Logika dla informatyków/Ćwiczenia 7

Ćwiczenie 1

Rozpatrzmy system ${⊢}_h$, którego aksjomatami są formuły postaci (A1--A9), a nie dowolne generalizacje takich formuł. Regułami wnioskowania w ${⊢}_h$ niech będą (MP) oraz reguła generalizacji:

$\frac{\phi }{\mathrm{\forall }x\phi }$

Udowodnić, że twierdzenia systemów ${⊢}_h$ i ${⊢}_H$ są takie same, ale z Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \Gamma\vdash_h\var\varphi} nie wynika Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \Gamma\models\var\varphi} .

Ćwiczenie 2

Udowodnić twierdzenie o pełności dla nieprzeliczalnych sygnatur.

Ćwiczenie 3

System naturalnej dedukcji dla logiki pierwszego rzędu można otrzymać przez dodanie do systemu ${⊢}_N$ nastepujących reguł:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\prooftree”): {\displaystyle \prooftree{\Gamma\vdash\var\varphi(y/x)}\justifies {\Gamma\vdash\forall {x}\ciut \var\varphi}\using{(\forall\mbox{\rm-intro})} \endprooftree \hspace{3cm}\prooftree{\Gamma\vdash\forall {x}\ciut \var\varphi}\justifies {\Gamma\vdash\var\varphi(t/x)}\using{(\forall\mbox{\rm-elim})}\endprooftree} Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\prooftree”): {\displaystyle </center>\prooftree{\Gamma\vdash\var\varphi(t/x)}\justifies {\Gamma\vdash\exists {x}\ciut \var\varphi}\using{(\exists\mbox{\rm-intro})} \endprooftree \hspace{2cm} \prooftree{\Gamma\vdash\exists {x}\ciut \var\varphi\quad \Gamma,\var\varphi(y/x)\vdash\psi} \justifies {\Gamma\vdash\psi}\using{(\exists\mbox{\rm-elim})}\endprooftree} przy czym regułę Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle (\forall\mbox{\rm-intro})} wolno stosować tylko wtedy gdy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\fv”): {\displaystyle {y}\not\in\fv{\forall {x}\ciut \var\varphi}} oraz $y$ nie jest wolne w żadnej z formuł ze zbioru $\mathrm{\Gamma }$. Natomiast reguła Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle (\exists\mbox{\rm-intro})} używana jest przy zastrzeżeniu Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\fv”): {\displaystyle {y}\not\in\fv{\Gamma\cup\{\exists {x}\ciut \var\varphi\}\cup\{\psi\}}} . Udowodnić twierdzenie o pełności dla tego systemu.

Ćwiczenie 4

Zaproponować reguły rachunku sekwentów dla logiki pierwszego rzędu.