Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 8: Ekstrema funkcji wielu zmiennych: Różnice pomiędzy wersjami
Nie podano opisu zmian |
|||
Linia 1: | Linia 1: | ||
==Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Ćwiczenia== | ==Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Ćwiczenia== | ||
{{cwiczenie|8.1.|| | |||
{{cwiczenie||| | |||
a) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu | a) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu | ||
drugiego funkcji <math>\displaystyle f(x,y)=\frac {\cos x}{\cos y}</math> w punkcie | drugiego funkcji <math>\displaystyle f(x,y)=\frac {\cos x}{\cos y}</math> w punkcie | ||
Linia 19: | Linia 17: | ||
}} | }} | ||
{{cwiczenie||| | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
Jak wyraża się wielomian Taylora za pomocą pochodnych cząstkowych? | |||
d) Ile pochodnych cząstkowych niezerowych ma funkcja <math>\displaystyle f</math>? | |||
</div></div> | |||
{{cwiczenie|8.2.|| | |||
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | ||
Linia 42: | Linia 47: | ||
}} | }} | ||
{{cwiczenie||| | {{cwiczenie|8.3.|| | ||
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | ||
Linia 53: | Linia 58: | ||
}} | }} | ||
{{cwiczenie||| | {{cwiczenie|8.4.|| | ||
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | ||
Linia 66: | Linia 71: | ||
}} | }} | ||
{{cwiczenie||| | {{cwiczenie|8.5.|| | ||
a) Pokazać, że funkcja <math>\displaystyle f(x,y)= | a) Pokazać, że funkcja <math>\displaystyle f(x,y)= | ||
(1+e^{x})\cos{y}+xe^x</math> ma nieskończenie wiele minimów, natomiast | (1+e^{x})\cos{y}+xe^x</math> ma nieskończenie wiele minimów, natomiast | ||
Linia 78: | Linia 83: | ||
}} | }} | ||
{{cwiczenie||| | {{cwiczenie|8.6.|| | ||
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | ||
Linia 89: | Linia 94: | ||
}} | }} | ||
{{cwiczenie||| | {{cwiczenie|8.7.|| | ||
a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
Linia 102: | Linia 107: | ||
<math>\displaystyle (0,\pi)^2</math>. }} | <math>\displaystyle (0,\pi)^2</math>. }} | ||
{{cwiczenie||| | {{cwiczenie|8.8.|| | ||
(Zadanie Huygensa) Pomiędzy liczby | (Zadanie Huygensa) Pomiędzy liczby | ||
dodatnie <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> (<math>\displaystyle a\leq b</math>) wstawić liczby dodatnie | dodatnie <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> (<math>\displaystyle a\leq b</math>) wstawić liczby dodatnie | ||
Linia 113: | Linia 118: | ||
===Wskazówki=== | ===Wskazówki=== | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki. | Należy poszukać punktów krytycznych i zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki. | ||
a) Jeśli <math>\displaystyle x_1</math>, <math>\displaystyle x_2</math> i <math>\displaystyle x_3</math> są pierwiastkami równania <math>\displaystyle p(x)=0</math> z | a) Jeśli <math>\displaystyle x_1</math>, <math>\displaystyle x_2</math> i <math>\displaystyle x_3</math> są pierwiastkami równania <math>\displaystyle p(x)=0</math> z jedną niewiadomą i <math>\displaystyle y_1</math>, <math>\displaystyle y_2</math>, <math>\displaystyle y_3</math> są pierwiastkami równania <math>\displaystyle q(y)=0</math> z jedną niewiadomą, to jakie rozwiązania ma układ dwóch równań (z dwoma niewiadomymi) <math>\displaystyle p(x)=0</math> i <math>\displaystyle q(y) = 0</math>? | ||
jedną niewiadomą i <math>\displaystyle y_1</math>, <math>\displaystyle y_2</math>, <math>\displaystyle y_3</math> są pierwiastkami równania | |||
<math>\displaystyle q(y)=0</math> z jedną niewiadomą, to jakie rozwiązania ma układ dwóch | |||
równań (z dwoma niewiadomymi) <math>\displaystyle p(x)=0</math> i <math>\displaystyle q(y) = 0</math>? | |||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki. | Należy poszukać punktów krytycznych i zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki. | ||
a) Przy pochodnej cząstkowej <math>\displaystyle \displaystyle \frac{\partial^2 | a) Przy pochodnej cząstkowej <math>\displaystyle \displaystyle \frac{\partial^2 | ||
f}{\partial x^2}</math> warto zauważyć, że jeden z jej składników jest | f}{\partial x^2}</math> warto zauważyć, że jeden z jej składników jest równy <math>\displaystyle \displaystyle 2\frac{\partial f}{\partial x}</math>, zatem zeruje się w punktach krytycznych. | ||
równy <math>\displaystyle \displaystyle 2\frac{\partial f}{\partial x}</math>, zatem zeruje | |||
się w punktach krytycznych. | |||
b) Skorzystać ze wskazówki do podpunktu a) przy wszystkich | b) Skorzystać ze wskazówki do podpunktu a) przy wszystkich pochodnych cząstkowych drugiego rzędu. | ||
pochodnych cząstkowych drugiego rzędu. | |||
d) Warto zapisać naszą funkcję w postaci <center><math>\displaystyle \phi(x,y) = x - 2y+ | d) Warto zapisać naszą funkcję w postaci <center><math>\displaystyle \phi(x,y) = x - 2y+ | ||
\frac12\ln (x^2+y^2) + 3\mathrm{arctg}\, \frac{y}{x},</math></center> | \frac12\ln (x^2+y^2) + 3\mathrm{arctg}\, \frac{y}{x},</math></center> | ||
łatwiej jest ją | łatwiej jest ją wtedy różniczkować. </div></div> | ||
wtedy różniczkować. </div></div> | |||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
\beta+\cos\alpha\sin\beta =\sin(\alpha+\beta)</math>. | a) Warto pamiętać, że <math>\displaystyle \sin{\alpha}\cos \beta+\cos\alpha\sin\beta =\sin(\alpha+\beta)</math>. | ||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
Należy poszukać punktów krytycznych. | |||
a) b) Jak wyglądają poziomice danych funkcji? c) Jak wygląda zbiór | a) b) Jak wyglądają poziomice danych funkcji? c) Jak wygląda zbiór zer danej funkcji i jak dzieli on dziedzinę na obszary, na których funkcja ta jest dodatnia lub ujemna? | ||
zer danej funkcji i jak dzieli on dziedzinę na obszary, na których | |||
funkcja ta jest dodatnia lub ujemna? | |||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki. | a) Należy poszukać punktów krytycznych i zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki. | ||
Warto pamiętać, że <math>\displaystyle F(x)=e^x</math> przyjmuje tylko wartości dodatnie. | Warto pamiętać, że <math>\displaystyle F(x)=e^x</math> przyjmuje tylko wartości dodatnie. | ||
b) Należy zbadać znak funkcji na osiach układu współrzędnych i w | b) Należy zbadać znak funkcji na osiach układu współrzędnych i w punktach postaci <math>\displaystyle (a,2a^2)</math>. Jak wygląda zacieśnienie funkcji do prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych? | ||
punktach postaci <math>\displaystyle (a,2a^2)</math>. Jak wygląda zacieśnienie funkcji do | |||
prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych? | |||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki. | Należy poszukać punktów krytycznych i zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki. | ||
a) Warto skorzystać ze wskazówki [[##z.am2.07.010|Uzupelnic z.am2.07.010|]] a). | a) Warto skorzystać ze wskazówki [[##z.am2.07.010|Uzupelnic z.am2.07.010|]] a). | ||
c) Zwróćmy uwagę, że funkcja <math>\displaystyle h</math> zeruje się na czterech | c) Zwróćmy uwagę, że funkcja <math>\displaystyle h</math> zeruje się na czterech płaszczyznach: <math>\displaystyle x=0</math>, <math>\displaystyle y=0</math>, <math>\displaystyle z=0</math> i <math>\displaystyle x+y+z=4</math>. Najpierw należy pokazać, że w żadnym z punktów trzech pierwszych płaszczyzn funkcja <math>\displaystyle h</math> nie osiąga ekstremum, bo dowolnie blisko każdego takiego punktu przyjmuje zarówno wartości dodatnie lub ujemne. (Ten fakt jest też prawdziwy dla ostatniej płaszczyzny, ale sprawdzenie tego nie jest konieczne, co będzie widoczne w dalszym postępowaniu). Następnie szukamy punktów krytycznych pod założeniem <math>\displaystyle x\neq 0, y\neq 0, z\neq 0</math>. | ||
płaszczyznach: <math>\displaystyle x=0</math>, <math>\displaystyle y=0</math>, <math>\displaystyle z=0</math> i <math>\displaystyle x+y+z=4</math>. Najpierw należy | |||
pokazać, że w żadnym z punktów trzech pierwszych płaszczyzn | |||
funkcja <math>\displaystyle h</math> nie osiąga ekstremum, bo dowolnie blisko każdego | |||
takiego punktu przyjmuje zarówno wartości dodatnie lub ujemne. | |||
(Ten fakt jest też prawdziwy dla ostatniej płaszczyzny, ale | |||
sprawdzenie tego nie jest konieczne, co będzie widoczne w dalszym | |||
postępowaniu). Następnie szukamy punktów krytycznych pod | |||
założeniem <math>\displaystyle x\neq 0, y\neq 0, z\neq 0</math>. | |||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki. | Należy poszukać punktów krytycznych i zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki. | ||
b) W wyliczaniu punktów krytycznych przyda się tożsamość | b) W wyliczaniu punktów krytycznych przyda się tożsamość trygonometryczna - wzór na różnicę cosinusów. | ||
trygonometryczna | |||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
pierwszego rzędu do zera należy pamiętać, że dziedziną naszej | Przyrównując pochodne cząstkowe pierwszego rzędu do zera należy pamiętać, że dziedziną naszej funkcji jest przedział <math>\displaystyle (0,+\infty)</math>. Wychodząc z układu równań otrzymanego z warunku koniecznego istnienia ekstremum proszę | ||
funkcji jest przedział <math>\displaystyle (0,+\infty)</math>. Wychodząc z układu równań | wyrazić zależność między kolejnymi punktami <math>\displaystyle a, x_1, x_2,..., x_n, b</math> za pomocą liczby <math>\displaystyle q=\frac{x_1}{a}</math>. Jakiego rodzaju jest to zależność? | ||
otrzymanego z warunku koniecznego istnienia ekstremum proszę | |||
wyrazić zależność między kolejnymi punktami <math>\displaystyle a, x_1, x_2,..., x_n, | |||
b</math> za pomocą liczby <math>\displaystyle q=\frac{x_1}{a}</math>. Jakiego rodzaju jest to | |||
zależność? | |||
By pokazać, że funkcja osiąga maksimum globalne w punkcie | By pokazać, że funkcja osiąga maksimum globalne w punkcie krytycznym rozważamy najpierw prosty przypadek <math>\displaystyle n=1</math> (mamy wtedy funkcję jednej zmiennej rzeczywistej). Następnie, jeśli <math>\displaystyle n>1</math> | ||
krytycznym rozważamy najpierw prosty przypadek <math>\displaystyle n=1</math> (mamy wtedy | ustalamy dowolne <math>\displaystyle n-1</math> zmiennych i rozważamy zacieśnienie naszej funkcji do półprostej -- mamy wtedy znowu funkcję jednej zmiennej. Co o niej możemy powiedzieć? Jak z tego wywnioskować naszą tezę? | ||
funkcję jednej zmiennej rzeczywistej). Następnie, jeśli <math>\displaystyle n>1</math> | |||
ustalamy dowolne <math>\displaystyle n-1</math> zmiennych i rozważamy zacieśnienie naszej | |||
funkcji do półprostej -- mamy wtedy znowu funkcję jednej zmiennej. | |||
Co o niej możemy powiedzieć? Jak z tego wywnioskować naszą tezę? | |||
</div></div> | </div></div> |
Wersja z 22:08, 23 sie 2006
Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Ćwiczenia
Ćwiczenie 8.1.
a) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji w punkcie .
b) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji w punkcie .
c) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji w punkcie .
d) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję w punkcie .
Ćwiczenie 8.2.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b)
c) .Ćwiczenie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b) ,
c) ,
d) .
Ćwiczenie 8.3.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b)
w zbiorze .
Ćwiczenie 8.4.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b) ,
c) .
Czy otrzymane ekstrema są też globalne?
Ćwiczenie 8.5.
a) Pokazać, że funkcja ma nieskończenie wiele minimów, natomiast nie ma żadnego maksimum.
b) Pokazać, że funkcja nie ma minimum w punkcie , ale jej zacieśnienie do dowolnej prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych ma silne minimum w tym punkcie.
Ćwiczenie 8.6.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b) ,
c) .
Ćwiczenie 8.7.
a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
b) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
w zbiorze
.Ćwiczenie 8.8.
(Zadanie Huygensa) Pomiędzy liczby dodatnie i () wstawić liczby dodatnie tak, aby ułamek
miał największą wartość.