Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 8: Ekstrema funkcji wielu zmiennych: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
Gracja (dyskusja | edycje)
Gracja (dyskusja | edycje)
Nie podano opisu zmian
Linia 1: Linia 1:
==Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Ćwiczenia==
==Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Ćwiczenia==


===Zadania===
{{cwiczenie|8.1.||
 
{{cwiczenie|||
a) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu
a) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu
drugiego funkcji <math>\displaystyle f(x,y)=\frac {\cos x}{\cos y}</math> w punkcie
drugiego funkcji <math>\displaystyle f(x,y)=\frac {\cos x}{\cos y}</math> w punkcie
Linia 19: Linia 17:
}}
}}


{{cwiczenie|||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
Jak wyraża się wielomian Taylora za pomocą pochodnych cząstkowych?
 
d) Ile pochodnych cząstkowych niezerowych ma funkcja <math>\displaystyle f</math>?
 
</div></div>
 
{{cwiczenie|8.2.||
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji


Linia 42: Linia 47:
}}
}}


{{cwiczenie|||
{{cwiczenie|8.3.||
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji


Linia 53: Linia 58:
}}
}}


{{cwiczenie|||
{{cwiczenie|8.4.||
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji


Linia 66: Linia 71:
}}
}}


{{cwiczenie|||
{{cwiczenie|8.5.||
a) Pokazać, że funkcja <math>\displaystyle f(x,y)=
a) Pokazać, że funkcja <math>\displaystyle f(x,y)=
(1+e^{x})\cos{y}+xe^x</math> ma nieskończenie wiele minimów, natomiast
(1+e^{x})\cos{y}+xe^x</math> ma nieskończenie wiele minimów, natomiast
Linia 78: Linia 83:
}}
}}


{{cwiczenie|||
{{cwiczenie|8.6.||
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji


Linia 89: Linia 94:
}}
}}


{{cwiczenie|||
{{cwiczenie|8.7.||
a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
<center><math>\displaystyle  
<center><math>\displaystyle  
Linia 102: Linia 107:
<math>\displaystyle (0,\pi)^2</math>. }}
<math>\displaystyle (0,\pi)^2</math>. }}


{{cwiczenie|||
{{cwiczenie|8.8.||
(Zadanie Huygensa) Pomiędzy liczby
(Zadanie Huygensa) Pomiędzy liczby
dodatnie <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> (<math>\displaystyle a\leq b</math>) wstawić liczby dodatnie
dodatnie <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> (<math>\displaystyle a\leq b</math>) wstawić liczby dodatnie
Linia 113: Linia 118:
===Wskazówki===
===Wskazówki===


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">    [[##z.am2.07.010|Uzupelnic z.am2.07.010|]] Jak wyraża się wielomian Taylora za
pomocą pochodnych cząstkowych?
d) Ile pochodnych cząstkowych niezerowych ma funkcja <math>\displaystyle f</math>?


</div></div>


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   [[##z.am2.07.020|Uzupelnic z.am2.07.020|]] Należy poszukać punktów krytycznych i
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki.
Należy poszukać punktów krytycznych i zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki.


a) Jeśli <math>\displaystyle x_1</math>, <math>\displaystyle x_2</math> i <math>\displaystyle x_3</math> są pierwiastkami równania <math>\displaystyle p(x)=0</math> z
a) Jeśli <math>\displaystyle x_1</math>, <math>\displaystyle x_2</math> i <math>\displaystyle x_3</math> są pierwiastkami równania <math>\displaystyle p(x)=0</math> z jedną niewiadomą i <math>\displaystyle y_1</math>, <math>\displaystyle y_2</math>, <math>\displaystyle y_3</math> są pierwiastkami równania <math>\displaystyle q(y)=0</math> z jedną niewiadomą, to jakie rozwiązania ma układ dwóch równań (z dwoma niewiadomymi) <math>\displaystyle p(x)=0</math> i <math>\displaystyle q(y) = 0</math>?
jedną niewiadomą i <math>\displaystyle y_1</math>, <math>\displaystyle y_2</math>, <math>\displaystyle y_3</math> są pierwiastkami równania
<math>\displaystyle q(y)=0</math> z jedną niewiadomą, to jakie rozwiązania ma układ dwóch
równań (z dwoma niewiadomymi) <math>\displaystyle p(x)=0</math> i <math>\displaystyle q(y) = 0</math>?


</div></div>
</div></div>


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   [[##z.am2.07.030|Uzupelnic z.am2.07.030|]] Należy poszukać punktów krytycznych i
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki.
Należy poszukać punktów krytycznych i zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki.


a) Przy pochodnej cząstkowej <math>\displaystyle \displaystyle \frac{\partial^2
a) Przy pochodnej cząstkowej <math>\displaystyle \displaystyle \frac{\partial^2
f}{\partial x^2}</math> warto zauważyć, że jeden z jej składników jest
f}{\partial x^2}</math> warto zauważyć, że jeden z jej składników jest równy <math>\displaystyle \displaystyle 2\frac{\partial f}{\partial x}</math>, zatem zeruje się w punktach krytycznych.
równy <math>\displaystyle \displaystyle 2\frac{\partial f}{\partial x}</math>, zatem zeruje
się w punktach krytycznych.


b) Skorzystać ze wskazówki do podpunktu a) przy wszystkich
b) Skorzystać ze wskazówki do podpunktu a) przy wszystkich pochodnych cząstkowych drugiego rzędu.
pochodnych cząstkowych drugiego rzędu.


d) Warto zapisać naszą funkcję w postaci <center><math>\displaystyle  \phi(x,y) = x - 2y+
d) Warto zapisać naszą funkcję w postaci <center><math>\displaystyle  \phi(x,y) = x - 2y+
\frac12\ln (x^2+y^2) + 3\mathrm{arctg}\, \frac{y}{x},</math></center>
\frac12\ln (x^2+y^2) + 3\mathrm{arctg}\, \frac{y}{x},</math></center>
łatwiej jest ją
łatwiej jest ją wtedy różniczkować. </div></div>
wtedy różniczkować. </div></div>


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   [[##z.am2.07.040|Uzupelnic z.am2.07.040|]] a) Warto pamiętać, że <math>\displaystyle \sin{\alpha}\cos
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
\beta+\cos\alpha\sin\beta =\sin(\alpha+\beta)</math>.
a) Warto pamiętać, że <math>\displaystyle \sin{\alpha}\cos \beta+\cos\alpha\sin\beta =\sin(\alpha+\beta)</math>.


</div></div>
</div></div>


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   [[##z.am2.07.050|Uzupelnic z.am2.07.050|]] Należy poszukać punktów krytycznych.
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
Należy poszukać punktów krytycznych.


a) b) Jak wyglądają poziomice danych funkcji? c) Jak wygląda zbiór
a) b) Jak wyglądają poziomice danych funkcji? c) Jak wygląda zbiór zer danej funkcji i jak dzieli on dziedzinę na obszary, na których funkcja ta jest dodatnia lub ujemna?
zer danej funkcji i jak dzieli on dziedzinę na obszary, na których
funkcja ta jest dodatnia lub ujemna?


</div></div>
</div></div>


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   [[##z.am2.07.060|Uzupelnic z.am2.07.060|]] a) Należy poszukać punktów krytycznych i
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki.
a) Należy poszukać punktów krytycznych i zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki.
Warto pamiętać, że <math>\displaystyle F(x)=e^x</math> przyjmuje tylko wartości dodatnie.
Warto pamiętać, że <math>\displaystyle F(x)=e^x</math> przyjmuje tylko wartości dodatnie.


b) Należy zbadać znak funkcji na osiach układu współrzędnych i w
b) Należy zbadać znak funkcji na osiach układu współrzędnych i w punktach postaci <math>\displaystyle (a,2a^2)</math>. Jak wygląda zacieśnienie funkcji do prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych?
punktach postaci <math>\displaystyle (a,2a^2)</math>. Jak wygląda zacieśnienie funkcji do
prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych?


</div></div>
</div></div>


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   [[##z.am2.07.070|Uzupelnic z.am2.07.070|]] Należy poszukać punktów krytycznych i
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki.
Należy poszukać punktów krytycznych i zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki.


a) Warto skorzystać ze wskazówki [[##z.am2.07.010|Uzupelnic z.am2.07.010|]] a).
a) Warto skorzystać ze wskazówki [[##z.am2.07.010|Uzupelnic z.am2.07.010|]] a).


c) Zwróćmy uwagę, że funkcja <math>\displaystyle h</math> zeruje się na czterech
c) Zwróćmy uwagę, że funkcja <math>\displaystyle h</math> zeruje się na czterech płaszczyznach: <math>\displaystyle x=0</math>, <math>\displaystyle y=0</math>, <math>\displaystyle z=0</math> i <math>\displaystyle x+y+z=4</math>. Najpierw należy pokazać, że w żadnym z punktów trzech pierwszych płaszczyzn funkcja <math>\displaystyle h</math> nie osiąga ekstremum, bo dowolnie blisko każdego takiego punktu przyjmuje zarówno wartości dodatnie lub ujemne. (Ten fakt jest też prawdziwy dla ostatniej płaszczyzny, ale sprawdzenie tego nie jest konieczne, co będzie widoczne w dalszym postępowaniu). Następnie szukamy punktów krytycznych pod założeniem <math>\displaystyle x\neq 0, y\neq 0, z\neq 0</math>.
płaszczyznach: <math>\displaystyle x=0</math>, <math>\displaystyle y=0</math>, <math>\displaystyle z=0</math> i <math>\displaystyle x+y+z=4</math>. Najpierw należy
pokazać, że w żadnym z punktów trzech pierwszych płaszczyzn
funkcja <math>\displaystyle h</math> nie osiąga ekstremum, bo dowolnie blisko każdego
takiego punktu przyjmuje zarówno wartości dodatnie lub ujemne.
(Ten fakt jest też prawdziwy dla ostatniej płaszczyzny, ale
sprawdzenie tego nie jest konieczne, co będzie widoczne w dalszym
postępowaniu). Następnie szukamy punktów krytycznych pod
założeniem <math>\displaystyle x\neq 0, y\neq 0, z\neq 0</math>.


</div></div>
</div></div>


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   [[##z.am2.07.080|Uzupelnic z.am2.07.080|]] Należy poszukać punktów krytycznych i
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki.
Należy poszukać punktów krytycznych i zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki.


b) W wyliczaniu punktów krytycznych przyda się tożsamość
b) W wyliczaniu punktów krytycznych przyda się tożsamość trygonometryczna - wzór na różnicę cosinusów.
trygonometryczna -- wzór na różnicę cosinusów.


</div></div>
</div></div>


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   [[##z.am2.07.090|Uzupelnic z.am2.07.090|]] Przyrównując pochodne cząstkowe
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
pierwszego rzędu do zera należy pamiętać, że dziedziną naszej
Przyrównując pochodne cząstkowe pierwszego rzędu do zera należy pamiętać, że dziedziną naszej funkcji jest przedział <math>\displaystyle (0,+\infty)</math>. Wychodząc z układu równań otrzymanego z warunku koniecznego istnienia ekstremum proszę
funkcji jest przedział <math>\displaystyle (0,+\infty)</math>. Wychodząc z układu równań
wyrazić zależność między kolejnymi punktami <math>\displaystyle a, x_1, x_2,..., x_n, b</math> za pomocą liczby <math>\displaystyle q=\frac{x_1}{a}</math>. Jakiego rodzaju jest to zależność?
otrzymanego z warunku koniecznego istnienia ekstremum proszę
wyrazić zależność między kolejnymi punktami <math>\displaystyle a, x_1, x_2,..., x_n,
b</math> za pomocą liczby <math>\displaystyle q=\frac{x_1}{a}</math>. Jakiego rodzaju jest to
zależność?


By pokazać, że funkcja osiąga maksimum globalne w punkcie
By pokazać, że funkcja osiąga maksimum globalne w punkcie krytycznym rozważamy najpierw prosty przypadek <math>\displaystyle n=1</math> (mamy wtedy funkcję jednej zmiennej rzeczywistej). Następnie, jeśli <math>\displaystyle n>1</math>
krytycznym rozważamy najpierw prosty przypadek <math>\displaystyle n=1</math> (mamy wtedy
ustalamy dowolne <math>\displaystyle n-1</math> zmiennych i rozważamy zacieśnienie naszej funkcji do półprostej -- mamy wtedy znowu funkcję jednej zmiennej. Co o niej możemy powiedzieć? Jak z tego wywnioskować naszą tezę?
funkcję jednej zmiennej rzeczywistej). Następnie, jeśli <math>\displaystyle n>1</math>
ustalamy dowolne <math>\displaystyle n-1</math> zmiennych i rozważamy zacieśnienie naszej
funkcji do półprostej -- mamy wtedy znowu funkcję jednej zmiennej.
Co o niej możemy powiedzieć? Jak z tego wywnioskować naszą tezę?


</div></div>
</div></div>

Wersja z 22:08, 23 sie 2006

Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Ćwiczenia

Ćwiczenie 8.1.

a) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji f(x,y)=cosxcosy w punkcie (0,0).

b) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji f(x,y)=arctg(xyx+y) w punkcie (1,1).

c) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji f(x,y)=xyx2+y2 w punkcie (1,1).

d) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję f(x,y,z)=x3+y3+z33xyz w punkcie (1,1,1).

Wskazówka

Ćwiczenie 8.2.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

a) f(x,y)=x4+y48x22y2+2006,

b) g(x,y)=x2+8y36xy+1,

c) h(x,y)=2xy+1x+2y.

Ćwiczenie

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

a) f(x,y)=e2x(x+y2+2y),

b) g(x,y)=ex2y(52x+y),

c) h(x,y)=ln|x+y|x2y2,

d) ϕ(x,y)=x2y+lnx2+y2+3arctgyx.

Ćwiczenie 8.3.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

a) f(x,y)=sinxsinysin(x+y),

b) h(x,y)=sinx+cosy+cos(xy)
w zbiorze (0,π)2.

Ćwiczenie 8.4.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

a) f(x,y)=1x2+y2,

b) g(x,y)=x4+y45,

c) h(x,y)=x5+y5.
Czy otrzymane ekstrema są też globalne?

Ćwiczenie 8.5.

a) Pokazać, że funkcja f(x,y)=(1+ex)cosy+xex ma nieskończenie wiele minimów, natomiast nie ma żadnego maksimum.

b) Pokazać, że funkcja f(x,y)=3x44x2y+y2 nie ma minimum w punkcie (0,0), ale jej zacieśnienie do dowolnej prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych ma silne minimum w tym punkcie.

Ćwiczenie 8.6.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

a) f(x,y,z)=x4y3+2z32x2+6y23z2,

b) g(x,y,z)=x3+xy+y22zx+2z2+3y1,

c) h(x,y,z)=xyz(4xyz).

Ćwiczenie 8.7.

a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

f(x,y,z)=4x2yxz2y1z.

b) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

Φ(x,y,z)=sin(x+y+z)sinxsinysinz

w zbiorze

(0,π)2.

Ćwiczenie 8.8.

(Zadanie Huygensa) Pomiędzy liczby dodatnie a i b (ab) wstawić liczby dodatnie x1,...,xn tak, aby ułamek

f(x1,...,xn)=x1x2...xn(a+x1)(x1+x2)...(xn1+xn)(xn+b)

miał największą wartość.

Wskazówki

Wskazówka
Wskazówka
Wskazówka
Wskazówka
Wskazówka
Wskazówka
Wskazówka
Wskazówka

Rozwiązania i odpowiedzi

Rozwiązanie
Rozwiązanie
Rozwiązanie
Rozwiązanie
Rozwiązanie
Rozwiązanie
Rozwiązanie
Rozwiązanie
Rozwiązanie