Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych

Ciągi w przestrzeniach metrycznych. Ćwiczenia

Ćwiczenie

Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną, $\{x_n\}\subseteq X$ ciągiem, oraz $g\in X.$ Udowodnić, że jeśli $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=g$ oraz $\left\{x_{n_k}\right\}$ jest dowolnym podciągiem ciągu $\{x_n\},$ to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{k\rightarrow +\infty} x_{n_k} \ =\ g. }

Wskazówka

(1) Zauważyć, że zachodzenie danej własności dla od pewnego miejsca dla ciągu implikuje zachodzenie tej własności od pewnego miejsca dla podciągu.

{}$◻$

Rozwiązanie

Niech $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=g.$ Należy pokazać, że $\lim {}_{k\to +\mathrm{\infty }}{x}_{n_k}=g.$ Weźmy dowolne $\epsilon >0.$ Z definicji granicy wiemy, że wszystkie wyrazy ciągu $\{x_n\}$ od pewnego miejsca leżą w kuli $K(g,\epsilon ).$ Ale to oznacza, że także wszystkie wyrazy podciągu $\{x_{n_k}\}$ od pewnego miejsca leżą w kuli $K(g,\epsilon ).$ Ponieważ $\epsilon >0$ było dowolnie wybrane, zatem z definicji granicy wnioskujemy, że $\lim {}_{k\to +\mathrm{\infty }}{x}_{n_k}=g.$

{}$◻$

Ćwiczenie

Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną, $\{x_n\}\subseteq X$ ciągiem, oraz $g\in X.$ Udowodnić, że jeśli $\{x_n\}$ jest ciągiem zbieżnym oraz $\left\{x_{n_k}\right\}$ jest jego dowolnym podciągiem takim, że $\lim {}_{k\to +\mathrm{\infty }}{x}_{n_k}=g,$ to także $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=g.$

Wskazówka

Skorzystać z Zadania Uzupelnic z.new.am2.c.02.010| oraz jednoznaczności granicy (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.02.060|).

{}$◻$

Rozwiązanie

Z założenia wiemy, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=g_1.$ Z punktu (1) wynika, że także dla podciągu $\{x_{n_k}\}$ mamy $\lim {}_{k\to +\mathrm{\infty }}{x}_{n_k}=g_1.$ Z jednoznaczności granicy (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.02.060|) mamy, że $g=g_1,$ co należało dowieść.

{}$◻$

Ćwiczenie

Niech $(X_i,d_i)$ będą przestrzeniami metrycznymi dla $i=1,\dots k,X=X_1\times \dots \times X_k,\{a_n\}\subseteq X$ ciągiem w $X$ (w szczególności $a_n=(a_n^1,\dots ,a_n^k)$ dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ oraz $a=(a^1,\dots ,a^k)\in X$). Udowodnić, że:
(1) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=a$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n^i=a^i$ dla $i=1,\dots ,k.$

(2) ciąg $\{a_n\}$ spełnia warunek Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy ciągi $\{a_n^i\}$ spełniają warunek Cauchy'ego dla $i=1,\dots ,k.$

Wskazówka

(1) Należy wykorzystać definicję metryki standardowej w iloczynie kartezjańskim (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.150|).

(2) Dowód jest analogiczny do dowodu punktu (1).

{}$◻$

Rozwiązanie

(1) "$⟹$":
Załóżmy, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=a.$ Ustalmy $i_0\in \{1,\dots ,k\}.$ Należy pokazać, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n^{i_0}=a^{i_0}.$ Ustalmy dowolne $\epsilon >0.$ Z definicji granicy ciągu wiemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d(a_n,a)<\varepsilon, }

gdzie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(a_n,a) \ =\ \sqrt{d_1(a_n^1,a^1)^2+\ldots+d_k(a_n^k,a^k)^2}. }

Zatem dla $n\ge N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d_{i_0}(a_n^{i_0},a^{i_0}) \ \le\ \sqrt{d_1(a_n^1,a^1)^2+\ldots+d_k(a_n^k,a^k)^2} \ =\ d(a_n,a) \ <\ \varepsilon. }

Ponieważ $\epsilon >0$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d_{i_0}(a_n^{i_0},a^{i_0})<\varepsilon, }

co oznacza, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n^{i_0}=a^{i_0}.$
"$⟸$":
Załóżmy, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n^i=a^i$ dla każdego $i\in \{1,\dots ,k\}.$ Należy pokazać, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=a.$ W tym celu ustalmy dowolne $\epsilon >0.$ Z definicji granicy ciągu wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall i\in\{1,\ldots,k\}\ \exists N_i\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_i:\ d_i(a_n^i,a^i)<\frac{\varepsilon}{\sqrt{k}}, }

Niech $N=\max \{N_1,\dots ,N_k\}.$ Wówczas dla $n\ge N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(a_n,a) \ =\ \sqrt{d_1(a_n^1,a^1)^2+\ldots+d_k(a_n^k,a^k)^2} \ <\ \sqrt{k\cdot \frac{\varepsilon^2}{k}} \ =\ \varepsilon. }

Ponieważ $\epsilon >0$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d(a_n,a)<\varepsilon, }

co oznacza, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=a.$

(2) "$⟹$":
Załóżmy, że ciąg $\{a_n\}$ spełnia warunek Cauchy'ego. Ustalmy $i_0\in \{1,\dots ,k\}.$ Należy pokazać, że ciąg $\{a_n^{i_0}\}$ spełnia warunek Cauchy'ego. Ustalmy dowolne $\epsilon >0.$ Z definicji warunku Cauchy'ego wiemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n,m\ge N:\ d(a_n,a_m)<\varepsilon, }

gdzie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(a_n,a_m) \ =\ \sqrt{d_1(a_n^1,a_m^1)^2+\ldots+d_k(a_n^k,a_m^k)^2}. }

Zatem dla $n,m\ge N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d_{i_0}(a_n^{i_0},a_m^{i_0}) \ \le\ \sqrt{d_1(a_n^1,a_m^1)^2+\ldots+d_k(a_n^k,a_m^k)^2} \ =\ d(a_n,a_m) \ <\ \varepsilon. }

Ponieważ $\epsilon >0$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n,m\ge N:\ d_{i_0}(a_n^{i_0},a_m^{i_0})<\varepsilon, }

co oznacza, że ciąg $\{a_n^{i_0}\}$ spełnia warunek Cauchy'ego.

"$⟸$":
Załóżmy, że ciąg $\{a_n^i\}$ spełnia warunek Cauchy'ego dla każdego $i\in \{1,\dots ,k\}.$ Należy pokazać, że ciąg $\{a_n\}$ spełnia warunek Cauchy'ego. W tym celu ustalmy dowolne $\epsilon >0.$ Z definicji warunku Cauchy'ego wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall i\in\{1,\ldots,k\}\ \exists N_i\in\mathbb{N}\ \forall n,m\ge N_i:\ d_i(a_n^i,a_m^i)<\frac{\varepsilon}{\sqrt{k}}, }

Niech $N=\max \{N_1,\dots ,N_k\}.$ Wówczas dla $n,m\ge N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(a_n,a_m) \ =\ \sqrt{d_1(a_n^1,a_m^1)^2+\ldots+d_k(a_n^k,a_m^k)^2} \ <\ \sqrt{k\cdot \frac{\varepsilon^2}{k}} \ =\ \varepsilon. }

Ponieważ $\epsilon >0$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n,m\ge N:\ d(a_n,a_m)<\varepsilon, }

co oznacza, że ciąg $\{a_n\}$ spełnia warunek Cauchy'ego.

{}$◻$

Ćwiczenie

Pokazać z definicji, że ${\mathbb{ℝ}}^2$ (z metryką euklidesową) jest zbiorem zwartym.

Wskazówka

Można postępować analogicznie jak w dowodzie Twierdzenia Uzupelnic t.new.am2.w.01.215|.

{}$◻$

Rozwiązanie

Rozważmy rodzinę zbiorów otwartych $\left\{K\right((0,0),n){\}}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}.$ Ponieważ

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \mathbb{R}^2 \ =\ \bigcup_{n\in\mathbb{N}} K\big((0,0),n\big), }

zatem rodzina ta jest pokryciem zbioru ${\mathbb{ℝ}}^2.$ Pokażemy, że z tego pokrycia nie można wybrać podpokrycia skończonego. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że istnieje podpokrycie skończone $\left\{K\right((0,0),n_i){\}}_{i=1}^k.$ Zdefiniujmy $n_0=\max \{n_1,\dots ,n_k\}.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \bigcup_{i=1}^k K\big((0,0),n_i\big) \ =\ K\big((0,0),n_0\big) \subsetneq \mathbb{R}^2 }

(ostatnie istotne zawieranie wynika na przykład z faktu, że punkt $(0,n_0+1)\in {\mathbb{ℝ}}^2\setminus K((0,0),n_0)$). Otrzymaliśmy sprzeczność. Zatem zbiór ${\mathbb{ℝ}}^2$ nie jest zwarty.

{}$◻$

Ćwiczenie

Jakie zbiory są zwarte w przestrzeni metrycznej dyskretnej? Odpowiedź uzasadnij.

Wskazówka

Należy zauważyć, że zbiory jednopunktowe są otwarte (dlaczego?). Jako pokrycie otwarte rozważmy pokrycie zbiorami jednopunktowymi. Kiedy z tego pokrycia można wybrać podpokrycie skończone?

{}$◻$

Rozwiązanie

W przestrzeni metrycznej dyskretnej zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończony.
"$⟸$"
Jeśli $A$ jest zbiorem skończonym to jest zwarty (w dowolnej przestrzeni metrycznej; patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.190|(1)).
"$⟹$"
Niech $A$ będzie zbiorem zwartym w przestrzeni metrycznej dyskretnej. Należy pokazać, że zbiór $A$ jest skończony. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że zbiór $A$ jest nieskończony. Rozważmy następującą rodzinę zbiorów otwartych $\{K(x,1){\}}_{x\in A}.$ Ponieważ $K(x,1)=\{x\}$ zatem rodzina ta jest pokryciem otwartym (i nieskończonym) zbioru $A$ zbiorami jednopunktowymi. Zauważmy, że po usunięciu z tej rodziny dowolnego zbioru, przestaje ona być pokryciem zbioru $A.$ Zatem nie można z niego wybrać podpokrycia skończonego. Zatem zbiór $A$ nie jest zwarty i otrzymujemy sprzeczność.

{}$◻$

Ćwiczenie

Niech $X$ będzie przestrzenią metryczną oraz $A,B\subseteq X.$ Które z implikacji są prawdziwe:
"jeśli zbiory $A$ i $B$ są spójne, to zbiór $A\cap B$ jest spójny";
"jeśli zbiory $A$ i $B$ są spójne, to zbiór $A\cup B$ jest spójny";
"jeśli zbiór $A\cup B$ jest spójny, to zbiory $A$ i $B$ są spójne".

Wskazówka

Ewentualnych kontrprzykładów można szukać w ${\mathbb{ℝ}}^2.$

{}$◻$

Rozwiązanie

Przecięcie zbiorów spójnych nie musi być zbiorem spójnym. Rysunek przedstawia dwa zbiory spójne $A,B\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2,$ których przecięcie $A\cap B$ nie jest spójne.
{ Rysunek AM2.M02.C.R01 (nowy)}
Suma zbiorów spójnych nie musi być zbiorem spójnym. Wystarczy wziąć dwa przedziały w $\mathbb{ℝ}$: $A=(0,1)$ i $B=(2,3)$ (są to zbiory spójne; porównaj Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.240|). Ich suma $A\cup B=(0,1)\cup (2,3)$ nie jest zbiorem spójnym, gdyż nie jest przedziałem. Oczywiście aby zachodził kontrprzykład, zbiory $A$ i $B$ muszą być rozłączne. W przeciwnym razie z Twierdzenia Uzupelnic t.new.am2.w.01.250| wynikałoby, że suma jest zbiorem spójny.
{ Rysunek AM2.M02.C.R02 (nowy)}
Jeśli zbiór $A\cup B$ jest spójny, to zbiory $A$ i $B$ nie muszą być spójne. Jak przykład weźmy zbiory $A=(1,3)\cup (4,7)$ oraz $B=[2,5]\cup [6,8].$ Wówczas zbiory $A,B\subseteq \mathbb{ℝ}$ nie są spójne, ale zbiór $A\cup B=(1,8]$ jest spójny (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.250|).
{ Rysunek AM2.M02.C.R03 (nowy)}

{}$◻$

Ćwiczenie

Niech $X$ będzie przestrzenią metryczną oraz $A,B\subseteq X.$ Które z implikacji są prawdziwe:
"jeśli zbiory $A$ i $B$ są zwarte, to zbiór $A\cup B$ jest zwarty";
"jeśli zbiór $A\cup B$ jest zwarty, to zbiory $A$ i $B$ są zwarte".

Wskazówka

Ewentualnych kontrprzykładów można szukać w ${\mathbb{ℝ}}^2.$

{}$◻$

Rozwiązanie

Jeśli zbiory $A$ i $B$ są zwarte, to zbiór $A\cup B$ jest zwarty.

Aby to pokazać weźmy dowolne pokrycie otwarte $\{U_s{\}}_{s\in S}$ zbioru $A\cup B.$ Wówczas jest to zarówno pokrycie zbioru $A$ jak i zbioru $B.$ Ponieważ zbiory $A$ i $B$ są zwarte więc możemy wybrać podpokrycia skończone $\{U_{s_i}{\}}_{i=1}^k$ zbioru $A$ oraz $\{U_{s_i}{\}}_{i=k+1}^l$ zbioru $B.$ Wówczas $\{U_{s_i}{\}}_{i=1}^l$ jest pokryciem skończonym zbioru $A\cup B$ (jeśli zbiór otwarty powtarza się w pierwszym i drugim podpokryciu, to bierzemy go tylko raz w $\{U_{s_i}{\}}_{i=1}^l$).

Jeśli zbiór $A\cup B$ jest zwarty, to zbiory $A$ i $B$ nie muszą być zwarte. Jako przykład weźmy przedziały w $\mathbb{ℝ}$: $A=[1,3)$ i $B=(2,4].$ Wówczas zbiory $A$ i $B$ nie są zwarte ale zbiór $A\cup B$ jest zwarty (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.210|).
{ Rysunek AM2.M02.C.R04 (nowy)}

{}$◻$

Ćwiczenie

Jak wyglądają ciągi Cauchy'ego w przestrzeni metrycznej dyskretnej.

Wskazówka

Weź $\epsilon =\frac{1}{2}$ i zastosuj w definicji ciągu Cauchy'ego.

{}$◻$

Rozwiązanie

Niech $\{x_n\}$ będzie ciągiem Cauchy'ego przestrzeni metrycznej dyskretnej. Wówczas w szczególności dla $\epsilon =\frac{1}{2}$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n,m\ge N:\ d(x_n,x_m)<\frac{1}{2}. }

Ale metryka dyskretna przyjmuje tylko wartości $0$ i $1,$ zatem dla dowolnych $n,m\ge N,$ mamy $d(x_n,x_m)=0,$ a to z kolei oznacza, że $x_n=x_m.$ Zatem pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall n\ge N:\ x_n=x_N, }

czyli ciąg jest stały od pewnego miejsca.

Zauważmy teraz, że zachodzi także implikacja odwrotna, gdyż każdy ciąg stały jest zbieżny, więc w szczególności jest ciągiem Cauchy'ego.
Odpowiedź: W przestrzeni metrycznej dyskretnej ciąg spełnia warunek Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy jest stały od pewnego miejsca.

{}$◻$

Ćwiczenie

Rozważmy płaszczyznę ${\mathbb{ℝ}}^2$ z metryką kolejową z węzłem $O(0,0).$ Zbadać zbieżność dwóch ciągów: $\{x_n\}$ i $\{y_x\}$ w tej metryce, gdy $x_n=(\frac{1}{n},1)$ oraz $y_n=(0,1+\frac{1}{n})$ dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}.$

Wskazówka

Najpierw zbadać zachodzenie warunku Cauchy'ego (pozwoli to wykluczyć ciągi, które na pewno nie są zbieżne). Jeśli ciąg spełnia warunek Cauchy'ego to spróbować znaleźć kandydata na granicę.

{}$◻$

Rozwiązanie

(1) Dla ciągu $\{x_n\}$ zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x_n,x_{n+1}) \ =\ d_2(x_n,\Theta)+d_2(x_{n+1},\Theta) \ =\ \sqrt{\bigg(\frac{1}{n}\bigg)^2+1^2} + \sqrt{\bigg(\frac{1}{n+1}\bigg)^2+1^2} \ \ge\ 2, }

zatem ciąg $\{x_n\}$ nie spełnia warunku Cauchy'ego, a zatem nie jest zbieżny.

(2) Pokażemy, że ciąg $\{y_n\}$ ma granicę $y_0=(0,1).$ Obliczmy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(y_n,y_0) \ =\ d(y_n,y_0) \ =\ \sqrt{0^2+\bigg(1+\frac{1}{n}-1\bigg)} \ =\ \frac{1}{n} }

zatem $d(y_n,y_0)⟶0$ gdy $n\to +\mathrm{\infty },$ a to oznacza, że $y_n\underset{d}{\overset{}{\to }}{y}_0=(1,0).$

{}$◻$