Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Ćwiczenia 9: Rozkład normalny i centralne twierdzenie graniczne

Ćwiczenia

Podajemy tu przykłady kilku konkretnych zastosowań centralnego twierdzenia granicznego.

Ćwiczenie 9.1

Rzucono $1000$ razy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że "szóstka" wypadła więcej niż 150 razy.

<flashwrap>file=Rp-9-c1.swf|size=small</flashwrap>

Aby rozwiązać to zadanie zauważmy najpierw, że interesująca nas ilość "szóstek" jest sumą 1000 niezależnych prób Bernoulliego o prawdopodobieństwie sukcesu $p=\frac{1}{6}$ w każdej próbie (oznaczymy ją, tradycyjnie, przez $S_{1000}$). Zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym (patrz twierdzenie 9.4), suma ta ma w przybliżeniu rozkład $N(np,\sqrt{npq})$. Wstawiając wartości liczbowe i korzystając ze wzoru 9.2, otrzymujemy:

$P(S_{1000}>150)=1-P(S_{1000}\le 150)\approx 1-{\mathrm{\Phi }}_{1000\cdot \frac{1}{6},\sqrt{1000\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}}}(150)$

$=1-\mathrm{\Phi }\left(\frac{150-\frac{1000}{6}}{\sqrt{\frac{5000}{36}}}\right)\approx 1-\mathrm{\Phi }(-1.41)=\mathrm{\Phi }(1.41)\approx 0.9207,$

gdzie ostatnia liczba pochodzi z tablic rozkładu normalnego.

Ćwiczenie 9.2

Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy $1000$ rzutach monetą symetryczną, różnica między ilością reszek i orłów będzie wynosić co najmniej $100$?

Podobnie jak poprzednio, ilość uzyskanych orłów jest sumą $1000$, niezależnych prób Bernoulliego ($S_{1000}$) o prawdopodobieństwie sukcesu $p=\frac{1}{2}$ w pojedynczej próbie. Chcemy obliczyć:

$P(|S_{1000}-(1000-S_{1000})|\ge 100)=P(|S_{1000}-500|\ge 50).$

Zauważmy, że prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego jest równe:

$F_{S_{1000}}(550)-F_{S_{1000}}(450)\approx {\mathrm{\Phi }}_{500,5\sqrt{10}}(550)-{\mathrm{\Phi }}_{500,5\sqrt{10}}(450)$

$=\mathrm{\Phi }(\sqrt{10})-\mathrm{\Phi }(-\sqrt{10})=2\mathrm{\Phi }(\sqrt{10})-1\approx 2\mathrm{\Phi }(3.16227766)-1\approx 0.9984346.$

Tak więc interesujące nas prawdopodobieństwo wynosi w przybliżeniu równe $0.0016$ - jest to o wiele bardziej zgodne z oczekiwaniami niż rozwiązanie tego samego zagadnienia w ćwiczeniu 7.6.

<flashwrap>file=Rp-9-c3.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>

Ćwiczenie 9.3

Wykonano $10^4$ dodawań, z dokładnością $10^{-8}$ w każdym. Jakim błędem obarczona jest suma?

Zwróćmy uwagę, że tak postawiony problem nie ma większego sensu - w najbardziej optymistycznym przypadku, gdy wszystkie dodawania były dokładne, błąd sumy jest równy zeru, zaś w najgorszym wypadku wynosi on $10^{4}10^{-8}=10^{-4}$. Sprecyzujmy więc nasze zadanie i spróbujmy znaleźć taki przedział, w którym mieści się błąd sumy z prawdopodobieństwem co najmniej $0.99$.

Oznaczając błędy powstające w kolejnych dodawaniach przez $X_i$, $i=1,\dots$, $10^4$, widzimy, że błąd sumy jest znowu sumą $S_{10000}$. Poszukujemy zatem takich liczb $a$ i $b$, że:

$P(S_{10000}\in (a,b))\ge 0.99.$

Zauważmy, że chociaż zadanie może mieć wiele rozwiązań, jednak w tym przypadku najrozsądniejsze wydaje się szukanie możliwie najmniejszego przedziału, symetrycznego względem punktu $0$ (czasem ważniejsze są inne przedziały, na przykład nieograniczone, ale zawsze decyduje o tym specyfika konkretnego problemu). Szukamy więc ostatecznie możliwie najmniejszej liczby $\epsilon >0$, dla której:

$P(|S_{10000}|\le \epsilon )\ge 0.99.$

Z założenia wiemy, że wszystkie zmienne losowe $X_i$ mają taki sam rozkład jednostajny na przedziale $(-\frac{1}{2}\cdot 10^{-8},\frac{1}{2}\cdot 10^{-8})$ i dlatego ich nadzieja matematyczna $m$ jest równa $0$, zaś odchylenie standardowe $\sigma$ wynosi $\frac{1}{2\sqrt{3}}10^{-8}$. Mamy więc:

$P(|S_{10000}|\le \epsilon )\approx F_{S_{10000}}(\epsilon )-F_{S_{10000}}(-\epsilon )\approx 2\mathrm{\Phi }(\beta )-1,$

gdzie (ćwiczenie) $\beta =2\sqrt{3}\cdot 10^6\epsilon$.

W tablicach znajdujemy, że najmniejszym $\beta$ spełniającym warunek:

$2\mathrm{\Phi }(\beta )-1\ge 0.99,$

czyli:

$\mathrm{\Phi }(\beta )\ge 0.995,$

jest $\beta =2.58$. Tak więc:

$\epsilon \approx 0.745\cdot 10^{-6}$

jest szukaną przez nas liczbą. Zauważmy, że zmniejszając nasze żądania co do pewności wyniku, możemy zwiększyć jego dokładność. Przykładowo, gdybyśmy zażądali, aby:

$P(|S_n|\le \epsilon )\ge 0.9$

(tylko $90\mathrm{\%}$ pewności zamiast $99\mathrm{\%}$), to powtarzając poprzednie rachunki, można stwierdzić, że szukana liczba to:

$\epsilon \approx 0.476\cdot 10^{-6}.$

<flashwrap>file=Rp-9-c4_a.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>

Ćwiczenie 9.4

Aby stwierdzić, jak wielu wyborców popiera obecnie partię $AB$C<ref>W sierpniu 2006 partia taka jeszcze nie istniała...</ref>, losujemy spośród nich reprezentatywną próbkę i na niej przeprowadzamy badanie. Jak duża powinna być ta próbka, aby uzyskany wynik różnił się od rzeczywistego poparcia dla partii $ABC$ nie więcej niż o $b=3\mathrm{\%}$, z prawdopodobieństwem co najmniej $1-\alpha =0.95$?

Niech $p\in (0,1)$ oznacza faktyczne (lecz nieznane) poparcie dla partii $ABC$. Jeżeli próbka składa się z $n$ osób, z których $S_n$ wyraziło poparcie dla $ABC$, to liczba $\frac{S_n}{n}$ jest poparciem wyznaczonym na podstawie próbki. Możemy założyć, że $S_n$ jest sumą niezależnych zmiennych losowych $X_i$ o rozkładzie:

$P(X_i=0)=1-p,P(X_i=1)=p.$

Chcemy znaleźć takie $n$, aby:

$P(|\frac{S_n}{n}-p|\le b)\ge 1-\alpha .$

Ponieważ średnia arytmetyczna $\frac{S_n}{n}$ ma w przybliżeniu rozkład $N(p,\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}})$ (patrz twierdzenie 9.5), więc powyższa nierówność jest (w przybliżeniu) równoważna następującej nierówności:

$2\mathrm{\Phi }\left(\frac{b\sqrt{n}}{\sqrt{p(1-p)}}\right)-1\ge 1-\alpha ,$

która jest z kolei równoważna nierówności:

$n\ge {\left(\frac{{\mathrm{\Phi }}^{-1}(1-\frac{\alpha }{2})}{b}\right)}^2(1-p)p.$

Chociaż nie znamy $p$, wiemy, że:

$(1-p)p\le \frac{1}{4}.$

W takim razie liczba naturalna $n$, spełniająca nierówność:

$n\ge 0.25\cdot {\left(\frac{{\mathrm{\Phi }}^{-1}(1-\frac{\alpha }{2})}{b}\right)}^2,$

określa wystarczającą wielkość próbki. Podstawiając $b=0.03$ i $\alpha =0.05$, otrzymujemy:

$n\ge 1067.$

Jeżeli jeszcze przed losowaniem próbki mamy wstępne informacje o poparciu dla partii $ABC$ - na przykład wiemy, że poparcie to jest mniejsze niż $20\mathrm{\%}$ - możemy powyższy wynik znacznie polepszyć: w tym przypadku $p\le 0.2$, a więc $(1-p)p\le 0.16$, co oznacza, że $n\ge 683$ jest wystarczającą wielkością próbki.

Ćwiczenie 9.5

W ćwiczeniu 8.7 pokazano, stosując nierówność Czebyszewa, że aby mieć $95\mathrm{\%}$ pewności otrzymania $100$ różnych elementów ze zbioru $200$-elementowego, należy wykonać $173$ losowania ze zwracaniem. Czy wynik ten można polepszyć, stosując centralne twierdzenie graniczne?

Z formalnego punktu widzenia nie możemy stosować tutaj centralnego twierdzenia granicznego, gdyż nie są w naszym przypadku spełnione jego założenia. Pytamy jednak, czy mimo tego zmienna losowa $T$ (określona w ćwiczeniu 8.7), oznaczająca liczbę potrzebnych losowań, ma rozkład normalny. Sprawdzimy normalność zmiennej losowej $T$ "doświadczalnie", przeprowadzając odpowiednią symulację komputerową.

Wykonamy $500$ takich samych doświadczeń - w każdym z nich losujemy $100$ różnych elementów ze zbioru $200$-elementowego. Za każdym razem notujemy liczbę wykonanych losowań, otrzymując ciąg o nazwie "dane". Przytaczamy istotny fragment kodu programu Maple, umożliwiającego realizację powyższego zadania:

 > losuj := rand(1..200):
 > liczba_prob := 500:
 > dane := NULL:
 > from 1 to liczba_prob do
 > lista := NULL:  n := 1: nowy := losuj():
 > while nops([lista]) < 100 do
 > while member(nowy,[lista]) do
 > nowy := losuj(): n := n+1 od;
 > lista := lista,nowy:
 > od:
 > dane := dane,n:
 > od:

Obliczamy średnią $m$ i odchylenie standardowe: $\sigma$.

 > m := evalf(describe[mean]([dane]));
 > sigma := evalf(describe[standarddeviation]([dane]));

$m:=138.9340000$

$\sigma :=7.614567880$

Na podstawie otrzymanych danych rysujemy histogram, zaznaczając także wykres gęstości rozkładu normalnego o obliczonych przed chwilą parametrach:

<flash>file=Rp.1.96.swf|width=350|height=350</flash>

Otrzymane wyniki sugerują, że zmienna losowa $T$ ma rozkład normalny - na wykładzie 13 poznamy test statystyczny, umożliwiający bardziej formalną weryfikację tego faktu. Zakładając więc, że zmienna losowa $T$ ma rozkład normalny i znając jej nadzieję matematyczną oraz wariancję - obliczone w ćwiczeniu 8.6 - możemy łatwo poprawić wynik z ćwiczenia 8.7. Mianowicie:

$P(T\le x)\ge 0.5,$

gdy:

$x\approx {\mathrm{\Phi }}_{138.1306861,\sqrt{60.37514711}}^{-1}(0.95)=150.9114366.$

Zauważmy, że jest to wynik istotnie lepszy niż w ćwiczeniu 8.7.

Zadanie 9.1

Zmienna losowa $\xi$ ma rozkład normalny $N(m,\sigma )$. Znajdź rozkład zmiennej losowej $e^{\xi }.$

Zadanie 9.2

Niech $q_p$ będzie kwantylem rzędu $p$ w rozkładzie $N(0,1)$. Oblicz kwantyl rzędu $p$ w rozkładzie $N(m,\sigma )$.

Zadanie 9.3

Zaprojektuj i przeprowadź eksperyment komputerowy, który weryfikuje centralne twierdzenie graniczne.

Zadanie 9.4

Prawdopodobieństwo zapłacenia kary za jazdę bez biletu wynosi $0.02$. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w trakcie $100$ takich przejazdów co najmniej raz zapłacimy karę? Podaj dwa sposoby rozwiązania.

Zadanie 9.5

Przeprowadź symulację komputerową poprzedniego zadania: wylosuj 20 serii po 100 przejazdów w każdej serii i zobacz, ile razy w każdej serii płaciło się karę.

Zadanie 9.6

Rozwiąż jeszcze raz zadanie 7.10.

Zadanie 9.7

Wykonano 1000 rzutów monetą symetryczną. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że liczba orłów zawiera się w przedziale: (a) $(490,510)$, (b) $(450,550)$, (c) $(500,600)$. Przed przystąpieniem do rozwiązywania podaj przewidywane wyniki w celu późniejszego porównania.

Zadanie 9.8

Ile razy należy rzucić kostką do gry, aby mieć $99\mathrm{\%}$ pewności, że "szóstka" pojawi się co najmniej w $15\mathrm{\%}$ wszystkich rzutów?

Zadanie 9.9

Zakładając, że $90\mathrm{\%}$ osób przekraczających granicę nie popełnia [2] żadnego wykroczenia celnego oraz wiedząc, że osoba, która takie wykroczenie popełnia, jest ujawniana z prawdopodobieństwem $0.2$, oblicz prawdopodobieństwo tego, że spośród tysiąca osób przekraczających granicę, będzie ujawnionych co najmniej $10$ przypadków popełnienia wykroczenia.

Zadanie 9.10

Rozwiąż jeszcze raz zadanie 7.11 i porównać wyniki.

Zadanie 9.11

Dokumentacja linii lotniczej XYZ wskazuje na to, że na lot w klasie business do Tokio zgłasza się średnio 6.72 pasażera. Ile miejsc w tej klasie należy przygotować na następny lot, aby mieć $90\mathrm{\%}$ pewności, że wszyscy chętni dostaną miejsce w klasie business.

Zadanie 9.12

Pewną trasą, obsługiwaną przez dwie całkowicie równorzędne linie lotnicze, lata codziennie $1000$ osób. Ile miejsc powinna przygotować każda z tych linii, aby obsłużyć $95\mathrm{\%}$ klientów, którzy się do niej zgłoszą?

Zadanie 9.13

Ile osób należy przebadać, aby mieć $95\mathrm{\%}$ pewności, że wyznaczona na jej podstawie frakcja ludzi palących (liczba palaczy do liczebności całej populacji) jest obarczona błędem mniejszym niż $0.005$?

Zadanie 9.14

Wykonaj 100 serii po 60 rzutów monetą symetryczną, znajdując w każdej serii liczbę uzyskanych orłów $S_{60}$.

Narysuj histogram dla wartości $S_{60}$.

Oblicz teoretyczną średnią i odchylenie standardowe zmiennej losowej $S_{60}$.

Oblicz średnią i odchylenie standardowe zmiennej losowej $S_{60}$, na podstawie uzyskanej 100-elementowej próbki.

Oblicz $P(|S_{60}-30|\le 5)$.

Ile spośród obliczonych sum $S_{60}$ spełnia warunek $|S_{60}-30|\le 5$?

Zadanie 9.15

Niech $S_n$ oznacza sumę orłów uzyskanych w trakcie $n$ rzutów monetą symetryczną. Niech $\epsilon >0$ będzie dowolną liczbą.

Oblicz:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(|S_n-\frac{n}{2}|\ge \epsilon ),\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(|S_n-\frac{n}{2}|\ge \epsilon n),\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(|S_n-\frac{n}{2}|\ge \epsilon \sqrt{n}).$ Wykaż, że:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(|S_n-(n-S_n)|\ge \epsilon )=1,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(|\frac{n-S_n}{S_n}-1|\ge \epsilon )=1.$

Zinterpretuj powyższe wyniki.

Zadanie 9.16

Niech $R$ oznacza liczbę różnych elementów, otrzymanych podczas $150$ losowań ze zwracaniem ze zbioru $200$-elementowego. Wykonując odpowiednią symulację komputerową, określ charakter rozkładu zmiennej $R$.