Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 15: Krzywe i bryły obrotowe: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
Gracja (dyskusja | edycje)
Nie podano opisu zmian
Gracja (dyskusja | edycje)
Nie podano opisu zmian
Linia 817: Linia 817:
Ponadto obliczamy całkę
Ponadto obliczamy całkę


<center><math>\displaystyle   \aligned \int\frac{dx}{\sqrt{1+4x^2}}
<center><math>\begin{array}{lll}\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{1+4x^2}}
& = &
& = &\displaystyle
\left|
\left|
\begin{array} {rcl}
\begin{array} {rcl}
Linia 827: Linia 827:
\ =\
\ =\
\frac{1}{2}\int\frac{dt}{\sqrt{t^2+1}}\\\\
\frac{1}{2}\int\frac{dt}{\sqrt{t^2+1}}\\\\
& = &
& = &\displaystyle
\frac{1}{2}
\frac{1}{2}
\ln\left|t+\sqrt{t^2+1}\right|+c
\ln\left|t+\sqrt{t^2+1}\right|+c
Linia 833: Linia 833:
\frac{1}{2}
\frac{1}{2}
\ln\left|2x+\sqrt{1+4x^2}\right|+c.
\ln\left|2x+\sqrt{1+4x^2}\right|+c.
\endaligned</math></center>
\end{array}</math></center>


Wracając do naszej całki mamy
Wracając do naszej całki mamy

Wersja z 16:19, 22 sie 2006

15. Krzywe i bryły obrotowe

Ćwiczenie 15.1.

(a) Obliczyć długość okręgu o promieniu R: O={(x,y):x2+y2=R}2 trzema sposobami:
(1) wykorzystując opis parametryczny okręgu;
(2) wykorzystując współrzędne biegunowe;
(3) wykorzystując opis okręgu za pomocą wykresu funkcji.

(b) Obliczyć pole koła K={(x,y):x2+y21}2 trzema sposobami:
(1) wykorzystując opis parametryczny okręgu;
(2) wykorzystując współrzędne biegunowe;
(3) obliczając pole pod wykresem funkcji opisującej okrąg.


Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 15.2.

(a) Obliczyć długość kardioidy, danej opisem biegunowym r(ϑ)=a(1+cosϑ), dla ϑ[0,2π] (gdzie a>0).
(b) Obliczyć pole obszaru ograniczonego lemniskatą o równaniu biegunowym: r2=2a2cos2ϑ, dla ϑ[0,2π] (gdzie a>0).


Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 15.3.

Obliczyć długość krzywej zadanej wykresem funkcji f(x)=x w przedziale [0,1].


Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 15.4.

Obliczyć objętość i pole powierzchni:
(1) kuli o promieniu R>0 w 3 (traktując ją jako bryłę powstałą z obrotu koła dookoła osi Ox)
(2) bryły powstałej z obrotu obszaru pod odcinkiem y=1x dla x[0,1], dookoła osi Ox (czyli stożka)


Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 15.5.

Obliczyć pole powierzchni i objętość bryły powstałej przez obrót obszaru pod wykresem krzywej f(x)=1x dla x[1,+) wokół osi Ox.


Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 15.6.

Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu obszaru pod cykloidą {x=a(tsint)y=a(1cost) dla t[0,2π] (gdzie a>0)
(1) dookoła osi Ox
(2) dookoła osi Oy
(3) dookoła prostej y=2a.


Wskazówka
Rozwiązanie