Algebra liniowa z geometrią analityczną: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycjanastępna edycja →
WizualnieWikikod
Opozda (dyskusja | edycje)
21 edycji
m Poprawki edytorskie
Linia 18: Linia 18:
=== Zawartość ===
=== Zawartość ===
*Ciała i przestrzenie wektorowe:
*Ciała i przestrzenie wektorowe:
** grupa, ciało (przemienne), charakterystyka ciała,
** grupa, ciało (przemienne), charakterystyka ciała
** przykłady ciał, ciało liczb zespolonych,
** przykłady ciał, ciało liczb zespolonych
** definicja przestrzeni wektorowej,
** definicja przestrzeni wektorowej
** podprzestrzenie, operacje na podprzestrzeniach,
** podprzestrzenie, operacje na podprzestrzeniach
** kombinacja liniowa, podzbiór generujący, układ liniowo niezależny, baza, przestrzeń skończenie wymiarowa, wymiar przestrzeni.
** kombinacja liniowa, podzbiór generujący, układ liniowo niezależny, baza, przestrzeń skończenie wymiarowa, wymiar przestrzeni
    
    
* Odwzorowania liniowe:
* Odwzorowania liniowe:
** definicja odwzorowania liniowego,
** definicja odwzorowania liniowego
** jądro i obraz odwzorowania  liniowego, rząd  odwzorowania liniowego,
** jądro i obraz odwzorowania  liniowego, rząd  odwzorowania liniowego
** monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm,
** monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm
** przestrzeń dualna, baza dualna, odwzorowanie dualne.
** przestrzeń dualna, baza dualna, odwzorowanie dualne


* Macierze:
* Macierze:
** podstawowe pojęcia,
** podstawowe pojęcia
** działania na macierzach,
** działania na macierzach
** macierz odwzorowania liniowego,
** macierz odwzorowania liniowego
** mnożenie macierzy a składanie odwzorowań liniowych,
** mnożenie macierzy a składanie odwzorowań liniowych
** macierz dualna a odwzorowanie dualne,
** macierz dualna a odwzorowanie dualne
** rząd macierzy,
** rząd macierzy
** macierz przejścia, macierz odwzorowania liniowego po zmianie bazy,
** macierz przejścia, macierz odwzorowania liniowego po zmianie bazy
** ślad macierzy i endomorfizmu.
** ślad macierzy i endomorfizmu
* Układy równań liniowych:  
* Układy równań liniowych:  
** twierdzenie Kroneckera-Capellego,
** twierdzenie Kroneckera-Capellego
** zbiór rozwiązań układu równań liniowych,
** zbiór rozwiązań układu równań liniowych
** badanie  układu równań.
** badanie  układu równań
* Wyznacznik:
* Wyznacznik:
** wyznacznik macierzy i endomorfizmu, metody obliczania wyznacznika, własności wyznacznika,
** wyznacznik macierzy i endomorfizmu, metody obliczania wyznacznika, własności wyznacznika
** minory i rząd macierzy,
** minory i rząd macierzy
** wzory Cramera,
** wzory Cramera
** wzory na wyrazy macierzy odwrotnej.
** wzory na wyrazy macierzy odwrotnej
* Endomorfizmy:
* Endomorfizmy:
** wartość własna i wektor własny,
** wartość własna i wektor własny
** wielomian charakterystyczny,
** wielomian charakterystyczny
** bazy i macierze Jordana.
** bazy i macierze Jordana
*  Formy kwadratowe:
*  Formy kwadratowe:
** macierz i rząd odwzorowania dwuliniowego,
** macierz i rząd odwzorowania dwuliniowego
** twierdzenie Lagrange'a i Sylvestera, sygnatura formy kwadratowej.
** twierdzenie Lagrange'a i Sylvestera, sygnatura formy kwadratowej
* Euklidesowe przestrzenie wektorowe:
* Euklidesowe przestrzenie wektorowe:
** iloczyn skalarny,
** iloczyn skalarny
** norma wyznaczona przez iloczyn skalarny,
** norma wyznaczona przez iloczyn skalarny
** nierówność Schwarza,
** nierówność Schwarza
** baza ortonormalna, ortonormalizacja Grama-Schmidta,
** baza ortonormalna, ortonormalizacja Grama-Schmidta
** macierz i wyznacznik Grama,
** macierz i wyznacznik Grama
** izometrie liniowe, macierz ortogonalna.
** izometrie liniowe, macierz ortogonalna
* Geometria analityczna:
* Geometria analityczna:
** przestrzeń afiniczna, euklidesowa przestrzeń afiniczna, euklidesowa przestrzeń afiniczna <math>R^n</math>,
** przestrzeń afiniczna, euklidesowa przestrzeń afiniczna, euklidesowa przestrzeń afiniczna <math>R^n</math>
** układ bazowy,ukośnokątny (prostokątny) układ współrzędnych, 
** układ bazowy,ukośnokątny (prostokątny) układ współrzędnych
** podprzestrzeń afiniczna, operacje na podprzestrzeniach afinicznych,
** podprzestrzeń afiniczna, operacje na podprzestrzeniach afinicznych
** równoległość podprzestrzeni afinicznych,
** równoległość podprzestrzeni afinicznych
** podprzestrzeń rozwiązań układu równań liniowych,
** podprzestrzeń rozwiązań układu równań liniowych
** opisy analityczne podprzestrzeni afinicznych,
** opisy analityczne podprzestrzeni afinicznych
** odległość punktów i niektórych figur,
** odległość punktów i niektórych figur
** zbiory wypukłe,
** zbiory wypukłe
** odwzorowania afiniczne, izometrie, postać macierzowa,
** odwzorowania afiniczne, izometrie, postać macierzowa


=== Literatura ===
=== Literatura ===
Linia 99: Linia 99:
* [[RPS Moduł 14|Geometria analityczna III]] ([[RPS Ćwiczenia 14|Ćwiczenia]])
* [[RPS Moduł 14|Geometria analityczna III]] ([[RPS Ćwiczenia 14|Ćwiczenia]])
* [[RPS Moduł 15|Geometria analityczna IV]] ([[RPS Ćwiczenia 15|Ćwiczenia]])
* [[RPS Moduł 15|Geometria analityczna IV]] ([[RPS Ćwiczenia 15|Ćwiczenia]])
== Literatura uzupełniająca ==
''opcjonalnie''

Wersja z 07:12, 7 lip 2006

Forma zajęć

Wykład (30 godzin) + ćwiczenia (30 godzin)

Opis

Zapoznanie z podstawowymi pojęciami algebry liniowej dla przestrzeni skończenie wymiarowych. Wprowadzenie do geometrii analitycznej w Rn.

Sylabus

Autorzy

  • Barbara Opozda
  • Małgorzata Downarowicz
  • Dominik Kwietniak

Wymagania wstępne

  • Podstawy logiki i teorii mnogości
  • Wiadomości ze szkoły.

Zawartość

  • Ciała i przestrzenie wektorowe:
    • grupa, ciało (przemienne), charakterystyka ciała
    • przykłady ciał, ciało liczb zespolonych
    • definicja przestrzeni wektorowej
    • podprzestrzenie, operacje na podprzestrzeniach
    • kombinacja liniowa, podzbiór generujący, układ liniowo niezależny, baza, przestrzeń skończenie wymiarowa, wymiar przestrzeni
  • Odwzorowania liniowe:
    • definicja odwzorowania liniowego
    • jądro i obraz odwzorowania liniowego, rząd odwzorowania liniowego
    • monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm
    • przestrzeń dualna, baza dualna, odwzorowanie dualne
  • Macierze:
    • podstawowe pojęcia
    • działania na macierzach
    • macierz odwzorowania liniowego
    • mnożenie macierzy a składanie odwzorowań liniowych
    • macierz dualna a odwzorowanie dualne
    • rząd macierzy
    • macierz przejścia, macierz odwzorowania liniowego po zmianie bazy
    • ślad macierzy i endomorfizmu
  • Układy równań liniowych:
    • twierdzenie Kroneckera-Capellego
    • zbiór rozwiązań układu równań liniowych
    • badanie układu równań
  • Wyznacznik:
    • wyznacznik macierzy i endomorfizmu, metody obliczania wyznacznika, własności wyznacznika
    • minory i rząd macierzy
    • wzory Cramera
    • wzory na wyrazy macierzy odwrotnej
  • Endomorfizmy:
    • wartość własna i wektor własny
    • wielomian charakterystyczny
    • bazy i macierze Jordana
  • Formy kwadratowe:
    • macierz i rząd odwzorowania dwuliniowego
    • twierdzenie Lagrange'a i Sylvestera, sygnatura formy kwadratowej
  • Euklidesowe przestrzenie wektorowe:
    • iloczyn skalarny
    • norma wyznaczona przez iloczyn skalarny
    • nierówność Schwarza
    • baza ortonormalna, ortonormalizacja Grama-Schmidta
    • macierz i wyznacznik Grama
    • izometrie liniowe, macierz ortogonalna
  • Geometria analityczna:
    • przestrzeń afiniczna, euklidesowa przestrzeń afiniczna, euklidesowa przestrzeń afiniczna Rn
    • układ bazowy,ukośnokątny (prostokątny) układ współrzędnych
    • podprzestrzeń afiniczna, operacje na podprzestrzeniach afinicznych
    • równoległość podprzestrzeni afinicznych
    • podprzestrzeń rozwiązań układu równań liniowych
    • opisy analityczne podprzestrzeni afinicznych
    • odległość punktów i niektórych figur
    • zbiory wypukłe
    • odwzorowania afiniczne, izometrie, postać macierzowa

Literatura

  1. A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN,Biblioteka Matematyczna t.48, Warszawa 1979.
  2. J. Gancarzewicz, Algebra liniowa z elementami geometrii, Wydawnicwo Naukowe UJ, Kraków, 2001.
  3. J. Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978.
  4. K. Sieklucki, Geometria i topologia, część I - Geometria, PWN, Biblioteka Matematyczna t.53, Warszawa 1979, Warszawa 2006.



Moduły

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Algebra_liniowa_z_geometrią_analityczną&oldid=2980”