PS Moduł 8

W języku potocznym pojęcie układu jest kojarzone zwykle z urządzeniem fizycznym, złożonym z pewnych elementów i realizującym założoną funkcję. W analizie teoretycznej operuje się modelami takich urządzeń. Ujęcie transmisyjne jest powszechnie stosowane w analizie obwodów elektrycznych, układów elektronicznych i systemów. Układ traktuje się wówczas jako „czarną skrzynkę” o pewnej liczbie wejść i wyjść. W naszych rozważaniach ograniczamy się do przypadku jednego wejścia i jednego wyjścia, na których występują sygnały skalarne. W przypadku innego rodzaju opisu układu, niż opis czasowy, symbole $x$ i $y$ na rysunku mogą oznaczać inne wielkości, np. transformaty Laplace’a lub transformaty Fouriera sygnałów.

---

Pojęcia liniowości i stacjonarności są dobrze znane z teorii obwodów, gdzie były wprowadzone w odniesieniu do obwodów elektrycznych. Z definicji stacjonarności wynika, że dla klasy układów stacjonarnych kolejność wykonywania operacji $T$ i operacji przesunięcia jest dowolna. Wynika z niej także, że: $T[x(t)]=y(t)\Rightarrow T[x(t-t_0)]=y(t-t_0)$ oraz $Tx[n]=y[n]\Rightarrow Tx[n-n_0]=y[n-n_0]$ Dla klasy układów LS można wprowadzić stosunkowo prosty i jednolity opis formalny. Układy LS są nazywane często filtrami LS.

---

Układami liniowymi są np. obwody RLC zawierające jedynie opory, indukcyjności i pojemności. Układy nieliniowe zawierają zwykle elementy nieliniowe, takie jak opory nieliniowe, diody czy tranzystory. Nie istnieje ogólna teoria układów nieliniowych. Ich analiza jest znacznie bardziej złożona niż układów liniowych.

---

Impuls Diraca i skok jednostkowy można traktować jako ustalone testowe pobudzenia, na które układ reaguje w charakterystyczny dla siebie sposób. Przy założeniu zerowych warunków początkowych opisują one jednoznacznie działanie układu z punktu widzenia relacji „wejście-wyjście”. Znajomość charakterystyki $h(t)$ , bądź $r(t)$ , wystarcza, aby obliczyć odpowiedź układu na dowolne pobudzenie. Związki między odpowiedzią impulsową i skokową należy w ogólnym przypadku traktować jako dystrybucyjne. Mówiąc ogólnie, przyczynowość oznacza, że skutek nie może wyprzedzać przyczyny. W kontekście układów oznacza to, że odpowiedź układu nie może pojawić się wcześniej niż pobudzenie. Ponieważ każdy rzeczywisty układ jest układem przyczynowym, podane warunki przyczynowości są niekiedy nazywane podstawowymi warunkami realizowalności układu. Dokładnie rzecz biorąc, podane warunki są warunkami koniecznymi przyczynowości. Jednak dla interesujących nas w praktyce sygnałów pobudzających są one zarazem warunkami dostatecznymi.

---

W ogólnym przypadku odpowiedź impulsowa układu LS może zawierać ponadto składniki typu $a_k{\delta }^{(k)}$, gdzie ${\delta }^{(k)}$ jest pochodną (dystrybucyjną) impulsu Diraca $\delta (t)$ . Układy takie nie mają jednak odpowiedników wśród układów realnych. Zależność splotowa (oznaczana tradycyjnie gwiazdką) została tu podana dla przypadku układów przyczynowych. Dlatego całki definiujące splot są określone w granicach od $0$ do $t$ . Dla układów przyczynowych całki są określone w szerszych granicach. Splot jest operacją przemienną, dlatego cytowane są dwie postacie zależności splotowej.

---

Odpowiedź impulsowa zawiera w tym przypadku składnik dystrybucyjny. W obliczeniach korzystamy zatem z właściwości splotu dystrybucji Diraca: $\delta (t)*x(t)=x(t)$ . Mimo że zarówno odpowiedź impulsowa, jak i sygnał pobudzający mają w rozpatrywanym przykładzie bardzo proste postacie, obliczenie całki splotowej nie jest proste i wymaga bardzo starannego określenia granic całkowania w odpowiednich przedziałach. Obliczanie splotu ułatwia często wykonanie odpowiedniej konstrukcji graficznej.

---

Opis układów w dziedzinie zespolonej jest oparty na formalizmie całkowego przekształcenia Laplace’a, znanego z podstawowego kursu teorii obwodów. Transmitancja jest funkcją zespoloną zmiennej zespolonej . Odpowiedź impulsowa i transmitancja układu stanowią parę transformat Laplace’a. Obie charakterystyki są zatem sobie równoważne i w pełni opisują układ w sensie relacji „wejście-wyjście”. Związek między transformatami Laplace’a sygnału wejściowego i wyjściowego jest związkiem iloczynowym, znacznie dogodniejszym do obliczeń, niż zależność splotowa. Z równania transmisyjnego wynika bowiem, że sygnał wyjściowy można wyznaczyć ze wzoru: $y(t)=$ W celu obliczenia odwrotnej transformaty można korzystać z tablic transformat Laplace’a.

---

Układy, dla których $l-m>0$ , nie mają odpowiedników w układach realnych, a więc rozważania możemy ograniczyć do przypadku $l-m\le 0$ . Wówczas: $H(s)=\frac{L(s)}{M(s)}=a_0+\frac{L_0(s)}{M(s)}=a_0+H_0(s)$ co odpowiada przyjętej wcześniej postaci odpowiedzi impulsowej $\mathrm{\$}h(t)=a_0\delta (t)+h_0(t)\mathrm{\$}$. Ponieważ współczynniki $b_i,c_j$ transmitancji (8.5) są rzeczywiste, zera i bieguny transmitancji są albo rzeczywiste, albo tworzą pary liczb zespolonych sprzężonych Z dokładnością do współczynnika $H_0$ zera i bieguny transmitancji jednoznacznie charakteryzują układ. W „języku” zer i biegunów jest często znacznie wygodniej analizować właściwości układu.

---

W przypadku układów przyczynowych całka (8.7) jest określona w granicach $[0,\mathrm{\infty }]$ . Charakterystyka amplitudowo-fazowa jest funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej $\omega$ Oznaczenie argumentu tej funkcji przez $j\omega$ , a nie przez $\omega$ , jest zwyczajowe. Wszystkie trzy rodzaje opisu układu: w dziedzinie czasu, dziedzinie zespolonej i w dziedzinie częstotliwości są sobie równoważne. Znając jeden z nich, można wyznaczyć oba pozostałe. Z równania transmisyjnego w dziedzinie częstotliwości wynika sposób obliczania odpowiedzi układu na dowolne pobudzenie mające -transformatę $X(\omega ):y(t)=F^{-1}[H(\text{j}\omega )X(\omega )]$ : .

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---