Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 1: Przestrzenie metryczne: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
Gracja (dyskusja | edycje)
Nie podano opisu zmian
Gracja (dyskusja | edycje)
Nie podano opisu zmian
Linia 190: Linia 190:
zauważmy, że dla dowolnych <math> \displaystyle  x,y\in X</math> mamy
zauważmy, że dla dowolnych <math> \displaystyle  x,y\in X</math> mamy


<center><math> \displaystyle  d(x,y)
<center><math>\begin{array}{lll} \displaystyle  d(x,y)&=&
\ =\
\big|f(x)-f(y)\big|
\big|f(x)-f(y)\big|
\ =\
\ =\
\big|f(x)-f(z)+f(z)+f(y)\big|
\big|f(x)-f(z)+f(z)+f(y)\big|\\
\ \le\
&\le&\big|f(x)-f(z)\big|+\big|f(z)-f(y)\big|=\
\big|f(x)-f(z)\big|
+
\big|f(z)-f(y)\big|
\ =\
d(x,z)+d(z,y)
d(x,z)+d(z,y)
</math></center>
\end{array}</math></center>


(gdzie nierówność wynika z nierówności trójkąta dla metryki
(gdzie nierówność wynika z nierówności trójkąta dla metryki

Wersja z 11:16, 23 sie 2006

Przestrzenie metryczne

Ćwiczenie 1.1.

Niech n będzie dowolną liczbą naturalną oraz niech Xn oznacza zbiór wszystkich słów długości n (to znaczy ciągów liter długości n). W teorii kodowania rozważa się funkcję d:Xn×Xn0, definiowaną przez:

d(w,v) =df  ilość pozycji, na których w słowach v i w występują różne litery .

(a) Udowodnić, że d jest metryką w Xn (jest to tak zwana metryka Hamminga).
(b) Czy d nadal będzie metryką, gdy w powyższej definicji słowo "różne" zastąpimy przez "takie same"?

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 1.2.

Niech X będzie dowolnym zbiorem niepustym oraz niech f:X będzie dowolną iniekcją. Udowodnić, że odwzorowanie dane wzorem

d(x,y) =df |f(x)f(y)| x,yX,

jest metryką w X.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 1.3.

Sprawdzić, czy funkcja d:×+, dana wzorem

d(n,m) =df |1n1m| n,m,

jest metryką w . Jeśli tak, to jak wyglądają kule K(1,1) oraz K(3,12) w tej metryce.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 1.4.

Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną. Udowodnić, że dla dowolnych zbiorów A,BX zachodzi implikacja

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle A\subseteq B \ \Longrightarrow\ \mathrm{diam}\, A\le \mathrm{diam}\, B. }
Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 1.5.

Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną. Udowodnić, że dla dowolnego x0X oraz r0, zachodzi diamK(x0,r)2r. Czy nierówność "" można zastąpić równością?

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 1.6.

Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną. Udowodnić, że jeśli x0X,R>0,x1K(x0,r) oraz r1=Rd(x0,x1), to r1>0 oraz K(x1,r1)K(x0,R).

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 1.7.

Udowodnić, że kule w (X,d) są zbiorami otwartymi.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 1.8.

Dany jest zbiór A=[0,1]×[0,1]2 oraz dwa punkty x=(2,3) oraz y=(3,2). Wyznaczyć
(a) odległość punktów x i y;
(b) dist(x,A);
(c) diam(A),
kolejno w metrykach: dyskretnej dd; metryce rzece dr, gdy "rzeką" jest prosta o równaniu y=1; metryce kolejowej dk, gdy "węzłem" kolejowym jest punkt (1,0).

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 1.9.

Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną. Udowodnić, że
(a) suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
(b) przecięcie (część wspólna) skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

Wskazówka
Rozwiązanie