n]\</math>, jest większy od <math>N\</math>, ( w szczególności nieskończony), to poszczególne powielone kopie sygnału <math>x[n]\</math>, nakładają się na siebie i nie jest możliwe dokładnie odtworzenie jego próbek.


|}
|}
Linia 151: Linia 151:
|valign="top"|
|valign="top"|
*Zjawisko nakładania się powielonych okresowo kopii sygnału jest nazywane ''aliasingiem w dziedzinie czasu'', a wynikający stąd błąd odtworzenia  – ''błędem aliasingu''.
*Zjawisko nakładania się powielonych okresowo kopii sygnału jest nazywane ''aliasingiem w dziedzinie czasu'', a wynikający stąd błąd odtworzenia  – ''błędem aliasingu''.
*W przypadku sygnału o nieskończonym czasie trwania błąd ''aliasingu''  jest tym mniejszy, im większe jest <math>N\,</math> oraz im szybciej sygnał maleje do zera, gdy <math>n\to \pm \infty\,</math> . W przypadku sygnału o skończonym czasie trwania <math>N_0\,</math>  błąd ten jest tym mniejszy, im mniejsza jest różnica <math>N_0-N\,</math> .
*W przypadku sygnału o nieskończonym czasie trwania błąd ''aliasingu''  jest tym mniejszy, im większe jest <math>N\</math>, oraz im szybciej sygnał maleje do zera, gdy <math>n\to \pm \infty\</math>, . W przypadku sygnału o skończonym czasie trwania <math>N_0\</math>, błąd ten jest tym mniejszy, im mniejsza jest różnica <math>N_0-N\</math>, .


|}
|}


<hr width="100%">
<hr width="100%">

Wersja z 09:33, 5 wrz 2023
  • Przypominamy, że sygnały dyskretne o skończonej energii należą do przestrzeni Hilberta Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l^2\} , , w której iloczyn skalarny jest określony wzorem (x,y)l2=∑−∞∞x(nTs)y*(nTs) .
  • Celowo przyjmujemy na razie nieunormowaną skalę czasu.
  • Podobnie jak w przypadku sygnałów analogowych widmo sygnału dyskretnego jest w ogólnym przypadku ciągłą funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \omega\} , .
  • W teorii sygnałów dyskretnych argument widma jest oznaczany zwyczajowo przez Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle e^{j\omega T_s}\} , , a nie w sposób naturalny przez Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \omega\} , .
  • Okresowość widm sygnałów dyskretnych jest ich podstawową cechą. Gdybyśmy widma te wyrazili w funkcji częstotliwości f=ω/2π , ich okres byłby równy częstotliwości próbkowania Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle f_s\} , .
  • Jeśli widmo sygnału dyskretnego jest wyrażone w funkcji pulsacji unormowanej θ=ω/2π , jego okres jest równy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2\pi\} , .
  • Widmo (4.2) można także zapisać w funkcji częstotliwości unormowanej ν=ω/ωs=f/fs=θ/2π . Jego okres jest wówczas równy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1\} ,.
  • Widmo impulsu Kroneckera jest stałe przedziale Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle -\pi\le \theta \le \pi\} , , a zarazem na całej osi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \theta\} , .
  • Korzystanie ze wzorów na sumę skończonego lub nieskończonego szeregu geometrycznego jest charakterystyczne dla obliczania widm wielu sygnałów dyskretnych.
  • Wykres widma amplitudowego dyskretnego impulsu prostokątnego został sporządzony dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N=6\} , w przedziale Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle [-3\pi, 3\pi]\} , . Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , rośnie, wysokość okresowo powtarzanych „listków” głównych widma rośnie, a ich szerokość maleje. Jednocześnie maleje poziom listków bocznych.
  • Zwiększając Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , do nieskończoności otrzymujemy w granicy dyskretny sygnał stały. Przejściu granicznemu towarzyszy wzrost wysokości listków głównych widma do nieskończoności i zanikanie listków bocznych do zera. W efekcie otrzymujemy dystrybucję grzebieniową w dziedzinie częstotliwości (rys. b)
  • Wzór (4.4) określa wartości kolejnych próbek sygnału dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n \epsilon \Box\} , .
  • Twierdzenia dotyczące przekształcenia Fouriera sygnałów dyskretnych mają swoje ścisłe odpowiedniki w twierdzeniach dotyczących przekształcenia Fouriera sygnałów analogowych. Podobna też jest ich interpretacja.
  • Uogólnione twierdzenie Rayleigha wyraża równość iloczynów skalarnych w przestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l^2\} , sygnałów dyskretnych i przestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle {L^2}_{2\pi}\} , ich okresowych widm.
  • Twierdzenie Parsevala wyraża równość norm w obu tych przestrzeniach.
  • Sygnały Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} ,-okresowe są szczególnym przypadkiem sygnałów dyskretnych. Powstają one np. w wyniku próbkowania okresowych sygnałów analogowych dokładnie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , razy w okresie.
  • W celu podkreślenia Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} ,-okresowości sygnałów są one oznaczane z kreską u góry.
  • Sygnały bazowe Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \left \{ e^{j2\pi kn/N}: k=0,...N-1}\right \} } w przestrzeni Hilberta Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle {l^2}_N\} , pełnią podobną rolę jak sygnały bazowe Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \left \{ e^{jk\omega_0 t}: k\epsilon \Box}\right \} } w przestrzeni Hilberta Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle {L^2}_{T_0}\} , , T0=2π/ω0 . Zasadnicza różnica polega jednak na tym, że w przypadku przestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle {l^2}_N\} , baza jest skończona.
  • W przeciwieństwie do widm nieokresowych sygnałów dyskretnych, które są funkcjami ciągłymi pulsacji unormowanej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \theta\} , , widma sygnałów Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , -okresowych są dyskretnymi funkcjami pulsacji unormowanej określonymi w punktach θk=2πk/N (dlatego ich argument jest oznaczany przez Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k\} , ). Zachowują one oczywiście ogólną cechę okresowości widm sygnałów dyskretnych, przy czym widmo sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , -okresowego jest również Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , -okresowe.
  • W praktyce liczbę Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , wybiera się z reguły jako parzystą.
  • Znając Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , wartości widma sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , -okresowego (a dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , parzystych Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N/2+1\} , wartości) można ze wzoru (4.5) obliczyć jego próbki. Problem odwrotny, tj. sposób wyznaczania widma sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , -okresowego na podstawie jego próbek rozpatrzymy później.
  • W praktyce rzadko kiedy sygnał dyskretny jest opisany zwartą formułą analityczną. Jego widma nie można zatem wyznaczyć na podstawie wzoru (4.6) i musimy uciec się do numerycznych metod jego obliczania. Możliwość taką stwarza pojęcie dyskretnego przekształcenia Fouriera (DPF).
  • DPF jest nie tylko punktem wyjścia do opracowania odpowiednich metod numerycznych obliczania widma, ale także silnym narzędziem teoretycznym analizy, syntezy i przetwarzania sygnałów dyskretnych.
  • Milcząco zakładamy tu, że pozostałe próbki sygnału impulsowego są zerowe.
  • Liczbę punktów pulsacji unormowanej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \theta\} , , w których obliczamy dyskretne wartości widma sygnału sensownie jest wybrać równą liczbie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , próbek sygnału.
  • Widmo dyskretne jest oczywiście funkcją okresową zmiennej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k\} , o okresie równym Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , .
  • Wykres dyskretnego widma amplitudowego impulsu prostokątnego sporządzono w środkowym jego okresie (−N/2,N/2]=(−4,4] odpowiadającym przedziałowi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle (-\pi, \pi]\} , na ciągłej skali zmiennej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \theta\} , . Jego próbki są oczywiście położone na krzywej ciągłej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle A(e^{j\theta})\} , . Jak widać jednak tylko jedna, centralna próbka jest niezerowa. Tak więc w tym przypadku widmo dyskretne Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \left \{ X(k): k=0,...,N-1}\right \} } bardzo niedokładnie oddaje charakter widma ciągłego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle X(e^{j\theta})\} , . Stanowi to wadę DTF związaną z jej małą rozdzielczością.
  • Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle {\mathfrak{F}^{-1}}_D\} , -transformata wynika w istocie rzeczy z rozwiązania układu równań (4.7) względem niewiadomych Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(n)\} ,, Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n=0,...,N-1\} , przy założeniu znajomości próbek widmowych Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle X(k)\} ,, Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k=0,...,N-1\} , .
  • Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , -okresowość Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle {\mathfrak{F}^{-1}}_D\} , -transformaty wynika z Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , -okresowości widma dyskretnego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle X[k]\} , . Sytuacja jest tu analogiczna do rozwinięcia nieokresowego impulsowego sygnału analogowego określonego w skończonym przedziale Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle [0, T]\} , w trygonometryczny szereg Fouriera, który jest zarazem szeregiem Fouriera okresowego przedłużenia tego sygnału z okresem Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle T\} , .
  • Z formalnego punktu widzenie DPF sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , -okresowego można traktować jako wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie przestrzeni Hilberta Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle {l^2}_N\} , ciągów Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , -okresowych w dziedzinie czas w przestrzeń Hilberta Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle {l^2}_N\} , ciągów Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , -okresowych w dziedzinie częstotliwości.
  • Istnieje zasadnicza różnica między DTF sygnału impulsowego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x[n]\} , a DTF jego przedłużenia okresowego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \overline{x} [n]\} , , mimo że są one określone tym samym wyrażeniem. Podkreślmy raz jeszcze, że widmo Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle X(e^{j\theta})\} , sygnału impulsowego jest funkcją zmiennej ciągłej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \theta\} , , a DTF tego sygnału określa jedynie wartości tego widma w dyskretnych punktach Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \theta_k=2\pi k/N\} , . Natomiast DTF przedłużenia okresowego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \overline{x} [n]\} , sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x[n]\} , określa dokładne widmo sygnału okresowego, które z natury rzeczy jest dyskretne.
  • DFT jest symetryczne (ze sprzężeniem) względem punktu Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N/2\} , .
  • Jeśli sygnał jest rzeczywisty, to próbka widma Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle X(0)\} , jest rzeczywista. Jeśli sygnał jest rzeczywisty oraz Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , jest parzyste, to próbka Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle X(n/2)\} , jest rzeczywista.
  • W wyniku przesunięcia sygnału o Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle m\} , próbek, jego dyskretne widmo amplitudowe nie ulega zmianie, a widmo fazowe zmienia się o wartości Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle -2\pi km/N\} , . W wyniku mnożenia sygnału przez dyskretny sygnał harmoniczny o pulsacji unormowanej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2\pi m/N\} , jego widmo ulega przesunięciu o Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle m\} , próbek.
  • Można łatwo sprawdzić, że widmo rozpatrywanego w przykładzie sygnału okresowego spełnia właściwości 2-4 oraz twierdzenie Parsevala.
  • Sygnał odtworzony z Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , -punktowej DFT Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \left \{ X(k): k=0,...,N-1}\right \} } danego sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x[n]\} , jest powieleniem okresowym tego sygnału z okresem Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , . Jeżeli czas trwania Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N_0\} , sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x[n]\} , jest większy od Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , ( w szczególności nieskończony), to poszczególne powielone kopie sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x[n]\} , nakładają się na siebie i nie jest możliwe dokładnie odtworzenie jego próbek.
  • Zjawisko nakładania się powielonych okresowo kopii sygnału jest nazywane aliasingiem w dziedzinie czasu, a wynikający stąd błąd odtworzenia – błędem aliasingu.
  • W przypadku sygnału o nieskończonym czasie trwania błąd aliasingu jest tym mniejszy, im większe jest Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , oraz im szybciej sygnał maleje do zera, gdy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n\to \pm \infty\} , . W przypadku sygnału o skończonym czasie trwania Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N_0\} , błąd ten jest tym mniejszy, im mniejsza jest różnica Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N_0-N\} , .
Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=PS_Moduł_4&oldid=80676”