GW

<flash>file=AM2.M02.W.R09.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>prostopadłościan

Granica i ciągłość funkcji

W tym wykładzie omawiamy pojęcie granicy i ciągłości funkcji prowadzącej z $\mathbb{ℝ}$ w $\mathbb{ℝ}$. Definiujemy granice właściwe, niewłaściwe i jednostronne oraz pojęcie ciągłości funkcji w punkcie. Podajemy twierdzenia dotyczące granic funkcji. Następnie charakteryzujemy zbiory zwarte w $\mathbb{ℝ}$ i dowodzimy, że funkcja ciągła na zbiorze zwartym osiąga swoje kresy. Na zakończenie wykładu omawiamy tak zwaną własność Darboux.

Granica funkcji

W tym wykładzie będziemy rozważać funkcje prowadzące z $\mathbb{ℝ}$ w $\mathbb{ℝ}$. Zdefiniujemy pojęcie granicy funkcji w punkcie. Ponieważ o granicy funkcji w punkcie można mówić tylko w punktach skupienia dziedziny (punkt ten nie musi należeć do dziedziny), wykażemy teraz twierdzenie, które podaje warunek równoważny definicji 3.11. Przypomnijmy, że w $\mathbb{ℝ}$ z metryką euklidesową, kula $K(x_0,r)$ jest przedziałem $(x_0-r,x_0+r).$

Twierdzenie 8.1.

Niech $A\subseteq \mathbb{ℝ},x_0\in \mathbb{ℝ}.$
Punkt $x_0$ jest punktem skupienia zbioru $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg $\{x_n\}\subseteq A\setminus \{x_0\}$ taki, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n \ =\ x_0. }

Dowód 8.1. [nadobowiązkowy]

"$⟹$"
Niech $x_0$ będzie punktem skupienia zbioru $A$. Dla dowolnego $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ rozważmy kulę $(x_0-\frac{1}{n},x_0+\frac{1}{n}).$ Z definicji punktu skupienia wiemy, że istnieje punkt $x_n\in A\cap (x_0-\frac{1}{n},x_0+\frac{1}{n})\setminus \{x_0\}$ dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}.$ W ten sposób zdefiniowaliśmy ciąg $\{x_n\}\subseteq A.$ Zauważmy, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=x_0.$

"$⟸$"
Przypuśćmy, że $\{x_n\}\subseteq A\setminus \{x_0\}$ jest ciągiem takim, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=x_0.$ Należy pokazać, że $x_0$ jest punktem skupienia zbioru $A.$ W tym celu weźmy dowolną kulę $(x_0-r,x_0+r)\subseteq A.$ Z definicji granicy ciągu wiemy, że w tej kuli leżą wszystkie wyrazy ciągu począwszy od pewnego miejsca, czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ x_n\in (x_0-r,x_0+r). }

To oznacza, że w dowolnej kuli o środku w $x_0$ są wyrazy ciągu $\{x_n\}$ (czyli elementy zbioru $A\setminus \{x_0\}$), czyli $x_0$ jest punktem skupienia zbioru $A.$