Analiza matematyczna 1

Forma zajęć

Wykład (30 godzin) + ćwiczenia (30 godzin)

Opis

Zadaniem kursu „Analiza matematyczna 1” jest zapoznanie studentów z podstawowymi narzędziami rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej w zakresie niezbędnym do zrozumienia treści wykładów kursowych. Kontynuacją tego kursu jest „Analiza matematyczna 2”.

Sylabus

Autorzy

• Rafał Czyż
• Halszka Tutaj-Gasińska
• Marta Kosek
• Jerzy Szczepański

Wymagania wstępne

• Wymagana jest znajomość matematyki w zakresie szkoły średniej.

Zawartość

• zbiory liczbowe i funkcje
  • podzbiory zbioru liczb rzeczywistych
  • zbiór liczb zespolonych
  • przegląd funkcji elementarnych
• przestrzenie metryczne
  • ciągi w przestrzeniach metrycznych
  • zupełność
  • zwartość, spójność
• ciągi liczbowe
  • granica; punkt skupienia; granice dolna i górna
  • granice niewłaściwe
• szeregi liczbowe
  • warunek konieczny
  • szereg geometryczny; szereg harmoniczny
• granica i ciągłość funkcji
  • funkcje w przestrzeniach metrycznych
  • definicje Cauchy'ego i Heinego
  • własność Darboux
  • twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą
  • granice niewłaściwe
• pochodna
  • interpretacja geometryczna i fizyczna
  • twierdzenia o pochodnych
  • symbole nieoznaczone; reguła de l'Hospitala
  • twierdzenie Rolle'a, twierdzenie Lagrange'a
  • monotoniczność
  • ekstrema
  • pochodne wyższych rzędów
  • wzór Taylora
  • wypukłość
  • badanie przebiegu zmienności funkcji
• pierwotna (całka nieoznaczona)
  • metody całkowania
• całka Riemanna funkcji jednej zmiennej
  • interpretacja geometryczna; funkcje całkowalne w sensie Riemanna
  • podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego (Newtona-Leibniza)
  • twierdzenie o zmianie zmiennych w całce Riemanna

Literatura

1. W. Rudin, „Podstawy analizy matematycznej”, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1982.
2. W. Rudnicki, „Wykłady z analizy matematycznej”, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 2001.
3. G.M. Fichtenholz, „Rachunek różniczkowy i całkowy”, tom I, II i III. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
4. L. Drużkowski, „Analiza matematyczna dla fizyków. I. Podstawy”, Skrypt Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 1995.
5. L. Drużkowski, „Analiza matematyczna dla fizyków. II. Wybrane zagadnienia”, Skrypt Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 1997.
6. W. Krysicki, L. Włodarski, „Analiza matematyczna w zadaniach”, część I i II, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1986.
7. J. Banaś, S. Wędrychowicz, „Zbiór zadań z analizy matematycznej”, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 2001.

Moduły

1. Zbiory liczbowe (Ćwiczenia 1)
2. Funkcje elementarne (Ćwiczenia 2)
3. Przestrzenie metryczne (Ćwiczenia 3)
4. Ciągi (Ćwiczenia 4)
5. Ciągi liczbowe. Obliczanie granic (Ćwiczenia 5)
6. Szeregi liczbowe (Ćwiczenia 6)
7. Ciągłość funkcji w przestrzeniach metrycznych (Ćwiczenia 7)
8. Ciągłość funkcji rzeczywistych jednej zmiennej (Ćwiczenia 8)
9. Pochodna. Twierdzenia o wartości średniej (Ćwiczenia 9)
10. Wzór Taylora. Ekstrema (Ćwiczenia 10)
11. Reguła de l'Hospitala (Ćwiczenia 11)
12. Wypukłość. Badanie funkcji (Ćwiczenia 12)
13. Całka nieoznaczona (Ćwiczenia 13)
14. Metody całkowania (Ćwiczenia 14)
15. Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej (Ćwiczenia 15)