PS Moduł 3

Metody analizy sygnałów w dziedzinie częstotliwości noszą nazwę metod częstotliwościowych lub metod widmowych. W „języku” częstotliwościowym można w wielu przypadkach w sposób prostszy opisać podstawowe cechy sygnału. Łatwiej jest też rozpatrywać i interpretować niektóre operacje na sygnałach, a zwłaszcza operację filtracji. Widmo $X(\omega )$ sygnału $x(t)$ jest jego równoważną reprezentacją w dziedzinie częstotliwości. Ponieważ widmo jest w ogólnym przypadku funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej $\omega$ (por. przykład 3.1), reprezentacja ta ma charakter formalny, niefizyczny.

---

Zwróćmy uwagę, że w przykładzie 3.2 otrzymaliśmy widmo rzeczywiste. Jest to konsekwencją parzystości sygnału $x(t)=X_0\mathrm{\Pi }(t/T)$ . Widmo to ma kształt funkcji Sa w dziedzinie częstotliwości. Dla sygnałów o ograniczonej energii (należących do przestrzeni $L^2(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ ) przekształcenie Fouriera jest wzajemnie jednoznaczne, jeśli całkę (3.1) rozumie się w sensie Lebesgue’a. Wzory (3.1) i (3.2) określają proste i odwrotne przekształcenie Fouriera w sensie zwykłym.

---

Chcąc wyprowadzić parę transformat w sensie granicznym należy w każdym indywidualnym przypadku skonstruować odpowiedni ciąg sygnałów o ograniczonej energii aproksymujący sygnał o ograniczonej mocy i dokonać przejścia granicznego. Bardzo często w wyniku przejścia granicznego otrzymujemy w granicy widma dystrybucyjne. Ciąg aproksymujący sygnał $x(t)$ o ograniczonej mocy konstruuje się zwykle mnożąc go przez funkcje dążące dostatecznie szybko do zera dla $t\to \pm \mathrm{\infty }$ typu: $e^{-\alpha t}1(t)$ , jeśli $tϵ[0,\mathrm{\infty })$ , oraz Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle e^{-\alpha |t|}\} lub Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle e^{-\alpha t^2}\} , jeśli $tϵ(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ .

---

Widmo amplitudowe i widmo fazowe są funkcjami rzeczywistymi zmiennej $\omega$ i mają wyraźną interpretację fizyczną. Widma amplitudowe sygnału z przykładu 3.3 dąży do zera, gdy $\omega \to \pm \mathrm{\infty }$ . Jego gęstość widmowa jest skoncentrowana głównie w zakresie małych wartości pulsacji. Sygnały takie nazywamy dolnopasmowymi.

---

Widmo amplitudowe impulsu prostokątnego z przykładu 3.4 ma charakterystyczną strukturę „listkową”. Środkowy przedział pulsacji $|\omega |<2\pi /T$ obejmuje tzw. listek główny, a po obu jego stronach występują listki boczne. Impuls prostokątny jest również sygnałem dolnopasmowym.

---

Widmo amplitudowe sygnałów rzeczywistych jest funkcją parzystą, a widmo fazowe funkcją nieparzystą zmiennej $\omega$ . Widmo tych sygnałów jest zatem funkcją hermitowską, tj. $X(\omega )=X^{*}(-\omega )$ . Operacje zwierciadlanego odbicia sygnału względem osi rzędnych i jego sprzężenia odpowiadają podobnym operacjom na jego widmie. Przekształcenie Fouriera jest liniowe, tzn. widmo kombinacji liniowej sygnałów jest taką samą kombinacją liniową ich widm. Przy przekształceniu Fouriera kształt sygnału i jego widma jest cechą wymienną. Rozciągnięciu skali czasu sygnału odpowiada zawężenie skali częstotliwości jego widma i odwrotnie. Jednocześnie zmianie ulega skala wartości widma. Przesunięciu sygnału wzdłuż osi czasu o czas $t_0$ odpowiada mnożenie jego widma przez czynnik $e^{j\omega t_0}$ . Widmo amplitudowe nie zmienia się przy tym, a fazowe ulega zmianie o składnik $-\omega t_0$ . Mnożenie sygnału przez zespolony sygnał harmoniczny o pulsacji ${\omega }_0$ powoduje przesunięcie jego widma wzdłuż osi pulsacji o wartość ${\omega }_0$ . Mnożenie sygnału przez rzeczywisty sygnał harmoniczny o pulsacji ${\omega }_0$ (jego modulacja) powoduje rozczepienie widma na dwie części przesunięte wzdłuż osi pulsacji do punktów $\pm {\omega }_0$ . Jednocześnie gęstość widmowa maleje dwukrotnie

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

</math>