Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 2: Przestrzenie wektorowe

W zbiorze ${\mathbb{ℝ}}^2$ określamy następujące działania:
$⊞:{\mathbb{ℝ}}^2\times {\mathbb{ℝ}}^2\ni ((x_1,x_2),(y_1,y_2))\to (x_1+y_1,x_2+y_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2$,\
$\odot :\mathbb{ℝ}\times {\mathbb{ℝ}}^2\ni (\alpha ,(x_1,x_2))\to (\alpha x_1,x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2$.

$\mathrm{\forall }(x_1,x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^{2}2\odot (x_1,x_2)=(x_1,x_2)⊞(x_1,x_2)$. Źle

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \alpha, \ \beta \in \mathbb{R} \ \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \\ (\alpha \beta)\odot (x_1,x_2) = (\alpha \odot (\beta \odot (x_1,x_2)))} . Dobrze

$\mathrm{\forall }\alpha \in \mathbb{ℝ}\mathrm{\forall }(x_1,x_2),(y_1,y_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2\alpha ((x_1,x_2)⊞(y_1,y_2))=\alpha \odot (x_1,x_2)⊞\alpha \odot (y_1,y_2)$. Dobrze

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \alpha, \ \beta \in \mathbb{R} \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \\ (\alpha +\beta)\odot (x_1,x_2) = \alpha \odot (x_1,x_2) \boxplus \beta \odot (x_1,x_2) } . Źle

Niech $U=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3:x_1+2x_2+3x_3=0\}$ i niech $w=(1,0,1)$.

$U$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$. Dobrze

$(3,0,-1)\in U$. Dobrze

$\mathrm{\forall }u\in Uu+w\notin U$. Dobrze

$\mathrm{\forall }\alpha \in \mathbb{ℝ}(\alpha w\in U⟹\alpha =0)$. Dobrze

Niech $u=(2,1,0),v=(1,-1,1)$ i niech $U=\{\alpha u+\beta v:\alpha ,\beta \in \mathbb{ℝ}\}$.

$(1,1,1)\in U$. Źle

$(4,-1,2)\in U$. Dobrze

$\mathrm{\forall }x,y\in Ux+y\in U$. Dobrze

$\mathrm{\forall }x\in U\mathrm{\forall }\alpha \in \mathbb{ℝ}\alpha x\in U$. Dobrze

Niech $U=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3:x_1-x_2+x_3=0,x_1+2x_2=0\}$,
$W=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3:2x_1+x_2-3x_3=0\}$.

$U\cap W=\{\mathrm{\Theta }\}$. Dobrze

${\mathbb{ℝ}}^3=U\oplus W$. Dobrze

$U\cup W={\mathbb{ℝ}}^3$. Źle

$U+W={\mathbb{ℝ}}^3$. Dobrze

Niech $U=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3:x_1=0\}$,
$W=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3:x_2+x_3=0\}$,
$Z=\{(t,-t,t):t\in \mathbb{ℝ}\}$.

$U\cap W=\{\mathrm{\Theta }\}$. Źle

$U+W={\mathbb{ℝ}}^3$. Dobrze

$U\cup W$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$. Źle

$Z\cup W$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$. Dobrze

Niech $V={\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{ℝ}}$,  $U=\{f\in {\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{ℝ}}:\mathrm{\forall }x\in \mathbb{ℝ}f(x)=f(-x)\}$,   $W=\{f\in {\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{ℝ}}:\mathrm{\forall }x\in \mathbb{ℝ}f(x)=-f(-x)\}$,
Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle Q = \{ f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \ : \ f\} jest wielomianem stopnia parzystego $\}$.

$Q$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni $V$. Źle

$U$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni $V$. Dobrze

$W$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni $V$. Dobrze

$V=U\oplus W$. Dobrze