TC Moduł 1

---

Podstawą teoretyczną techniki cyfrowej są układy logiczne. Funkcjonalnie układy logiczne klasyfikujemy na układy kombinacyjne i układy sekwencyjne. Wykład rozpoczynamy od układów kombinacyjnych. Układ kombinacyjny jest podstawowym układem logicznym umożliwiającym realizację funkcji boolowskich. Układ kombinacyjny konstruujemy z elementów logicznych po to, aby realizować funkcje lub ich zespoły opisujące bardziej skomplikowane układy cyfrowe. Dlatego rozważania o układach kombinacyjnych rozpoczynamy od pojęcia funkcji boolowskiej.

---

Pojęcie funkcji boolowskiej jest pojęciem podstawowym umożliwiającym modelowanie zjawisk fizycznych reprezentowanych jako odwzorowanie ciągów (wektorów) binarnych należących do zbioru X w ciągi binarne (wektory) ze zbioru Y, gdzie zbiory X, (Y) są podzbiorami $n$-krotnego, ($m$-krotnego) iloczynu kartezjańskiego zbioru B = {0, 1}. Na planszy podana jest definicja funkcji boolowskiej. Zasygnalizowane są również najczęściej stosowane metody reprezentacji funkcji boolowskich.

---

Funkcja $f$ może być przedstawiona w postaci tablicy prawdy. Jest to tablica o $n+1$ kolumnach i $2^n$ wierszach. W kolejnych wierszach są zapisywane wszystkie wartości ciągu $x_1,...,x_n$, czyli wszystkie wektory $x$. W ostatniej kolumnie podana jest wartość $y$ przyporządkowywana danemu wektorowi lub „–”, jeżeli funkcja dla tego wektora nie jest określona. Kolejne wektory są numerowane, przy czym wartość $i$ podana z lewej strony w dodatkowej kolumnie jest dziesiętnym odpowiednikiem wektora $x$ traktowanego jako liczba w zapisie dwójkowym.

---

Oto przykłady uproszczonego zapisu funkcji boolowskich. Podane zapisy specyfikują funkcje boolowskie, których wektory wejściowe określone są liczbami dziesiętnymi.

---

Funkcje boolowskie reprezentowane odwzorowaniem $f$, jakkolwiek możliwe do bezpośredniej realizacji technicznej, nie są najlepszą formą do zastosowań. Znacznie wygodniejsze są reprezentacje funkcji w postaci formuł boolowskich. Ich zaleta wynika przede wszystkim z łatwej realizacji elementów logicznych zwanych bramkami logicznymi, które to elementy stanowią naturalną realizację formuł (wyrażeń) boolowskich, gdzie występują w postaci operatorów. Formuła boolowska to wyrażenie, w którym zmienne boolowskie połączone są operatorami: + (OR), $\stackrel{}{\dot{}}$ (AND), $\overline{x}$ (NOT). Operatory te zdefiniowane są w tabelce podanej na planszy dla działań dwuargumentowych AND i OR i jednoargumentowego NOT, ale ich uogólnienie na operatory wieloargumentowe jest oczywiste.

---

Dla funkcji opisanej tablicą prawdy podaną w tabelce na planszy podajemy sposób tworzenia formuły boolowskiej.

---

A na tej planszy pokazana jest realizacja tej funkcji na bramkach AND, OR, NOT. W układzie kombinacyjnym z rysunku na planszy funkcja $f$, realizowana na jego wyjściu $f$, reprezentuje odwzorowanie z tabelki prawdy, co łatwo sprawdzić wprowadzając na wejścia układu odpowiednie wektory binarne i obliczając wartość uzyskaną na wyjściu $y$. Na przykład dla $x_1=x_2=0,x_3=1$ na wyjściu bramki AND1 pojawi się sygnał o wartości 1, i w rezultacie wyjście $y$ przyjmie wartość 1. Natomiast dla $x_1=x_2=x_3=0$ na wyjściach wszystkich bramek AND będzie 0, a więc jednocześnie $y$ przyjmie wartość 0, co jest zgodne z tabl. 3.5.

---

W dwuelementowej algebrze Boole'a wprowa¬dza się też inne działania (operatory). Do najważniejszych z nich należą: zanegowany iloczyn (NAND), zanegowana suma (NOR), suma wyłączająca (tzw. suma modulo 2 lub różnica symetryczna, oznaczana EXOR). Operatorom tym odpowiadają stosowne symbole bramek.

---

Nie kwestionowaną zaletą formuł boolowskich jest możliwość ich upraszczania, a co zatem idzie możliwość uzyskiwania realizacji oszczędniejszych z punktu widzenia liczby bramek. Zasady formalne upraszczania formuł boolowskich związane są z prawami i własnościami algebry Boole’a.

---

---

Stosując prawa algebry Boole’a, poprzednio podane wyrażenie na $f$ można uprościć w sposób pokazany na planszy. Ostatecznie wyrażenie to można zrealizować w układzie kombinacyjnym, którego struktura – znacznie prostsza od poprzedniej realizacji – jest pokazana na rysunku. Zasygnalizowany tu proces upraszczania wyrażeń boolowskich ma ogromne znaczenie praktyczne i opracowano dla jego potrzeb wiele zaawansowanych metod syntezy, które z technicznego punktu widzenia nazywa się metodami minimalizacji funkcji boolowskich. Wiele z nich doczekało się realizacji w postaci zaawansowanych narzędzi komputerowych i stanowi podstawę nowoczesnej syntezy logicznej.

---

Na kolejnych planszach pokazujemy cały proces syntezy funkcji boolowskiej oraz omawiamy jej sens fizyczny.

---

---

Zastosowania omówionego procesu syntezy są w dzisiejszej technice ogromne.