Matematyka dyskretna 2/Test 4: Elementy teorii grup: Różnice pomiędzy wersjami

WizualnieWikikod

Aktualna wersja na dzień 08:56, 28 sie 2023

Zaznacz struktury będące grupami:

$(ℤ_{4}, +, 0)$ Dobrze

$(ℤ_{4}^{*}, \cdot, 1)$ Źle

$(ℤ_{5}, +, 0)$ Dobrze

$(ℤ_{5}^{*}, \cdot, 1)$ Dobrze

Dla dowolnych elementów $x, y$ pewnej grupy element $x^{- 1} y y^{- 1} y x y^{- 1}$ można tez zapisać jako:

$x^{- 1} y x y^{- 1}$ Dobrze

$1$ Źle

$x^{- 1} z z z^{- 1} z^{- 1} y x y^{- 1}$ , gdzie $z$ jest dowolnym elementem grupy Dobrze

$x^{- 1} y^{- 1} x y^{- 1}$ Źle

W dowolnej grupie skończonej, jeśli $x^{15} = 1$ i $x^{25} = 1$ , to:

$x$ jest rzędu $5$ Źle

$x^{5} = 1$ Dobrze

$x^{30} = 1$ Dobrze

$x^{35} = 1$ Dobrze

Grupa $(ℤ_{12}, +, 0)$

ma podgrupę $1$ -elementową Dobrze

ma podgrupę $2$ -elementową Dobrze

ma podgrupę $3$ -elementową Dobrze

ma podgrupę $4$ -elementową Dobrze

Niech $H_{0}, H_{1}$ będą podgrupami grupy $𝐆$ . Wtedy:

$H_{0} \cap H_{1}$ jest podgrupą grupy $𝐆$ Dobrze

$H_{0} \cup H_{1}$ jest podgrupą grupy $𝐆$ Źle

$H_{0} \cap H_{1}$ jest podgrupą grupy $𝐆$ , o ile $H_{0} \subseteq H_{1}$ Dobrze

$H_{0} \cup H_{1}$ jest podgrupą grupy $𝐆$ , o ile $H_{0} \subseteq H_{1}$ Dobrze

Wskaż prawdziwe własności grup $(ℤ_{n}, +, 0)$ dla $n > 1$ :

grupa $(ℤ_{n}, +, 0)$ jest cykliczną wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest pierwsza Źle

każda grupa postaci $(ℤ_{n}, +, 0)$ jest cykliczna Dobrze

jeśli grupa $ℤ_{n} \times ℤ_{m}$ jest cykliczna, to $m$ i $n$ są względnie pierwsze Dobrze

grupa $ℤ_{n} \times ℤ_{m}$ jest cykliczna o ile $m$ i $n$ są względnie pierwsze Dobrze

Wskaż pary izomorficznych grup, gdzie $ℤ_{n}$ jest grupą addytywną $(ℤ_{n}, +, 0)$ :

$ℤ_{2} \times ℤ_{3}$ i $ℤ_{3} \times ℤ_{2}$ Dobrze

$ℤ_{2} \times ℤ_{3}$ i $ℤ_{6}$ Dobrze

$ℤ_{3} \times ℤ_{33}$ i $ℤ_{99}$ Źle

$ℤ_{2} \times ℤ_{2}$ i $ℤ_{4}$ Źle

Czy w dowolnej grupie postaci $(ℤ_{n}, +, 0)$ elementów rzędu $7$ jest $0$ lub $6$ ?

tak Dobrze

tak, jeśli dodatkowo $n$ jest wielokrotnkością $7$ Dobrze

tak, jeśli dodatkowo $n ⊥ 7$ Dobrze

żadna z pozostałych Źle

Dla podgrupy $𝐇$ skończonej grupy $𝐆$ zachodzi:

$| g H | = | H g |$ , jeśli $g \in H$ Dobrze

$g H = H g$ , jeśli $g \in H$ Dobrze

$| g H | = | H g |$ , dla dowolnego $g \in G$ Dobrze

$g H = H g$ , dla dowolnego $g \in G$ Źle

Jeśli element $x$ grupy $𝐆$ ma rząd $n$ , to $x^{3 n}$ ma rząd:

$1$ Dobrze

$3$ Źle

$n$ Źle

żadne z pozostałych Źle

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
 <quiz>Zaznacz struktury będące grupami:
-<rightoption>  <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_4,+,0)</math></rightoption>
+<rightoption>  <math>(\mathbb{Z}_4,+,0)</math></rightoption>
-<wrongoption> <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_4^*,\cdot,1)</math></wrongoption>
+<wrongoption> <math>(\mathbb{Z}_4^*,\cdot,1)</math></wrongoption>
-<rightoption>  <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_5,+,0)</math></rightoption>
+<rightoption>  <math>(\mathbb{Z}_5,+,0)</math></rightoption>
-<rightoption>  <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_5^*,\cdot,1)</math></rightoption>
+<rightoption>  <math>(\mathbb{Z}_5^*,\cdot,1)</math></rightoption>
 </quiz>
-<quiz>Dla dowolnych elementów <math>\displaystyle x,y</math> pewnej grupy element <math>\displaystyle x^{-1}yy^{-1}yxy^{-1}</math>
+<quiz>Dla dowolnych elementów <math>x,y</math> pewnej grupy element <math>x^{-1}yy^{-1}yxy^{-1}</math>
 można tez zapisać jako:
-<rightoption>  <math>\displaystyle x^{-1}yxy^{-1}</math></rightoption>
+<rightoption>  <math>x^{-1}yxy^{-1}</math></rightoption>
-<wrongoption> <math>\displaystyle 1</math></wrongoption>
+<wrongoption> <math>1</math></wrongoption>
-<rightoption>  <math>\displaystyle x^{-1}zzz^{-1}z^{-1}yxy^{-1}</math>, gdzie <math>\displaystyle z</math> jest dowolnym elementem grupy</rightoption>
+<rightoption>  <math>x^{-1}zzz^{-1}z^{-1}yxy^{-1}</math>, gdzie <math>z</math> jest dowolnym elementem grupy</rightoption>
-<wrongoption> <math>\displaystyle x^{-1}y^{-1}xy^{-1}</math></wrongoption>
+<wrongoption> <math>x^{-1}y^{-1}xy^{-1}</math></wrongoption>
 </quiz>
-<quiz>W dowolnej grupie skończonej, jeśli <math>\displaystyle x^{15}=1</math> i <math>\displaystyle x^{25}=1</math>, to:
+<quiz>W dowolnej grupie skończonej, jeśli <math>x^{15}=1</math> i <math>x^{25}=1</math>, to:
-<wrongoption> <math>\displaystyle x</math> jest rzędu <math>\displaystyle 5</math></wrongoption>
+<wrongoption> <math>x</math> jest rzędu <math>5</math></wrongoption>
-<rightoption>  <math>\displaystyle x^5=1</math></rightoption>
+<rightoption>  <math>x^5=1</math></rightoption>
-<rightoption>  <math>\displaystyle x^{30}=1</math></rightoption>
+<rightoption>  <math>x^{30}=1</math></rightoption>
-<rightoption>  <math>\displaystyle x^{35}=1</math></rightoption>
+<rightoption>  <math>x^{35}=1</math></rightoption>
 </quiz>
-<quiz>Grupa <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_{12},+,0)</math>
+<quiz>Grupa <math>(\mathbb{Z}_{12},+,0)</math>
-<rightoption>  ma podgrupę <math>\displaystyle 1</math>-elementową</rightoption>
+<rightoption>  ma podgrupę <math>1</math>-elementową</rightoption>
-<rightoption>  ma podgrupę <math>\displaystyle 2</math>-elementową</rightoption>
+<rightoption>  ma podgrupę <math>2</math>-elementową</rightoption>
-<rightoption>  ma podgrupę <math>\displaystyle 3</math>-elementową
+<rightoption>  ma podgrupę <math>3</math>-elementową
 </rightoption>
-<rightoption>  ma podgrupę <math>\displaystyle 4</math>-elementową</rightoption>
+<rightoption>  ma podgrupę <math>4</math>-elementową</rightoption>
 </quiz>
-<quiz>Niech <math>\displaystyle H_0,H_1</math> będą podgrupami grupy <math>\displaystyle {\mathbf G}</math>. Wtedy:
+<quiz>Niech <math>H_0,H_1</math> będą podgrupami grupy <math>{\mathbf G}</math>. Wtedy:
-<rightoption>  <math>\displaystyle H_0\cap H_1</math> jest podgrupą grupy <math>\displaystyle {\mathbf G}</math></rightoption>
+<rightoption>  <math>H_0\cap H_1</math> jest podgrupą grupy <math>{\mathbf G}</math></rightoption>
-<wrongoption> <math>\displaystyle H_0\cup H_1</math> jest podgrupą grupy <math>\displaystyle {\mathbf G}</math></wrongoption>
+<wrongoption> <math>H_0\cup H_1</math> jest podgrupą grupy <math>{\mathbf G}</math></wrongoption>
-<rightoption>  <math>\displaystyle H_0\cap H_1</math> jest podgrupą grupy <math>\displaystyle {\mathbf G}</math>, o ile <math>\displaystyle H_0\subseteq H_1</math></rightoption>
+<rightoption>  <math>H_0\cap H_1</math> jest podgrupą grupy <math>{\mathbf G}</math>, o ile <math>H_0\subseteq H_1</math></rightoption>
-<rightoption>  <math>\displaystyle H_0\cup H_1</math> jest podgrupą grupy <math>\displaystyle {\mathbf G}</math>, o ile <math>\displaystyle H_0\subseteq H_1</math></rightoption>
+<rightoption>  <math>H_0\cup H_1</math> jest podgrupą grupy <math>{\mathbf G}</math>, o ile <math>H_0\subseteq H_1</math></rightoption>
 </quiz>
-<quiz>Wskaż prawdziwe własności grup <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_n,+,0)</math> dla <math>\displaystyle n>1</math>:
+<quiz>Wskaż prawdziwe własności grup <math>(\mathbb{Z}_n,+,0)</math> dla <math>n>1</math>:
-<wrongoption> grupa <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_n,+,0)</math> jest cykliczną wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\displaystyle n</math> jest pierwsza</wrongoption>
+<wrongoption> grupa <math>(\mathbb{Z}_n,+,0)</math> jest cykliczną wtedy i tylko wtedy, gdy <math>n</math> jest pierwsza</wrongoption>
-<rightoption>  każda grupa postaci <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_n,+,0)</math> jest cykliczna</rightoption>
+<rightoption>  każda grupa postaci <math>(\mathbb{Z}_n,+,0)</math> jest cykliczna</rightoption>
-<rightoption>  jeśli grupa <math>\displaystyle \mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_m</math> jest cykliczna, to <math>\displaystyle m</math> i <math>\displaystyle n</math> są względnie pierwsze</rightoption>
+<rightoption>  jeśli grupa <math>\mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_m</math> jest cykliczna, to <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze</rightoption>
-<rightoption>  grupa <math>\displaystyle \mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_m</math> jest cykliczna o ile <math>\displaystyle m</math> i <math>\displaystyle n</math> są względnie pierwsze</rightoption>
+<rightoption>  grupa <math>\mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_m</math> jest cykliczna o ile <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze</rightoption>
 </quiz>
-<quiz>Wskaż pary izomorficznych grup, gdzie <math>\displaystyle \mathbb{Z}_n</math> jest grupą addytywną <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_n,+,0)</math>:
+<quiz>Wskaż pary izomorficznych grup, gdzie <math>\mathbb{Z}_n</math> jest grupą addytywną <math>(\mathbb{Z}_n,+,0)</math>:
-<rightoption>  <math>\displaystyle \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_3</math> i <math>\displaystyle \mathbb{Z}_3\times \mathbb{Z}_2</math></rightoption>
+<rightoption>  <math>\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_3</math> i <math>\mathbb{Z}_3\times \mathbb{Z}_2</math></rightoption>
-<rightoption> <math>\displaystyle \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_{3}</math> i <math>\displaystyle \mathbb{Z}_6</math></rightoption>
+<rightoption> <math>\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_{3}</math> i <math>\mathbb{Z}_6</math></rightoption>
-<wrongoption> <math>\displaystyle \mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_{33}</math> i <math>\displaystyle \mathbb{Z}_{99}</math></wrongoption>
+<wrongoption> <math>\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_{33}</math> i <math>\mathbb{Z}_{99}</math></wrongoption>
-<wrongoption> <math>\displaystyle \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2</math> i <math>\displaystyle \mathbb{Z}_4</math></wrongoption>
+<wrongoption> <math>\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2</math> i <math>\mathbb{Z}_4</math></wrongoption>
 </quiz>
-<quiz>Czy w dowolnej grupie postaci <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_n,+,0)</math> elementów rzędu <math>\displaystyle 7</math> jest <math>\displaystyle 0</math> lub <math>\displaystyle 6</math>?
+<quiz>Czy w dowolnej grupie postaci <math>(\mathbb{Z}_n,+,0)</math> elementów rzędu <math>7</math> jest <math>0</math> lub <math>6</math>?
 <rightoption>  tak</rightoption>
-<rightoption>  tak, jeśli dodatkowo <math>\displaystyle n</math> jest wielokrotnkością <math>\displaystyle 7</math></rightoption>
+<rightoption>  tak, jeśli dodatkowo <math>n</math> jest wielokrotnkością <math>7</math></rightoption>
-<rightoption>  tak, jeśli dodatkowo <math>\displaystyle n\perp 7</math></rightoption>
+<rightoption>  tak, jeśli dodatkowo <math>n\perp 7</math></rightoption>
 <wrongoption> żadna z pozostałych</wrongoption>
 </quiz>
-<quiz>Dla podgrupy <math>\displaystyle {\mathbf H}</math> skończonej grupy <math>\displaystyle {\mathbf G}</math> zachodzi:
+<quiz>Dla podgrupy <math>{\mathbf H}</math> skończonej grupy <math>{\mathbf G}</math> zachodzi:
-<rightoption>  <math>\displaystyle \left\vert gH \right\vert=\left\vert Hg \right\vert</math>, jeśli <math>\displaystyle g\in H</math></rightoption>
+<rightoption>  <math>\left\vert gH \right\vert=\left\vert Hg \right\vert</math>, jeśli <math>g\in H</math></rightoption>
-<rightoption>  <math>\displaystyle gH=Hg</math>, jeśli <math>\displaystyle g\in H</math></rightoption>
+<rightoption>  <math>gH=Hg</math>, jeśli <math>g\in H</math></rightoption>
-<rightoption>  <math>\displaystyle \left\vert gH \right\vert=\left\vert Hg \right\vert</math>, dla dowolnego <math>\displaystyle g\in G</math></rightoption>
+<rightoption>  <math>\left\vert gH \right\vert=\left\vert Hg \right\vert</math>, dla dowolnego <math>g\in G</math></rightoption>
-<wrongoption>  <math>\displaystyle gH=Hg</math>, dla dowolnego <math>\displaystyle g\in G</math></wrongoption>
+<wrongoption>  <math>gH=Hg</math>, dla dowolnego <math>g\in G</math></wrongoption>
 </quiz>
-<quiz>Jeśli element <math>\displaystyle x</math> grupy <math>\displaystyle {\mathbf G}</math> ma rząd <math>\displaystyle n</math>, to <math>\displaystyle x^{3n}</math> ma rząd:
+<quiz>Jeśli element <math>x</math> grupy <math>{\mathbf G}</math> ma rząd <math>n</math>, to <math>x^{3n}</math> ma rząd:
-<rightoption>  <math>\displaystyle 1</math></rightoption>
+<rightoption>  <math>1</math></rightoption>
-<wrongoption> <math>\displaystyle 3</math></wrongoption>
+<wrongoption> <math>3</math></wrongoption>
-<wrongoption> <math>\displaystyle n</math></wrongoption>
+<wrongoption> <math>n</math></wrongoption>
 <wrongoption> żadne z pozostałych</wrongoption>
 </quiz>

Matematyka dyskretna 2/Test 4: Elementy teorii grup: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 08:56, 28 sie 2023

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia