Analiza matematyczna 2/Wykład 3: Norma. Iloczyn skalarny

3. Norma. Iloczyn skalarny

W wykładzie tym wprowadzamy pojęcie normy i przestrzeni unormowanej. Pokazujemy, że kule w przestrzeniach unormowanych są zbiorami wypukłymi. Wprowadzamy pojęcia iloczynu skalarnego i przestrzeni unitarnej. Dowodzimy nierówności Schwarza, warunku równoległoboku i twierdzenia Pitagorasa.

3.1. Przestrzenie unormowane

Przypomnijmy, że na pierwszym wykładzie z Analizy Matematycznej 2 wprowadziliśmy pojęcie metryki, czyli funkcji, która każdym dwóm punktom danego zbioru przyporządkowuje ich odległość. W przypadku, gdy dany zbiór jest przestrzenią wektorową, możemy wprowadzić funkcję mierzącą "długość" wektora. Funkcję tę nazwiemy normą. Okaże się (zgodnie z intuicją, jak dla przypadku płaszczyzny ${\mathbb{ℝ}}^2$), że jeśli umiemy zmierzyć długość wektorów przestrzeni wektorowej $X,$ to możemy także mierzyć odległość między punktami zbioru $X.$

Pojęcie normy jest szczególnie przydatne w przestrzeniach funkcji (np. przestrzeniach funkcji liniowych lub przestrzeniach funkcji ciągłych). Norma będzie nam również przydatna w przyszłości do zdefiniowania pochodnych wyższych rzędów dla funkcji wielu zmiennych.

Wprowadźmy formalną definicję (wektor zerowy przestrzeni wektorowej $X$ będziemy oznaczać przez $\mathrm{\Theta }$).

Definicja

Niech $X$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $K$ ($K=\mathbb{ℝ}$ lub $K=\mathbb{ℂ}$).
Odwzorowanie $\Vert \cdot \Vert :X⟶{\mathbb{ℝ}}_{+}$ nazywamy normą w $X,$ jeśli:
(1) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x\in X:\ \ \|x\|=0\ \Longleftrightarrow\ x=\Theta} ;
(2) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x\in X,\ \ \lambda\in K:\ \ \|\lambda x\|=|\lambda|\cdot\|x\|} (jednorodność);
(3) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x,y\in X:\ \ \|x+y\|\le\|x\|+\|y\|} (subaddytywność).
Parę $(X,\Vert \cdot \Vert )$ nazywamy przestrzenią unormowaną.

Zauważmy, że definicja powyższa precyzuje nasze naturalne wymagania w stosunku do długości wektora, a mianowicie:
(1) długość wektora wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy wektor jest zerowy;
(2) długość iloczynu wektora przez liczbę, to iloczyn długości tego wektora i wartości bezwzględnej tej liczby;
(3) długość sumy wektorów jest niewiększa od sumy ich długości.

Przykład

W przestrzeni wektorowej ${\mathbb{ℝ}}^N$ nad $\mathbb{ℝ}$ możemy wprowadzić następujące normy:
$\Vert x{\Vert }_2\stackrel{df}{=}\sqrt{\sum _{i=1}^N{x}_i^2},x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ (norma euklidesowa),
$\Vert x{\Vert }_1\stackrel{df}{=}\sum _{i=1}^N|x_i|,x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ (norma taksówkowa),
$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\stackrel{df}{=}\underset{1\le i\le N}{\max }|x_i|,x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ (normamaksimowa).
Dowód faktów, że powyższe odwzorowania są normami pozostawiamy na ćwiczenia (patrz Zadanie Uzupelnic z.new.am2.c.03.010|). Nazwy powyższych norm nie są przypadkowe (patrz Uwaga Uzupelnic u.new.am2.w.03.040|).

Okazuje się, że każda przestrzeń unormowana jest w naturalny sposób przestrzenią metryczną. Mówi o tym następujące twierdzenie.

Twierdzenie

Jeśli $(X,\Vert \cdot \Vert )$ jest przestrzenią unormowaną, $d:X\times X⟶{\mathbb{ℝ}}_{+}$ jest funkcją zadaną przez $d(x,y)\stackrel{df}{=}\Vert x-y\Vert ,$ to $(X,d)$ jest przestrzenią metryczną.
Mówimy, że $d$ jest metryką zadaną przez normę $\Vert \cdot \Vert .$

Dowód

Załóżmy, że $\Vert \cdot \Vert$ jest normą w $X.$ Pokażemy, że odwzorowanie $d:X\times X⟶{\mathbb{ℝ}}_{+}$ zadane przez $d(x,y)\stackrel{df}{=}\Vert x-y\Vert$ jest metryką w $X.$
(1) Zauważmy, że dla dowolnych $x,y\in X$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x,y) \ =\ \|x-y\| \ \ge\ 0 }

oraz

$d(x,y)=0⟺\Vert x-y\Vert =0⟺x=y.$

(2) Dla dowolnych $x,y\in X,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x,y) \ =\ \|x-y\| \ =\ |-1|\|x-y\| \ =\ \|(-1)(x-y)\| \ =\ \|-x+y\| \ =\ \|y-x\| \ =\ d(y,x). }

(3) Dla dowolnych $x,y,z\in X,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x,y) \ =\ \|x-y\| \ =\ \|x-z+z-y\| \ \le\ \|x-z\|+\|z-y\| \ =\ d(x,z)+d(z,y) }

zatem zachodzi warunek trójkąta dla $d.$

Pokazaliśmy zatem, że $d$ jest metryką.

Uwaga

(1) Z powyższego twierdzenia wynika, że każda norma zadaje metrykę.
(2) Nie każda metryka jest zadana przez normę (patrz Wniosek Uzupelnic w.new.am2.w.03.120|).
(3) Zbieżność w sensie metryki zadanej przez normę nazywamy zbieżnością silną lub zbieżnością w normie, to znaczy jeśli $\{x_n\}\subseteq X$ jest ciągiem, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x_n \ \stackrel{\|\cdot\|}{\longrightarrow} x \ \ \ \stackrel{df}{\Longleftrightarrow}\ \ \ \|x_n-x\| \ \longrightarrow\ 0. }

(4) Normy euklidesowa, taksówkowa, maksimowa zdefiniowane w Przykładzie Uzupelnic p.new.am2.w.03.020| zadają odpowiednio metryki euklidesową, taksówkową, maksimową (patrz Zadanie Uzupelnic z.new.am2.c.03.020|).

Podobnie jak w przypadku metryk, tak i w przypadku norm można rozważać ich równoważność.

Definicja

Dwie normy $\Vert \cdot {\Vert }_a$ i $\Vert \cdot {\Vert }_b$ w przestrzeni unormowanej $X$ nazywamy równoważnymi, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists m,M>0\ \ \forall x\in X:\ \ m\|x\|_{a} \ \le\ \|x\|_{b} \ \le\ M\|x\|_{a}. }

Równoważność norm ma następujące własności.

Uwaga

(1) Relacja równoważności norm jest relacją równoważnościową w zbiorze wszystkich norm na danej przestrzeni unormowanej.
(2) Norma euklidesowa $\Vert \cdot {\Vert }_2$ zadaje metrykę euklidesową $d_2.$ Norma maksimowa $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ zadaje metrykę maksimową $d_{\mathrm{\infty }}.$ Norma taksówkowa $\Vert \cdot {\Vert }_1$ zadaje metrykę taksówkową $d_1$ (patrz Przykłady AM1.Uzupelnic p.new.am1.w.03.040|, AM1.Uzupelnic p.new.am1.w.03.050| oraz AM1.Uzupelnic p.new.am1.w.03.060| oraz Zadanie Uzupelnic z.new.am2.c.03.020|).
(3) Powyższe trzy normy są równoważne (będzie to pokazane na ćwiczeniach; patrz Zadanie Uzupelnic z.new.am2.c.03.030|). Okazuje się, że w przestrzeniach wektorowych skończenie wymiarowych wszystkie normy są równoważne (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.03.150|).

Kolejne twierdzenie mówi, że odwzorowanie normy $\Vert \cdot \Vert :X⟶{\mathbb{ℝ}}_{+}$ jest ciągłe (oczywiście w przestrzeni $X$ rozważamy metrykę zadaną przez normę, a w $\mathbb{ℝ}$ metrykę euklidesową).

Twierdzenie

(Ciągłość normy)
Norma jest funkcją ciągłą, to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n = x \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\|x_n\|=\|x\|. }

W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący lemat, będący wariantem nierówności trójkąta.

Lemat

Jeśli $X$ jest przestrzenią unormowaną, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x,y\in X:\ \big|\|x\|-\|y\|\big| \ \le\ \|x-y\|. }

Dowód

Korzystając z subaddytywności normy, dla dowolnych $x,y\in X,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\| \ =\ \|x+(-y)+y\| \ \le\ \|x-y\|+\|y\|, }

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|-\|y\| \ \le\ \|x-y\|. }

Analogicznie pokazujemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|y\|-\|x\| \ \le\ \|x-y\|. }

Obie powyższe nierówności implikują nierówność w tezie lematu.

Dowód

Twierdzenia Uzupelnic t.new.am2.w.03.070|
Warunek $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=x$ oznacza, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \|x_n-x\| \ =\ 0. }

Ustalmy dowolne $\epsilon >0.$ Z powyższej równości wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N\forall n\ge N:\ \|x_n-x\| \ \le\ \varepsilon. }

Zatem, dla $n\ge N,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big|\|x_n\|-\|x\|\big| \ \le\ \|x_n-x\| \ \le\ \varepsilon. }

Zatem pokazaliśmy, że $\Vert x_n\Vert \stackrel{\mathbb{ℝ}}{⟶}\Vert x\Vert .$

Uwaga

(1) Implikacja odwrotna do implikacji w twierdzeniu Uzupelnic t.new.am2.w.03.070| nie jest prawdziwa.
Aby to zobaczyć, rozważmy ciąg $\{x_n\}\subseteq \mathbb{ℝ}$ zadany przez $x_n=(-1{)}^n.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x_n\|_2 \ =\ 1 \ \longrightarrow\ 1, }

ale sam ciąg $\{x_n\}$ nie jest silnie zbieżny (dlaczego?)
(2) Jeżeli granicą ciągu $\{x_n\}$ jest $\mathrm{\Theta }$ (wektor "zerowy" przestrzeni wektorowej), to implikację w Twierdzeniu Uzupelnic t.new.am2.w.03.070| można odwrócić, to znaczy zachodzi równoważność:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n = \Theta \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\|x_n\|=0 }

(dowód pozostawiamy jako proste ćwiczenie).

W przestrzeniach wektorowych możemy mówić o wypukłości zbiorów.

Definicja

Niech $X$ będzie przestrzenią unormowaną oraz $A\subseteq X.$
(1) Jeśli $x,y\in X,$ to odcinkiem w $X$ łączącym punkty $x$ i $y$ nazywamy zbiór

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle [x,y] \ \stackrel{df}{=}\ \bigg\{z\in X:\ z=\lambda x+(1-\lambda)y:\ \ \lambda\in[0,1]\bigg\}. }

{ Rysunek AM2.M03.W.R01 (stary numer AM2.4.1a)}
{ Rysunek AM2.M03.W.R02 (stary numer AM2.4.1b)}
(2) Mówimy, że zbiór $A$ jest wypukły, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x,y\in A:\ \ [x,y]\subseteq A. }

{ Rysunek AM2.M03.W.R03 (stary numer AM2.4.2a)}
{ Rysunek AM2.M03.W.R04 (stary numer AM2.4.2b)}

W szczególnych przestrzeniach metrycznych jakimi są przestrzenie unormowane, kule mają tę przydatną własność, że są wypukłe.

Twierdzenie

Kule i kule domknięte w przestrzeniach unormowanych są wypukłe.
{ Rysunek AM2.M03.W.R05 (stary numer AM2.4.3a)}
{ Rysunek AM2.M03.W.R06 (stary numer AM2.4.3b)}
{ Rysunek AM2.M03.W.R07 (stary numer AM2.4.3c)}

Dowód

Niech $a\in X$ oraz $r>0.$ Pokażemy, że kula $K(a,r)$ jest zbiorem wypukłym. W tym celu wybierzmy dowolne $x_1,x_2\in K(a,r).$ Z definicji kuli wynika, że

$\Vert x_1-a\Vert <r,\Vert x_2-a\Vert <r.$

Niech $x\in [x_1,x_2].$ Należy pokazać, że $x\in K(a,r).$ Z definicji odcinka w $X$ wiemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists \lambda\in[0,1]:\ x=\lambda x_1+(1-\lambda)x_2. }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x-a\| \ =\ \|\lambda x_1+(1-\lambda)x_2-a\| \ =\ \|\lambda(x_1-a)+(1-\lambda)(x_2-a)\| \ \le\ \lambda\|x_1-a\|+(1-\lambda)\|x_2-a\| \ <\ \lambda r+(1-\lambda)r \ =\ r. }

Zatem pokazaliśmy, że $x\in K(a,r).$

Powyższe twierdzenie dostarcza nam pewnego warunku koniecznego na to aby dana przestrzeń metryczna była zadana przez normę.

Wniosek

Metryka kolejowa i metryka rzeka w ${\mathbb{ℝ}}^2$ nie są zadane przez żadną normę, ponieważ kule w tych metrykach nie są zbiorami wypukłymi (patrz Przykład Uzupelnic p.new.am2.w.01.050| oraz Przykład Uzupelnic p.new.am2.w.01.060|).
{ Rysunek AM2.M03.W.R08 (stary numer AM2.4.4a)}
{ Rysunek AM2.M03.W.R09 (stary numer AM2.4.4b)}

Przypomnijmy, że przestrzeń metryczną nazywamy zupełną, gdy każdy ciąg Cauchy'ego tej przestrzeni ma granicę (patrz Definicja Uzupelnic d.new.am2.w.02.100|). Wśród przestrzeni unormowanych szczególną rolę odgrywają przestrzenie unormowane zupełne.

Definicja

Przestrzenią Banacha nazywamy przestrzeń unormowaną zupełną.

Przykład

(1) $({\mathbb{ℝ}}^N,\Vert \cdot {\Vert }_2)$ jest przestrzenią Banacha (patrz Wniosek Uzupelnic w.new.am2.w.02.230|).
(2) Przestrzeń $C([a,b];\mathbb{ℝ})$ z normą $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\sup {}_{x\in [a,b]}|f(x)|$ jest przestrzenią Banacha (patrz Zadanie Uzupelnic z.new.am2.c.03.050|).

Okazuje się, że w przestrzeniach skończenie wymiarowych wszystkie normy są równoważne. Twierdzenie to podajemy tu bez dowodu.

Twierdzenie

Wszystkie normy w ${\mathbb{ℝ}}^N$ są równoważne.

Przestrzenie unitarne

W przestrzeniach wektorowych możemy wprowadzić pojęcie iloczynu skalarnego. Dzięki niemu będziemy mogli mówić o prostopadłości wektorów. Okaże się, że przestrzenie z iloczynem skalarnym są także przestrzeniami unormowanymi z naturalnie wprowadzoną normą.

Definicja

Niech $X$ będzie rzeczywistą przestrzenią wektorową. Odwzorowanie $(\cdot |\cdot ):X\times X⟶\mathbb{ℝ}$ nazywamy iloczynem skalarnym w $X,$ jeśli:
(1) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x\in X:\ \ \big[(x|x)\ge 0\big] \ } i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \ \big[ (x|x)=0 \ \Longleftrightarrow\ x=\Theta \big]}
(2) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x,y\in X,\ \lambda\in\mathbb{R}:\ \ (\lambda x|y)=\lambda(x|y)}
(3) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x,y,z\in X:\ \ (x+y|z)=(x|z)+(y|z)}
(4) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x,y\in X:\ \ (x|y)=(y|x)} (symetria).
Parę $(X,(\cdot |\cdot ))$ nazywamy przestrzenią unitarną.

Uwaga

(a) Warunki (2) i (3) mówią, że iloczyn skalarny jest liniowy ze względu na pierwszą zmienną.
(b) Ze względu na symetrię (4), iloczyn skalarny jest także liniowy ze względu na drugą zmienną, zatem jest on dwuliniowy.

Przykład

Odwzorowanie zdefiniowane przez

$(x|y)\stackrel{df}{=}\sum _{i=1}^N{x}_i{y}_i$ dla $x=(x_1,\dots ,x_N),y=(y_1,\dots ,y_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$

jest iloczynem skalarnym w ${\mathbb{ℝ}}^N.$ Nazywamy go standardowym iloczynem skalarnym w ${\mathbb{ℝ}}^N$. Iloczyn ten znamy ze szkoły dla przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^2$ i ${\mathbb{ℝ}}^3$.

Dowód

Sprawdzimy kolejno punkty definicji iloczynu skalarnego.
(1) Dla dowolnego $x\in {\mathbb{ℝ}}^N$, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (x|x) \ =\ \sum_{n=1}^N x_i^2 \ \ge\ 0 }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (x|x)=0 \ \Longleftrightarrow\ \sum_{n=1}^N x_i^2=0 \ \Longleftrightarrow\ x_1=\ldots=x_N \ \Longleftrightarrow\ x=\Theta. }

(2) Dla dowolnych $x,y\in {\mathbb{ℝ}}^N$ oraz $\lambda \in \mathbb{ℝ}$, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (\lambda x,y) \ =\ \sum_{n=1}^N \lambda x_iy_i \ =\ \lambda \sum_{n=1}^N x_iy_i \ =\ \lambda (x|y) }

(3) Dla dowolnych $x,y,z\in {\mathbb{ℝ}}^N$, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (x+y|z) \ =\ \sum_{n=1}^N (x_i+y_i)z_i \ =\ \sum_{n=1}^N(x_iz_i+y_iz_i) \ =\ \sum_{n=1}^N x_iz_i +\sum_{n=1}^Ny_iz_i \ =\ (x|z)+(y|z). }

(4) Dla dowolnych $x,y\in {\mathbb{ℝ}}^N$, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (x|y) \ =\ \sum_{n=1}^N x_iy_i \ =\ \sum_{n=1}^N y_ix_i \ =\ (y|x). }

Zatem pokazaliśmy, że odwzorowanie $(x|y)=\sum _{i=1}^N{x}_i{y}_i$ jest iloczynem skalarnym w ${\mathbb{ℝ}}^N$.

Okazuje się, że przestrzeń z iloczynem skalarnym jest przestrzenią unormowaną.

Twierdzenie

Jeśli $(X,(\cdot |\cdot ))$ jest przestrzenią unitarną oraz $\mathrm{\forall }x\in X:\Vert x{\Vert }_{}\stackrel{df}{=}\sqrt{(x|x)},$ to $\Vert \cdot {\Vert }_{}$ jest normą w $X.$
Mówimy, że $\Vert \cdot {\Vert }_{}$ jest normą zadaną przez iloczyn skalarny $(\cdot |\cdot ).$

W dowodzie wykorzystamy następującą nierówność Schwarza, zachodzącą w przestrzeniach unitarnych.

Lemat

(Nierówność Schwarza)
Jeśli $(X,(\cdot |\cdot ))$ jest przestrzenią unitarną, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x,y\in X:\ \ \left|(x|y)\right|\le\|x\|\|y\|. }

Dowód

Ustalmy dowolne $x,y\in X.$ Jeśli $y=\mathrm{\Theta }$ to powyższa nierówność jest oczywistą równością. Załóżmy, że $y\ne \mathrm{\Theta }.$ Niech $\lambda =\frac{(x|y)}{(y|y)}$ Korzystając z dwuliniowości iloczynu skalarnego mamy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 0 \ \le\ (x-\lambda y|x-\lambda y) \ =\ (x|x)-2\lambda(x|y)+\lambda^2(y|y) \ =\ (x|x)-2\frac{(x|y)^2}{(y|y)} +\frac{(x|y)^2}{(y|y)} } Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle =\ (x|x) -\frac{(x|y)^2}{(y|y)} \ =\ \|x\|-\frac{(x|y)^2}{\|y\|}. }

Zatem mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{(x|y)^2}{\|y\|^2} \ \le\ \|x\|^2, }

skąd

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (x|y)^2 \ \le\ \|x\|^2\cdot \|y\|^2, }

a zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |(x|y)| \ \le\ \|x\|\cdot\|y\|, }

co należało dowieść.

Uwaga

Zauważmy, że nierówność Cauchy'ego (patrz Lemat AM1.Uzupelnic l.new.am1.w.03.080|) jest szczególnym przypadkiem nierówności Schwarza, gdy w przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^N$ mamy standardowy iloczyn skalarny.

Dowód

Twierdzenia Uzupelnic t.new.am2.w.03.180|
(1)

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|=0 \ \Longleftrightarrow\ (x|x)=0 \ \Longleftrightarrow x=\Theta, }

zatem pierwszy warunek w definicji normy jest spełniony.
(2)

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|\lambda x\| \ =\ \sqrt{(\lambda x|\lambda x)} \ =\ \sqrt{\lambda^2}\sqrt{(x|x)} \ =\ |\lambda|\|x\|, }

zatem drugi warunek (jednorodność) w definicji normy jest spełniony.
(3) Korzystając z nierówności Schwarza, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x+y\|^2 \ =\ (x+y|x+y) \ =\ (x|x)+2(x|y)+(y|y) \ \le\ \|x\|^2+2\|x\|\cdot\|y\| +\|y^2\| \ =\ (\|x\|+\|y\|)^2, }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x+y\| \ \le\ \|x\|+\|y\|. }

zatem trzeci warunek (subaddytywność) w definicji normy jest spełniony.

Przykład

Iloczyn skalarny w ${\mathbb{ℝ}}^N$ dany wzorem (patrz Przykład Uzupelnic t.new.am2.w.03.175|)

$(x|y)\stackrel{df}{=}\sum _{i=1}^N{x}_i{y}_i$ dla $x=(x_1,\dots ,x_N),y=(y_1,\dots ,y_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$

zadaje normę euklidesową, bo

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sqrt{(x|x)} \ =\ \sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^N x_i^2} \ =\ \|x\|_{2}. }

Podobnie jak dla przestrzeni unormowanych, tak i dla przestrzeni unitarnych, szczególną rolę odgrywają przestrzenie unitarne zupełne.

Definicja

Przestrzenią Hilberta nazywamy przestrzeń unitarną zupełną.

Twierdzenie

(Ciągłość iloczynu skalarnego)
Iloczyn skalarny w przestrzeni unitarnej jest funkcją ciągłą, to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \bigg[ x_n\stackrel{X}{\longrightarrow} x,\ y_n\stackrel{X}{\longrightarrow} y \bigg] \ \ \Longrightarrow\ \ \bigg[ (x_n|y_n) \ \stackrel{\mathbb{R}}{\longrightarrow}\ (x|y) \bigg] }

(oczywiście zbieżność $x_n\stackrel{X}{⟶}x$ oznacza zbieżność w normie zadanej przez iloczyn skalarny $(\cdot |\cdot )$).

Dowód

(Dowód nadobowiązkowy.)
Niech $\{(x_n,y_n)\}$ będzie ciągiem, takim, że $x_n\stackrel{X}{⟶}x$ i $y_n\stackrel{X}{⟶}y.$ Oznacza to, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x_n-x\| \ \longrightarrow\ 0,\quad \|y_n-y\| \ \longrightarrow\ 0 }

oraz z ciągłości normy (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.03.070|), mamy

$\Vert x_n\Vert ⟶\Vert x\Vert .$

Korzystając z nierówności Schwarza, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big|(x_n|y_n)-(x|y)\big| \ =\ \big|(x_n|y_n)-(x_n|y)+(x_n|y)-(x|y)\big| \ \le\ \big|(x_n|y_n-y)+(x_n-x|y)\big| } Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \le\ \|x_n\|\cdot\|y_n-y\| +\|x_n-x\|\cdot\|y\|. }

Z wyżej wskazanych zbieżności w $\mathbb{ℝ}$ wynika, że prawa strona nierówności, a zatem także lewa, zmierza do zera, gdy $n\to +\mathrm{\infty }.$ Oznacza to, że $(x_n|y_n)\stackrel{\mathbb{ℝ}}{⟶}(x|y),$ co należało dowieść.

W przestrzeni unitarnej możemy wprowadzić pojęcie prostopadłości wektorów.

Definicja

Niech $(X,(\cdot |\cdot ))$ będzie przestrzenią unitarną.
(1) Jeśli $(x|y)=0,$ to mówimy, że wektory $x$ i $y$ są ortogonalne (lub prostopadłe) i piszemy $x\perp y.$
{ Rysunek AM2.M03.W.R10 (stary numer AM2.4.5a)}
{ Rysunek AM2.M03.W.R11 (stary numer AM2.4.5b)} (2) Niech $Y$ będzie podprzestrzenią wektorową $X.$ Mówimy, że wektor $x$ jest ortogonalny (prostopadły, normalny) do podprzestrzeni $Y,$ jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall y\in Y:\ x\perp y. }

Piszemy $x\perp Y.$
{ Rysunek AM2.M03.W.R12 (stary numer AM2.4.6)}
(3) Mówimy, że wektory $a_1,\dots ,a_k\in X$ tworzą układ ortogonalny, jeśli

$(a_i|a_j)=0\mathrm{\forall }i\ne j.$

(4) Mówimy, że wektory $a_1,\dots ,a_k\in X$ tworzą układ ortonormalny, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall i,j:\ \ (a_i|a_j)=\delta_{ij} \ \stackrel{df}{=}\ \left\{ \begin{array} {ll} 1 & \quad i=j,\\ 0 & \quad i\ne j \end{array} \right. }

(to znaczy wektory $a_1,\dots ,a_k$ są parami ortogonalne oraz mają normę $1$).

Poniższe twierdzenie podamy tu bez dowodu.

Twierdzenie

Każda przestrzeń unitarna skończenie wymiarowa posiada bazę ortonormalną (to znaczy bazę tworzącą układ ortonormalny).

Przykład

Baza kanoniczna w ${\mathbb{ℝ}}^N$ jest bazą ortonormalną.

Twierdzenie

(Warunek równoległoboku)
Jeśli $(X,(\cdot |\cdot ))$ jest przestrzenią unitarną oraz $\Vert \cdot \Vert$ jest normą zadaną przez iloczyn skalarny, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x,y\in X:\ \ \|x+y\|^{2} +\|x-y\|^{2} \ =\ 2\big(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}\big). }

Dowód

Dla dowolnych ustalonych $x,y\in X$ liczymy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x+y\|^2 \ =\ \|x\|^2+2(x|y)+\|y\|^2, }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x-y\|^2 \ =\ \|x\|^2-2(x|y)+\|y\|^2. }

Dodając stronami powyższe równości dostajemy tezę twierdzenia.

{ Rysunek AM2.M03.W.R13 (stary numer AM2.4.7)}

Twierdzenie

(Twierdzenie Pitagorasa)
Jeśli $(X,(\cdot |\cdot ))$ jest przestrzenią unitarną oraz $\Vert \cdot \Vert$ jest normą zadaną przez iloczyn skalarny, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x,y\in X:\ \ \bigg[ x\perp y \ \ \Longleftrightarrow\ \ \|x+y\|^{2} = \|x\|^{2}+\|y\|^{2} \bigg]. }

Dowód

Dla dowolnych ustalonych $x,y\in X$ liczymy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x+y\|^2 \ =\ \|x\|^2+2\underbrace{(x|y)}\limits_{=0}+\|y\|^2 \ =\ \|x\|^2+\|y\|^2, }

co należało dowieść.
{ Rysunek AM2.M03.W.R14 (stary numer AM2.4.8)}