PS Moduł 8

W języku potocznym pojęcie układu jest kojarzone zwykle z urządzeniem fizycznym, złożonym z pewnych elementów i realizującym założoną funkcję. W analizie teoretycznej operuje się modelami takich urządzeń. Ujęcie transmisyjne jest powszechnie stosowane w analizie obwodów elektrycznych, układów elektronicznych i systemów. Układ traktuje się wówczas jako „czarną skrzynkę” o pewnej liczbie wejść i wyjść. W naszych rozważaniach ograniczamy się do przypadku jednego wejścia i jednego wyjścia, na których występują sygnały skalarne. W przypadku innego rodzaju opisu układu, niż opis czasowy, symbole $x$ i $y$ na rysunku mogą oznaczać inne wielkości, np. transformaty Laplace’a lub transformaty Fouriera sygnałów.

---

Pojęcia liniowości i stacjonarności są dobrze znane z teorii obwodów, gdzie były wprowadzone w odniesieniu do obwodów elektrycznych. Z definicji stacjonarności wynika, że dla klasy układów stacjonarnych kolejność wykonywania operacji $T$ i operacji przesunięcia jest dowolna. Wynika z niej także, że: $T[x(t)]=y(t)\Rightarrow T[x(t-t_0)]=y(t-t_0)$ oraz $Tx[n]=y[n]\Rightarrow Tx[n-n_0]=y[n-n_0]$ Dla klasy układów LS można wprowadzić stosunkowo prosty i jednolity opis formalny. Układy LS są nazywane często filtrami LS.

---

Układami liniowymi są np. obwody RLC zawierające jedynie opory, indukcyjności i pojemności. Układy nieliniowe zawierają zwykle elementy nieliniowe, takie jak opory nieliniowe, diody czy tranzystory. Nie istnieje ogólna teoria układów nieliniowych. Ich analiza jest znacznie bardziej złożona niż układów liniowych.

---

Impuls Diraca i skok jednostkowy można traktować jako ustalone testowe pobudzenia, na które układ reaguje w charakterystyczny dla siebie sposób. Przy założeniu zerowych warunków początkowych opisują one jednoznacznie działanie układu z punktu widzenia relacji „wejście-wyjście”. Znajomość charakterystyki $h(t)$ , bądź $r(t)$ , wystarcza, aby obliczyć odpowiedź układu na dowolne pobudzenie. Związki między odpowiedzią impulsową i skokową należy w ogólnym przypadku traktować jako dystrybucyjne. Mówiąc ogólnie, przyczynowość oznacza, że skutek nie może wyprzedzać przyczyny. W kontekście układów oznacza to, że odpowiedź układu nie może pojawić się wcześniej niż pobudzenie. Ponieważ każdy rzeczywisty układ jest układem przyczynowym, podane warunki przyczynowości są niekiedy nazywane podstawowymi warunkami realizowalności układu. Dokładnie rzecz biorąc, podane warunki są warunkami koniecznymi przyczynowości. Jednak dla interesujących nas w praktyce sygnałów pobudzających są one zarazem warunkami dostatecznymi.

---

W ogólnym przypadku odpowiedź impulsowa układu LS może zawierać ponadto składniki typu $a_k{\delta }^{(k)}$, gdzie ${\delta }^{(k)}$ jest pochodną (dystrybucyjną) impulsu Diraca $\delta (t)$ . Układy takie nie mają jednak odpowiedników wśród układów realnych. Zależność splotowa (oznaczana tradycyjnie gwiazdką) została tu podana dla przypadku układów przyczynowych. Dlatego całki definiujące splot są określone w granicach od $0$ do $t$ . Dla układów przyczynowych całki są określone w szerszych granicach. Splot jest operacją przemienną, dlatego cytowane są dwie postacie zależności splotowej.

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---