Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 2: Przestrzenie wektorowe: Różnice pomiędzy wersjami
Nie podano opisu zmian |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 8: | Linia 8: | ||
\in \mathbb{R}^2 </math>. | \in \mathbb{R}^2 </math>. | ||
<wrongoption><math>\displaystyle \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \ \ 2 \odot (x_1,x_2) = | <wrongoption><math>\displaystyle \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \ \ 2 \odot (x_1,x_2) = (x_1,x_2)\boxplus (x_1,x_2)</math>.</wrongoption> | ||
(x_1,x_2)\boxplus (x_1,x_2)</math>.</wrongoption> | |||
<rightoption><math>\displaystyle \forall \alpha, \ \beta \in \mathbb{R} \ \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \ \ | <rightoption><math>\displaystyle \forall \alpha, \ \beta \in \mathbb{R} \ \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \ \ | ||
Linia 17: | Linia 16: | ||
<rightoption><math>\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb{R} \ \forall (x_1,x_2),\ (y_1,y_2)\in | <rightoption><math>\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb{R} \ \forall (x_1,x_2),\ (y_1,y_2)\in | ||
\mathbb{R}^2 \ \ \alpha ((x_1,x_2) \boxplus (y_1,y_2)) = \alpha \odot | \mathbb{R}^2 \ \ \alpha ((x_1,x_2) \boxplus (y_1,y_2)) = \alpha \odot | ||
(x_1,x_2) \boxplus \alpha \odot(y_1,y_2)</math>. | (x_1,x_2) \boxplus \alpha \odot(y_1,y_2)</math>.</rightoption> | ||
</rightoption> | |||
<wrongoption><math>\displaystyle \forall \alpha, \ \beta \in \mathbb{R} \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \ \ | <wrongoption><math>\displaystyle \forall \alpha, \ \beta \in \mathbb{R} \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \\ (\alpha +\beta)\odot (x_1,x_2) = \alpha \odot (x_1,x_2) \boxplus \beta \odot (x_1,x_2) </math>.</wrongoption> | ||
(\alpha +\beta)\odot (x_1,x_2) = \alpha \odot (x_1,x_2) \boxplus | |||
\beta \odot (x_1,x_2) </math>.</wrongoption> | |||
</quiz> | </quiz> | ||
<quiz> | <quiz> | ||
Niech <math>\displaystyle U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \ | Niech <math>\displaystyle U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \ : \ x_1+2x_2+3 x_3 =0 \} </math> i niech <math>\displaystyle w= (1,0,1)</math>. | ||
< | <rightoption><math>\displaystyle U</math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\displaystyle \mathbb{R}^3</math>.</rightoption> | ||
< | <rightoption><math>\displaystyle (3,0,-1) \in U</math>.</rightoption> | ||
< | <rightoption><math>\displaystyle \forall u \in U \ u+w \notin U</math>.</rightoption> | ||
< | <rightoption><math>\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb{R} \ ( \alpha w \in U \Longrightarrow \alpha=0 )</math>.</rightoption> | ||
</quiz> | </quiz> | ||
Linia 42: | Linia 38: | ||
Niech <math>\displaystyle u = (2,1,0), \ v= (1,-1,1)</math> i niech <math>\displaystyle U = \{ \alpha u + \beta v \ : \ \alpha, \beta \in \mathbb{R} \}</math>. | Niech <math>\displaystyle u = (2,1,0), \ v= (1,-1,1)</math> i niech <math>\displaystyle U = \{ \alpha u + \beta v \ : \ \alpha, \beta \in \mathbb{R} \}</math>. | ||
< | <wrongoption><math>\displaystyle (1,1,1) \in U </math>.</wrongoption> | ||
< | <rightoption><math>\displaystyle (4,-1,2) \in U </math>.</rightoption> | ||
< | <rightoption><math>\displaystyle \forall x,y \in U \ x+y \in U</math>.</rightoption> | ||
< | <rightoption><math>\displaystyle \forall x \in U \ \forall \alpha \in \mathbb{R} \ \alpha x \in U</math>.</rightoption> | ||
</quiz> | </quiz> | ||
<quiz> | <quiz> | ||
Niech <math>\displaystyle U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \ : \ x_1 - x_2+ x_3 =0,\ x_1 + 2x_2 =0 \}, \ | Niech <math>\displaystyle U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \ : \ x_1 - x_2+ x_3 =0,\ x_1 + 2x_2 =0 \}, \ W = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \ : \ 2x_1 + x_2- 3x_3 =0 \}</math>. | ||
W = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \ | |||
< | <rightoption><math>\displaystyle U \cap W = \{ \Theta \}</math>.</rightoption> | ||
< | <rightoption><math>\displaystyle \mathbb{R}^3 = U \oplus W </math>.</rightoption> | ||
< | <wrongoption><math>\displaystyle U \cup W = \mathbb{R}^3 </math>.</wrongoption> | ||
< | <rightoption><math>\displaystyle U+ W = \mathbb{R}^3 </math>.</rightoption> | ||
</quiz> | </quiz> | ||
Linia 72: | Linia 65: | ||
W = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \ : \ x_2 +x_3 =0 \}, Z = \{(t,-t,t) \ : \ t \in \mathbb{R} \}</math>. | W = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \ : \ x_2 +x_3 =0 \}, Z = \{(t,-t,t) \ : \ t \in \mathbb{R} \}</math>. | ||
< | <wrongoption><math>\displaystyle U \cap W = \{ \Theta \}</math>.</wrongoption> | ||
< | <rightoption><math>\displaystyle U+ W = \mathbb{R}^3 </math>.</rightoption> | ||
< | <wrongoption><math>\displaystyle U \cup W </math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\displaystyle \mathbb{R}^3</math>.</wrongoption> | ||
< | <rightoption><math>\displaystyle Z \cup W </math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\displaystyle \mathbb{R}^3</math>.</rightoption> | ||
</quiz> | </quiz> | ||
Wersja z 10:50, 21 wrz 2006
W zbiorze okre\'slamy nast\e pujące działania:
,\
.
.
Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \alpha, \ \beta \in \mathbb{R} \ \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \ \ (\alpha \beta)\odot (x_1,x_2) = (\alpha \odot (\beta \odot (x_1,x_2)))} .
.
Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \alpha, \ \beta \in \mathbb{R} \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \\ (\alpha +\beta)\odot (x_1,x_2) = \alpha \odot (x_1,x_2) \boxplus \beta \odot (x_1,x_2) } .
Niech i niech .
jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni .
.
.
.
Niech i niech .
.
.
.
.
Niech .
.
.
.
.
Niech Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \ : \ x_1 =0\}, \ W = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \ : \ x_2 +x_3 =0 \}, Z = \{(t,-t,t) \ : \ t \in \mathbb{R} \}}
.
.
.
jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni .
jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni .
Niech Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle V = \mathbb{R}^{\mathbb{R}}, \ U = \{ f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \ : \ \forall x \in \mathbb{R} \ f(x) = f(-x)\}, \ W = \{ f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \ : \ \forall x~\in \mathbb{R} \ f(x) = -f(-x)\},\ \ Q = \{ f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \ : \ f\}
jest wielomianem stopnia parzystego .
jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni .
jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni .
jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni .
.