Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 2: Przestrzenie wektorowe: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
Rogoda (dyskusja | edycje)
Nie podano opisu zmian
Rogoda (dyskusja | edycje)
Nie podano opisu zmian
Linia 8: Linia 8:
  \in \mathbb{R}^2 </math>.
  \in \mathbb{R}^2 </math>.


<wrongoption><math>\displaystyle \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \ \ 2 \odot (x_1,x_2) =
<wrongoption><math>\displaystyle \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \ \ 2 \odot (x_1,x_2) = (x_1,x_2)\boxplus (x_1,x_2)</math>.</wrongoption>
(x_1,x_2)\boxplus (x_1,x_2)</math>.</wrongoption>


<rightoption><math>\displaystyle \forall  \alpha, \ \beta \in \mathbb{R} \ \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \ \
<rightoption><math>\displaystyle \forall  \alpha, \ \beta \in \mathbb{R} \ \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \ \
Linia 17: Linia 16:
<rightoption><math>\displaystyle \forall  \alpha \in \mathbb{R} \  \forall (x_1,x_2),\  (y_1,y_2)\in
<rightoption><math>\displaystyle \forall  \alpha \in \mathbb{R} \  \forall (x_1,x_2),\  (y_1,y_2)\in
\mathbb{R}^2 \ \ \alpha ((x_1,x_2) \boxplus (y_1,y_2)) = \alpha \odot
\mathbb{R}^2 \ \ \alpha ((x_1,x_2) \boxplus (y_1,y_2)) = \alpha \odot
(x_1,x_2) \boxplus \alpha \odot(y_1,y_2)</math>.
(x_1,x_2) \boxplus \alpha \odot(y_1,y_2)</math>.</rightoption>
</rightoption>
 
<wrongoption><math>\displaystyle \forall  \alpha, \ \beta \in \mathbb{R} \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \ \
<wrongoption><math>\displaystyle \forall  \alpha, \ \beta \in \mathbb{R} \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \\ (\alpha  +\beta)\odot (x_1,x_2) = \alpha \odot  (x_1,x_2) \boxplus \beta \odot  (x_1,x_2) </math>.</wrongoption>
(\alpha  +\beta)\odot (x_1,x_2) = \alpha \odot  (x_1,x_2) \boxplus
\beta \odot  (x_1,x_2) </math>.</wrongoption>
\smallskip
</quiz>
</quiz>


<quiz>
<quiz>
Niech <math>\displaystyle U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \ : \ x_1+2x_2+3 x_3 =0 \} </math> i niech <math>\displaystyle  w= (1,0,1)</math>.
Niech <math>\displaystyle U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \ : \ x_1+2x_2+3 x_3 =0 \} </math> i niech <math>\displaystyle  w= (1,0,1)</math>.


<rightoption></rightoption><math>\displaystyle U</math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\displaystyle  \mathbb{R}^3</math>. {T}
<rightoption><math>\displaystyle U</math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\displaystyle  \mathbb{R}^3</math>.</rightoption>


<rightoption></rightoption><math>\displaystyle (3,0,-1) \in U</math>.{T}
<rightoption><math>\displaystyle (3,0,-1) \in U</math>.</rightoption>


<rightoption></rightoption><math>\displaystyle \forall u \in U \ u+w \notin U</math>. {T}
<rightoption><math>\displaystyle \forall u \in U \ u+w \notin U</math>.</rightoption>


<rightoption></rightoption><math>\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb{R} \ ( \alpha w \in U \Longrightarrow \alpha=0 )</math>. {T}
<rightoption><math>\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb{R} \ ( \alpha w \in U \Longrightarrow \alpha=0 )</math>.</rightoption>
\smallskip
</quiz>
</quiz>


Linia 42: Linia 38:
Niech <math>\displaystyle  u = (2,1,0), \  v= (1,-1,1)</math> i niech <math>\displaystyle U = \{ \alpha u + \beta v \ : \  \alpha, \beta \in \mathbb{R} \}</math>.
Niech <math>\displaystyle  u = (2,1,0), \  v= (1,-1,1)</math> i niech <math>\displaystyle U = \{ \alpha u + \beta v \ : \  \alpha, \beta \in \mathbb{R} \}</math>.


<wrongoption></wrongoption><math>\displaystyle (1,1,1) \in U </math>. {F}
<wrongoption><math>\displaystyle (1,1,1) \in U </math>.</wrongoption>


<rightoption></rightoption><math>\displaystyle (4,-1,2) \in U </math>. {T}
<rightoption><math>\displaystyle (4,-1,2) \in U </math>.</rightoption>


<rightoption></rightoption><math>\displaystyle \forall x,y \in U \ x+y \in U</math>. {T}
<rightoption><math>\displaystyle \forall x,y \in U \ x+y \in U</math>.</rightoption>


<rightoption></rightoption><math>\displaystyle \forall x \in U  \ \forall \alpha \in \mathbb{R} \  \alpha x \in U</math>. {T}
<rightoption><math>\displaystyle \forall x \in U  \ \forall \alpha \in \mathbb{R} \  \alpha x \in U</math>.</rightoption>
\smallskip
</quiz>
</quiz>




<quiz>
<quiz>
Niech <math>\displaystyle U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \ x_1 - x_2+ x_3 =0,\ x_1 + 2x_2 =0 \}, \
Niech <math>\displaystyle U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \ x_1 - x_2+ x_3 =0,\ x_1 + 2x_2 =0 \}, \ W = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \ : \ 2x_1 + x_2- 3x_3 =0 \}</math>.
W = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \ : \ 2x_1 + x_2- 3x_3 =0 \}</math>.


<rightoption></rightoption><math>\displaystyle U \cap W = \{ \Theta \}</math>. {T}
<rightoption><math>\displaystyle U \cap W = \{ \Theta \}</math>.</rightoption>


<rightoption></rightoption><math>\displaystyle \mathbb{R}^3 = U \oplus W </math>. {T}
<rightoption><math>\displaystyle \mathbb{R}^3 = U \oplus W </math>.</rightoption>


<wrongoption></wrongoption><wrongoption></wrongoption><math>\displaystyle  U \cup W = \mathbb{R}^3 </math>. {F}
<wrongoption><math>\displaystyle  U \cup W = \mathbb{R}^3 </math>.</wrongoption>


<rightoption></rightoption><math>\displaystyle  U+ W = \mathbb{R}^3 </math>. {T}
<rightoption><math>\displaystyle  U+ W = \mathbb{R}^3 </math>.</rightoption>
\smallskip
</quiz>
</quiz>


Linia 72: Linia 65:
W = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \  x_2 +x_3 =0 \}, Z = \{(t,-t,t) \ : \ t \in \mathbb{R} \}</math>.
W = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \  x_2 +x_3 =0 \}, Z = \{(t,-t,t) \ : \ t \in \mathbb{R} \}</math>.


<wrongoption></wrongoption><math>\displaystyle U \cap W = \{ \Theta \}</math>. {F}
<wrongoption><math>\displaystyle U \cap W = \{ \Theta \}</math>.</wrongoption>


<rightoption></rightoption><math>\displaystyle  U+ W = \mathbb{R}^3 </math>. {T}
<rightoption><math>\displaystyle  U+ W = \mathbb{R}^3 </math>.</rightoption>


<wrongoption></wrongoption><math>\displaystyle  U \cup W </math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\displaystyle  \mathbb{R}^3</math>. {F}
<wrongoption><math>\displaystyle  U \cup W </math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\displaystyle  \mathbb{R}^3</math>.</wrongoption>


<rightoption></rightoption><math>\displaystyle  Z \cup W </math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\displaystyle  \mathbb{R}^3</math>. {T}
<rightoption><math>\displaystyle  Z \cup W </math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\displaystyle  \mathbb{R}^3</math>.</rightoption>
</quiz>
</quiz>



Wersja z 10:50, 21 wrz 2006

W zbiorze 2 okre\'slamy nast\e pujące działania:
:2×2((x1,x2),(y1,y2))(x1+y1,x2+y2)2,\
:×2(α,(x1,x2))(αx1,x2)2.

(x1,x2)2  2(x1,x2)=(x1,x2)(x1,x2).

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \alpha, \ \beta \in \mathbb{R} \ \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \ \ (\alpha \beta)\odot (x_1,x_2) = (\alpha \odot (\beta \odot (x_1,x_2)))} .

α (x1,x2), (y1,y2)2  α((x1,x2)(y1,y2))=α(x1,x2)α(y1,y2).

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \alpha, \ \beta \in \mathbb{R} \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \\ (\alpha +\beta)\odot (x_1,x_2) = \alpha \odot (x_1,x_2) \boxplus \beta \odot (x_1,x_2) } .


Niech U={(x1,x2,x3)3 : x1+2x2+3x3=0} i niech w=(1,0,1).

U jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni 3.

(3,0,1)U.

uU u+wU.

α (αwUα=0).


Niech u=(2,1,0), v=(1,1,1) i niech U={αu+βv : α,β}.

(1,1,1)U.

(4,1,2)U.

x,yU x+yU.

xU α αxU.


Niech U={(x1,x2,x3)3 : x1x2+x3=0, x1+2x2=0}, W={(x1,x2,x3)3 : 2x1+x23x3=0}.

UW={Θ}.

3=UW.

UW=3.

U+W=3.


Niech Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \ x_1 =0\}, \ W = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \ x_2 +x_3 =0 \}, Z = \{(t,-t,t) \ : \ t \in \mathbb{R} \}} .

UW={Θ}.

U+W=3.

UW jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni 3.

ZW jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni 3.


Niech Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle V = \mathbb{R}^{\mathbb{R}}, \ U = \{ f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \ : \ \forall x \in \mathbb{R} \ f(x) = f(-x)\}, \ W = \{ f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \ : \ \forall x~\in \mathbb{R} \ f(x) = -f(-x)\},\ \ Q = \{ f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \ : \ f\} jest wielomianem stopnia parzystego }.

Q jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni V.

U jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni V.

W jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni V.

V=UW.