Analiza matematyczna 2/Wykład 1: Przestrzenie metryczne

Przestrzenie metryczne

Ten wykład poświęcony jest pojęciu przestrzeni metrycznej. Prezentujemy definicję metryki, przykłady przestrzeni metrycznych. Definiujemy zbiory otwarte, domknięte, punkty skupienia i średnicę zbioru. Następnie wprowadzamy pojęcia zwartości i spójności w przestrzeniach metrycznych. Dowodzimy, że przedział domknięty i ograniczony jest zbiorem zwartym w $\mathbb{ℝ}$ oraz charakteryzujemy zbiory spójne w $\mathbb{ℝ}.$

Jedną z najistotniejszych idei matematyki jest idea aproksymacji. Z aproksymacją mamy do czynienia wtedy, gdy pewien obiekt $T$ (liczbę, funkcję, zbiór) przedstawiamy jako granicę (w odpowiednim sensie) ciągu obiektów $T_n$. Możemy wtedy wnioskować o własnościach "mniej znanego" obiektu $T$ z własności "bardziej znanych" obiektów $T_n$. Każdy z nas zetknął się z aproksymacją, chociażby w stwierdzeniu "$\pi$ wynosi mniej więcej $3.14$" (tu przybliżamy liczbę niewymierną ciągiem liczb wymiernych). Na wykładzie poświęconym ciągom funkcyjnym dowiemy się, że jeśli funkcja jest granicą (w specjalnym sensie) ciągu funkcji ciągłych to jest funkcją ciągłą. Ponieważ mamy wiele różnych rodzajów zbieżności - czyli przejść granicznych - potrzebna jest w matematyce w miarę ogólna a zarazem prosta teoria przechodzenia do granicy. O podstawach tej teorii opowiemy na dwóch pierwszych wykładach poświęconych przestrzeniom metrycznym i ciągom w przestrzeniach metrycznych. Na trzecim wykładzie zajmiemy się działem teorii przestrzeni metrycznych, przestrzeniami unormowanymi. Teoria ta pozwala dodatkowo "przenieść" do teorii granic ważne idee geometryczne związane z działaniami na wektorach.

1.1. Metryka

Przypomnijmy, że różne sposoby mierzenia odległości w ${\mathbb{ℝ}}^N$ poznaliśmy na wykładzie z Analizy Matematycznej 1. Tam też zapoznaliśmy się z pojęciem metryki. Okazuje się, że funkcję zwaną metryką można zdefiniować dla dowolnego (niepustego) zbioru $X$ (a nie tylko dla ${\mathbb{ℝ}}^N$). W ten sposób będziemy mogli mierzyć odległości miedzy elementami dowolnego zbioru $X$.

Definicja 1.1.

Niech $X$ będzie zbiorem niepustym. Metryką w zbiorze $X$ nazywamy dowolną funkcję $d:X\times X⟶{\mathbb{ℝ}}_{+}=[0,+\mathrm{\infty })$ spełniającą następujące warunki:
(i) $\mathrm{\forall }x\in X:d(x,y)=0⟺x=y$;
(ii) $\mathrm{\forall }x,y\in X:d(x,y)=d(y,x)$ (symetria);
(iii) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x,y,z\in X:\ d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z)} (warunek trójkąta).
Parę $(X,d)$ nazywamy przestrzenią metryczną.
Dla dowolnych $x,y\in X,$ liczbę $d(x,y)$ nazywamy odległością punktów $x$ i $y$ oraz mówimy, że punkty $x$ i $y$ są oddalone od siebie o $d(x,y).$

Definicja kuli w dowolnej przestrzeni metrycznej jest analogiczna do poznanej na wykładzie z Analizy Matematycznej 1 definicji kuli w ${\mathbb{ℝ}}^N$.

Definicja 1.2.

Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną. Kulą o środku w punkcie $x_0\in X$ i promieniu $r\ge 0$ nazywamy zbiór:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K(x_0,r) \ \stackrel{df}{=}\ \big\{x\in X:\ d(x_0,x)<r\big\}. }

Kulą domkniętą o środku w punkcie $x_0\in X$ i promieniu $r\ge 0$ nazywamy zbiór:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \overline{K}(x_0,r) \ \stackrel{df}{=}\ \big\{x\in X:\ d(x_0,x)\le r\big\}. }

Podamy teraz kilka przykładów przestrzeni metrycznych oraz opiszemy jak wyglądają kule w tych przestrzeniach.

Przykład 1.3.

(Metryka dyskretna)
Niech $X\ne \mathrm{\varnothing }$ będzie dowolnym zbiorem oraz niech

$d_d(x,y)\stackrel{df}{=}\{\begin{array}{lll}1& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">gdy</mrow>}{\displaystyle }& x\ne y,\\ 0& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">gdy</mrow>}{\displaystyle }& x=y.\end{array}\mathrm{\forall }x,y\in X.$

Zauważmy, iż wartość funkcji $d$ dla dwóch dowolnych punktów wynosi $1,$ gdy są one różne oraz wynosi $0,$ gdy jest to ten sam punkt.
{ Rysunek AM2.M01.W.R01 (stary numer AM1.3.2)}
Łatwo sprawdzić, że tak zdefiniowana funkcja $d$ jest metryką, zatem para $(X,d_d)$ jest przestrzenią metryczną. Metrykę tę będziemy nazywali metryczną dyskretną.

Faktycznie z definicji wynika, że dla dowolnych $x,y\in X$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x,y)=0 \ \Longleftrightarrow\ x=y }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x,y) \ =\ d(y,x). }

Dla sprawdzenia warunku trójkąta weźmy $x,y,z\in X.$ Rozważymy następujące przypadki.

Jeśli $x=z,$ to $d(x,z)=0$ zatem zawsze zachodzi $d(x,z)=0\le d(x,y)+d(y,z).$

Jeśli $x\ne z,$ to $x\ne y$ lub $y\ne z.$ Wtedy również $d(x,z)=1\le d(x,y)+d(y,z).$

Łatwo także zauważyć, jak będą wyglądały kule w tej przestrzeni metrycznej. Jeśli $r\in (0,1],$ to kula o promieniu $r$ składa się z samego środka, ale jeśli $r>1,$ to kulą jest cała przestrzeń $X.$ Mamy zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K(x_0,r) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} \emptyset & \textrm{gdy} \displaystyle & r=0,\\ \{x_0\} & \textrm{gdy} \displaystyle & r\in(0,1],\\ X & \textrm{gdy} \displaystyle & r>1, \end{array} \right. \qquad \overline{K}(x_0,r) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} \{x_0\} & \textrm{gdy} \displaystyle & r\in[0,1),\\ X & \textrm{gdy} \displaystyle & r\ge 1. \end{array} \right. }

Zatem w przestrzeni metrycznej dyskretnej kulami i kulami domkniętymi są jedynie: $\mathrm{\varnothing },$ zbiory jednopunktowe oraz cała przestrzeń.

Przypomnijmy teraz standardowe metryki w ${\mathbb{ℝ}}^N.$ Były one wprowadzone na wykładzie z Analizy Matematycznej 1.

Przykład 1.4.

(Metryka maksimowa, taksówkowa i euklidesowa)
Niech $X={\mathbb{ℝ}}^N$ oraz niech

$\mathrm{\forall }x,y\in {\mathbb{ℝ}}^N:d_{\mathrm{\infty }}(x,y)\stackrel{df}{=}\underset{i=1,\dots ,N}{\max }|x_i-y_i|,d_1(x,y)\stackrel{df}{=}\sum _{i=1}^N|x_i-y_i|d_2(x,y)\stackrel{df}{=}\sqrt{\sum _{i=1}^N{(x_i-y_i)}^2},$

gdzie $x=(x_1,\dots ,x_N)$ oraz $y=(y_1,\dots ,y_N).$
Para $({\mathbb{ℝ}}^N,d_{\mathrm{\infty }})$ jest przestrzenią metryczną. Funkcję $d_{\mathrm{\infty }}$ nazywamy metryka maksimową w ${\mathbb{ℝ}}^N.$
Para $({\mathbb{ℝ}}^N,d_1)$ jest przestrzenią metryczną. Funkcję $d_1$ nazywamy metryka taksówkową w ${\mathbb{ℝ}}^N.$
Para $({\mathbb{ℝ}}^N,d_2)$ jest przestrzenią metryczną. Funkcję $d_2$ nazywamy metryką euklidesową w ${\mathbb{ℝ}}^N,$ zaś parę $({\mathbb{ℝ}}^N,d_2)$ nazywamy przestrzenią metryczną euklidesową.

Przypomnijmy jak wyglądają kule w tych metrykach.
Poniższe rysunki przedstawiają kule w metryce maksimowej.
{ Rysunek Powtórzyć rysunek AM1.M03.W.R05 (stary numer AM1.3.6)}
{ Rysunek Powtórzyć rysunek AM1.M03.W.R06 (stary numer AM1.3.7)}
Poniższe rysunki przedstawiają kule w metryce taksówkowej.
{ Rysunek Powtórzyć rysunek AM1.M03.W.R09 (stary numer AM1.3.10)}
{ Rysunek Powtórzyć rysunek AM1.M03.W.R10 (stary numer AM1.3.11)}
Poniższe rysunki przedstawiają kule w metryce euklidesowej.
{ Rysunek Powtórzyć rysunek AM1.M03.W.R14 (stary numer AM1.3.14)}
{ Rysunek Powtórzyć rysunek AM1.M03.W.R15 (stary numer AM1.3.15)}

Dwa kolejne przykłady podają mniej typowe metryki na płaszczyźnie ${\mathbb{ℝ}}^2.$

Przykład 1.5.

(Metryka rzeka)
Wyobraźmy sobie, że płaszczyzna ${\mathbb{ℝ}}^2$ jest gęstym lasem oraz pewna prosta $l$ jest rzeką. Aby zmierzyć odległość dwóch punktów $x,y\in {\mathbb{ℝ}}^2$ musimy wyciąć ścieżkę od $x$ do $y,$ przy czym możemy to robić tylko prostopadle do rzeki.

Mamy dwa przypadki:
(1) Jeśli punkty $x$ i $y$ są końcami odcinka prostopadłego do rzeki $l,$ to ich odległość jest równa zwykłej odległości euklidesowej na płaszczyźnie.
{ Rysunek AM2.M01.W.R02 (stary numer AM1.3.16)}
(2) Jeśli zaś punkty $x$ i $y$ nie leżą na prostej prostopadłej do rzeki $l,$ to musimy utworzyć dwie ścieżki jedną od punktu $x$ do rzeki, a drugą od rzeki do punktu $y,$ zawsze prostopadle do rzeki. Teraz odległość od $x$ do $y$ będzie równa długości (euklidesowej) obu ścieżek oraz odległości tych ścieżek na rzece.
{ Rysunek AM2.M01.W.R03 (stary numer AM1.3.17)}
Nietrudno sprawdzić, że tak utworzona funkcja $d$ jest metryką w ${\mathbb{ℝ}}^2.$ Nazywamy ją metryką rzeką.
Poniższy rysunek przedstawia kule w naszej metryce.
{ Rysunek AM2.M01.W.R04 (stary numer AM1.3.18) animacja}

Przykład 1.6.

(Metryka kolejowa)
Wyobraźmy sobie, że na płaszczyźnie wyróżniony jest jeden punkt $O,$ węzeł kolejowy od którego odchodzą półproste, szyny, we wszystkich kierunkach. Aby zmierzyć odległość miedzy dwoma punktami $x$ i $y$ musimy przebyć drogę między nimi poruszając się po szynach. Rozważmy dwa przypadki:
(1) Jeśli punkty $x$ i $y$ znajdują się na wspólnej półprostej wychodzącej z punktu $O,$ to ich odległość jest zwykła odległością euklidesową.
(2) Jeśli zaś punkty $x$ i $y$ nie leżą na wspólnej półprostej wychodzącej z punktu $O$ to ich odległość jest równa sumie odległości euklidesowych od $x$ do $O$ oraz od $O$ do $y.$
{ Rysunek AM2.M01.W.R05 (stary numer AM1.3.19)}
Tak wprowadzona funkcja odległości jest metryką, zwaną metryką kolejową.

A oto jak wyglądają kule w metryce kolejowej.
{ Rysunek AM2.M01.W.R06 (stary numer AM1.3.20)}

Zdefiniujemy teraz pewne pojęcia związane z przestrzeniami metrycznymi. Część z nich była zdefiniowana na Analizie Matematycznej 1.

Definicja 1.7.

Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną, $x_0\in X$ oraz $A\subseteq X.$
(1) Zbiór $U\subseteq X$ nazywamy otwartym, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in U\ \exists r>0:\ K(x,r)\subseteq U. }

{ Rysunek Powtórzyć rysunek AM1.M03.W.R16 (stary numer AM1.3.21)}
(2) Punkt $x_0$ nazywamy punktem wewnętrznym zbioru $A\subseteq X,$ jeśli istnieje kula o środku w punkcie $x_0$ (i dodatnim promieniu) taka, że zawiera się w $A.$ Wnętrzem zbioru $A$ nazywamy zbiór jego punktów wewnętrznych i oznaczamy $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}A.$
(3) Domknięciem zbioru $A\subseteq X$ nazywamy zbiór wszystkich punktów $A$ oraz wszystkich punktów skupienia zbioru $A$ i oznaczamy $\bar{A}.$
(4) Brzegiem zbioru $A$ nazywamy zbiór $\partial A:=\bar{A}\setminus \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}A.$

Przykład 1.8.

W przestrzeni metrycznej dyskretnej każdy zbiór jest otwarty, bo wraz z każdym punktem $x$ zawiera kulę $K(x,1)=\{x\}.$

Przykład 1.9.

W przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^2$ rozważmy zbiór $A=\{(x_1,x_2):2<x_1^2+x_2^2\le 4\}.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \mathrm{int}\, A &= \{(x_1,x_2):\ 2<x_1^2+x_2^2<4\},\\ \overline{A} &= \{(x_1,x_2):\ 2\le x_1^2+x_2^2\le 4\},\\ \partial A &= \{(x_1,x_2):\ x_1^2+x_2^2=2\}\cup \{(x_1,x_2):\ x_1^2+x_2^2=4\}. \endaligned}

Podobnie jak w ${\mathbb{ℝ}}^N$ tak i w dowolnej przestrzeni metrycznej zachodzą następujące własności.

Twierdzenie 1.10.

(Zbiory w przestrzeniach metrycznych)
Jeśli $(X,d)$ jest przestrzenią metryczną, to
(1) Każda kula jest zbiorem otwartym w $X.$
(4) Zbiór $U\subseteq X$ jest otwarty, wtedy i tylko wtedy, gdy $U^c$ (dopełnienie zbioru $U$) jest zbiorem domkniętym.
(5) Kula domknięta jest zbiorem domkniętym.
(6) Jeśli $x_0$ jest punktem skupienia zbioru $A\subseteq X,$ to dowolna kula o środku w punkcie $x_0$ (i dodatnim promieniu) zawiera nieskończenie wiele punktów zbioru $A.$
(7) Suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
(8) Przecięcie (część wspólna) skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
(9) Przecięcie (część wspólna) dowolnej rodziny zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
(10) Suma skończonej rodziny zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
(11) Dla dowolnego zbioru $A\subseteq X,$ zbiór $\bar{A}$ (domknięcie zbioru $A$) jest zbiorem domkniętym.

Omówienie i przykłady powyższych własności mieliśmy na wykładzie z Analizy Matematycznej 1 (patrz Przykład AM1.Uzupelnic p.new.am1.w.03.145|).

Kolejne pojęcia związane z przestrzeniami metrycznymi podane są w poniższej definicji.

Definicja 1.11.

(1) Srednicą zbioru $A$ nazywamy liczbę:

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}A\stackrel{df}{=}\underset{x,y\in A}{\sup }d(x,y);$

{ Rysunek AM2.M01.W.R07 (stary numer AM1.3.23)}
(2) Odległością punktu $x_0$ od zbioru $A$ nazywamy liczbę:

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x_0,A)\stackrel{df}{=}\underset{x\in A}{\inf }d(x_0,x).$

{ Rysunek Powtórzyć rysunek AM1.M03.C.R01 (stary numer AM1.3.24)}
(3) Mówimy, że zbiór $A\subseteq X$ jest ograniczony, jeśli jest zawarty w pewnej kuli, to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists r>0\ \exists x_0\in X:\ A\subseteq K(x_0,r). }

{ Rysunek Powtórzyć rysunek AM1.M03.W.R17 (stary numer AM1.3.25)}

Przykład 1.12.

Na płaszczyźnie ${\mathbb{ℝ}}^2$ z metryką euklidesową rozważmy zbiór

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle A \ =\ \bigg\{ (x,y):\ 2\le x\le 6,\ 1<y\le 5 \bigg\} \cup \big(\{4\}\times [5,9]\big) }

oraz punkt $z=(8,8).$ Wyznaczyć średnicę zbioru $A$ oraz odległość punktu $z$ od zbioru $A.$

Rozwiązanie

Z poniższego rysunku widzimy, że $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}A=\sqrt{2^2+8^2}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$ oraz $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(z,A)=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}.$
{ Rysunek AM2.M01.W.R08 (stary numer AM1.3.26)}

{}$◻$

Przykład 1.13.

Niech $(X,d_d)$ będzie przestrzenią metryczną dyskretną. Jeśli $\mathrm{\#}X\le 1,$ to $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}X=0,$ a jeśli $\mathrm{\#}X\ge 2,$ to $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}X=1.$ Zatem każdy zbiór w metryce dyskretnej jest ograniczony.

Następujące oczywiste twierdzenie podaje związek między ograniczonością zbioru oraz jego średnicą.

Twierdzenie 1.14.

Jeśli $(X,d)$ jest przestrzenią metryczną, $A\subseteq X,$ to zbiór $A$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}A<+\mathrm{\infty }.$

W iloczynie kartezjańskim przestrzeni metrycznych można także zadać metrykę (tak zwaną metrykę produktową) na kilka naturalnych sposobów. Poniższe twierdzenie podaje jeden z takich sposobów.

Twierdzenie 1.15.

(Iloczyn kartezjański przestrzeni metrycznych)
Jeśli $(X_i,d_i)$ są przestrzeniami metrycznymi dla $i=1,\dots ,k,X\stackrel{df}{=}{X}_1\times \dots \times X_k,d:X\times X⟶{\mathbb{ℝ}}_{+}$ jest funkcją zdefiniowaną przez

$d(x,y)\stackrel{df}{=}\sqrt{\sum _{i=1}^k{d}_i(x_i,y_i{)}^2}\mathrm{\forall }x,y\in X$

to $(X,d)$ jest przestrzenią metryczną.
Wówczas $d$ nazywamy metryką produktową lub metryką standardową w iloczynie kartezjańskim $X_1\times \dots \times X_k.$

Dowód twierdzenia 1.15.

Dowód oparty na nierówności Cauchy'ego (patrz Lemat AM1.Uzupelnic l.new.am1.w.03.080|) jest analogiczny do dowodu, że $d_2$ jest metryką w ${\mathbb{ℝ}}^N$ (porównaj Przykład AM1.Uzupelnic p.new.am1.w.03.070| i Lemat AM1.Uzupelnic l.new.am1.w.03.090|).

Uwaga 1.16.

Metryka euklidesowa w ${\mathbb{ℝ}}^N$ jest metryką standardową w ${\mathbb{ℝ}}^N=\underset{N}{\underbrace{\mathbb{ℝ}\times \dots \times \mathbb{ℝ}}}.$ Wynika to wprost z definicji obu metryk.

Uwaga 1.17.

Jeśli $(X,d)$ jest przestrzenią metryczną oraz $A\subseteq X,$ to zbiór $A$ jest także przestrzenią metryczną z metryką $d{|}_{A\times A}.$ Kule w przestrzeni $A$ są równe przecięciom kul z przestrzeni $X$ ze zbiorem $A.$ Metrykę na $A$ nazywamy metryką indukowaną. W przyszłości o podzbiorach przestrzeni metrycznej będziemy także mówili "przestrzeń metryczna".

1.2. Zwartość

Wprowadzimy teraz ogólniejsze pojęcie zwartości niż to, z którym spotkaliśmy się na wykładzie z Analizy Matematycznej 1 (patrz Definicja AM1.Uzupelnic d.new.am1.w.08.200|).

Definicja 1.18.

Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną oraz $A\subseteq X.$
(1) Pokryciem otwartym zbioru $A$ nazywamy dowolną rodzinę $\{U_s{\}}_{s\in S}\subseteq 2^X$ zbiorów otwartych taką, że $\bigcup _{s\in S}{U}_s\supseteq A.$
{ Rysunek AM2.M01.W.R09 (stary numer AM1.3.27)}
Pokrycie to nazywamy skończonym, jeśli $\mathrm{\#}S<+\mathrm{\infty }.$
(2) Mówimy, że $\{U_s{\}}_{s\in T}$ jest podpokryciem pokrycia $\{U_s{\}}_{s\in S}$ zbioru $A,$ jeśli $\{U_s{\}}_{s\in T}$ jest pokryciem zbioru $A$ oraz $T\subset S.$
(3) Mówimy, że zbiór $A$ jest zwarty, jeśli z każdego pokrycia otwartego zbioru $A$ można wybrać pokrycie skończone.

Kolejne twierdzenie zbiera pewne informacje dotyczące zbiorów zwartych w przestrzeniach metrycznych.

Twierdzenie 1.19.

W dowolnej przestrzeni metrycznej $X$ mamy
(1) Zbiór skończony jest zwarty.
(2) Podzbiór zwarty przestrzeni metrycznej jest domknięty.
(3) Podzbiór zwarty przestrzeni metrycznej jest ograniczony.
(4) Podzbiór domknięty zbioru zwartego jest zwarty.
(5) Część wspólna zbioru zwartego i domkniętego jest zbiorem zwartym.

Dowód twierdzenia 1.19.

(Dowód nadobowiązkowy.)
(Ad (1)) Niech $A=\{a_1,\dots ,a_k\}$ będzie zbiorem skończonym w $X$ i niech $\{U_s{\}}_{s\in S}$ będzie pokryciem otwartym zbioru $A.$ Z definicji pokrycia mamy w szczególności

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall i\in\{1,\ldots,k\}\ \exists s_i\in S:\ a_i\in U_{s_i}. }

Zatem $A\subseteq \bigcup _{i=1}^k{U}_{s_i}.$ Pokazaliśmy zatem, że $\{U_{s_i}{\}}_{i=1}^k$ jest podpokryciem (skończonym) pokrycia $\{U_s{\}}_{s\in S}$ zbioru $A.$
(Ad (2)) Niech $A$ będzie zwartym podzbiorem w $X.$ Wystarczy pokazać, że $A^c$ jest zbiorem otwartym (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.100|(6)). W tym celu niech $x\in A^c.$ Dla dowolnego $y\in A$ niech $0<r_y<\frac{1}{2}d(x,y).$ Wówczas $x\in ̸K(y,r_y)$ oraz $K(y,r_y)\cap K(x,r_y)=\mathrm{\varnothing }.$
{ Rysunek AM2.M01.W.R10 (stary numer AM1.3.28)}
Rodzina $\{K(y,r_y){\}}_{y\in A}$ jest pokryciem otwartym zbioru $A.$ Ponieważ $A$ jest zbiorem zwartym, więc możemy z tego pokrycia wybrać podpokrycie skończone, powiedzmy $\{K(y_i,r_{y_i}){\}}_{i=1}^k,$ zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle W \ \stackrel{df}{=}\ K(y_1,r_{y_1})\cup\ldots\cup K(y_k,r_{y_k}) \ \supseteq\ A. }

Niech $V\stackrel{df}{=}\bigcap _{i=1}^{k}K(x,r_{y_k}).$ Wówczas $V$ jest kulą o środku w punkcie $x$ taką, że $V\subseteq A^c,$ czyli $x$ jest punktem wewnętrznym zbioru $A^c.$ Pokazaliśmy więc, że zbiór $A^c$ jest otwarty, a zatem zbiór $A$ jest domknięty.
(Ad (3)) Niech $A$ będzie zwartym podzbiorem w $X.$ Należy pokazać, że zbiór $A$ jest ograniczony. Niech $x_0\in X$ będzie dowolnym punktem. Zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle A \ \subseteq\ X \ =\ \bigcup_{n=1}^{\infty}K(x_0,n), }

to znaczy rodzina kul $\{K(x_n,n){\}}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ jest pokryciem otwartym zbioru $A.$ Ze zwartości zbioru $A$ wynika, iż z tego pokrycia można wybrać podpokrycie skończone, to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists k\in\mathbb{N}:\ A \ \subseteq\ \bigcup_{n=1}^{k}K(x_0,n). }

{ Rysunek AM2.M01.W.R11 (stary numer AM1.3.29)}
Ale ciąg kul $\{K(x_0,n){\}}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ jest wstępujący, zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle A \ \subseteq\ \bigcup_{n=1}^{k}K(x_0,n) \ =\ K(x_0,k), }

zatem zbiór $A$ jest ograniczony.
(Ad (4)) Niech $A$ będzie domkniętym podzbiorem zbioru zwartego $B.$ Niech $\{U_s{\}}_{s\in S}$ będzie dowolnym pokryciem zbioru $A.$ Ponieważ $A$ jest domknięty więc $A^c=X\setminus A$ jest zbiorem otwartym (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.100|(6)). Niech $t\in ̸S,$ będzie nowym indeksem oraz zdefiniujmy $U_t=A^c.$ Niech $T=S\cup \{t\}.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle U_t\cup \bigcup_{s\in S}U_s \ =\ \bigcup_{s\in T}U_s \ =\ X \ \supseteq\ B, }

zatem $\{U_s{\}}_{s\in T}$ jest pokryciem zbioru $B.$ Ponieważ zbiór $B$ jest zwarty więc można z niego wybrać podpokrycie skończone, powiedzmy $U_{s_1},\dots ,U_{s_k}.$ Oczywiście jest to także pokrycie zbioru $A.$ Jeśli wśród zbiorów $U_{s_1},\dots ,U_{s_k}$ znajduje się zbiór $U_t$ to można go usunąć (gdyż $U_t\cap A=\mathrm{\varnothing }$) i nadal będzie to skończone pokrycie zbioru $A$ będące podpokryciem pokrycia $\{U_s{\}}_{s\in S}.$ Pokazaliśmy zatem, że zbiór $A$ jest zwarty.
(5) Niech $A$ będzie zbiorem zwartym oraz $B$ zbiorem domkniętym. Z (1) wiemy, że $A$ jest także domknięty, zatem $A\cap B$ jest zbiorem domkniętym (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.100|(9)). Ponieważ $A\cap B$ jest domkniętym podzbiorem zbioru zwartego $A,$ więc z (3) wiemy, że jest on zbiorem zwartym, co należało dowieść.

Uwaga 1.20.

(1) Z Twierdzenia Uzupelnic t.new.am2.w.01.190| wynika w szczególności, że dowolny zbiór zwarty w przestrzeni metrycznej jest domknięty i ograniczony.

Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa. Jako przykład weźmy zbiór nieskończony $X$ z metryką dyskretną. Cały zbiór $X$ jest domknięty (jako uzupełnienie zbioru otwartego $\mathrm{\varnothing }$) oraz ograniczony (ponieważ $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}X=1$ patrz Przykład Uzupelnic p.new.am2.w.01.130|). Ale nie jest to zbiór zwarty, ponieważ z pokrycia otwartego $\bigcup _{x\in X}K(x,\frac{1}{2})\supseteq X$ nie można wybrać pokrycia skończonego (zauważmy, że $K(x,\frac{1}{2})=\{x\}$ i usunięcie jakiegokolwiek zbioru z rodziny zbiorów otwartych $\left\{K\right(x,\frac{1}{2}){\}}_{x\in X}$ powoduje, że rodzina ta przestaje być pokryciem $X$).
(2) Okazuje się jednak, że w przestrzeni euklidesowej ${\mathbb{ℝ}}^N$ twierdzenie odwrotne jest prawdziwe. Twierdzenie to bez dowodu poznaliśmy i wykorzystywaliśmy na wykładzie z Analizy Matematycznej 1. Będzie to udowodnione na następnym wykładzie (patrz Twierdzenie Uzupelnic w.new.am2.w.02.280|).

Poniższe twierdzenie daje pełną odpowiedź na pytanie jakie przedziały w $\mathbb{ℝ}$ są zwarte.

Twierdzenie 1.21.

Przedział domknięty i ograniczony $[a,b]\subseteq \mathbb{ℝ}$ ($-\mathrm{\infty }<a<b<\mathrm{\infty }$) jest zbiorem zwartym.

Dowód twierdzenia 1.21.

(Dowód nadobowiązkowy.)
Dowód oparty jest na tak zwanych przekrojach Dedekinda.
Niech $\{U_s{\}}_{s\in S}$ będzie dowolnym pokryciem przedziału $P=[a,b]$ (gdzie $a<b$). Skonstruujemy dwa zbiory $D_1,D_2\subseteq \mathbb{ℝ}$ (tak zwane przekroje Dedekinda), w następujący sposób:
"$x\in D_1$ wtedy i tylko wtedy, gdy
(1) $x<a$; lub
(2) $a\le x<b$ oraz przedział $[a,x]$ jest pokryty skończoną liczbą zbiorów otwartych z rodziny $\{U_s{\}}_{s\in S}.$"
Natomiast:
"$x\in D_2$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x\in ̸D_1.$"
Oczywiście $a\in D_1$ (bo przedział $[a,a]=\{a\}$ jest pokryty przez jeden ze zbiorów pokrycia $\{U_s{\}}_{s\in S}$).
Zdefiniujmy $z\stackrel{df}{=}\sup D_1.$ Oczywiście $z\in [a,b].$
Pokażemy, że $z=b.$ Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że $z<b.$ Z definicji pokrycia wiemy, że

$\mathrm{\exists }{s}_0\in S:z\in U_{s_0}.$

Z definicji zbioru otwartego w metryce euklidesowej w $\mathbb{ℝ}$ wiemy, że

$\mathrm{\exists }u,v:u<z<v$ i $[u,v]\subseteq U_{s_0}.$

Z kolei z definicji liczby $z$ wynika, że

$\mathrm{\exists }w\in (u,z):w\in D_1,$

{ Rysunek AM2.M01.W.R12 (stary numer AM1.3.30)}
to znaczy przedział $[a,w]$ jest pokryty skończoną ilością zbiorów z pokrycia $\{U_s{\}}_{s\in S},$ powiedzmy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle [a,w] \ \subseteq\ U_{s_1}\cup U_{s_2}\cup\ldots\cup U_{s_k}. }

Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle [a,v] \ \subseteq\ U_{s_1}\cup U_{s_2}\cup\ldots\cup U_{s_k} \cup U_{s_0}, }

czyli $v\in D_1,$ ale to jest sprzeczne z definicją $z.$ Zatem wykazaliśmy, że $z=b.$

Teraz w analogiczny sposób jak wyżej pokazujemy, że $z\in D_1,$ skąd wynika teraz naszego twierdzenia.

Twierdzenie 1.22.

Przedziały otwarte i otwarto-domknięte nie są zwarte w $\mathbb{ℝ}.$

Dowód twierdzenia 1.22.

Aby pokazać, że przedziały otwarte i otwarto-domknięte nie są zwarte, wskażemy pokrycia otwarte tych przedziałów, z których nie można wybrać podpokryć skończonych. Niech $a<b.$

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned (a,b) & \subseteq & \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigg(a+\frac{1}{n},b+1\bigg),\\ \left.\left(a,b\right.\right] & \subseteq & \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigg(a+\frac{1}{n},b+1\bigg),\\ \left[\left.a,b\right)\right. & \subseteq & \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigg(a-1,b-\frac{1}{n}\bigg)\\ (-\infty,b) & \subseteq & \bigcup_{n=1}^{\infty}\big(-n,b\big),\\ \left.\left(-\infty,b\right.\right] & \subseteq & \bigcup_{n=1}^{\infty}\big(-n,b+1\big),\\ (a,+\infty) & \subseteq & \bigcup_{n=1}^{\infty}\big(a,n\big),\\ \left[\left.a,+\infty\right)\right. & \subseteq & \bigcup_{n=1}^{\infty}\big(a-1,n\big)\\ \left(-\infty,+\infty\right) & \subseteq & \bigcup_{n=1}^{\infty}\big(-n,n\big). \endaligned}

Uzasadnienie, iż z powyższych pokryć nie można wybrać pokryć skończonych pozostawiamy jako proste ćwiczenie.

1.3. Spójność

Ostatnim pojęciem jakie wprowadzimy na tym wykładzie jest spójność zbioru w przestrzeni metrycznej. Intuicyjnie spójność zbioru $A$ oznacza, że składa się on z "jednego kawałka". Jednak aby formalnie zdefiniować to pojęcie potrzebujemy nieco bardziej skomplikowanej definicji.

Definicja 1.23.

Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną $A\subseteq X.$
Zbiór $A$ nazywamy spójnym, jeśli nie jest zawarty w sumie dwóch zbiorów otwartych, rozłącznych, z którymi ma niepuste przecięcie, to znaczy nie istnieją dwa zbiory $U$ i $V$ takie, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \displaystyle \left\{ \begin{array} {l} A\subseteq U\cup V\\ A\cap U\ne\emptyset,\ A\cap V\ne\emptyset\\ U\cap V=\emptyset\\ U,V\ \textrm{ -- są otwarte } \displaystyle \end{array} \right. }

Przykład 1.24.

Pierwszy z poniższych rysunków przedstawia zbiór spójny $A.$ Jeśli dwa zbiory $U$ i $V$ są otwarte, rozłączne i mają niepuste przecięcie z $A,$ to nie mogą w sumie zawierać całego $A$ (to znaczy $\mathrm{\exists }x\in A:x\in ̸U\cap V$).
{ Rysunek AM2.M01.W.R13 (stary numer AM1.3.31)}
Zbiór $B$ na kolejnym rysunku nie jest spójny, gdyż istnieją dwa zbiory $U$ i $V$ spełniające wszystkie cztery warunki z definicji spójności zbioru.
{ Rysunek AM2.M01.W.R14 (stary numer AM1.3.32)}

Twierdzenie 1.25.

Jeśli $A\subseteq \mathbb{ℝ}$ to $A$ jest zbiorem spójnym wtedy i tylko wtedy, gdy $A$ jest przedziałem.

Dowód twierdzenia 1.25.

(Dowód nadobowiązkowy.)
(Szkic)
"$⟹$"
Niech $A$ będzie zbiorem spójnym. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że $A$ nie jest przedziałem, to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists d\in A^c,\ \exists a,b\in A:\ a<d<b. }

Zdefiniujmy

$U\stackrel{df}{=}(-\mathrm{\infty },d),V\stackrel{df}{=}(d,+\mathrm{\infty }).$

Wówczas $U$ i $V$ są zbiorami otwartymi (dlaczego?), $U\cap A\ne \mathrm{\varnothing }$ i $V\cap A\ne \mathrm{\varnothing }$ (bo $a\in U\cap A$ i $b\in V\cap A$), $A\subseteq U\cup V$ oraz $U\cap V=\mathrm{\varnothing }.$ Jest to sprzeczne ze spójnością zbioru $A.$

"$⟸$" (Będziemy korzystali z faktu, że supremum zbioru otwartego w $\mathbb{ℝ}$ nie jest elementem tego zbioru).
Niech $A$ będzie przedziałem. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że $A$ nie jest zbiorem spójnym. Zatem istnieją dwa niepuste zbiory otwarte $U$ i $V$ takie, że

$U\cap V=\mathrm{\varnothing },A\subseteq U\cup V.$

oraz

$\mathrm{\exists }a,b\in A:a\in U,b\in V.$

Bez straty ogólności możemy założyć, że $a<b.$
Zdefiniujmy $z=\sup (U\cap [a,b]).$ Ponieważ $b\in V$ i $V$ jest otwarty, więc $z<b.$ Gdyby $z\in U,$ to z faktu, że $U$ jest zbiorem otwartym wynikałoby, że $z$ nie jest kresem górnym zbioru $U\cap [a,b].$ Zatem $z\in ̸U.$
Ponieważ $a\in U$ i $U$ jest otwarty, więc $a<z.$ Gdyby $z\in V,$ to z faktu, że $V$ jest otwarty wynikałoby, że $z$ nie jest kresem górnym zbioru $U\cap [a,b].$ Zatem $z\in ̸V.$
Pokazaliśmy, że $z\in ̸U\cap V.$ Ale $z\in A,$ więc doszliśmy do sprzeczności z faktem, że $A\subseteq U\cap V.$
Pokazaliśmy zatem, że $A$ jest zbiorem spójnym.

Kolejne twierdzenie (które podajemy bez dowodu) mówi, że suma dowolnej rodziny zbiorów spójnych jest zbiorem spójnym, pod warunkiem, że mają one niepuste przecięcie.

Twierdzenie 1.26.

Jeśli $(X,d)$ jest przestrzenią metryczną, $\{X_s{\}}_{s\in S}$ jest rodziną podzbiorów spójnych w $X$ takich, że $\bigcap _{s\in S}{X}_s\ne \mathrm{\varnothing },$ to zbiór $\bigcup _{s\in S}{X}_s$ jest spójny.

{ Rysunek AM2.M01.W.R15 (stary numer AM1.3.33)}