Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 7: Wyznacznik

Niech ${\text{k}}_1,{\text{k}}_2,{\text{k}}_3$ oznaczają kolumny macierzy $A\in M(3,3;\mathbb{ℝ})$ i niech $B=[{\text{k}}_1+2{\text{k}}_2,{\text{k}}_2+{\text{k}}_1-3{\text{k}}_3,-2{\text{k}}_3]$.

det $B=$ det $A$. Źle

det $B=-$ det $A$. Źle

det $B=2$ det $A$. Źle

det $B=-2$ det $A$. Dobrze

Niech $\mathbb{𝕂}$ będzie dowolnym ciałem, $n\ge 2$ liczbą naturalną, niech $A,B$ oznaczają macierze należące do $M(n,n;\mathbb{𝕂})$ i niech $\lambda \in \mathbb{𝕂}$.

$\mathrm{\forall }A\mathrm{\forall }\lambda$ det $(\lambda A)=\lambda$ det $A$. Źle

$\mathrm{\forall }A\mathrm{\forall }\lambda$ det $(\lambda A)={\lambda }^n$ det $A$. Dobrze

$\mathrm{\forall }A,B$ det $(A+B)=$ det $A+$ det $B$. Źle

$\mathrm{\forall }A,B$ det $(AB)=$ det $A$ det $B$. Dobrze

Niech

$A=\left[\begin{array}{rrr}-1& 1& 2\\ 3& 0& -1\\ 1& 2& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{rrr}5& 1& 0\\ 9& 0& -3\\ -1& 0& 0\end{array}\right].$

det $AB=0$. Źle

det $A=3$ det $B$. Dobrze

rk $A=3$. Dobrze

rk $A-$ rk $B=1$. Źle

Niech $f:{\mathbb{ℝ}}^3\times {\mathbb{ℝ}}^3\to \mathbb{ℝ}$ będzie dane wzorem

$f((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=x_1{y}_2+x_2{y}_1-2x_3{y}_1-2x_1{y}_3+3x_2{y}_3+3x_3{y}_2.$

$f$ jest odwzorowaniem dwuliniowym. Dobrze

$f$ jest odwzorowaniem symetrycznym. Dobrze

$f$ jest odwzorowaniem antysymetrycznym. Źle

$\mathrm{\forall }x=(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^{3}f(x,x)\ge 0$. Źle

Niech $z_1,z_2,z_3,z_4\in \mathbb{ℂ}$ i niech

$A=\left[\begin{array}{rrrr}1& z_1& z_1^2& z_1^3\\ 1& z_2& z_2^2& z_2^3\\ 1& z_3& z_3^2& z_3^3\\ 1& z_4& z_4^2& z_4^3\end{array}\right].$

Jeżeli $z_k\ne z_j$ dla $k\ne j$, to det $A\ne 0$. Dobrze

Jeżeli det $A=0$, to istnieją takie wskaźniki $j,k$, że $j\ne k$ i równocześnie $z_j=z_k$. Dobrze

Jeżeli $z_j=j,j=1,2,3,4$, to det $A=12$. Dobrze

Jeżeli rk $A=4$, to $z_k\ne z_j$ dla $k\ne j$. Dobrze

Niech $n\ge 2$ będzie liczbą naturalną.

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall A,B \in M(n,n;\mathbb{C} ) \left( AB =0 \Longrightarrow A =0 \ } lub Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \ B=0) \right)} . Źle

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall A \in M(n,n;\mathbb{C} ) \ \left( } det $A^2=$ det $A⟹$ det Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle A \in \{0,1\} \right)} . Dobrze

$\mathrm{\forall }A,B\in M(n,n;\mathbb{ℂ})A^2-B^2=(A+B)(A-B)$. Źle

$\mathrm{\forall }A\in M(n,n;\mathbb{ℂ})(A{A}^{*}=0⟹A=0)$. Źle