Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 2: Przestrzenie wektorowe: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
Rogoda (dyskusja | edycje)
Nie podano opisu zmian
 
Rogoda (dyskusja | edycje)
Nie podano opisu zmian
Linia 1: Linia 1:
 
<quiz>
{article}
W zbiorze  <math>\displaystyle  \mathbb{R}^2 </math> okre\'slamy nast\e pujące działania:
\input{plzn.tex}
 
\setlength{\topmargin}{-30mm} \setlength{\textheight}{280mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-10mm} \setlength{\textwidth}{170mm}
\setlength{\parindent}{0mm}
 
TESTY 2
 
Test sprawdzający. Test z pytaniami rozstrzygnięcia typu
TAK/NIE.
 
Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z których każda może
być prawdziwa lub fałszywa. Za każde zadanie można uzyskać <math>\displaystyle 0,5</math>
punktu (jeśli poprawnie zostaną wskazane trzy odpowiedzi), 1 punkt
(jeśli poprawnie zostaną wskazane cztery odpowiedzi) lub <math>\displaystyle 0</math> punktów
(w&nbsp;pozostałych przypadkach).
 
Oceny: 3p. - dst, 3,5p.- plus dst, 4p. - db, 4,5 p - plus db, co
najmniej 5p. - bdb.
 
T2.1. W zbiorze  <math>\displaystyle  \mathbb{R}^2 </math> okre\'slamy nast\e pujące działania:
<br> <math>\displaystyle  \boxplus : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \ni \left( (x_1,x_2),(y_1,y_2)
<br> <math>\displaystyle  \boxplus : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \ni \left( (x_1,x_2),(y_1,y_2)
\right)\to
\right)\to
Linia 44: Linia 23:
\beta \odot  (x_1,x_2) </math>.{F}
\beta \odot  (x_1,x_2) </math>.{F}
\smallskip
\smallskip
</quiz>


T2.2. Niech <math>\displaystyle U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \ x_1+2x_2+3 x_3 =0 \} </math> i niech <math>\displaystyle  w= (1,0,1)</math>.
<quiz>
Niech <math>\displaystyle U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \ x_1+2x_2+3 x_3 =0 \} </math> i niech <math>\displaystyle  w= (1,0,1)</math>.


<math>\displaystyle U</math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\displaystyle  \mathbb{R}^3</math>. {T}
<math>\displaystyle U</math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\displaystyle  \mathbb{R}^3</math>. {T}
Linia 55: Linia 36:
<math>\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb{R} \ ( \alpha w \in U \Longrightarrow \alpha=0 )</math>. {T}
<math>\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb{R} \ ( \alpha w \in U \Longrightarrow \alpha=0 )</math>. {T}
\smallskip
\smallskip
</quiz>


T2.3. Niech <math>\displaystyle  u = (2,1,0), \  v= (1,-1,1)</math> i niech <math>\displaystyle U = \{ \alpha u + \beta v \ : \  \alpha, \beta \in \mathbb{R} \}</math>.
 
<quiz>
Niech <math>\displaystyle  u = (2,1,0), \  v= (1,-1,1)</math> i niech <math>\displaystyle U = \{ \alpha u + \beta v \ : \  \alpha, \beta \in \mathbb{R} \}</math>.


<math>\displaystyle (1,1,1) \in U </math>. {F}
<math>\displaystyle (1,1,1) \in U </math>. {F}
Linia 66: Linia 50:
<math>\displaystyle \forall x \in U  \ \forall \alpha \in \mathbb{R} \  \alpha x \in U</math>. {T}
<math>\displaystyle \forall x \in U  \ \forall \alpha \in \mathbb{R} \  \alpha x \in U</math>. {T}
\smallskip
\smallskip
</quiz>


T2.4. Niech <math>\displaystyle U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \ x_1 - x_2+ x_3 =0,\ x_1 + 2x_2 =0 \}, \
 
<quiz>
Niech <math>\displaystyle U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \ x_1 - x_2+ x_3 =0,\ x_1 + 2x_2 =0 \}, \
W = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \ 2x_1 + x_2- 3x_3 =0 \}</math>.
W = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \ 2x_1 + x_2- 3x_3 =0 \}</math>.


Linia 78: Linia 65:
<math>\displaystyle  U+ W = \mathbb{R}^3 </math>. {T}
<math>\displaystyle  U+ W = \mathbb{R}^3 </math>. {T}
\smallskip
\smallskip
</quiz>


T2.5. Niech <math>\displaystyle U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \ x_1 =0\}, \
 
<quiz>
Niech <math>\displaystyle U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \ x_1 =0\}, \
W = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \  x_2 +x_3 =0 \}, Z = \{(t,-t,t) \ : \ t \in \mathbb{R} \}</math>.
W = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \  x_2 +x_3 =0 \}, Z = \{(t,-t,t) \ : \ t \in \mathbb{R} \}</math>.


Linia 89: Linia 79:


<math>\displaystyle  Z \cup W </math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\displaystyle  \mathbb{R}^3</math>. {T}
<math>\displaystyle  Z \cup W </math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\displaystyle  \mathbb{R}^3</math>. {T}
</quiz>


T2.6. Niech <math>\displaystyle V = \mathbb{R}^{\mathbb{R}}, \ U = \{ f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \ : \ \forall x \in \mathbb{R} \ f(x) = f(-x)\},
<quiz>
\ W = \{ f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \ : \ \forall x~\in \mathbb{R} \ f(x) = -f(-x)\},\ \ Q = \{ f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \ : \ f\ </math> jest
Niech <math>\displaystyle V = \mathbb{R}^{\mathbb{R}}, \ U = \{ f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \ : \ \forall x \in \mathbb{R} \ f(x) = f(-x)\}, \ W = \{ f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \ : \ \forall x~\in \mathbb{R} \ f(x) = -f(-x)\},\ \ Q = \{ f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \ : \ f\ </math> jest wielomianem stopnia parzystego <math>\displaystyle \}</math>.
wielomianem stopnia parzystego <math>\displaystyle   \}</math>.


<math>\displaystyle Q</math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\displaystyle V</math>. {F}
<wrongoption><math>\displaystyle Q</math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\displaystyle V</math>.</wrongoption>


<math>\displaystyle U</math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\displaystyle V</math>. {T}
<rightoption><math>\displaystyle U</math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\displaystyle V</math>.</rightoption>


<math>\displaystyle W</math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\displaystyle V</math>. {T}
<rightoption><math>\displaystyle W</math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\displaystyle V</math>.</rightoption>


<math>\displaystyle V = U \oplus W </math>. {T}
<rightoption><math>\displaystyle V = U \oplus W </math>.</rightoption>
</quiz>

Wersja z 21:09, 20 wrz 2006

W zbiorze 2 okre\'slamy nast\e pujące działania:
:2×2((x1,x2),(y1,y2))(x1+y1,x2+y2)2,\
:×2(α,(x1,x2))(αx1,x2)2.

(x1,x2)2  2(x1,x2)=(x1,x2)(x1,x2).{F}

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \alpha, \ \beta \in \mathbb{R} \ \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \ \ (\alpha \beta)\odot (x_1,x_2) = (\alpha \odot (\beta \odot (x_1,x_2)))} .{T}

α (x1,x2), (y1,y2)2  α((x1,x2)(y1,y2))=α(x1,x2)α(y1,y2).{T}

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \alpha, \ \beta \in \mathbb{R} \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \ \ (\alpha +\beta)\odot (x_1,x_2) = \alpha \odot (x_1,x_2) \boxplus \beta \odot (x_1,x_2) } .{F} \smallskip

Niech U={(x1,x2,x3)3 : x1+2x2+3x3=0} i niech w=(1,0,1).

U jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni 3. {T}

(3,0,1)U.{T}

uU u+wU. {T}

α (αwUα=0). {T} \smallskip


Niech u=(2,1,0), v=(1,1,1) i niech U={αu+βv : α,β}.

(1,1,1)U. {F}

(4,1,2)U. {T}

x,yU x+yU. {T}

xU α αxU. {T} \smallskip


Niech Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \ x_1 - x_2+ x_3 =0,\ x_1 + 2x_2 =0 \}, \ W = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \ 2x_1 + x_2- 3x_3 =0 \}} .

UW={Θ}. {T}

3=UW. {T}

UW=3. {F}

U+W=3. {T} \smallskip


Niech Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \ x_1 =0\}, \ W = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \ x_2 +x_3 =0 \}, Z = \{(t,-t,t) \ : \ t \in \mathbb{R} \}} .

UW={Θ}. {F}

U+W=3. {T}

UW jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni 3. {F}

ZW jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni 3. {T}


Niech V=, U={f : x f(x)=f(x)}, W={f : x f(x)=f(x)},  Q={f : f  jest wielomianem stopnia parzystego }.

Q jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni V.

U jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni V.

W jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni V.

V=UW.