Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 8: Ekstrema funkcji wielu zmiennych: Różnice pomiędzy wersjami
Nie podano opisu zmian |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 162: | Linia 162: | ||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am2.07.020|Uzupelnic z.am2.07.020|]] a) Z warunku koniecznego istnienia | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am2.07.020|Uzupelnic z.am2.07.020|]] a) Z warunku koniecznego istnienia | ||
Linia 354: | Linia 211: | ||
</div></div> | </div></div> | ||
{{cwiczenie|8.3.|| | |||
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | |||
a) <math>\displaystyle f(x,y) = e^{2x}(x+y^2+2y)</math>, | |||
b) <math>\displaystyle g(x,y) = e^{x^2-y}(5-2x+y)</math>, | |||
c) <math>\displaystyle h(x,y) = \ln |x+y| -x^2-y^2</math>, | |||
d) <math>\displaystyle \displaystyle \phi(x,y) = x - 2y+ \ln \sqrt{x^2+y^2} + 3\mathrm{arctg}\, | |||
\frac{y}{x}</math>. | |||
}} | |||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | |||
Należy poszukać punktów krytycznych i zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki. | |||
a) Przy pochodnej cząstkowej <math>\displaystyle \displaystyle \frac{\partial^2 | |||
f}{\partial x^2}</math> warto zauważyć, że jeden z jej składników jest równy <math>\displaystyle \displaystyle 2\frac{\partial f}{\partial x}</math>, zatem zeruje się w punktach krytycznych. | |||
b) Skorzystać ze wskazówki do podpunktu a) przy wszystkich pochodnych cząstkowych drugiego rzędu. | |||
d) Warto zapisać naszą funkcję w postaci <center><math>\displaystyle \phi(x,y) = x - 2y+ | |||
\frac12\ln (x^2+y^2) + 3\mathrm{arctg}\, \frac{y}{x},</math></center> | |||
łatwiej jest ją wtedy różniczkować. </div></div> | |||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am2.07.030|Uzupelnic z.am2.07.030|]] a) Warunek konieczny istnienia ekstremum | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am2.07.030|Uzupelnic z.am2.07.030|]] a) Warunek konieczny istnienia ekstremum | ||
Linia 451: | Linia 334: | ||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps"> | {{cwiczenie|8.4.|| | ||
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | |||
a) <math>\displaystyle f(x,y)= \sin{x}\sin{y}\sin(x+y)</math>, | |||
b) <math>\displaystyle h(x,y)=\sin{x}+\cos{y}+\cos(x-y)</math> | |||
</math> | <br> | ||
w zbiorze <math>\displaystyle (0,\pi)^2</math>. | |||
}} | |||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | |||
a) Warto pamiętać, że <math>\displaystyle \sin{\alpha}\cos \beta+\cos\alpha\sin\beta =\sin(\alpha+\beta)</math>. | |||
</div></div> | |||
{{cwiczenie|8.5.|| | |||
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | |||
a) <math>\displaystyle f(x,y)=1-\sqrt{x^2+y^2}</math>, | |||
b) <math>\displaystyle g(x,y)= \sqrt[5]{x^4+y^4}</math>, | |||
<math>\displaystyle | |||
</math> | |||
c) <math>\displaystyle h(x,y)= x^5+y^5</math>. | |||
<br> | <br> | ||
Czy otrzymane ekstrema są też globalne? | |||
}} | |||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | |||
< | Należy poszukać punktów krytycznych. | ||
</ | |||
a) b) Jak wyglądają poziomice danych funkcji? c) Jak wygląda zbiór zer danej funkcji i jak dzieli on dziedzinę na obszary, na których funkcja ta jest dodatnia lub ujemna? | |||
</div></div> | </div></div> | ||
Linia 533: | Linia 407: | ||
{ [[Rysunek am2c07.0030]]} | { [[Rysunek am2c07.0030]]} | ||
<br> | <br> | ||
</div></div> | |||
{{cwiczenie|8.6.|| | |||
a) Pokazać, że funkcja <math>\displaystyle f(x,y)= | |||
(1+e^{x})\cos{y}+xe^x</math> ma nieskończenie wiele minimów, natomiast | |||
nie ma żadnego maksimum. | |||
b) Pokazać, że funkcja <math>\displaystyle f(x,y)=3x^4-4x^2y+y^2</math> nie ma minimum w | |||
punkcie <math>\displaystyle (0,0)</math>, ale jej zacieśnienie do dowolnej prostej | |||
przechodzącej przez początek układu współrzędnych ma silne minimum | |||
w tym punkcie. | |||
}} | |||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | |||
a) Należy poszukać punktów krytycznych i zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki. | |||
Warto pamiętać, że <math>\displaystyle F(x)=e^x</math> przyjmuje tylko wartości dodatnie. | |||
b) Należy zbadać znak funkcji na osiach układu współrzędnych i w punktach postaci <math>\displaystyle (a,2a^2)</math>. Jak wygląda zacieśnienie funkcji do prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych? | |||
</div></div> | |||
{{cwiczenie|8.7.|| | |||
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | |||
a) <math>\displaystyle f(x,y,z)= x^4-y^3+2z^3-2x^2+6y^2-3z^2</math>, | |||
b) <math>\displaystyle g(x,y,z)=x^3+xy+y^2-2zx+2z^2+3y-1</math>, | |||
c) <math>\displaystyle h(x,y,z)=xyz(4-x-y-z)</math>. | |||
}} | |||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | |||
Należy poszukać punktów krytycznych i zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki. | |||
a) Warto skorzystać ze wskazówki [[##z.am2.07.010|Uzupelnic z.am2.07.010|]] a). | |||
c) Zwróćmy uwagę, że funkcja <math>\displaystyle h</math> zeruje się na czterech płaszczyznach: <math>\displaystyle x=0</math>, <math>\displaystyle y=0</math>, <math>\displaystyle z=0</math> i <math>\displaystyle x+y+z=4</math>. Najpierw należy pokazać, że w żadnym z punktów trzech pierwszych płaszczyzn funkcja <math>\displaystyle h</math> nie osiąga ekstremum, bo dowolnie blisko każdego takiego punktu przyjmuje zarówno wartości dodatnie lub ujemne. (Ten fakt jest też prawdziwy dla ostatniej płaszczyzny, ale sprawdzenie tego nie jest konieczne, co będzie widoczne w dalszym postępowaniu). Następnie szukamy punktów krytycznych pod założeniem <math>\displaystyle x\neq 0, y\neq 0, z\neq 0</math>. | |||
</div></div> | </div></div> | ||
Linia 582: | Linia 496: | ||
</div></div> | </div></div> | ||
{{cwiczenie|8.8.|| | |||
a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | |||
<center><math>\displaystyle | |||
f(x,y,z)= 4-x^2-\frac{y}x-\frac{z^2}y-\frac1z. | |||
</math></center> | |||
b) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | |||
<center><math>\displaystyle | |||
\Phi(x,y,z)=\sin(x+y+z)-\sin{x}-\sin{y}-\sin{z} | |||
</math></center> | |||
w zbiorze | |||
<math>\displaystyle (0,\pi)^2</math>. }} | |||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | |||
Należy poszukać punktów krytycznych i zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki. | |||
b) W wyliczaniu punktów krytycznych przyda się tożsamość trygonometryczna - wzór na różnicę cosinusów. | |||
</div></div> | |||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am2.07.080|Uzupelnic z.am2.07.080|]] a) Zakładamy, że <math>\displaystyle x,y,z\neq 0</math>. | |||
Otrzymany z warunku koniecznego układ równań | |||
<center><math>\displaystyle | |||
\left\{\begin{array} {l} | |||
-2x+\frac{y}{x^2}=0\\ | |||
-\frac{1}x+\frac{z^2}{y^2}=0\\ | |||
-2\frac{z}y+\frac1{z^2}=0\end{array} \right. | |||
</math></center> | |||
ma jedyne rozwiązanie -- punkt <math>\displaystyle | |||
\left(\frac{\sqrt[3]{2}}2,\frac12,\frac{\sqrt[3]{2}}2\right)</math>. | |||
Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu | |||
<center><math>\displaystyle \aligned | |||
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}= | |||
-2-2\frac{y}{x^3},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}= | |||
-2\frac{z^2}{y^3},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}= -2\frac{1}y-2\frac1{z^3},\\ | |||
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}= \frac{1}{x^2},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial z}= 2\frac{z}{y^2},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial z\partial x}= 0 | |||
\endaligned</math></center> | |||
i budujemy macierz drugiej różniczki | |||
<math>\displaystyle d_{\left(\frac{\sqrt[3]{2}}2, | |||
\frac12,\frac{\sqrt[3]{2}}2\right)}^2f</math> w tym | |||
punkcie, która ma postać | |||
<center><math>\displaystyle | |||
A=\left[\begin{array} {ccc}-6&2\sqrt[3]{2}&0\\2\sqrt[3]{2}&-4\sqrt[3]{4}&4\sqrt[3]{2}\\ | |||
0&4\sqrt[3]{2}&-12\end{array} \right].</math></center> | |||
Mamy det<math>\displaystyle A=-144\sqrt[3]{4}<0,</math> | |||
det<math>\displaystyle \left[\begin{array} {cc}-6&2\sqrt[3]{2}\\2\sqrt[3]{2}&-4\sqrt[3]{4}\end{array} \right]= | |||
20\sqrt[3]{4}>0</math> oraz <math>\displaystyle -6<0</math>. Zatem z kryterium Sylvestera | |||
funkcja <math>\displaystyle f</math> ma maksimum w punkcie | |||
<math>\displaystyle \left(\frac{\sqrt[3]{2}}2,\frac12,\frac{\sqrt[3]{2}}2\right)</math>. | |||
<br> | |||
b) Otrzymujemy układ równań | |||
<center><math>\displaystyle | |||
\left\{\begin{array} {l} | |||
\cos(x+y+z)=\cos{x}\\ | |||
\cos(x+y+z)=\cos{y}\\ | |||
\cos(x+y+z)=\cos{z} | |||
\end{array} \right.. | |||
</math></center> | |||
W szczególności <math>\displaystyle \cos{x}=\cos y= \cos z</math>, czyli <math>\displaystyle x=y=z</math> ponieważ | |||
<math>\displaystyle x,y,z\in (0,\pi)</math>. Zatem <math>\displaystyle 0=\cos{3x}-\cos{x}=-2\sin{2x}\sin{x}</math>, | |||
a stąd <math>\displaystyle x=\frac{\pi}{2}</math>. Macierz drugiej różniczki | |||
<math>\displaystyle d_{(x,y,z)}^2\Phi</math> ma postać | |||
<center><math>\displaystyle | |||
\left[\begin{array} {ccc}\sin{x}-\sin(x+y+z)&-\sin(x+y+z)&-\sin(x+y+z)\\ | |||
-\sin(x+y+z)&\sin{y}-\sin(x+y+z)&-\sin(x+y+z)\\ | |||
-\sin(x+y+z)&-\sin(x+y+z)&\sin{z}-\sin(x+y+z)\end{array} \right].</math></center> | |||
Ponieważ | |||
<center><math>\displaystyle | |||
{\rm det}\left[\begin{array} {ccc}2&1&1\\1&2&1\\ | |||
1&1&2\end{array} \right]= 4\quad {\rm i}\quad {\rm | |||
det}\left[\begin{array} {cc}2&1\\1&2\end{array} \right]=3, | |||
</math></center> | |||
funkcja <math>\displaystyle \Phi</math> ma w punkcie | |||
<math>\displaystyle (\frac{\pi}2,\frac{\pi}2,\frac{\pi}2)</math> minimum. | |||
</div></div> | |||
{{cwiczenie|8.9.|| | |||
(Zadanie Huygensa) Pomiędzy liczby | |||
dodatnie <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> (<math>\displaystyle a\leq b</math>) wstawić liczby dodatnie | |||
<math>\displaystyle x_1,...,x_n</math> tak, aby ułamek | |||
<center><math>\displaystyle f(x_1,...,x_n)=\frac{x_1x_2...x_n}{(a+x_1)(x_1+x_2)...(x_{n-1}+x_n)(x_n+b)} | |||
</math></center> | |||
miał największą wartość. | |||
}} | |||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | |||
Przyrównując pochodne cząstkowe pierwszego rzędu do zera należy pamiętać, że dziedziną naszej funkcji jest przedział <math>\displaystyle (0,+\infty)</math>. Wychodząc z układu równań otrzymanego z warunku koniecznego istnienia ekstremum proszę | |||
wyrazić zależność między kolejnymi punktami <math>\displaystyle a, x_1, x_2,..., x_n, b</math> za pomocą liczby <math>\displaystyle q=\frac{x_1}{a}</math>. Jakiego rodzaju jest to zależność? | |||
By pokazać, że funkcja osiąga maksimum globalne w punkcie krytycznym rozważamy najpierw prosty przypadek <math>\displaystyle n=1</math> (mamy wtedy funkcję jednej zmiennej rzeczywistej). Następnie, jeśli <math>\displaystyle n>1</math> | |||
ustalamy dowolne <math>\displaystyle n-1</math> zmiennych i rozważamy zacieśnienie naszej funkcji do półprostej -- mamy wtedy znowu funkcję jednej zmiennej. Co o niej możemy powiedzieć? Jak z tego wywnioskować naszą tezę? | |||
</div></div> | |||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am2.07.040|Uzupelnic z.am2.07.040|]] a) Mamy do rozwiązania układ równań | |||
<center><math>\displaystyle | |||
\left\{\begin{array} {l} 0= | |||
\sin{y}(\cos{x}\sin(x+y)+\sin{x}\cos(x+y))=\sin{y}\sin(2x+y)\\ | |||
0= \sin{x}(\cos{y}\sin(x+y)+\sin{y}\cos(x+y))=\sin{x}\sin(2y+x) | |||
\end{array} \right.. | |||
</math></center> | |||
Ponieważ <math>\displaystyle x,y\in(0,\pi)</math>, zatem <math>\displaystyle \sin{y}\neq 0</math> oraz | |||
<math>\displaystyle \sin(2x+y)=0</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\displaystyle 2x+y=\pi</math> lub | |||
<math>\displaystyle 2x+y=2\pi</math>. Wyliczamy stąd <math>\displaystyle y</math> i wstawiamy do drugiego równania, | |||
w którym również zerować może się tylko drugi czynnik. Jeśli | |||
<math>\displaystyle y=\pi-2x</math>, to <math>\displaystyle 0=\sin(2\pi-3x)=-\sin{3x}</math>, czyli <math>\displaystyle x=\pi/3</math> lub | |||
<math>\displaystyle x=2\pi/3</math>. Jeśli <math>\displaystyle y=2\pi-2x</math>, otrzymujemy te same punkty. Wobec | |||
założenia o dziedzinie punktami krytycznymi są <math>\displaystyle | |||
\left(\frac{\pi}3, \frac{\pi}3\right)</math> i <math>\displaystyle \left(\frac{2\pi}3, | |||
\frac{2\pi}3\right)</math>. Macierzą drugiej różniczki <math>\displaystyle d_{(x,y)}^2f</math> | |||
jest | |||
<center><math>\displaystyle | |||
\left[\begin{array} {cc} 2\sin{y}\cos(2x+y)& \sin(2x+2y)\\ | |||
\sin(2x+2y)& 2\sin{x}\cos(x+2y) | |||
\end{array} \right]. | |||
</math></center> | |||
Łatwo sprawdzić, że <math>\displaystyle f</math> ma w <math>\displaystyle \left(\frac{\pi}3, | |||
\frac{\pi}3\right)</math> maksimum i w <math>\displaystyle \left(\frac{2\pi}3, | |||
\frac{2\pi}3\right)</math> minimum. | |||
<br> | |||
b) Tym razem należy rozwiązać układ | |||
<center><math>\displaystyle | |||
\left\{\begin{array} {l} 0= | |||
\cos{x}-\sin(x-y)\\ | |||
0= -\sin{y}+\sin(x-y) | |||
\end{array} \right.. | |||
</math></center> | |||
Wynika stąd, że <math>\displaystyle \sin{y}=\cos{x}=\sin(\frac{\pi}{2}-x)</math>. Ponieważ | |||
<math>\displaystyle x,y\in (0,\pi)</math>, więc <math>\displaystyle y= \frac{\pi}{2}-x</math> lub <math>\displaystyle y= \pi- | |||
(\frac{\pi}{2}-x)=\frac\pi2+x</math>. Otrzymujemy stąd jeden punkt | |||
krytyczny <math>\displaystyle \left(\frac{\pi}3,\frac\pi6\right)</math>, w którym funkcja | |||
<math>\displaystyle h</math> osiąga maksimum. | |||
</div></div> | |||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am2.07.070|Uzupelnic z.am2.07.070|]] a) Każda z pochodnych cząstkowych rzędu | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am2.07.070|Uzupelnic z.am2.07.070|]] a) Każda z pochodnych cząstkowych rzędu | ||
Linia 691: | Linia 754: | ||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am2.07.090|Uzupelnic z.am2.07.090|]] Zauważmy, że <math>\displaystyle f</math> jest dobrze zdefiniowaną | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am2.07.090|Uzupelnic z.am2.07.090|]] Zauważmy, że <math>\displaystyle f</math> jest dobrze zdefiniowaną |
Wersja z 09:32, 24 sie 2006
Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Ćwiczenia
Ćwiczenie 8.1.
a) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji w punkcie .
b) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji w punkcie .
c) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji w punkcie .
d) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję w punkcie .
Ćwiczenie 8.2.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b)
c) .Ćwiczenie 8.3.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b) ,
c) ,
d) .
Ćwiczenie 8.4.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b)
w zbiorze .
Ćwiczenie 8.5.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b) ,
c) .
Czy otrzymane ekstrema są też globalne?
Ćwiczenie 8.6.
a) Pokazać, że funkcja ma nieskończenie wiele minimów, natomiast nie ma żadnego maksimum.
b) Pokazać, że funkcja nie ma minimum w punkcie , ale jej zacieśnienie do dowolnej prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych ma silne minimum w tym punkcie.
Ćwiczenie 8.7.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b) ,
c) .
Ćwiczenie 8.8.
a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
b) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
w zbiorze
.Ćwiczenie 8.9.
(Zadanie Huygensa) Pomiędzy liczby dodatnie i () wstawić liczby dodatnie tak, aby ułamek
miał największą wartość.