Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych

Ciągi w przestrzeniach metrycznych. Ćwiczenia

Ćwiczenie

Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną, $\{x_n\}\subseteq X$ ciągiem, oraz $g\in X.$ Udowodnić, że jeśli $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=g$ oraz $\left\{x_{n_k}\right\}$ jest dowolnym podciągiem ciągu $\{x_n\},$ to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{k\rightarrow +\infty} x_{n_k} \ =\ g. }

Wskazówka

(1) Zauważyć, że zachodzenie danej własności dla od pewnego miejsca dla ciągu implikuje zachodzenie tej własności od pewnego miejsca dla podciągu.

Rozwiązanie

Niech $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=g.$ Należy pokazać, że $\lim {}_{k\to +\mathrm{\infty }}{x}_{n_k}=g.$ Weźmy dowolne $\epsilon >0.$ Z definicji granicy wiemy, że wszystkie wyrazy ciągu $\{x_n\}$ od pewnego miejsca leżą w kuli $K(g,\epsilon ).$ Ale to oznacza, że także wszystkie wyrazy podciągu $\{x_{n_k}\}$ od pewnego miejsca leżą w kuli $K(g,\epsilon ).$ Ponieważ $\epsilon >0$ było dowolnie wybrane, zatem z definicji granicy wnioskujemy, że $\lim {}_{k\to +\mathrm{\infty }}{x}_{n_k}=g.$

Ćwiczenie

Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną, $\{x_n\}\subseteq X$ ciągiem, oraz $g\in X.$ Udowodnić, że jeśli $\{x_n\}$ jest ciągiem zbieżnym oraz $\left\{x_{n_k}\right\}$ jest jego dowolnym podciągiem takim, że $\lim {}_{k\to +\mathrm{\infty }}{x}_{n_k}=g,$ to także $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=g.$

Wskazówka

Skorzystać z Zadania Uzupelnic z.new.am2.c.02.010| oraz jednoznaczności granicy (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.02.060|).

Rozwiązanie

Z założenia wiemy, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=g_1.$ Z punktu (1) wynika, że także dla podciągu $\{x_{n_k}\}$ mamy $\lim {}_{k\to +\mathrm{\infty }}{x}_{n_k}=g_1.$ Z jednoznaczności granicy (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.02.060|) mamy, że $g=g_1,$ co należało dowieść.

Ćwiczenie

Niech $(X_i,d_i)$ będą przestrzeniami metrycznymi dla $i=1,\dots k,X=X_1\times \dots \times X_k,\{a_n\}\subseteq X$ ciągiem w $X$ (w szczególności $a_n=(a_n^1,\dots ,a_n^k)$ dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ oraz $a=(a^1,\dots ,a^k)\in X$). Udowodnić, że:
(1) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=a$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n^i=a^i$ dla $i=1,\dots ,k.$

(2) ciąg $\{a_n\}$ spełnia warunek Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy ciągi $\{a_n^i\}$ spełniają warunek Cauchy'ego dla $i=1,\dots ,k.$

Wskazówka

(1) Należy wykorzystać definicję metryki standardowej w iloczynie kartezjańskim (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.150|).

(2) Dowód jest analogiczny do dowodu punktu (1).

Rozwiązanie

(1) "$⟹$":
Załóżmy, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=a.$ Ustalmy $i_0\in \{1,\dots ,k\}.$ Należy pokazać, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n^{i_0}=a^{i_0}.$ Ustalmy dowolne $\epsilon >0.$ Z definicji granicy ciągu wiemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d(a_n,a)<\varepsilon, }

gdzie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(a_n,a) \ =\ \sqrt{d_1(a_n^1,a^1)^2+\ldots+d_k(a_n^k,a^k)^2}. }

Zatem dla $n\ge N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d_{i_0}(a_n^{i_0},a^{i_0}) \ \le\ \sqrt{d_1(a_n^1,a^1)^2+\ldots+d_k(a_n^k,a^k)^2} \ =\ d(a_n,a) \ <\ \varepsilon. }

Ponieważ $\epsilon >0$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d_{i_0}(a_n^{i_0},a^{i_0})<\varepsilon, }

co oznacza, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n^{i_0}=a^{i_0}.$
"$⟸$":
Załóżmy, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n^i=a^i$ dla każdego $i\in \{1,\dots ,k\}.$ Należy pokazać, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=a.$ W tym celu ustalmy dowolne $\epsilon >0.$ Z definicji granicy ciągu wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall i\in\{1,\ldots,k\}\ \exists N_i\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_i:\ d_i(a_n^i,a^i)<\frac{\varepsilon}{\sqrt{k}}, }

Niech $N=\max \{N_1,\dots ,N_k\}.$ Wówczas dla $n\ge N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(a_n,a) \ =\ \sqrt{d_1(a_n^1,a^1)^2+\ldots+d_k(a_n^k,a^k)^2} \ <\ \sqrt{k\cdot \frac{\varepsilon^2}{k}} \ =\ \varepsilon. }

Ponieważ $\epsilon >0$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d(a_n,a)<\varepsilon, }

co oznacza, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=a.$

(2) "$⟹$":
Załóżmy, że ciąg $\{a_n\}$ spełnia warunek Cauchy'ego. Ustalmy $i_0\in \{1,\dots ,k\}.$ Należy pokazać, że ciąg $\{a_n^{i_0}\}$ spełnia warunek Cauchy'ego. Ustalmy dowolne $\epsilon >0.$ Z definicji warunku Cauchy'ego wiemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n,m\ge N:\ d(a_n,a_m)<\varepsilon, }

gdzie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(a_n,a_m) \ =\ \sqrt{d_1(a_n^1,a_m^1)^2+\ldots+d_k(a_n^k,a_m^k)^2}. }

Zatem dla $n,m\ge N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d_{i_0}(a_n^{i_0},a_m^{i_0}) \ \le\ \sqrt{d_1(a_n^1,a_m^1)^2+\ldots+d_k(a_n^k,a_m^k)^2} \ =\ d(a_n,a_m) \ <\ \varepsilon. }

Ponieważ $\epsilon >0$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n,m\ge N:\ d_{i_0}(a_n^{i_0},a_m^{i_0})<\varepsilon, }

co oznacza, że ciąg $\{a_n^{i_0}\}$ spełnia warunek Cauchy'ego.

"$⟸$":
Załóżmy, że ciąg $\{a_n^i\}$ spełnia warunek Cauchy'ego dla każdego $i\in \{1,\dots ,k\}.$ Należy pokazać, że ciąg $\{a_n\}$ spełnia warunek Cauchy'ego. W tym celu ustalmy dowolne $\epsilon >0.$ Z definicji warunku Cauchy'ego wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall i\in\{1,\ldots,k\}\ \exists N_i\in\mathbb{N}\ \forall n,m\ge N_i:\ d_i(a_n^i,a_m^i)<\frac{\varepsilon}{\sqrt{k}}, }

Niech $N=\max \{N_1,\dots ,N_k\}.$ Wówczas dla $n,m\ge N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(a_n,a_m) \ =\ \sqrt{d_1(a_n^1,a_m^1)^2+\ldots+d_k(a_n^k,a_m^k)^2} \ <\ \sqrt{k\cdot \frac{\varepsilon^2}{k}} \ =\ \varepsilon. }

Ponieważ $\epsilon >0$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n,m\ge N:\ d(a_n,a_m)<\varepsilon, }

co oznacza, że ciąg $\{a_n\}$ spełnia warunek Cauchy'ego.

Ćwiczenie

Pokazać z definicji, że ${\mathbb{ℝ}}^2$ (z metryką euklidesową) jest zbiorem zwartym.

Wskazówka

Można postępować analogicznie jak w dowodzie Twierdzenia Uzupelnic t.new.am2.w.01.215|.

Rozwiązanie

Rozważmy rodzinę zbiorów otwartych $\left\{K\right((0,0),n){\}}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}.$ Ponieważ

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \mathbb{R}^2 \ =\ \bigcup_{n\in\mathbb{N}} K\big((0,0),n\big), }

zatem rodzina ta jest pokryciem zbioru ${\mathbb{ℝ}}^2.$ Pokażemy, że z tego pokrycia nie można wybrać podpokrycia skończonego. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że istnieje podpokrycie skończone $\left\{K\right((0,0),n_i){\}}_{i=1}^k.$ Zdefiniujmy $n_0=\max \{n_1,\dots ,n_k\}.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \bigcup_{i=1}^k K\big((0,0),n_i\big) \ =\ K\big((0,0),n_0\big) \subsetneq \mathbb{R}^2 }

(ostatnie istotne zawieranie wynika na przykład z faktu, że punkt $(0,n_0+1)\in {\mathbb{ℝ}}^2\setminus K((0,0),n_0)$). Otrzymaliśmy sprzeczność. Zatem zbiór ${\mathbb{ℝ}}^2$ nie jest zwarty.

Ćwiczenie

Jakie zbiory są zwarte w przestrzeni metrycznej dyskretnej? Odpowiedź uzasadnij.

Wskazówka

Należy zauważyć, że zbiory jednopunktowe są otwarte (dlaczego?). Jako pokrycie otwarte rozważmy pokrycie zbiorami jednopunktowymi. Kiedy z tego pokrycia można wybrać podpokrycie skończone?

Rozwiązanie

W przestrzeni metrycznej dyskretnej zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończony.
"$⟸$"
Jeśli $A$ jest zbiorem skończonym to jest zwarty (w dowolnej przestrzeni metrycznej; patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.190|(1)).
"$⟹$"
Niech $A$ będzie zbiorem zwartym w przestrzeni metrycznej dyskretnej. Należy pokazać, że zbiór $A$ jest skończony. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że zbiór $A$ jest nieskończony. Rozważmy następującą rodzinę zbiorów otwartych $\{K(x,1){\}}_{x\in A}.$ Ponieważ $K(x,1)=\{x\}$ zatem rodzina ta jest pokryciem otwartym (i nieskończonym) zbioru $A$ zbiorami jednopunktowymi. Zauważmy, że po usunięciu z tej rodziny dowolnego zbioru, przestaje ona być pokryciem zbioru $A.$ Zatem nie można z niego wybrać podpokrycia skończonego. Zatem zbiór $A$ nie jest zwarty i otrzymujemy sprzeczność.

Ćwiczenie

Niech $X$ będzie przestrzenią metryczną oraz $A,B\subseteq X.$ Które z implikacji są prawdziwe:
"jeśli zbiory $A$ i $B$ są spójne, to zbiór $A\cap B$ jest spójny";
"jeśli zbiory $A$ i $B$ są spójne, to zbiór $A\cup B$ jest spójny";
"jeśli zbiór $A\cup B$ jest spójny, to zbiory $A$ i $B$ są spójne".

Wskazówka

Ewentualnych kontrprzykładów można szukać w ${\mathbb{ℝ}}^2.$

Rozwiązanie

Przecięcie zbiorów spójnych nie musi być zbiorem spójnym. Rysunek przedstawia dwa zbiory spójne $A,B\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2,$ których przecięcie $A\cap B$ nie jest spójne.
{ Rysunek AM2.M02.C.R01 (nowy)}
Suma zbiorów spójnych nie musi być zbiorem spójnym. Wystarczy wziąć dwa przedziały w $\mathbb{ℝ}$: $A=(0,1)$ i $B=(2,3)$ (są to zbiory spójne; porównaj Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.240|). Ich suma $A\cup B=(0,1)\cup (2,3)$ nie jest zbiorem spójnym, gdyż nie jest przedziałem. Oczywiście aby zachodził kontrprzykład, zbiory $A$ i $B$ muszą być rozłączne. W przeciwnym razie z Twierdzenia Uzupelnic t.new.am2.w.01.250| wynikałoby, że suma jest zbiorem spójny.
{ Rysunek AM2.M02.C.R02 (nowy)}
Jeśli zbiór $A\cup B$ jest spójny, to zbiory $A$ i $B$ nie muszą być spójne. Jak przykład weźmy zbiory $A=(1,3)\cup (4,7)$ oraz $B=[2,5]\cup [6,8].$ Wówczas zbiory $A,B\subseteq \mathbb{ℝ}$ nie są spójne, ale zbiór $A\cup B=(1,8]$ jest spójny (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.250|).
{ Rysunek AM2.M02.C.R03 (nowy)}

Ćwiczenie

Niech $X$ będzie przestrzenią metryczną oraz $A,B\subseteq X.$ Które z implikacji są prawdziwe:
"jeśli zbiory $A$ i $B$ są zwarte, to zbiór $A\cup B$ jest zwarty";
"jeśli zbiór $A\cup B$ jest zwarty, to zbiory $A$ i $B$ są zwarte".

Wskazówka

Ewentualnych kontrprzykładów można szukać w ${\mathbb{ℝ}}^2.$

Rozwiązanie

Jeśli zbiory $A$ i $B$ są zwarte, to zbiór $A\cup B$ jest zwarty.

Aby to pokazać weźmy dowolne pokrycie otwarte $\{U_s{\}}_{s\in S}$ zbioru $A\cup B.$ Wówczas jest to zarówno pokrycie zbioru $A$ jak i zbioru $B.$ Ponieważ zbiory $A$ i $B$ są zwarte więc możemy wybrać podpokrycia skończone $\{U_{s_i}{\}}_{i=1}^k$ zbioru $A$ oraz $\{U_{s_i}{\}}_{i=k+1}^l$ zbioru $B.$ Wówczas $\{U_{s_i}{\}}_{i=1}^l$ jest pokryciem skończonym zbioru $A\cup B$ (jeśli zbiór otwarty powtarza się w pierwszym i drugim podpokryciu, to bierzemy go tylko raz w $\{U_{s_i}{\}}_{i=1}^l$).

Jeśli zbiór $A\cup B$ jest zwarty, to zbiory $A$ i $B$ nie muszą być zwarte. Jako przykład weźmy przedziały w $\mathbb{ℝ}$: $A=[1,3)$ i $B=(2,4].$ Wówczas zbiory $A$ i $B$ nie są zwarte ale zbiór $A\cup B$ jest zwarty (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.210|).
{ Rysunek AM2.M02.C.R04 (nowy)}

Ćwiczenie

Jak wyglądają ciągi Cauchy'ego w przestrzeni metrycznej dyskretnej.

Wskazówka

Weź $\epsilon =\frac{1}{2}$ i zastosuj w definicji ciągu Cauchy'ego.

Rozwiązanie

Niech $\{x_n\}$ będzie ciągiem Cauchy'ego przestrzeni metrycznej dyskretnej. Wówczas w szczególności dla $\epsilon =\frac{1}{2}$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n,m\ge N:\ d(x_n,x_m)<\frac{1}{2}. }

Ale metryka dyskretna przyjmuje tylko wartości $0$ i $1,$ zatem dla dowolnych $n,m\ge N,$ mamy $d(x_n,x_m)=0,$ a to z kolei oznacza, że $x_n=x_m.$ Zatem pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall n\ge N:\ x_n=x_N, }

czyli ciąg jest stały od pewnego miejsca.

Zauważmy teraz, że zachodzi także implikacja odwrotna, gdyż każdy ciąg stały jest zbieżny, więc w szczególności jest ciągiem Cauchy'ego.
Odpowiedź: W przestrzeni metrycznej dyskretnej ciąg spełnia warunek Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy jest stały od pewnego miejsca.

Ćwiczenie

Rozważmy płaszczyznę ${\mathbb{ℝ}}^2$ z metryką kolejową z węzłem $O(0,0).$ Zbadać zbieżność dwóch ciągów: $\{x_n\}$ i $\{y_x\}$ w tej metryce, gdy $x_n=(\frac{1}{n},1)$ oraz $y_n=(0,1+\frac{1}{n})$ dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}.$

Wskazówka

Najpierw zbadać zachodzenie warunku Cauchy'ego (pozwoli to wykluczyć ciągi, które na pewno nie są zbieżne). Jeśli ciąg spełnia warunek Cauchy'ego to spróbować znaleźć kandydata na granicę.

Rozwiązanie

(1) Dla ciągu $\{x_n\}$ zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x_n,x_{n+1}) \ =\ d_2(x_n,\Theta)+d_2(x_{n+1},\Theta) \ =\ \sqrt{\bigg(\frac{1}{n}\bigg)^2+1^2} + \sqrt{\bigg(\frac{1}{n+1}\bigg)^2+1^2} \ \ge\ 2, }

zatem ciąg $\{x_n\}$ nie spełnia warunku Cauchy'ego, a zatem nie jest zbieżny.

(2) Pokażemy, że ciąg $\{y_n\}$ ma granicę $y_0=(0,1).$ Obliczmy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(y_n,y_0) \ =\ d(y_n,y_0) \ =\ \sqrt{0^2+\bigg(1+\frac{1}{n}-1\bigg)} \ =\ \frac{1}{n} }

zatem $d(y_n,y_0)⟶0$ gdy $n\to +\mathrm{\infty },$ a to oznacza, że $y_n\underset{d}{\overset{}{\to }}{y}_0=(1,0).$