PS Moduł 4

Przypominamy, że sygnały dyskretne o skończonej energii należą do przestrzeni Hilberta $l^2$ , w której iloczyn skalarny jest określony wzorem $(x,y{)}_{l^2}=\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(n{T}_s)y^{*}(n{T}_s)$ . Celowo przyjmujemy na razie nieunormowaną skalę czasu. Podobnie jak w przypadku sygnałów analogowych widmo sygnału dyskretnego jest w ogólnym przypadku ciągłą funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej $\omega$ . W teorii sygnałów dyskretnych argument widma jest oznaczany zwyczajowo przez $e^{j\omega T_s}$ , a nie w sposób naturalny przez $\omega$ .

---

Okresowość widm sygnałów dyskretnych jest ich podstawową cechą. Gdybyśmy widma te wyrazili w funkcji częstotliwości $f=\omega /2\pi$ , ich okres byłby równy częstotliwości próbkowania $f_s$ . Jeśli widmo sygnału dyskretnego jest wyrażone w funkcji pulsacji unormowanej $\theta =\omega /2\pi$ , jego okres jest równy $\pi$ . Widmo (4.2) można także zapisać w funkcji częstotliwości unormowanej $\nu =\omega /{\omega }_s=f/f_s=\theta /2\pi$ . Jego okres jest wówczas równy $1$.

---

Widmo impulsu Kroneckera jest stałe przedziale $-\pi \le \theta \le \pi$ , a zarazem na całej osi $\theta$ . Korzystanie ze wzorów na sumę skończonego lub nieskończonego szeregu geometrycznego jest charakterystyczne dla obliczania widm wielu sygnałów dyskretnych.

---

Wykres widma amplitudowego dyskretnego impulsu prostokątnego został sporządzony dla $N=6$ w przedziale $[-3\pi ,3\pi ]$ . Jeśli $N$ rośnie, wysokość okresowo powtarzanych „listków” głównych widma rośnie, a ich szerokość maleje. Jednocześnie maleje poziom listków bocznych. Zwiększając $N$ do nieskończoności otrzymujemy w granicy dyskretny sygnał stały. Przejściu granicznemu towarzyszy wzrost wysokości listków głównych widma do nieskończoności i zanikanie listków bocznych do zera. W efekcie otrzymujemy dystrybucję grzebieniową w dziedzinie częstotliwości (rys. b) Wzór (4.4) określa wartości kolejnych próbek sygnału dla $nϵ◻$ .

---

Twierdzenia dotyczące przekształcenia Fouriera sygnałów dyskretnych mają swoje ścisłe odpowiedniki w twierdzeniach dotyczących przekształcenia Fouriera sygnałów analogowych. Podobna też jest ich interpretacja.

---

Uogólnione twierdzenie Rayleigha wyraża równość iloczynów skalarnych w przestrzeni $l^2$ sygnałów dyskretnych i przestrzeni ${L^2}_{2\pi }$ ich okresowych widm. Twierdzenie Parsevala wyraża równość norm w obu tych przestrzeniach.

---

Sygnały $N$-okresowe są szczególnym przypadkiem sygnałów dyskretnych. Powstają one np. w wyniku próbkowania okresowych sygnałów analogowych dokładnie $N$ razy w okresie. W celu podkreślenia $N$-okresowości sygnałów są one oznaczane z kreską u góry. Sygnały bazowe w przestrzeni Hilberta pełnią podobną rolę jak sygnały bazowe w przestrzeni Hilberta , . Zasadnicza różnica polega jednak na tym, że w przypadku przestrzeni baza jest skończona.

---

---

---

---

---

---

---

---

---